Fundamentos da Transformada de Fourier em Tempo Discreto

EBook Apostila Esse arquivo é uma versão estática Para melhor experiência acesse esse conteúdo pela mídia interativa Unidade 3 TRANSFORMADAS EBook Apostila EBook Apostila 2 58 Introdução da unidade Neste material compreenderemos os fundamentos da transformada de Fourier em tempo discreto Logo depois iremos descrever a equação fundamental da transformada de Fourier em tempo discreto Em seguida avaliaremos a representação matricial da transformada de Fourier em tempo discreto além de descrever a equação fundamental da transformada de Fourier em tempo discreto Após iremos identificar os fundamentos da transformada de Fourier em tempo discreto DTFT Também veremos os efeitos da variação dos parâmetros sobre a DTFT além de examinar a representação gráfica da transformada de Fourier em tempo discreto Em seguida iremos analisar as aplicações de software no estudo da transformada de Fourier em tempo discreto DTFT Descreveremos também os fundamentos da transformada discreta de Fourier DFT além da equação fundamental da transformada discreta de Fourier Iremos aprender ainda sobre a representação matricial da transformada discreta de Fourier e veremos a aplicação da equação fundamental da DFT Por fim descreveremos os fundamentos da transformada Z de modo a reconhecer a equação fundamental da transformada Z e a representação matricial da transformada Z Também veremos aplicações da equação fundamental da transformada Z e descreveremos a transformada Z inversa usando frações parciais Vamos iniciar então nossa jornada de estudos Acompanhe Transformada de Fourier em tempo discreto DTFT A transformada de Fourier em tempo discreto DTFT é uma ferramenta matemática fundamental em processamento de sinais e análise espectral que permite representar uma sequência discreta de valores como uma combinação de exponenciais complexas A DTFT é baseada na ideia de que qualquer sinal periódico pode ser decomposto em uma soma infinita de senos e cossenos de diferentes frequências e amplitudes que são chamados de harmônicos permitindo uma análise mais aprofundada das propriedades do sinal Essa decomposição é chamada de série de Fourier A DTFT é uma extensão da transformada de Fourier de tempo contínuo que é usada para analisar sinais contínuos no tempo A DTFT é usada para analisar sinais discretos no tempo que são amostragens em intervalos de tempo igualmente espaçados DINIZ et al 2014 A DTFT é definida pela seguinte fórmula equação 1 EBook Apostila 3 58 Onde xn é a sequência de entrada ω é a frequência normalizada Xω é a sequência de saída A DTFT transforma um sinal do domínio do tempo discreto em domínio da frequência contínuo e periódico A DTFT permite analisar o comportamento espectral de sinais discretos e sistemas lineares invariantes no tempo LIT ou seja sistemas que não mudam as características com o tempo A DTFT também permite relacionar outras transformadas de Fourier como a Transformada de Fourier de Tempo Contínuo TFTC e a transformada discreta de Fourier DFT DINIZ et al 2014 A transformada de Fourier em tempo discreto DTFT é uma ferramenta poderosa para análise espectral de sinais digitais Ela permite visualizar a distribuição de energia do sinal em termos de frequências o que é fundamental para diversas aplicações em processamento de sinais e comunicações Ao estudar a DTFT é importante lembrar que ela é uma representação contínua do espectro de frequência de um sinal discreto Portanto podemos pensar nela como uma função matemática que descreve a relação entre o sinal e as diferentes frequências No entanto é importante lembrar que a DTFT tem algumas limitações práticas Em particular ela não é computacionalmente eficiente para implementação em tempo real pois envolve uma soma infinita Por isso outras variantes da transformada de Fourier como a Discrete Fourier Transform DFT e a Fast Fourier Transform FFT são mais comumente usadas em aplicações práticas EBook Apostila 4 58 REFLITA A DTFT continua sendo uma ferramenta fundamental para entendermos a análise espectral de sinais digitais e suas aplicações Entender as propriedades e as limitações dela é fundamental para aplicála de forma efetiva em diversas áreas como telecomunicações processamento de áudio e imagem dentre outras Portanto reflita sobre a importância da DTFT em sua área de interesse e como você pode utilizála para aprimorar suas habilidades e seus conhecimentos Fonte Elaboração do autor 2023 EBook Apostila 5 58 A equação 1 que vimos é a equação fundamental da transformada de Fourier em tempo discreto DTFT Essa equação mostra que a DTFT é uma soma infinita de termos da forma onde xn é o valor da sequência de entrada no instante n e é uma exponencial complexa que representa uma oscilação com frequência ω e fase nω Cada termo dessa soma contribui para o valor da sequência de saída Xω em uma determinada frequência ω A equação fundamental da DTFT também pode ser escrita na forma polar usando as relações equação 2 equação 3 Onde r e θ são o módulo e o argumento de um número complexo respectivamente Logo a equação 1 pode ser reescrita da seguinte forma EBook Apostila 6 58 equação 4 Ou ainda equação 5 Essa equação mostra que a DTFT pode ser vista como a soma de duas componentes uma componente real que é a soma ponderada dos cossenos da sequência de entrada e uma componente imaginária que é a soma ponderada dos senos da sequência de entrada Essas componentes podem ser usadas para calcular o módulo e o argumento da sequência de saída usando as relações equação 6 EBook Apostila 7 58 equação 7 Onde a e b são as partes real e imaginária de um número complexo respectivamente Representação matricial da transformada de Fourier em tempo discreto A utilização da representação matricial da DTFT é muito comum em implementações de algoritmos de processamento de sinais em tempo real bem como em softwares de análise espectral Além disso a matriz de Fourier também possui propriedades interessantes como a ortogonalidade das linhas e colunas OPPENHEIM SCHAFER 2013 A representação matricial da DTFT é uma forma de expressar a DTFT como um produto de matrizes A ideia é usar uma matriz de rotação complexa para representar a exponencial complexa que aparece na equação 1 da DTFT Seja xn uma sequência finita de N amostras ou seja xn 0 para n 0 ou n N Podemos escrever essa sequência como um vetor coluna de dimensão N x 1 Então podemos definir uma matriz de dimensão N x N cujos elementos são dados por EBook Apostila 8 58 equação 8 Essa matriz é chamada de matriz de rotação complexa ou matriz de Fourier Ela tem algumas propriedades interessantes tais como é uma matriz unitária ou seja onde é a matriz conjugada transposta de e é a matriz identidade é uma matriz simétrica ou seja onde é a matriz transposta de é uma matriz periódica ou seja Usando essa matriz podemos escrever a DTFT de xn da equação 9 a seguir como um produto matricial equação 10 equação 9 EBook Apostila 9 58 Logo equação 10 Onde é o vetor coluna que representa a sequência xn é a késima coluna da matriz é o vetor unitário que tem o valor 1 na posição k e 0 nas demais posições Note que o índice k varia de 0 a N1 e corresponde à frequência discreta Assim a DTFT pode ser vista como uma combinação linear das colunas da matriz EBook Apostila 10 58 A representação matricial da DTFT tem algumas vantagens tais como Aplicação da equação fundamental da transformada de Fourier em tempo discreto A equação fundamental da transformada de Fourier em tempo discreto DTFT pode ser aplicada para calcular a DTFT de uma sequência discreta de valores ou seja para obter a representação do sinal no domínio da frequência OPPENHEIM SCHAFER 2013 Para isso basta substituir os valores da sequência na fórmula da DTFT e somar os termos resultantes Por exemplo considere a seguinte sequência á Para calcular a DTFT dessa sequência usamos a equação 1 fundamental da DTFT permite visualizar a DTFT como uma transformação linear entre dois espaços vetoriais o espaço das sequências discretas e o espaço das funções periódicas contínuas em frequência permite aplicar conceitos da álgebra linear para analisar as propriedades da DTFT tais como ortogonalidade norma projeção etc permite relacionar a DTFT com a transformada discreta de Fourier DFT que é obtida quando se restringe o domínio da frequência a um conjunto finito de pontos EBook Apostila 11 58 Substituindo os valores de xn na equação temos equação 11 Simplificando a equação temos equação 12 EBook Apostila 12 58 Usando a propriedade temos equação 13 Usando a fórmula de Euler temos equação 14 Agrupando as partes real e imaginária temos equação 15 EBook Apostila 13 58 Usando as propriedades cosx cosx e sinx sinx temos equação 16 Essa é a expressão da DTFT da sequência xn em função da frequência ω Aplicação dos fundamentos da transformada de Fourier em tempo discreto Pensando na temática contextualizada até o momento o conteúdo do vídeo oferecerá um importante horizonte de aprendizados dentro do que estamos estudando Vamos assistir Recurso Externo EBook Apostila 14 58 Recurso é melhor visualizado no formato interativo Fundamentandose nos conhecimentos que o vídeo aprofundou certamente o campo de estudos a respeito da aplicação dos fundamentos da transformada de Fourier em tempo discreto está mais coerente agora Tente pensar nessas contribuições Efeitos da variação dos parâmetros sobre a DTFT Um dos parâmetros que afeta a DTFT de um sinal de tempo discreto é a frequência de amostragem A frequência de amostragem determina o intervalo entre as amostras do sinal de tempo contínuo original Quanto maior a frequência de amostragem menor o intervalo entre as amostras e maior a resolução temporal do sinal Por outro lado quanto menor a frequência de amostragem maior o intervalo entre as amostras e menor a resolução temporal do sinal A frequência de amostragem também determina o intervalo entre as réplicas da DTFT no domínio da frequência Quanto maior a frequência de amostragem maior o intervalo entre as réplicas e menor a resolução espectral do sinal Por outro lado quanto menor a frequência de amostragem menor o intervalo entre as réplicas e maior a resolução espectral do sinal Outro parâmetro que afeta a DTFT de um sinal de tempo discreto é a duração do sinal A duração do sinal determina o número de amostras que compõem o sinal Quanto maior a duração do sinal maior o número de amostras e maior a resolução espectral do sinal Por outro lado quanto menor a duração do sinal menor o número de amostras e menor a resolução espectral do sinal A duração do sinal também determina o formato da DTFT no domínio da frequência Quanto maior a duração do sinal mais estreito é o formato da DTFT e mais concentrada é a energia do sinal em uma faixa de frequências Por outro lado quanto menor a duração do sinal mais largo é o formato da DTFT e mais dispersa é a energia do sinal em várias faixas de frequência Representação gráfica da transformada de Fourier em tempo discreto A representação gráfica da DTFT pode ser feita em dois tipos de gráficos polar ou cartesiano Em um gráfico polar Figura 1 usamos o módulo da DTFT como o raio e o argumento da DTFT como o ângulo Em um gráfico cartesiano Figura 2 usamos o módulo da DTFT como o eixo vertical e a frequência angular ω como o eixo horizontal Podemos também representar a parte real e a parte imaginária da DTFT em dois gráficos separados ou usar um gráfico tridimensional para mostrar as três dimensões módulo argumento e frequência EBook Apostila 15 58 FIGURA 1 Representação gráfica de DTFT em coordenada polar Fonte Elaboração do autor 2023 EBook Apostila 16 58 FIGURA 1 Representação gráfica de DTFT em coordenada cartesiana Fonte Elaboração do autor 2023 A representação gráfica da DTFT permite visualizar as características espectrais de um sinal de tempo discreto como a forma de onda a periodicidade a simetria os picos os zeros e as componentes harmônicas A representação gráfica da DTFT também permite comparar diferentes sinais de tempo discreto e verificar o efeito de operações como deslocamento escalamento multiplicação e convolução no domínio da frequência Aplicações de software no estudo da transformada de Fourier em tempo discreto A partir de tudo o que foi visto até o momento sugerimos o vídeo a seguir sobre aplicações de software no estudo da transformada de Fourier em tempo discreto para desenvolver e adentrar um pouco mais do panorama de estudos proposto na unidade Recurso Externo EBook Apostila 17 58 Recurso é melhor visualizado no formato interativo A partir do que foi apresentado no vídeo podemos continuar nos debruçando sobre a temática Vamos lá O código Python a seguir mostra como calcular e plotar o espectro de frequência de um sinal discreto usando a biblioteca NumPy import numpy as np import matplotlibpyplot as plt Gerando um sinal de teste com duas frequências n nparange1024 f1 50 f2 100 x npsin2nppif1n1024 npsin2nppif2n1024 Calculando a DFT do sinal usando a função numpyfftfft X npfftfftx Calculando as frequências correspondentes às amostras da DFT freq npfftfftfreqlenx Plotando o espectro de frequência pltplotfreq npabsX pltxlabelFrequência Hz pltylabelMagnitude plttitleEspectro de frequência pltshow Nesse exemplo geramos um sinal de teste com duas frequências de 50 Hz e 100 Hz e calculamos a DTFT do sinal usando a função numpyfftfft Em seguida calculamos as frequências correspondentes às amostras da DFT usando a função numpyfftfftfreq Finalmente plotamos o espectro de frequência usando a biblioteca matplotlib conforme ilustra a Figura 3 EBook Apostila 18 58 FIGURA 1 Espectro de frequência Fonte Elaboração do autor 2023 O resultado é um gráfico que mostra as duas componentes de frequência do sinal em 50 Hz e 100 Hz Esse exemplo ilustra como é fácil calcular e plotar a DTFT de um sinal digital usando a biblioteca NumPy em Python O MATLAB é uma ferramenta muito utilizada em diversas áreas da ciência e da tecnologia incluindo a engenharia a física a matemática e a computação O MATLAB pode ser útil para aplicações de transformada discreta de Fourier SAIBA MAIS EBook Apostila 19 58 Para aprofundar seus conhecimentos convidamos você a assistir ao vídeo Curso de MATLAB 72 Transformada Discreta de Fourier que irá ampliar o seu aprendizado sobre esse assunto tão importante para a ciência a tecnologia e a sociedade Saiba mais acessando o link httpswwwyoutubecomwatch vDy6r4TLmpTQ Após assistir ao vídeo você ampliou o seu conhecimento sobre essa importante técnica matemática e a aplicação em diferentes áreas da ciência e da tecnologia Compreender a transformada discreta de Fourier é fundamental para a análise de sinais e imagens digitais bem como para o processamento de informações em diversas áreas Esperamos que o material complementar tenha sido útil para consolidar seus conhecimentos e que você esteja prontoa para continuar aprendendo e explorando novos conceitos no campo do MATLAB e das ciências correlatas Essas aplicações de software possuem funções específicas para realizar a DTFT e outras transformadas relacionadas como a DFT a FFT e a transformada Z Essas aplicações de software também possuem recursos gráficos para mostrar a DTFT em diferentes formatos e escalas Tais aplicações são úteis para verificar os resultados teóricos e experimentais da DTFT As aplicações de software também são úteis para simular situações práticas que envolvem a DTFT como processamento digital de sinais comunicações digitais análise espectral e filtragem digital Transformada discreta de Fourier DFT A transformada discreta de Fourier DFT é uma ferramenta matemática que permite analisar sinais discretos no domínio da frequência Um sinal discreto é uma sequência de valores numéricos que representam uma amostra de um sinal contínuo em intervalos regulares de tempo A DFT transforma um sinal discreto no tempo em um sinal discreto na frequência que mostra a amplitude e a fase de cada componente de frequência do sinal original A equação fundamental da DFT é dada por equação 17 EBook Apostila 20 58 Onde Xk é o sinal discreto na frequência xn é o sinal discreto no tempo k é a frequência normalizada N é o número de amostras do sinal A equação mostra que cada valor de Xk é obtido pela soma ponderada dos valores de xn com coeficientes complexos que dependem de k que representa a frequência normalizada A representação matricial da DFT é uma forma alternativa de expressar a equação anterior usando álgebra linear Podemos escrever equação 18 Onde x é um vetor coluna com os valores de xn é um vetor coluna com os valores de Xk e W é uma matriz quadrada de ordem N chamada matriz DFT cujos elementos são dados por EBook Apostila 21 58 equação 19 A matriz DFT tem algumas propriedades interessantes como ser simétrica unitária e ortogonal Para aplicar a equação fundamental da DFT basta substituir os valores de xn na fórmula e calcular os valores de Xk para cada valor de k Por exemplo se temos um sinal discreto com quatro amostras equação 20 Podemos calcular a DFT usando a equação equação 21 EBook Apostila 22 58 e obter equação 22 equação 23 EBook Apostila 23 58 equação 24 equação 25 Para aplicar a equação fundamental da transformada rápida de Fourier FFT precisamos usar um algoritmo que reduz o número de operações necessárias para calcular a DFT Um dos algoritmos mais conhecidos é o algoritmo radix2 decimationintime DIT que divide o sinal em duas partes uma com as amostras de índice par e outra com as amostras de índice ímpar Em seguida aplicase a DFT recursivamente em cada parte até que se chegue a vetores de tamanho 1 Por fim combinase os resultados usando fatores de torção que são potências de O algoritmo DIT requer que o número de amostras do sinal seja uma potência de 2 Se não for o caso podese preencher o sinal com zeros até atingir esse requisito Por exemplo se temos um sinal discreto com oito amostras EBook Apostila 24 58 equação 26 Podemos calcular a FFT usando o algoritmo DIT da seguinte forma Calcular a DFT de 1 Dividir o sinal em duas partes e 2 Aplicar a DFT em cada parte recursivamente 3 Dividir em duas partes e 4 Aplicar a DFT em cada parte recursivamente EBook Apostila 25 58 Calcular a DFT de EBook Apostila 26 58 Calcular a DFT de EBook Apostila 27 58 Calcular a DFT de EBook Apostila 28 58 5 Combinar os resultados usando fatores de torção onde k 0 1 N1 e N 8 EBook Apostila 29 58 6 Obter EBook Apostila 31 58 Nesse exemplo mostramos como calcular a DFT de um sinal de 8 pontos usando o algoritmo DIT Esse algoritmo reduz o número de operações necessárias para calcular a DFT ao dividir o sinal em partes par e ímpar e aplicar a DFT recursivamente nessas partes Em seguida os resultados são combinados usando fatores de torção que são exponenciais complexas que dependem da frequência e do tamanho do sinal O algoritmo DIT pode ser generalizado para sinais de tamanho N que sejam potências de 2 Esse algoritmo é amplamente usado em aplicações que requerem análise espectral de sinais como comunicações processamento biomédico controle industrial dentre outras O algoritmo DIT pode ser implementado em diferentes plataformas como computadores placas gráficas e circuitos integrados específicos Transformada Z EBook Apostila 32 58 A transformada Z é um método operacional útil no tratamento de sistemas discretos ou seja que operam em tempo discreto ou com sinais discretos Ela é também de grande importância na análise de sinais digitais e no projeto de sistemas de controle digital A transformada Z faz a mudança do domínio do tempo discreto para o domínio da variável complexa z que é análoga à variável s da transformada de Laplace NALON 2009 A transformada Z permite resolver equações de diferenças lineares que são o equivalente discreto das equações diferenciais lineares e também facilita a análise de estabilidade causalidade e frequência dos sistemas discretos A transformada Z é uma extensão da transformada de Fourier discreta e é amplamente utilizada em diversas áreas da engenharia e ciência como no processamento de sinais controle de sistemas teoria de comunicações dentre outras Para compreender a importância da transformada Z leia o conteúdo que discute uma aplicação da técnica visando à otimização de um processo de produção de goma EBook Apostila 33 58 DICA Leia da página 4 à 9 do artigo Aplicação da Transformada Z na produção de biopolímeros utilizando o bagaço de canadeaçúcar Application of the Ztransform in the biopolymer production using the sugarcane bagasse 2019 Para conferir a leitura clique ou copie o link a seguir em seu navegador e acesse httpsojsbrazilianjournalscombrojsindexphpB RJDarticleview39203703 Conforme vimos na leitura o artigo trata do uso de uma ferramenta matemática para otimizar o processo de produção de goma xantana um biopolímero com diversas aplicações industriais a partir do bagaço de canadeaçúcar um resíduo abundante e renovável O artigo apresenta os resultados experimentais e teóricos da aplicação da transformada Z que permite modelar sistemas discretos e analisar estabilidade desempenho e controle EBook Apostila 34 58 A transformada Z é definida como a transformada de Laplace aplicada a uma sequência discreta de amostras Existem duas formas diferentes de definir a transformada Z a transformada Z bilateral e a transformada Z unilateral A principal diferença entre a transformada Z bilateral e a transformada Z unilateral é a região de convergência ROC do inglês Region of Convergence A ROC é a região no plano z onde a transformada Z converge A equação fundamental da transformada Z bilateral é definida como equação 27 Onde xn é o sinal discreto no domínio do tempo e Xz é o seu equivalente no domínio da variável z A variável z é um número complexo da forma onde r é o módulo e θ é a fase A ROC da transformada Z bilateral é uma região no plano z que inclui todo o plano complexo exceto possivelmente em um círculo ao redor da origem A equação fundamental da transformada Z unilateral é definida como equação 28 EBook Apostila 35 58 Onde xn é um sinal causal ou seja que vale zero para n 0 A ROC da transformada Z unilateral é uma região no plano z que inclui todo o plano complexo à direita de um círculo ao redor da origem Isso significa que a transformada Z unilateral só converge para sequências causais ou seja sequências que começam no tempo n 0 ou depois Em resumo a principal diferença entre a transformada Z bilateral e a transformada Z unilateral é a região de convergência EBook Apostila 36 58 REFLITA Ao aprender sobre a transformada Z podemos ficar impressionados com a capacidade de analisar sinais discretos de forma matemática e sistemática No entanto é importante lembrar que a transformada Z é apenas uma ferramenta matemática que nos ajuda a entender e a analisar sistemas lineares no domínio do tempo discreto Devemos nos perguntar como podemos aplicar a transformada Z na prática Como podemos usar essa ferramenta para resolver problemas reais de engenharia e ciência Uma reflexão interessante é pensar sobre a relação entre a transformada Z e a transformada de Fourier Ambas são ferramentas poderosas na análise de sinais mas operam em domínios diferentes a transformada de Fourier trabalha no domínio da frequência contínua enquanto a transformada Z trabalha no domínio do tempo discreto Podemos nos perguntar como podemos relacionar essas duas ferramentas para obter uma compreensão mais completa dos sinais Como podemos usar a transformada Z para analisar sinais que não são necessariamente discretos mas que são amostrados em intervalos regulares Enquanto continuamos a aprender sobre a transformada Z devemos manter em mente que essa ferramenta é apenas uma peça do quebra cabeças na análise de sinais e sistemas É importante combinar a teoria com a prática para obter uma compreensão completa e útil dos sinais que encontramos na vida real Fonte Elaboração do autor 2023 EBook Apostila 37 58 Uma aplicação prática da equação fundamental da transformada Z é na determinação da resposta em frequência de um sistema discreto A resposta em frequência de um sistema LTI discreto é definida como a transformada Z da resposta ao impulso do sistema A partir da resposta em frequência é possível determinar a resposta do sistema a qualquer entrada simplesmente multiplicando a transformada Z da entrada pela resposta em frequência do sistema NALON 2009 Outra aplicação prática da equação fundamental da transformada Z é na análise da estabilidade de um sistema Um sistema discreto é considerado estável se a região de convergência ROC da sua resposta em frequência incluir o círculo unitário no plano z A ROC é determinada pela localização dos polos e zeros da transformada Z do sistema que podem ser calculados a partir da equação fundamental da transformada Z Representação matricial da transformada Z A representação matricial da transformada Z é uma forma de expressar a relação entre os coeficientes de uma equação de diferenças lineares e os polinômios que compõem a função de transferência do sistema discreto A função de transferência é definida como a razão entre a transformada Z da saída e a transformada Z da entrada do sistema A representação matricial da transformada Z tem a forma equação 29 EBook Apostila 38 58 Onde ai e bi são os coeficientes da equação de diferenças lineares Xz e Yz são as transformadas Z da entrada e da saída do sistema discreto respectivamente A representação matricial da transformada Z permite obter a função de transferência do sistema como a razão entre Yz e Xz resolvendo o sistema de equações lineares Cada elemento da matriz de transformação Z é a transformada Z de uma sequência de impulso unitário deslocada ou seja a matriz de transformação Z contém todas as possíveis sequências de entrada de uma dada dimensão e o resultado da transformada Z para cada uma delas A representação matricial da transformada Z pode ser útil para realizar operações algébricas em sinais e sistemas discretos Por exemplo a multiplicação de matrizes pode ser usada para calcular a resposta em frequência de um sistema discreto ou para implementar a convolução de duas sequências usando a matriz de transformação Z e a multiplicação de matrizes Transformada Z inversa usando frações parciais A transformada Z inversa usando frações parciais é uma técnica importante em análise de sinais e sistemas Ela permite a conversão de uma função de transferência de um domínio Z para o domínio do tempo discreto A transformada Z inversa é o processo inverso da transformada Z ou seja dado Xz encontrar xn NALON 2009 Um dos métodos para calcular a transformada Z inversa é o método das frações parciais que consiste nos seguintes passos Clqiue nos botões do infográfico para interagir com o conteúdo Recurso Externo EBook Apostila 39 58 Recurso é melhor visualizado no formato interativo Por exemplo se Xz é dado por equação 30 Então os passos são 1 O denominador de Xz já está fatorado e os polos são z 05 e z 2 2 Escrevendo Xz como uma soma de frações parciais equação 31 EBook Apostila 40 58 3 Encontrando os valores de A e B por substituição equação 32 Na equação 32 o termo Big é uma notação matemática que significa ordem de grandeza É usado para comparar o crescimento assintótico de funções ou seja como elas se comportam quando os valores das variáveis tendem ao infinito Por exemplo se fn 3n 5 e gn n² podemos dizer que fn é da ordem de n e que gn é da ordem de n² Isso significa que para valores grandes de n a função gn cresce mais rápido que a função fn e que o termo dominante de cada função é o que tem o maior expoente de n 4 Substituindo os valores de A e B na soma de frações parciais equação 33 EBook Apostila 41 58 5 Usando uma tabela de pares de transformadas Z inversas para encontrar xn correspondente a cada fração parcial Por exemplo se Xz então xn onde un é a função degrau unitário Logo equação 34 Portanto a transformada Z inversa de Xz é uma combinação de duas exponenciais complexas multiplicadas por funções degrau As frações parciais são usadas para decompor uma função de transferência complexa em termos de funções simples e facilmente reconhecíveis Isso facilita a análise e a solução de equações diferenciais lineares de ordem superior A técnica de frações parciais é útil quando a função de transferência possui polos múltiplos ou complexos A transformada Z inversa usando frações parciais é capaz de separar esses polos em termos de funções simples como exponenciais senos e cossenos Além disso a técnica de frações parciais pode ser usada para encontrar a resposta ao impulso de um sistema a partir da função de transferência Isso é útil em aplicações práticas como na engenharia de comunicações e no processamento de sinais Considerações finais Nesta unidade você teve a oportunidade de EBook Apostila 42 58 descrever a transformada de Fourier em tempo discreto DTFT descrever a transformada discreta de Fourier DFT descrever os fundamentos da transformada Z Diante do exposto exploramos diversos aspectos da transformada de Fourier em tempo discreto da transformada discreta de Fourier e por fim da transformada Z Por meio do estudo dessas ferramentas matemáticas fomos capazes de compreender e analisar sinais discretos de forma sistemática Aprendemos sobre as equações fundamentais de cada uma dessas transformadas bem como as representações matriciais e gráficas Além disso exploramos as aplicações práticas dessas ferramentas na engenharia na ciência e em outros campos Por meio desse estudo percebemos a importância da matemática e de suas ferramentas na análise de sistemas e sinais discretos A transformada de Fourier em tempo discreto a transformada discreta de Fourier e a transformada Z são apenas algumas das muitas ferramentas matemáticas disponíveis para a análise de sinais e sistemas Além disso a compreensão dessas ferramentas matemáticas é um passo importante na formação de um pensamento analítico e crítico habilidades que são cada vez mais valorizadas no mercado de trabalho Portanto estudar a transformada de Fourier em tempo discreto a transformada discreta de Fourier e a transformada Z pode ser um investimento valioso para o futuro profissional de qualquer pessoa interessada em análise de sinais e sistemas discretos Ao entender as propriedades dessas transformadas e como aplicálas na prática podemos ser capazes de resolver problemas complexos em diversas áreas É importante lembrar que essas ferramentas matemáticas são apenas uma parte do quebracabeças na análise de sinais e nos sistemas discretos A teoria deve ser combinada com a prática para obter uma compreensão completa e útil dos sinais que encontramos na vida real Agora que finalizamos este conteúdo vamos testar seus conhecimentos com o quiz a seguir EBook Apostila 43 58 QUIZ Leia o trecho a seguir A transformada de Fourier em tempo discreto DTFT é uma ferramenta matemática que permite representar um sinal discreto no domínio da frequência A DTFT é definida como a soma infinita dos valores do sinal multiplicados por exponenciais complexas A DTFT é útil para analisar as propriedades espectrais dos sinais discretos e para projetar filtros digitais Desse modo assinale a alternativa CORRETA sobre a DTFT A DTFT é uma função periódica com período igual a 2π a EBook Apostila 44 58 Resposta Incorreta A DTFT não é uma função periódica mas sim uma função não periódica pois pode assumir valores diferentes para cada frequência discreta Além disso a DTFT não é necessariamente simétrica em relação à origem do plano complexo pois depende dos valores do sinal discreto A DTFT também nem sempre é inversível ou seja nem sempre existe a transformada inversa de Fourier em tempo discreto IDTFT Ou seja a DTFT é uma função linear pois obedece ao princípio da superposição Isso significa que a transformada de Fourier de uma soma ponderada de sinais é igual à soma ponderada das respectivas transformadas de Fourier de cada sinal individual Resposta Correta A DTFT é uma função contínua em relação à variável de frequência pois é definida como uma integral contínua e não como uma soma infinita discreta A DTFT é uma função contínua em relação à variável de frequência b A DTFT é uma função simétrica em relação à origem do plano complexo c EBook Apostila 45 58 Resposta Incorreta A DTFT não é uma função periódica mas sim uma função não periódica pois pode assumir valores diferentes para cada frequência discreta Além disso a DTFT não é necessariamente simétrica em relação à origem do plano complexo pois depende dos valores do sinal discreto A DTFT também nem sempre é inversível ou seja nem sempre existe a transformada inversa de Fourier em tempo discreto IDTFT Ou seja a DTFT é uma função linear pois obedece ao princípio da superposição Isso significa que a transformada de Fourier de uma soma ponderada de sinais é igual à soma ponderada das respectivas transformadas de Fourier de cada sinal individual Resposta Incorreta A DTFT não é uma função periódica mas sim uma função não periódica pois pode assumir valores diferentes para cada frequência discreta Além disso a DTFT não é necessariamente simétrica em relação à origem do plano complexo pois depende dos valores do sinal discreto A DTFT também nem sempre é inversível ou seja nem sempre existe a transformada inversa de Fourier em tempo discreto IDTFT Ou seja a DTFT é uma função linear pois obedece ao princípio da superposição Isso significa que a transformada de Fourier de uma soma ponderada de sinais é igual à soma ponderada das respectivas transformadas de Fourier de cada sinal individual A DTFT é uma função com transformada inversa de Fourier em tempo discreto d EBook Apostila 46 58 Resposta Incorreta A DTFT não é uma função periódica mas sim uma função não periódica pois pode assumir valores diferentes para cada frequência discreta Além disso a DTFT não é necessariamente simétrica em relação à origem do plano complexo pois depende dos valores do sinal discreto A DTFT também nem sempre é inversível ou seja nem sempre existe a transformada inversa de Fourier em tempo discreto IDTFT Ou seja a DTFT é uma função linear pois obedece ao princípio da superposição Isso significa que a transformada de Fourier de uma soma ponderada de sinais é igual à soma ponderada das respectivas transformadas de Fourier de cada sinal individual Leia o excerto a seguir A DTFT é uma função linear ou seja obedece ao princípio da superposição e EBook Apostila 47 58 A transformada Z é uma ferramenta matemática que permite representar um sinal discreto no domínio da variável complexa z A transformada Z é definida como a soma infinita dos valores do sinal multiplicados por potências negativas de z A transformada Z é útil para resolver equações de diferenças lineares que são o equivalente discreto das equações diferenciais lineares Assinale a alternativa CORRETA sobre a transformada Z A transformada Z é uma ferramenta matemática que representa uma função periódica com período igual a 2π a EBook Apostila 48 58 Resposta Incorreta A transformada Z depende da variável complexa z que pode assumir qualquer valor no plano complexo Essa propriedade é válida para a transformada de Fourier em tempo discreto DTFT que é uma função periódica com período igual a 2π no domínio da frequência contínua A transformada Z não é uma função contínua em relação à variável de tempo n que pode assumir valores inteiros Essa propriedade é válida para o sinal discreto original que é uma função discreta em relação à variável de tempo n A transformada Z é uma função contínua em relação à variável complexa z que pode assumir qualquer valor no plano complexo A transformada Z não é uma função simétrica em relação à origem do plano complexo pois ela depende da variável complexa z que pode assumir qualquer valor no plano complexo A simetria da transformada Z depende da natureza do sinal discreto se ele é par ímpar ou misto A transformada Z é uma função linear ou seja obedece ao princípio da superposição mas esse não é o único fato sobre a transformada Z Existem outras propriedades que a caracterizam e que devem ser conhecidas A transformada Z é uma função contínua em relação à variável de tempo n que pode assumir valores inteiros b EBook Apostila 49 58 Resposta Incorreta A transformada Z depende da variável complexa z que pode assumir qualquer valor no plano complexo Essa propriedade é válida para a transformada de Fourier em tempo discreto DTFT que é uma função periódica com período igual a 2π no domínio da frequência contínua A transformada Z não é uma função contínua em relação à variável de tempo n que pode assumir valores inteiros Essa propriedade é válida para o sinal discreto original que é uma função discreta em relação à variável de tempo n A transformada Z é uma função contínua em relação à variável complexa z que pode assumir qualquer valor no plano complexo A transformada Z não é uma função simétrica em relação à origem do plano complexo pois ela depende da variável complexa z que pode assumir qualquer valor no plano complexo A simetria da transformada Z depende da natureza do sinal discreto se ele é par ímpar ou misto A transformada Z é uma função linear ou seja obedece ao princípio da superposição mas esse não é o único fato sobre a transformada Z Existem outras propriedades que a caracterizam e que devem ser conhecidas A transformada Z é uma função simétrica em relação à origem do plano complexo que depende da variável de tempo n que pode ser positiva ou negativa c EBook Apostila 50 58 Resposta Incorreta A transformada Z depende da variável complexa z que pode assumir qualquer valor no plano complexo Essa propriedade é válida para a transformada de Fourier em tempo discreto DTFT que é uma função periódica com período igual a 2π no domínio da frequência contínua A transformada Z não é uma função contínua em relação à variável de tempo n que pode assumir valores inteiros Essa propriedade é válida para o sinal discreto original que é uma função discreta em relação à variável de tempo n A transformada Z é uma função contínua em relação à variável complexa z que pode assumir qualquer valor no plano complexo A transformada Z não é uma função simétrica em relação à origem do plano complexo pois ela depende da variável complexa z que pode assumir qualquer valor no plano complexo A simetria da transformada Z depende da natureza do sinal discreto se ele é par ímpar ou misto A transformada Z é uma função linear ou seja obedece ao princípio da superposição mas esse não é o único fato sobre a transformada Z Existem outras propriedades que a caracterizam e que devem ser conhecidas A transformada Z é uma função inversível ou seja existe a transformada inversa de Z que permite recuperar o sinal discreto no domínio do tempo d EBook Apostila 51 58 Resposta Correta A transformada Z é uma função inversível ou seja existe a transformada inversa de Z que permite recuperar o sinal discreto no domínio do tempo A transformada inversa de Z é definida como uma integral de caminho fechado no plano complexo que envolve a multiplicação do sinal por potências positivas de z A transformada inversa de Z também pode ser obtida por meio de tabelas ou métodos algébricos A transformada Z é uma função linear ou seja obedece ao princípio da superposição e EBook Apostila 52 58 Resposta Incorreta A transformada Z depende da variável complexa z que pode assumir qualquer valor no plano complexo Essa propriedade é válida para a transformada de Fourier em tempo discreto DTFT que é uma função periódica com período igual a 2π no domínio da frequência contínua A transformada Z não é uma função contínua em relação à variável de tempo n que pode assumir valores inteiros Essa propriedade é válida para o sinal discreto original que é uma função discreta em relação à variável de tempo n A transformada Z é uma função contínua em relação à variável complexa z que pode assumir qualquer valor no plano complexo A transformada Z não é uma função simétrica em relação à origem do plano complexo pois ela depende da variável complexa z que pode assumir qualquer valor no plano complexo A simetria da transformada Z depende da natureza do sinal discreto se ele é par ímpar ou misto A transformada Z é uma função linear ou seja obedece ao princípio da superposição mas esse não é o único fato sobre a transformada Z Existem outras propriedades que a caracterizam e que devem ser conhecidas Leia o trecho a seguir EBook Apostila 53 58 A transformada discreta de Fourier DFT é uma ferramenta matemática que permite representar um sinal discreto no domínio da frequência discreta A DFT é definida como a soma finita dos valores do sinal multiplicados por exponenciais complexas A DFT é útil para analisar as propriedades espectrais dos sinais discretos e para implementar filtros digitais Pensando nisso assinale a alternativa CORRETA sobre a DFT Resposta Correta A DFT é uma função periódica com período igual a N onde N é o número de amostras do sinal Isso significa que a DFT se repete a cada N amostras no domínio da frequência discreta Essa propriedade contrasta com a transformada de Fourier em tempo discreto DTFT que é uma função periódica com período igual a 2π no domínio da frequência contínua A DFT é uma função periódica com período igual a N onde N é o número de amostras do sinal a A DFT é uma função contínua em relação à variável de frequência k que pode assumir valores inteiros entre 0 e N1 b EBook Apostila 54 58 Resposta Incorreta A DFT é uma função discreta em relação à variável de frequência k que pode assumir valores inteiros entre 0 e N1 Essa propriedade contrasta com a transformada de Fourier em tempo discreto DTFT que é uma função contínua em relação à variável de frequênciaômega que pode assumir qualquer valor real dentro do intervalo π π A DFT não é uma função simétrica em relação à origem do plano complexo pois ela depende da variável de frequência k que pode ser positiva ou negativa A simetria da DFT depende da natureza do sinal discreto se ele é par ímpar ou misto A DFT é uma função inversível ou seja existe a transformada inversa de Fourier discreta IDFT que permite recuperar o sinal discreto no domínio do tempo mas esse não é o único fato sobre a DFT Existem outras propriedades que a caracterizam e que devem ser conhecidas A DFT é uma função linear ou seja obedece ao princípio da superposição mas esse não é o único fato sobre a DFT Existem outras propriedades que a caracterizam e que devem ser conhecidas A DFT é uma função simétrica em relação à origem do plano complexo pois ela depende da variável de frequência k que pode ser positiva ou negativa c EBook Apostila 55 58 Resposta Incorreta A DFT é uma função discreta em relação à variável de frequência k que pode assumir valores inteiros entre 0 e N1 Essa propriedade contrasta com a transformada de Fourier em tempo discreto DTFT que é uma função contínua em relação à variável de frequênciaômega que pode assumir qualquer valor real dentro do intervalo π π A DFT não é uma função simétrica em relação à origem do plano complexo pois ela depende da variável de frequência k que pode ser positiva ou negativa A simetria da DFT depende da natureza do sinal discreto se ele é par ímpar ou misto A DFT é uma função inversível ou seja existe a transformada inversa de Fourier discreta IDFT que permite recuperar o sinal discreto no domínio do tempo mas esse não é o único fato sobre a DFT Existem outras propriedades que a caracterizam e que devem ser conhecidas A DFT é uma função linear ou seja obedece ao princípio da superposição mas esse não é o único fato sobre a DFT Existem outras propriedades que a caracterizam e que devem ser conhecidas A DFT é uma função inversível ou seja existe a transformada inversa de Fourier discreta IDFT que permite recuperar o sinal discreto no domínio do tempo d EBook Apostila 56 58 Resposta Incorreta A DFT é uma função discreta em relação à variável de frequência k que pode assumir valores inteiros entre 0 e N1 Essa propriedade contrasta com a transformada de Fourier em tempo discreto DTFT que é uma função contínua em relação à variável de frequênciaômega que pode assumir qualquer valor real dentro do intervalo π π A DFT não é uma função simétrica em relação à origem do plano complexo pois ela depende da variável de frequência k que pode ser positiva ou negativa A simetria da DFT depende da natureza do sinal discreto se ele é par ímpar ou misto A DFT é uma função inversível ou seja existe a transformada inversa de Fourier discreta IDFT que permite recuperar o sinal discreto no domínio do tempo mas esse não é o único fato sobre a DFT Existem outras propriedades que a caracterizam e que devem ser conhecidas A DFT é uma função linear ou seja obedece ao princípio da superposição mas esse não é o único fato sobre a DFT Existem outras propriedades que a caracterizam e que devem ser conhecidas A DFT é uma função linear ou seja é uma função que obedece ao princípio da superposição e EBook Apostila 57 58 Resposta Incorreta A DFT é uma função discreta em relação à variável de frequência k que pode assumir valores inteiros entre 0 e N1 Essa propriedade contrasta com a transformada de Fourier em tempo discreto DTFT que é uma função contínua em relação à variável de frequênciaômega que pode assumir qualquer valor real dentro do intervalo π π A DFT não é uma função simétrica em relação à origem do plano complexo pois ela depende da variável de frequência k que pode ser positiva ou negativa A simetria da DFT depende da natureza do sinal discreto se ele é par ímpar ou misto A DFT é uma função inversível ou seja existe a transformada inversa de Fourier discreta IDFT que permite recuperar o sinal discreto no domínio do tempo mas esse não é o único fato sobre a DFT Existem outras propriedades que a caracterizam e que devem ser conhecidas A DFT é uma função linear ou seja obedece ao princípio da superposição mas esse não é o único fato sobre a DFT Existem outras propriedades que a caracterizam e que devem ser conhecidas Referências BOSH NETO J C et al Aplicação da transformada Z na produção de biopolímeros utilizando o bagaço de canadeaçúcar Brazilian Journal of Development Curitiba v 5 n 10 p 2050820518 out 2019 Disponível em httpsojsbrazilianjournalscombrojsindexphpBRJDarticleview39203703 Acesso em 6 maio 2023 CURSO de MATLAB 72 Transformada Discreta de Fourier S l s n 2020 1 vídeo 20 min Publicado pelo canal 2001 Engenharia Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvDy6r4TLmpTQ Acesso em 6 maio 2023 EBook Apostila 58 58 DINIZ P S R et al Processamento digital de sinais projeto e análise de sistemas Porto Alegre Bookman 2014 ELIAS F G de M Sinais e sistemas uma introdução Curitiba Intersaberes 2020 Disponível na Biblioteca Virtual NALON J A Introdução ao processamento digital de sinais Rio de Janeiro LTC 2009 OPPENHEIM A V SCHAFER R W Processamento em tempo discreto de sinais 3 ed São Paulo Pearson 2013