PDS Analise de Sinais Discretos SFD e TFD- Propriedades e Aplicações

PDS Processamento Digital de Sinais Aula 13 SFD e TFD e suas Propriedades 1º Semestre2022 Sinais Discretos no Tempo Universidade Anhembi Morumbi c TFTD vn 12pi pi to pi VejΩ ejΩn dΩ VejΩ Σ n to vn ejΩn d SFTD vn 1N Σ k0 to N1 Vk ej2piN kn Vk N ck Σ n0 to N1 vn ej2piN kn e TFD vn 1N Σ k0 to N1 Vk ej2piN kn Vk Σ n0 to N1 vn ej2piN kn Sinais Discretos no Tempo Universidade Anhembi Morumbi SINAIS PERIÓDICOS NO TEMPO ω0 xn Σ kN Xk ejkω0 n SINAL PERIÓDICO NA FREQUÊNCIA Xk 1N Σ nN xn ejkω0 n Serie de Fourier Tempo Discreto SFD SINAIS NÃO PERIÓDICOS NO TEMPO xn 12pi pi to pi Xejω ejωn dω SINAIS NÃO PERIÓDICOS NA FREQUÊNCIA Xejω Σ n to xn ejω n Transformada de Fourier FAST Tempo Discreto TFD SFD Universidade Anhembi Morumbi A série de Fourier Discreta SFD é uma ferramenta para representar sinais periódicos de tempo discreto no domínio da frequência Além disso é útil para o entendimento da Transformada de Fourier Discreta TFD que por sua vez é muita usada para análise em frequência de sistemas e sinais de tempo discreto SINAIS PERIÓDICOS NO TEMPO ω0 xn Σ kN Xk ejkω SINAL PERIÓDICO NA FREQUÊNCIA Xk 1N Σ nN xn ejkω0 Serie de Fourier Tempo Discreto SFD Exemplo SFD Seja a sequência 𝑥𝑛 da figura abaixo Calcule os coeficientes de sua SFD N10 𝑋𝑘 1 𝑁 𝑥𝑛𝑒𝑗𝑘Ω𝑜𝑛 from 𝑛𝑁 𝑋𝑘 110 from 0 to 4 𝑥𝑛𝑒𝑗𝑘𝜋5𝑛 𝑋𝑘 110 10𝑒𝑗𝜋50 110 10𝑒𝑗𝑘𝜋51 110 10𝑒𝑗𝑘𝜋52 110 10𝑒𝑗𝑘𝜋53 110 10𝑒𝑗𝑘𝜋54 𝑋𝑘 e0 𝑒𝑗𝑘𝜋5 𝑒𝑗𝑘2𝜋5 𝑒𝑗𝑘3𝜋5 𝑒𝑗𝑘4𝜋5 N10 Ωo 2π10 Ωo π5 Os coeficientes da SFD de 𝑥𝑛 para 0 k 9 são dados por 𝑋𝑘 5 k0 21 𝑒𝑗πk5 k impar 0 k par 5 10 Exemplo SFD 𝑁 10 Ω𝑜 2𝜋 10 Ω𝑜 𝜋 5 𝑁 10 Exercício 120 Represente o sinal periódico discreto xn no domínio da frequência xn Xk N6 N6 Ωo 2π6 Ωo π3 𝑋𝑘 1 𝑁 𝑥𝑛𝑒𝑗𝑘Ω𝑜𝑛 from 𝑛𝑁 cos ωt ejωt ejωt2 𝑋𝑘 16 from 1 to 1 𝑥𝑛𝑒𝑗𝑘π3 𝑛 𝑋𝑘 16 2𝑒𝑗π3 16 𝑒0 16 2𝑒𝑗𝑘π3 𝑋𝑘 16 2𝑒𝑗π3 16 𝑒0 16 2𝑒𝑗𝑘π3 𝑋𝑘 13 e𝑗𝑘π3 e𝑗𝑘π3 16 𝑋𝑘 23 cosk π3 16 Exercício 121 Represente o sinal periódico discreto xn no domínio da frequência xn Xk N5 N5 Ωo 2π5 Ωo 2π5 𝑋𝑘 1 𝑁 𝑛𝑁 𝑥𝑛𝑒𝑗𝑘Ω𝑜𝑛 𝑋𝑘 1 5 from 1 to 1 𝑥𝑛𝑒𝑗𝑘𝜋𝑛5 15 min 𝑋𝑘 1 5 from 1 to 1 𝑥𝑛𝑒𝑗𝑘Ω𝑜𝑛 𝑋𝑘 15 from 1 to 1 𝑥𝑛𝑒𝑗2𝜋5 𝑛 𝑋𝑘 15 𝑒𝑗2𝜋5 15 𝑒0 15 𝑒𝑗𝑘2𝜋5 𝑋𝑘 15 𝑒𝑗2𝜋5 15 𝑒0 15 𝑒𝑗2𝜋5 𝑋𝑘 15 𝑒𝑗𝑘2𝜋5 𝑒𝑗2𝜋5 15 𝑋𝑘 25 cos k 2𝜋5 15 Exercício 122 Seja o seguinte sinal de tempo contínuo vc 5 cosΩ0 t 2 cos3Ω0 t em que Ω0 2πf0 e f0 1000Hz Considere que vct é amostrado com uma frequência de amostragem fa 9000Hz Pedese 1 A representação do sinal de tempo discreto ou seja vn vct para t nfa 2 O período do sinal de tempo discreto 3 Se o sinal for periódico a sua representação como uma soma de exponenciais complexas 4 Se o sinal for periódico determine a sua SFD 5 Se o sinal for periódico esboce a SFD de xn ou seja X k 1 Representação do sinal de tempo discreto vn 5 cos2π f0 fa n 2 cos3 2π f0 fa n 5 cos2π 19 n 2 cos3 2π 19 n vn 5 cos2π 19 n 2 cos3 2π 19 n Exercício 122 Seja o seguinte sinal de tempo contínuo vc 5 cosΩ0 t 2 cos3Ω0 t em que Ω0 2πf0 e f0 1000Hz Considere que vct é amostrado com uma frequência de amostragem fa 9000Hz Pedese 2 O período do sinal de tempo discreto A partir da expressão de vn é possível verificar facilmente que o sinal de tempo discreto é periódico com período N 9 amostras isto é vn vn vn 9 e sua frequência angular fundamental é 2π9 Exercício 122 Seja o seguinte sinal de tempo contínuo vc 5 cosΩ0 t 2 cos3Ω0 t em que Ω0 2πf0 e f0 1000Hz Considere que vct é amostrado com uma frequência de amostragem fa 9000Hz Pedese 3 Se o sinal for periódico a sua representação como uma soma de exponenciais complexas vcn Σk44 an e j 2π 9 n k vc4 vc4 667 vc3 vc3 15 vc2 vc2 113 vc1 vc1 183 vc0 9 Exercício 122 Seja o seguinte sinal de tempo contínuo vc 5 cosΩ0t 2 cos3Ω0t em que Ω0 2πf0 e f0 1000Hz Considere que vct é amostrado com uma frequência de amostragem fa 9000Hz Pedese 4 Se o sinal for periódico determine a sua SFD vc4 vc4 667 vc3 vc3 15 vc2 vc2 113 vc1 vc1 183 vc0 9 Xk 1N nN xnejkΩ cosωt ejωt ejωt2 Xk 19 4 4 667ej42πn9 667ej42πn9 15ej32πn9 15ej32πn9 113ej22πn9 113ej22πn9 183ej12πn9 183ej12πn9 9ej02πn9 Xk 1 04cos2πk9 025cos4πk9 033cos6πk9 148cos8πk9 Exercício 122 Seja o seguinte sinal de tempo contínuo vc 5 cosΩ0t 2 cos3Ω0t em que Ω0 2πf0 e f0 1000Hz Considere que vct é amostrado com uma frequência de amostragem fa 9000Hz Pedese 5 Se o sinal for periódico esboce a SFD de xn ou seja Xk Xk 1 04cos2πk9 025cos4πk9 033cos6πk9 148cos8πk9 Xk Fase Xk π2 π2 2πk9 4πk9 6πk9 8πk9 Propriedades da SFD Propriedade sequência no tempo SFD Linearidade aX1nbX2n aX1kbX2k Deslocamento Xnm Wkm NXk WNln Xn Xkl Dualidade Xn NXk Convol Periódica N1 m0 x1mx2nm X1kX2k Igualdade de Parseval N1 n0 Xn² 1N N1 k0 Xk² Propriedades da SFD Propriedade sequência no tempo SFD Modulação x₁n x₂n 1N m0 to N1 X₁ℓ X₂k ℓ Simetria xn xn Rexn jImxn 12xn xn 12xn xn Xk Xk 12Xk Xk 12Xk Xk ReXk jImXk TFD vn 1N k0 to N1 Vk ej2πNkn Vk N ck n0 to N1 vn ej2πNkn vn 1N k0 to N1 Vk ej2πNkn Vk n0 to N1 vn ej2πNkn TFD Motivação para TFD A TFTD é uma função contínua não é computacionalmente eficiente Não serve para o processamento em tempo discreto de sinal em um computador digital A SFD relaciona sequências periódicas com comprimento infinito Porém nem todo sinal é periódico É conveniente mapear uma sequência de comprimento finito no domínio do tempo à uma sequência de mesmo comprimento no domínio da frequência e viceversa Transformada de Fourier Discreta TFD sequência finita no domínio do tempo sequência finita no domínio da frequência TFD A TFD da sequencia xn de comprimento N é definida por para 0 k N 1 e XNk 0 para os demais valores de k A transformação inversa da TFD é para 0 n N 1 e xn 0 para os demais valores de n TFD Caso tenhamos xn de comprimento L N as amostras faltantes até completar N são tomadas iguais a 0 Relação entre SFD e TFD repetição periódica um período repetição periódica um período TFD N SFD Universidade Anhembi Morumbi Relação entre SFD e TFD Seja vn uma sequencia de comprimento N tal que vn 0 para n 0 e n N 1 Comparando essas expressões obtémse Superposição Periódica Seja xn uma sequência de comprimento não necessariamente finito tal que 𝑥 𝑛 𝑥𝑚 𝜆𝑁 TFTD N12 N AMOSTRAS DO PERÍODO 𝝀 PERIODOS NO INFINITO TFD Superposição Periódica A transformação de xn e vn N12 A amostragem da TFTD resulta na superposição periódica no intervalo 0N 1 da correspondente sequencia no domínio do tempo Exemplo superposição periódica N 12 Exercício 123 Calcule a TFD de comprimento N10 da sequência x1n 0 5 n k0 kpar kimpar Universidade Anhembi Morumbi Exercício 124 Calcule a TFD de comprimento N6 da sequência X2n 0 2 n Universidade Anhembi Morumbi Exercício 125 Calcule a TFD de comprimento N 6 da sequência c x3n δn δn 2 δn 5 X3k n05 1ej2π6kn X3k n05 1ejπ3k0 1ejπ3k2 1ejπ3k5 X3k 1 ej2π3k ej5π3k X3k 1 cos2π5 k jsen2π5 k cos5π3 k jsen5π3 k Exercício 126 Calcule a TFD de comprimento N 6 da sequência d x4n 05n un X4k n05 05n ej2π6kn X4k 105 ejπ3k 025 ej2π3k 0125 ejπk 00625 ej4π3k 00312 ej5π3k Exercício 126 Calcule a TFD de comprimento N 6 da sequência d x4n 05n un X4k n05 05n ej2π6kn REFERÊNCIAS 1 A V Oppenheim R W Schafer Discretetime Signal Processing PrenticeHall 3a edição 2009 esse assunto está no Capítulo 8 Seções 81 a 87 páginas 623 a 672 2 YOUNG Paul H Técnicas de comunicação eletrônica Pearson Education 2006 3 MEDEIROS Júlio C O Princípios de Telecomunicações 5 ed São Paulo Érica 2016 4 HAYKIN SS MOHER M Introdução aos Sistemas de Comunicação 2ed Porto Alegre Bookman 2011 Algumas figuras e exemplos utilizados nesta apresentação foram retiradas das referências citadas acima