PDS-Series-Transformadas-de-Fourier-Analise-de-Sinais-Periodicos

PDS Processamento Digital de Sinais Aula 10 e 11 Séries e Transformadas de Fourier 1º Semestre2022 Série de Fourier é uma forma de série trigonométrica usada para representar funções infinitas e periódicas complexas dos processos físicos na forma de funções trigonométricas simples de senos e cossenos As séries de Fourier são usadas para analisar sinais periódicos Nas séries de Fourier um sinal é representado como a soma de componentes em uma base de funções ortogonais senos cossenos ou exponenciais Conceitos de Sinais Sinais Harmônicos Perfeitos vtA sen ω t Ø Ø é o ângulo de defasagem t é a variável tempo Frequência Angular do Sinal ωt2πf rads Função do Sinal A é a Amplitude do sinal Sinal em função do tempo Temos T1f como período do sinal sem segundos Temos como ffrequência em Hertz ou ciclos por segundo Temos fo frequência fundamental Então dizemos ωo frequência angular fundamental Conceitos de Sinais Sinais Reais com harmônicas vtVdc V1sen2πfot V2sen 2π2fot Vnsen2πnfot vtVo ΣNn1 Vnsen2πnfot v0 é um valor médio do período Vnsen2πnfot são as componentes senoidais mostram uma variação periódica do sinal em torno no valor médio A importância da série de Fourier é que qualquer sinal periódico não trivial pode ser representado por uma somatória de harmônicas facilitando a análise de sinais importantes nas áreas da física medicina e particularmente na Engenharia Elétrica em circuitos elétricos comunicações e controle Senoide com frequência angular ω0 fundamental Senoide com frequência angular 3 ω0 3ª harmônica Senoide com frequência angular 8 ω0 8ª harmônica Sinal NãoTrivial Fundamental 1ª harmônica 2Aπ sen θ Composto from n1 to 7 2Anπ sen nθ Fonte YOUNG 2006 SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER Fonte YOUNG 2006 vt Vo from n1 to N an cos 2π n f0 t bn sen 2π f0 t COEFICIENTES DA SÉRIE DE FOURIER Vo 1T from 0 to T vt dt an 2T from 0 to T vt cos2π n f0 t dt bn 2T from 0 to T vt sen2π n f0 t dt VALOR MÉDIO COMPONENTES COSSENÓIDAS COMPONENTES SENÓIDAS Entendemos Vo como o valor médio do período do sinal ou também conhecida como componente DC do sinal Fo 0hz an e bn como as amplitudes de picos das harmônicas de cossenos e senos do sinal Analise de Sinais Harmônicos Exemplo 31 Young 2016 A função vt é definida ao longo de um período como abaixo vt A 0 t T2 0 T2 t T COMPONENTE CONTÍNUA Vo 1T 0T vtdt COMPONENTE COSSENÓIDAIS an 2T 0T vtcos2πnf0tdt COMPONENTE SENOÍDAIS bn 2T 0T vtsen2πnf0tdt Analise de Sinais Harmônicos Exemplo 31 Young 2016 A função vt é definida ao longo de um período como abaixo COMPONENTE CONTINUA Vo 1T 0T vtdt Vo 1T 0T2 Adt T20 dt Vo 1T AtT20 Vo 1T AT2 A0 Vo A2 VALOR MÉDIO COMPONENTE COSSENÓIDAIS an 2T 0T vtcos2πnf0tdt an 2T 0T A cos2πnf0t dt an 2A2πf0T sen2πnf0T2 0 n inteiros NÃO HÁ COSSENOS NO SINAL COMPONENTE SENOIDAIS bn 2T 0T vtsen2πnf0tdt bn 2T 0T2 A sen2πnf0t dt bn 2AT 12πnf0 cos2πnf0 tT20 bn Aπn 1 cos πn Aπn 11 para n impar Aπn 11 0 para n par bn 2Aπn HÁ SENOS PARA N IMPAR Series de Fourier Exemplo 31 Young 2016 A função vt é definida ao longo de um período como abaixo Valor Médio Vo A2 Zero Componentes de Cosseno an 0 para n ímpar bn 2Aπn Universidade Anhembi Morumbi Series de Fourier Exemplo 31 Young2016 A função vt é definida ao longo de um período como abaixo REPRESENTAÇÃO DA SOMA DAS HARMÔNICAS NO TEMPO REPRESENTAÇÃO NA FREQUÊNCIA REPRESENTAÇÃO NO TEMPO Fonte YOUNG 2016 Fonte YOUNG 2016 Fonte YOUNG 2016 Séries de Fourier Um sinal do domínio do tempo t pode ser aproximado através de uma soma de senos e cossenos com frequências f1f2f3 fn de amplitudes a1a2a3 an e fases p1p2p3 pn Séries de Fourier ESPECTRO FASE Séries de Fourier AMPLITUDE e FASE Séries de Fourier AMPLITUDE e FASE AMPLITUDE FASE Soma de dois sinais senoidaes com variação na fase de uma das componentes Séries de Fourier EXEMPLO x₁t 2 sen2πt x₂t 1 sen4πt x₃t 3 cos6πt xt x₁ x₂ x₃t Sinal x1 A2 f1Hz Sinal x2 A1 f2Hz Sinal x3 A3 f3Hz Sinal xt x1x2x3 DOMINIO DO TEMPO Analise de Espectro Frequência Hz Amplitude DOMINIO DA FREQUÊNCIA pcaulaseriedefourier Séries de Fourier 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 Series de Fourier Se 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟 Então sempre teremos bn 0 e não teremos as componentes senoidais Sendo um sinal y 𝑓𝑡 Se 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 Então sempre teremos an 0 não teremos as componentes cossenoides PARIDADE DE UMA SINAL SINAL PAR cosw SINAL IMPAR senw COMPONENTES COSSENOIDAIS COMPONENTES SENOIDAIS COMPONENTE CONTINUA Series de Fourier EXEMPLOS DE SINAIS PARES E SUA SERIE DE FOURIER TABELA 31 YOUNG 2016 Series de Fourier EXEMPLOS DE SINAIS IMPARES E SUA SERIE DE FOURIER TABELA 31 YOUNG 2016 Series de Fourier EXEMPLOS DE SINAIS COMPOSTOS E SUA SERIE DE FOURIER TABELA 31 YOUNG 2016 Demonstração Series de Fourier Deduza a série de Fourier senocosseno para uma onda quadrada simétrica de amplitude A conforme representação no tempo abaixo COMPONENTE DC 𝑣₀ 1T ₀ᵀ 𝑣𝑡𝑑𝑡 𝑉₀ 1𝑇₀ 𝑇₀2 𝑇₀2 𝑣𝑡𝑑𝑡 𝑉₀ 1𝑇₀ 𝑇₀4 𝑇₀4 𝐴 𝑑𝑡 𝑉₀ 𝐴t𝑇₀ 𝑇₀4 𝑇₀4 𝑉₀ A𝑇₀ 𝑇₀4 𝑇₀4 𝑉₀ A𝑇₀ 2𝑇₀4 𝑉₀ A2 Demonstração Series de Fourier Deduza a série de Fourier senocosseno para uma onda quadrada simétrica de amplitude A conforme representação no tempo abaixo COMPONENTE AC COSSENOIDAL an an 2T 0T vt cos2πnf0 t dt an 2T0 T02T02 vt cosn2πtT0 dt f0 1T0 vt A an 2AT0T0n 2π senn2πtT0 T04T04 an Anπsennπ2 sennπ2 an Anπ 2 sennπ2 an A sennπ2nπ2 Demonstração Series de Fourier Deduza a série de Fourier senocosseno para uma onda quadrada simétrica de amplitude A conforme representação no tempo abaixo COMPONENTE AC SENOIDAL bn bn 2T 0T vt sen2πnf0 t dt bn 2T0 T02T02 vt senn2πtT0 dt f0 1T0 vt A bn 2AT0 12πnT0 cosn2πtT0 T04T04 bn Anπcosnπ2 cosnπ2 0 bn 0 Demonstração Series de Fourier Deduza a série de Fourier senocosseno para uma onda quadrada simétrica de amplitude A conforme representação no tempo abaixo Após obter V0 A2 an A sennπ2nπ2 bn 0 Definimos a série de Fourier completa vt Vo n1N an cos 2πnf0 t bn sen 2πf0 t vt A2 n1N A sennπ2nπ2 cos 2πnf0 t vt A2 2Aπ cosω0 t 2A3π cos3ω0 t APENAS PARA nIMPAR Séries de Fourier Forma Exponencial Complexa Série de Fourier forma trigonométrica Série de Fourier forma exponencial complexa ft Vo n1N an cos 2 π n f0 t bn sen 2 π f0 t ft n cn ej2 π f0 t Podemos calcular o coeficiente de amplitude como cn 1T T2T2 ft ej 2 π f0 t dt Demonstração Pulso Retangular Calcule a série de Fourier Exponencial Complexa para a forma de onda de pulso retangular da função par abaixo representado pela função ft ft A τ2 t τ2 0 τ2 t T τ2 cn 1T T2T2 ft ej 2 π f0 t dt cn 1T τ2τ2 A ej 2 π f0 t dt cn AT ej 2 π f0 tj 2 π f0 τ2τ2 cn AT ej 2 π f0 τ2 ej 2 π f0 τ2 j 2 π f0 cn A τ T ej 2 π f0 τ2 ej 2 π f0 τ2 j 2 π f0 sen ω t ej ω t ej ω t j 2 cn A τ T senπ n f0 τ π n f0 τ f0 1T cn A τ T senπ n τ T π n τ T ft n cn ej 2 π f0 t ft n A τ T senπ n τ T π n τ T ej 2 π f0 t Analise de Fourier ANÁLISE DE UM PULSO AMPLITUDE ESPECTRAL depende de uma forma senoidal 𝝉 𝑻 𝒅 é 𝒐 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒍𝒉𝒐 𝒅𝒐 𝒑𝒖𝒍𝒔𝒐 𝑨 𝒂𝒎𝒑𝒍𝒊𝒕𝒖𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒓𝒂𝒍 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒇 𝟏 𝝉 𝟏 𝝉 𝑳ó𝒃𝒖𝒍𝒐 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒍 Valores Médios Sinais Senoides Por definição temos que o valor médio Vm de um sinal vt é Vm1T 0T vt dt Para um sinal elétrico senoidal temos vt Vp sin2 π f t ou vt Vp sinω t Vp é a tensão de pico em V f é a frequência do sinal em Hz ω 2 π f é a frequência angular do sinal em rads Valores Médios Sinais Senoides Por definição temos que o valor médio Vm de um sinal vt é vt Vp sinωt Vm 12π 02π Vp senωtdt Vm 12π0π Vp senωtdt π2π Vp senωtdt Vm Vp2πcosπ cos0 Vp2πcos2π cosπ Vm Vpπ Vpπ Vm 0 Valores Médios Exemplos RETIFICAÇÃO EM MEIA ONDA VALOR MÉDIO Vo 1T 0T2 Vp sen2πf0tdt T2T Vpsen2πf0tdt Vo Vp2π cosω0t 0 Vo Vp2π cosπ cos0 Vo Vp2π 1 1 Vo Vpπ ou Vo Vp0318 COMPONENTES HARMÔNICAS vt Vpπ Vp2 sinω t 2Vp3π cos2ω t 2Vp15π cos4ω t 2Vp35π cos6ω t Valores Médios Exemplos RETIFICAÇÃO EM ONDA COMPLETA VALOR MÉDIO Vo 1T 0T2 Vp sen2πf0tdt T2T Vpsen2πf0tdt Vo 22π Vpcosω0t Vo 22π Vpcosπ cos0 Vo 4Vp2π Vo 2Vpπ ou Vo Vp0636 COMPONENTES HARMÔNICAS vt 2Vpπ 4Vpπ n1 to 14n2 1 vt 2Vpπ 4Vp3π cos2ω t 4Vp15π cos4ω t 4Vp35π cos6ω t Exercício 1 1 Dada o sinal retificado em meia onda senoidal da figura abaixo tem uma tensão pico de 6V Determine o valor de DC e os valores das cinco principais componentes sinusoidais de f0 a 6f0 Desenhe graficamente o sinal até a 5ª harmônica no domínio do tempo t para uma frequência fundamental fo1KHz vt 6π 62 senωt 2 63π cos2ωt 2 615π cos4ωt 2 635π cos6ωt vt 191 3senωt 127 cos2ωt 025cos4ωt 011cos6ωt Exercício 1 1 Dada o sinal retificado em meia onda senoidal da figura abaixo tem uma tensão pico de 6V Determine o valor de DC e os valores das cinco principais componentes sinusoidais de f0 a 6f0 Desenhe graficamente o sinal até a 5ª harmônica no domínio do tempo t para uma frequência fundamental fo1KHz vt 191 3senωt 127 cos2ωt 025cos4ωt 011cos6ωt ω 2πf f 1000Hz vt 191 3sen2000πt 127 cos4000πt 025cos8000πt 011cos12000πt PCAULA4EX3m Exercício 1 1 Dada o sinal retificado em meia onda senoidal da figura abaixo tem uma tensão pico de 6V Determine o valor de DC e os valores das cinco principais componentes sinusoidais de f0 a 6f0 Desenhe graficamente o sinal até a 5ª harmônica no domínio do tempo t para uma frequência fundamental fo1KHz Sinal Retificado vt vt 2ª harmônica vt 4ª harmônica vt 1ª harmônica vt 6ª harmônica Valores Instantaneos tempo s x 103 Série de Fourier Sinal Contínuo Periódico ft Série de Fourier Série de Fourier ft Vo n1N an cos 2πnf0 t bn sen 2πnf0 t Série de Fourier na Forma Exponencial Complexa cn 1T T2 T2 ft ej2πnf0 t dt Sinal Discreto cn Transformada de Fourier em Tempo Discreto TFTD ft n cn e j 2 π n f0 t Sinal Continuo ft Análise de Fourier A análise de Fourier também conhecida como análise harmônica clássica é a teoria das séries de Fourier e transformadas de Fourier REPRESENTAÇÃO NO TEMPO REPRESENTAÇÃO NA FREQUÊNCIA Série de Fourier Sinais infinitos e contínuos no tempo Fonte YOUNG 2016 Fonte YOUNG 2016 No DOMÍNIO DO TEMPO vt obtémse Amplitude A Período T0 Frequência Fundamental f0 No DOMÍNIO DA FREQUENCIA Vω obtémse Amplitude A e das harmônicas Período T0 e os períodos das harmônicas Frequência Fundamental f0 e harmônicas Análise de Fourier Sinais Periódicos Análise de Fourier Sinais Contínuos Periódicos FS DOMINIO DO TEMPO 𝑣𝑡 DOMINIO DA FREQUÊNCIA 𝑉𝜔 Sinais Contínuos Periódicos e Não Periódicos FT DOMINIO DO TEMPO 𝑣𝑡 DOMINIO DA FREQUÊNCIA 𝑉𝜔 𝜔 𝜔 Transformada de Fourier NOTAÇÃO SIMPLIFICADA A transformada de Fourier pode ser utilizada tanto na análise de sinais aperiódicos quanto periódicos Transformada de Fourier Para sinais aperiódicos a representação em frequência pode se obtida a partir das séries de Fourier no limite T0 Transformada de Fourier Amplitude e Fase do Espectro Gω é em geral uma função complexa de ω Gω Gω e j θg Quando gt é um sinal real tem se Gω Gω Gω Gω θgω θω Exemplo 1 Determine o espectro de frequência do sinal abaixo gt eat ut a 0 Gω 0 eat ejωt dt Gω 0 ea ejωt dt Gω 0 eajωt dt Gω 1a jω eajωt0 Gω 1a jω Gω 1ajω 1a2ω2 ej arctan ωa Transformada de Fourier Exemplo 2 Determine a transformada de Fourier de xt xt 1 t T 0 para todos os demais t Xf xt ej 2 π dt sendo x1 nesse periodo ω2 π f Xω TT 1 ej ω t dt COLA ea x dx 1a ea COLA sen ωt ej ω t ej ω t2j Xω 1j ω ej ω t TT Xω 1j ω ej ω T ej ω T Xω 2ω sin ω t Transformada de Fourier Exemplo 2 Continuação Xf 2ω sin ω t lim ω0 2ω sin ω t lim ω0 2T cos ω t1 2T Xω 2ω sin ω t ω 0 2T ω 0 FUNÇÃO SINC 2T 2ω Transformada de Fourier Tabela da Transformada de Fourier de alguns sinais contínuos conhecidos Transformada de Fourier Tabela da Transformada de Fourier de alguns sinais contínuos conhecidos Transformada de Fourier Tabela 33 Young2016 Propriedades dos teoremas da transformada de Fourier Transformada de Fourier Sa FUNÇÃO DE SAMPLING Exercício Transformada de Fourier 1 Analise o sinal xt no domínio da frequência a xt eatut a 2 Equação de análise Xf 0 xtej 2πft dt Xf 0 eatej 2πft dt Xf 0 ej 2πf at dt Xf 1 j 2πf a ej 2πf at 0 Xf 1 a j 2πf Xω 1 a j ω Exercício Transformada de Fourier 1 Analise o sinal xt no domínio da frequência a xt e1tut a 1 Xf 1 1 j 2π Xω 1 1 j ω Modulo de Xf 1 1² ω² ω a 1 21² 1 2 2 2 0707 Exercício Transformada de Fourier 1 Analise o sinal xt no domínio da frequência a xt e2tut a 2 Xf 1 2 j 2πf Xω 1 2 j ω Modulo de Xf 1 2² ω² ω a 1 22² 1 2 2 2 22 035 Exercício Transformada de Fourier 1 Analise o sinal xt no domínio da frequência a xt e3 ut a 3 Xf 13j2πf Xω 13jω Modulo de Xf 13²ω² ω a 12 3² 132 232 023 Análise de Fourier SINAIS SENOIDAIS SINAIS COSENOIDAIS FT FT Referências DINIZ Paulo S R DA SILVA Eduardo A B NETTO Sérgio L Processamento Digital de Sinais Projeto e Análise de Sistemas Bookman 2014 NALON J A Introdução ao Processamento Digital de Sinais Rio de Janeiro LTC 2009 LATHI B P Sinais e Sistemas Lineares recurso eletrônico B P Lathi tradução Gustavo Guimarães Parma 2 ed Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2008 OPPENHEIM A V SCHAFER R W Discretetime Signal Processing PrenticeHall 3a edição 2009 Algumas figuras utilizadas nesta apresentação foram retiradas das referências citadas acima