PDS Aula 12 - Transformada de Fourier em Tempo Discreto TFTD e Propriedades

PDS Processamento Digital de Sinais Aula 12 Transformada de Fourier em Tempo Discreto TFTD e suas Propriedades 1º Semestre2022 Sinais Contínuos no Tempo SINAIS PERIÓDICOS NO TEMPO ω0 xt Σ de n a Xn ejnω vt Vo Σ de N an cos 2πnfot bn sen 2πnfot Serie de Fourier SINAL PERIÓDICO NA FREQUÊNCIA Xn 1T de a xt ejω0t dt SINAIS NÃO PERIÓDICOS NO TEMPO xt 12π de a Xjω ejωt dω Transformada de Fourier SINAIS NÃO PERIÓDICOS NA FREQUÊNCIA Xjω de a xt ejωt dt Sinais Contínuos no Tempo vct 12π de a Vcjω ejωt dω Vcjω de a vct ejωt dt vpt Σ de k a ck ejkω0t ck 1T0 de T0 vpt ejkω0t dt Sinais Discretos no Tempo SINAIS PERIÓDICOS NO TEMPO ω0 xn Σ de k N Xk ejk 0n Serie de Fourier Tempo Discreto SFTD SINAL PERIÓDICO NA FREQUÊNCIA Xk 1N Σ de n N xn ejkω0n SINAIS NÃO PERIÓDICOS NO TEMPO xn 12π de π a π Xejω ejωn dω Transformada de Fourier Tempo Discreto TFTD SINAIS NÃO PERIÓDICOS NA FREQUÊNCIA Xejω Σ de n a xn ejωn Sinais Discretos no Tempo TFTD vn 12π from π to π VejΩ ejΩn dΩ VejΩ sum from n to vn ejΩn SFTD ṽn 1N sum from k0 to N1 Ṽk ej 2πN kn Ṽk N ck sum from n0 to N1 ṽn ej 2πN kn Resposta em Frequência xn xn ej ω0 n hn yn yn ej ω0 n Hej ω0 yn sum from k to hk xnk sum from k to hk ej ω nk ej ω n sum from k to hk ej ω k ej ω n Hej ω Resposta em frequência Resposta em Frequência É um resposta periódicas em É uma função complexa de Definição TFTD A Transformada de Fourier de Tempo Discreto TFTD de uma sequência xn é definida como TFTD inversa é dada por TFTD Como no caso do sistema hn Xej ω é 2π periódica É uma função complexa de ω A resposta em frequência Hej ω é a TFTD da resposta ao pulso unitário hn Definição TFTD A Transformada de Fourier de Tempo Discreto TFTD de uma sequência xn é definida como TFTD inversa é dada por TFTD Como no caso do sistema hn é 2π periódica É uma função complexa de ω A resposta em frequência é a TFTD da resposta ao pulso unitário hn Existência e Convergência Condição suficiente mas não necessária Se xn for absolutamente somável existe Por definição toda sequência estável é absolutamente somável e portanto tem TFTD Qualquer sistema estável terá uma resposta em frequência finita e contínua Existência e Convergência Condição suficiente mas não necessária Se xn for absolutamente somável existe Por definição toda sequência estável é absolutamente somável e portanto tem TFTD Qualquer sistema estável terá uma resposta em frequência finita e contínua Propriedades da TFTD P1 Linearidade Se x1n X1ejω e x2n X2ejω então a1x1n a2x2n a1X1ejω a2X2ejω P2 Deslocamento no tempo Se xn Xejω então xnn0 ejωn0Xejω Propriedades da TFTD P3 Deslocamento na frequência Se xn Xejω então ejω0nxn Xejωω0 P4 Diferenciação na frequência nxn j dXejω dω Propriedades da TFTD P5 Inversão do eixo do tempo Se xn Xejω então xn Xejω P6 Teorema da Convolução Considere os pares xn Xejω e hn Hejω então yn k xkhnk xn hn Yejω XejωHejω Propriedades da TFTD P7 Teorema da modulação janelamento yn xnwn Yejω 12πππ XejθWejωθ dθ P8 Teorema de Parseval k xkvk 12π ππ XejωVejω dω Caso particular do Teorema da Parseval xn vn Ex n xn² 12π ππ Xejω² dω Propriedades da TFTD P9 Simetria Sequência Xejω xn xn e real real e simétrica xn xn e imaginária imaginária e par xn xn e real imaginária e ímpar xn xn e imaginária real e ímpar xn xn real xn xn imaginária TFTD de Sequências Elementares 1 Pulso unitário xn δn Xejω n δnejωn 1 xn δn Xejω 1 2 Pulso unitário deslocado xn δn n0 Xejω n δn n0ejω n ejω n0 xn δn n0 Xejω ejω n0 3 Sequência constante xn 1 n xn 1 n Xejω k 2πδω 2kπ Note que xn não é absolutamente somável nem somável ao quadrado TFTD de Sequências Elementares Iremos demonstrar o PG mais a frente 5 Degrau unitário xn un xn un Xejω k πδω 2kπ 11 ejω 6 Sequência xn n1an un a 1 xn n1an un a 1 Xejω 11 aejω2 TFTD de Sequências Elementares 7 Janela retangular gn 1 L n L 0 caso contrário Gejω sen2L 1ω 2 senω 2 Exemplo com L 3 TFTD de Sequências Elementares 7 Janela retangular Gejω nL to L ejωn ejωL ejωL1 1 ejω ej ω2 ej ω2 ejω2L12 ejω2L12 ejω2 ejω2 sen2L 1ω 2 senω 2 Altura do lóbulo principal Gej0 2L 1 Largura do lóbulo principal 4π 2L 1 Frequência Normalizada ωπ Lóbulo principal L10 L4 TFTD de Sequências Elementares 8 Filtro passabaixas ideal hdn 1 2π from π to π Hdejω ejωn dω hdn 1 2π from απ to απ ejωn dω 1 2π j n ejωn απαπ hdn 1 π n ejαπn ejαπn 2j 1 π n senαπ n Lembrando que sincx senπ x π x chegase a hdn α sincα n hdn α sincα n Hdejω 1 απ ω απ 0 π ω απ 0 απ ω π 9 Exponencial complexa xn ejω₀n xn ejω₀n Xejω k to 2πδω ω₀ 2kπ 10 cosseno xn cosω₀n φ cosω₀nφ k to πejφδω ω₀ 2kπ πejφδω ω₀ 2kπ xn and Xejω 1 L n L 0 caso contrário and senω2L 12senω2 αsincαn para 0 α 1 and 1 ω απ 0 απ ω π para π ω π δn and 1 xn and Xejω δn and 1 δn n₀ and ejωn₀ 1 n and k to 2πδω 2πk aⁿun a 1 and 11 aejω xn Xejw un 1 1 ejw Σ k to πδω 2πk n1an un a 1 1 1 aejw2 1 0 n M 0 caso contrário senωM 12 ejωM2 senω2 xn Xejw ejw0n Σ k to 2πδω ω0 2πk cosω0nφ Σ k to πejφδω ω0 2πk πejφδω ω0 2πk α sincαn para 0 α 1 1 ω απ 0 απ ω π para π ω π Exercício 110 1 Dado o sinal xn un un 5 Demonstre o sinal xn no domínio da frequência Xejω Xejω Σ 0 to 4 1ejωn Xejω 1 ejω ej2ω ej3ω Xejω Σ 0 to 4 1ejωn PG Σ n0 to N an 1 aN1 1 a Xejω 1 ejω5 1 ejω Xejω 1 ej5 1 ejω 2 Dado o sinal hn an un 0 a 1 Demonstre o sinal hn no domínio da frequência Hejω Hejω an un ejωn Hejω 0 an ejωn Hejω 0 aejωnn n0N an 1 aN1 1 a Hejω 1 aejω1 1 aejω Hejω 1 1 aejω 3 Determine o efeito yn do sinal xn do exercício 1 aplicado no sistema Hxn em que possui uma resposta ao impulso hn an un 0 a 1 Demonstre o sinal yn no domínio da frequência Xejω 1 ej5ω 1 ejω Hejω 1 1 aejω Yejω Xejω Hejω 1 ej5ω 1 ejω1 aejω 3 Dado o sinal xn abaixo demonstre o sinal hn no domínio da frequência xn 2n 0 n 9 0 cc Xejω 09 2n ejωn Xejω 09 2 ejωn n0N an 1 aN1 1 a Xejω 1 2 ejω 10 1 2 ejω Xejω 1 2 ejω 10 1 2 ejω 15 min REFERÊNCIAS 1 A V Oppenheim R W Schafer Discretetime Signal Processing PrenticeHall 3a edição 2009 esse assunto está no Capítulo 8 Seções 81 a 87 páginas 623 a 672 2 YOUNG Paul H Técnicas de comunicação eletrônica Pearson Education 2006 3 MEDEIROS Júlio C O Princípios de Telecomunicações 5 ed São Paulo Érica 2016 4 HAYKIN SS MOHER M Introdução aos Sistemas de Comunicação 2ed Porto Alegre Bookman 2011 Algumas figuras e exemplos utilizados nesta apresentação foram retiradas das referências citadas acima