Análise Estrutural: Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas

Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas Análise Estrutural Conceitos Bibliografia SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural Globo vol 1 1980 HIBBELER R C Análise de estruturas 8 ed São Paulo Pearson Education 2013 Ebook Disponível em httpsplataformabvirtualcombrLeitorPublicacao3819pdf0 BOTELHO Manoel Henrique Campos Resistência dos materiais para entender e gostar 2ed São Paulo Blucher 2013 Ebook Disponível em httpsplataformabvirtualcombrLeitorPublicacao177895pdf0 KASSIMALI A Analise Estrutural Cengage Learning 5ª edição 2015 ISBN 9788522124985 Definiremos como grelha uma estrutura plana submetida a carregamentos perpendiculares a seu plano Na engenharia civil essa estrutura é representada pelo conjunto de vigas que se interceptam estando conectadas pelos pontos de interseção Definições Quando uma carga é aplicada sobre a grelha o seu efeito é transmitido para todas as vigas provocando deformações de translação e de rotação e esforços de flexão Momento Fletor rotação em torno dos eixos perpendiculares a viga Momento Torçor rotação em torno do próprio eixo da viga FAUUSP 1969 João Villanova Artigas e Carlos Cascaldi Um sistema de forças no espaço referidas a um sistema de eixos 𝑥 𝑦 e 𝑧 é regido pelas seis equações universais da estática 𝐹𝑥 0 𝐹𝑦 0 𝐹𝑧 0 𝑀𝑥 0 𝑀𝑦 0 𝑀𝑧 0 Seja o caso particular de um sistema de forças no espaço todas elas paralelas entre si Então não haverá forças nas direções 𝑥 e 𝑦 e momento em torno do eixo 𝑧 Serão válidas apenas as equações 𝐹𝑧 0 𝑀𝑥 0 𝑀𝑦 0 Conhecendo as reações de apoio podemos determinar os esforços solicitantes atuantes numa seção genérica S de uma grelha Esforço cortante 𝑄 ou 𝑉 perpendicular ao plano da grelha Momento fletor 𝑀 produzindo flexão num plano perpendicular ao da grelha Momento torçor 𝑇 produzindo rotação entorno do próprio eixo da viga Uma grelha será então isostática quando tivermos apenas 3 incógnitas a determinar Engastada em um dos pontos Três apoios restringindo o movimento na vertical para efeito de cálculo já que para a grelha consideramos somente esforços na vertical Observações No caso de uma grelha triapoiada estes apoios não devem estar situados sobre uma mesma reta caso isto ocorra ela será evidentemente hipoestática Uma grelha triapoiada deve ter além dos três apoios perpendiculares a seu plano pelo menos mais três apoios no próprio plano que garantam sua estabilidade para carregamentos nele atuantes Porém como este último carregamento não funciona para carregamentos perpendicular ao plano nós não o desenharemos em geral para grelhas triapoiadas Regra da mão direita Usar a mão direita Polegar aponta para a direção do momento eixo de rotação Demais dedos apontam para o sentido da força indicando o sentido de rotação 1 Obter os diagramas solicitantes para a grelha da Figura cujas barras formam em todos os nós ângulos de 90 Exemplo x y z As cargas estão na direção z As barras AB e CD estão na direção y A barra BC está na direção x No ponto D engaste Reações de apoio 𝐹𝑧 0 1 2 3 𝐷𝑧 0 𝐷𝑦 7 𝐾𝑁 𝑀𝐷𝑦 0 1 3 6 15 𝑀𝑦 0 𝑀𝑦 12 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷𝑥 0 1 6 6 3 𝑀𝑥 0 𝑀𝑥 24 𝐾𝑁𝑚 𝐷𝑧 𝑀𝑦 𝑀𝑥 2 3 6 15 7 12 24 7 12 24 Cortante Barra AB 𝑉𝐴 1 𝐾𝑁 𝑉𝐵 1 𝐾𝑁 Barra BC 𝑉𝐵 1 𝐾𝑁 𝑉𝐶 1 6 7 𝐾𝑁 Barra CD 𝑉𝐶 7 𝐾𝑁 𝑉𝐷 7 7 0 𝐾𝑁 x y z 7 A B C D 1 7 12 24 z y x Diagrama de momento fletor Para o momento ser fletor a rotação precisa estar perpendicular a viga Observação todas as seções foram para a esquerda Barra AB 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 1 3 3 𝐾𝑁𝑚 Barra BC 𝑀𝐵 0 𝑀𝐶 0 1 3 6 15 12 𝐾𝑁𝑚 Barra CD 𝑀𝐶 1 3 3 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 24 𝐾𝑁𝑚 B C D A 3 12 3 24 7 12 24 z y x Diagrama de momento torçor A rotação tem que estar em torno do eixo da viga É constante para cada barra Barra AB 𝑇𝐴𝐵 0 Barra BC 𝑇𝐵𝐶 1 3 3 𝐾𝑁𝑚 Barra CD 𝑇𝐶𝐷 12 𝐾𝑁𝑚 B C D A 0 3 12 7 12 24 7 A B C D 1 V KN B C D A 3 12 3 24 M KNm T KNm B C D A 0 3 12 z y x 2 Obter os diagramas solicitantes para a grelha triapoiada da Figura cuja barras formam em todos os nós ângulo de 90 x y z As barras AB e CD estão na direção x As barras BC e EDF estão na direção y As cargas estão na direção z Em B C e D apoio móvel Reações de apoio 𝑀𝐶𝐷𝑥 0 4 2 𝐵𝑧2 1 2 3 2 0 𝐵𝑧 2 𝐾𝑁 𝑀𝐵𝐶𝑦 0 4 2 1 4 𝐷𝑧4 3 4 0 𝐷𝑧 6 𝐾𝑁 𝐹𝑧 0 4 2 𝐶𝑦 1 6 3 0 𝐶𝑧 0 𝐾𝑁 𝐵𝑧 𝐶𝑧 𝐷𝑧 x y z 2 0 6 Cortante A B C D E F 4 2 2 1 3 𝑉𝐴 4 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 4 KN 𝑉𝐵 𝐵𝐶 4 2 2 𝐾𝑁 𝑉𝐶 𝐵𝐶𝐶𝐷 2 𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐶𝐷 2 KN 𝑉𝐸 1 𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 1 𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐹 1 4 2 6 3 𝐾𝑁 𝑉𝐹 3 3 0 x y z 2 0 6 Momento Fletor A B C D E F Barra AB 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 4 2 8 𝐾𝑁𝑚 Barra BC 𝑀𝐵 0 𝑀𝐶 4 2 2 2 4 𝐾𝑁𝑚 Barra CD 𝑀𝐶 4 2 8 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 0 8 4 8 Barra ED 𝑀𝐸 0 𝑀𝐷 1 2 2 𝐾𝑁𝑚 Barra DF 𝑀𝐷 3 2 6 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐹 0 2 6 x y z 2 0 6 Momento Torçor A B C D E F 𝑇𝐴𝐵 0 𝑇𝐵𝐶 4 2 8 𝐾𝑁𝑚 𝑇𝐶𝐷 4 2 2 2 4 𝐾𝑁𝑚 𝑇𝐸𝐷𝐹 0 8 4 x y z 2 0 6 A B 4 KN 2 6 3 1 1 4 4 3 4 12 3 4 12 6 4 24 6 2 12 A B 4 KN 4 KN 8 Isolando a barra AB x y z 2 0 6 B C 4 2 6 1 3 8 24 12 6 2 4 B C 2 2 8 8 4 Isolando a barra BC 2 0 6 z y x Isolando a barra CD 4 KN 4x28 KNm 4x28 KNm 2 2x24 KNm 6 1 KN 3 KN 1x22 KNm 3x26 KNm 4 KNm 4x28 KNm 2 KN 2 KN 4 KNm C D C D 2 0 6 z y x Isolando a barra ED 4 KN 4x28 KNm 6 KN 2x24 KNm E D 1 KN 3 KN 3x26 KNm 4x28 KNm 2 KN 2x48 KNm 1 KN 1 KN 2 KNm E D 2 0 6 z y x Isolando a barra DF 4 KN 4x28 KNm 2x24 KNm D 3 KN 1 KN 1x22 KNm 4x28 KNm 2 KN 2x48 KNm F 6 KN D F 3 KN 3 KN 6 KNm 3 Obter os diagramas solicitantes para a grelha A B C D E F z y x 𝐸𝑧 𝐵𝑧 𝐶𝑧 Reações de apoio 𝑀𝐵𝐶𝑥 0 4 3 4 6 𝐸𝑧 6 2 6 0 𝐸𝑧 8 𝑡 𝑀𝐶𝐷𝑦 0 4 3 8 15 4 3 𝐵𝑧 3 0 𝐵𝑧 4 t 𝐹𝑧 0 4 4 𝐶𝑧 2 8 4 0 𝐶𝑧 2 𝑡 A B C D E F z y x 8 4 2 Cortante 4 2 4 4 𝑉𝐴 4 t 𝑉𝐵 𝐴𝐵 4 t 𝑉𝐵 𝐵𝐶 4 4 0 t 𝑉𝐶 𝐵𝐶 0 t 𝑉𝐶 𝐶𝐷 0 2 2 t 𝑉𝐷 𝐶𝐷 2 t 𝑉𝐷 𝐷𝐸 2 2 4 t 𝑉𝐸 𝐷𝐸 4 t 𝑉𝐸 𝐸𝐹 4 8 4 t 𝑉𝐹 4 4 0 t A B C D E F z y x 8 4 2 Momento Fletor Barra AB 𝑀𝐴 0 tm 𝑀𝐵 4 3 12 tm Barra BC 𝑀𝐵 0 𝑀𝐶 4 3 4 3 0 tm Barra CD 𝑉𝐶 4 3 12 tm 𝑉𝐷 0 12 Barra DEF 𝑀𝐷 4 3 8 15 0 𝑀𝐸 4 15 6 tm 𝑀𝐹 0 tm 12 6 A B C D E F z y x 8 4 2 Momento Torçor 𝑇𝐴𝐵 0 𝑇𝐵𝐶 4 3 12 tm 𝑇𝐶𝐷 4 3 4 3 0 𝑇𝐷𝐸𝐹 0 12 4 Obter os diagramas solicitantes para a grelha z y x A B C D E F G 𝐴𝑧 𝑀𝑦 𝑀𝑥 Reações de apoio 𝑀𝐹𝐶𝐷𝑥 0 𝑀𝑥 2 2 2 2 2 2 2 2 0 𝑀𝑥 8 tm 𝑀𝐴𝑦 0 𝑀𝑦 2 3 2 6 2 6 2 3 0 𝑀𝑦 12 𝑡𝑚 𝐹𝑧 0 𝐴𝑧 2 2 2 2 0 𝐴𝑧 4 𝑡 z y x A B C D E F G 4 12 8 Cortante E F G 2 2 2 4 2 0 B C D 2 2 4 2 2 4 2 2 2 A C F 4 2 2 2 2 4 0 4 z y x A B C D E F G 4 12 8 Momento Fletor Barra ACF 𝑀𝐴 12 𝑡𝑚 𝑀𝐶 12 4 3 0 𝑀𝐹 0 Barra BCD 𝑀𝐵 0 𝑀𝐶 𝐵𝐶 2 2 4 𝑡𝑚 𝑀𝐶 𝐶𝐷 2 2 4 𝑡𝑚 𝑀𝐷 0 Barra EFG 𝑀𝐸 0 𝑀𝐹 𝐸𝐹 2 2 4 𝑡𝑚 𝑀𝐹 𝐹𝐺 2 2 4 𝑡𝑚 𝑀𝐺 0 12 4 4 4 z y x A B C D E F G 4 12 8 Momento Torçor 𝑇𝐴𝐶 8 𝑡𝑚 𝑇𝐹𝐶 2 2 2 2 8 𝑡𝑚 𝑇𝐸𝐹 0 𝑡𝑚 𝑇𝐹𝐺 0 𝑡𝑚 𝑇𝐵𝐶 0 𝑡𝑚 𝑇𝐵𝐷 0 𝑡𝑚 8 8 E F G 5 Obter os diagramas solicitantes para a grelha z y x Reações de apoio 𝑀𝐴𝐵𝑥 0 3 05 𝐶𝑧 1 5 1 0 𝐶𝑧 65 𝑡𝑓 𝑀𝐵𝐶𝑦 0 𝐴𝑧 2 5 1 0 𝐴𝑧 25 𝑡𝑓 𝐹𝑧 0 25 𝐵𝑧 3 65 5 0 𝐵𝑧 1 𝑡𝑓 𝐴𝑧 𝐵𝑧 𝐶𝑧