Notas de Aula - Princípio dos Trabalhos Virtuais

1 ANÁLISE ESTRUTURAL I NOTAS DE AULA Assunto Princípio dos Trabalhos Virtuais 2 1 Força Generalizada Deformações e Deslocamentos O conceito de força generalizada deve ser entendido com o significado de uma força um binário de forças ou um conjunto de forças e binários atuando em uma estrutura Ao longo do texto este conceito é utilizado freqüentemente usandose apenas a palavra força Às vezes este conceito é encontrado na literatura sob a denominação de ação Uma força generalizada pode ser interna ou externa e uma força externa pode ser ativa ou reativa A Fig1 ilustra o significado de forças generalizadas externas F1 e F2 atuando na extremidade livre B de uma viga em balanço sendo F1 uma carga concentrada vertical e F2 um momento As forças F1 e F2 são forças externas ativas enquanto as reações de apoio em A R1componente vertical e R2 momento são forças externas reativas R1 F1 F2 R2 A B C Forças externas Ativas F1 F2 Reativas R1 R2 Fig 1 Viga em Balanço forças externas e internas Admitindose que a viga da Fig 1 esteja em equilíbrio sob a ação das forças indicadas seccionase o trecho CB Representandose o diagrama de corpo livre desta parte conforme mostrado na Fig 2 para manter o equilíbrio da mesma é necessária a aplicação de uma componente de força cortante V e de um momento fletor M na seção C A força cortante V e o momento fletor M são os esforços internos resultantes da integração das distribuições das tensões de cisalhamento e das tensões normais na seção C respectivamente Estas componentes de tensão caracterizam o que se chama estado de tensão sendo mobilizadas nos diversos pontos do volume da barra pela ação do carregamento 3 e podem ser calculadas conforme considerações desenvolvidas nos textos de Resistência dos Materiais Os esforços internos na seção C serão também entendidos como forças generalizadas neste caso serão forças internas generalizadas Os valores máximos destas forças internas isto é os valores máximos que a viga suporta dependem das características geométricas da seção transversal e da resistência do material da viga sendo chamados genericamente de resistência da seção a força cortante e ao momento fletor Durante a fase de projeto um dos objetivos fundamentais é a definição de dimensões suficientes para as seções transversais e a especificação de materiais com resistência adequada para que a estrutura suporte com segurança os carregamentos atuantes M V C B F2 F1 Forças internas V M Fig 2 Diagrama de corpo livre de um trecho de viga Uma estrutura solicitada por um sistema de forças sofre mudança de forma o que é chamado de deformação Neste processo os pontos da estrutura sofrem deslocamentos ou seja mudanças de posição em relação às suas posições iniciais e em relação uns aos outros As deformações são definidas matematicamente por meio de considerações geométricas em cada ponto do volume do corpo ou da barra a partir das funções que descrevem os deslocamentos dos pontos segundo as direções dos eixos de referência Esta definição é encontrada para os casos mais simples nos livros de Resistência dos Materiais ou de forma mais rigorosa nos livros de Teoria da Elasticidade As componentes de deformação são grandezas adimensionais e caracterizam completamente a mudança de forma de um elemento infinitesimal em torno de 4 um ponto A deformação ou estado de deformação tal como a tensão é uma grandeza tensorial e para o caso de estruturas planas contidas no plano xy pode ser definida basicamente pelas componentes εx εy εz e γxy Os deslocamentos decorrem do efeito acumulado das deformações nos pontos do corpo ou da estrutura Um deslocamento deve ser entendido genericamente como uma translação ou rotação de algum ponto da estrutura A translação de um ponto costuma também ser referida como deslocamento linear e a rotação como deslocamento angular ou giro Na realidade os pontos de uma estrutura submetida a um carregamento qualquer ficam sujeitos a estados de tensão e se deformam em maior ou menor grau conseqüentemente se deslocam Durante o projeto estrutural outro objetivo fundamental a ser atingido é especificar as peças da estrutura com dimensões e materiais adequados para que sejam evitados deslocamentos excessivos quando a estrutura estiver em funcionamento sob ação dos carregamentos As estruturas usuais depois de acabadas trabalham em regime de pequenos deslocamentos conforme hipótese rotineira na análise das mesmas Assim em geral estes deslocamentos não são facilmente perceptíveis ao usuário a não ser em casos de comportamento anormal da estrutura Na Fig 3 é mostrada uma viga em balanço deformada sob a ação de uma força vertical P aplicada a extremidade B e os deslocamentos possíveis translação e rotação θ P A B Viga indeformada Viga deformada Fig 3 Deslocamentos numa viga em balanço O conceito de deslocamento decorrente das deformações conforme exposto anteriormente não deve ser confundido com deslocamento de corpo rígido deslocamento geométrico isto é deslocamentos que ocorrem devido a movimentos de corpo rígido de uma estrutura Estes podem surgir quando a 5 estrutura tem vinculação insuficiente em número ou devido a má disposição dos vínculos como é o caso das formas críticas ou ainda em trechos de uma estrutura corretamente vinculada Na Fig 4 por exemplo o trecho em balanço AB da viga ABC se desloca rigidamente quando a viga corretamente vinculada é carregada ao longo do vão BC Os deslocamentos de corpo rígido em geral não estão associados à deformação da estrutura e devem ser evitados a todo custo quando puderem advir de vinculação deficiente 2 Condições de Compatibilidade de Deslocamentos Na análise estrutural além das condições de equilíbrio devem ser satisfeitos todos os requisitos de compatibilidade de deslocamento As condições de compatibilidade dizem respeito à continuidade dos deslocamentos e dos requisitos de vinculação da estrutura nos apoios Assim em geral numa seção qualquer de uma barra da estrutura sendo esta seção definida por um ponto sobre o eixo barra tomandose um ponto localizado um infinitésimo à esquerda e outro ponto situado um infinitésimo à direita os deslocamentos destes pontos vizinhos à esquerda e à direita devem ser iguais ao deslocamento do ponto da seção para que haja continuidade de deslocamentos desde que nesta seção não exista nenhum tipo especial de conexão que permita a ocorrência de descontinuidades de deslocamento Assim na Fig 4 a flecha no ponto Se e no ponto Sd devem ser iguais à flecha no ponto S A B P2 P1 Se 1 S Sd C 1 2 2 Fig 4 Linha Elástica de Uma Viga Biapoiada 6 Na viga mostrada na Fig 4 está representada uma linha elástica compatível com a vinculação da viga para um carregamento genérico no vão BC O trecho em balanço AB supõese descarregado e portanto não se deforma mas gira rigidamente em torno de B Os pontos B e C estão impedidos de se deslocarem na direção vertical e o ponto B também não pode se deslocar na direção horizontal pois os respectivos deslocamentos estão impedidos de ocorrer pela ação dos apoios Portanto uma elástica compatível tal como esboçada na Fig 4 deve apresentar continuidade de deslocamentos ao longo da estrutura e satisfazer as condições de contorno nos apoios As rotações θ1 e θ2 respectivamente à esquerda e à direita do apoio B devem ter mesmo valor numérico e mesmo sentido No ponto B não existe articulação interna entre os trechos AB e BC da viga devendose observar que a viga aí se articula externamente Na viga da Fig 3 devese notar que o engastamento em A impede todos os deslocamentos possíveis da seção isto é deslocamento horizontal vertical e giro enquanto na extremidade B nenhuma componente de deslocamento está restringida As condições de compatibilidade são muito importantes na análise estrutural pois permitem complementar o número de equações de equilíbrio estático quando se analisa uma estrutura hiperestática pelo método da forças 3 Comportamentos Básicos dos Materiais Linearidade Nãolinearidade Elasticidade Plasticidade O comportamento físico de um material é definido pelas relações existentes entre as tensões atuantes e as correspondentes deformações por elas provocadas Os conceitos de linearidade e elasticidade são teoricamente independentes mas na prática muitas vezes se confundem O entendimento correto destes conceitos relacionados ao material da estrutura é de fundamental importância pois deles vai depender o comportamento global da estrutura A linearidade física corresponde a uma relação diretamente proporcional entre tensões e deformações conforme ilustrado na Fig 5a Na Fig 5b mostra 7 se o caso de um material cuja relação tensãodeformação é nãolinear isto é as tensões não são diretamente proporcionais às deformações σ ε a Linearidade Física a ε σ b Nãolinearidade Física b σ Tensão ε Deformação Fig 5 Comportamento Linear e Nãolinear do Material Dizse que um material é elástico quando uma vez deformado sob um determinado carregamento ao se retirar este carregamento há um retorno à situação inicial indeformada isto é sem deformações residuais A trajetória percorrida no descarregamento é a mesma percorrida no carregamento Portanto elasticidade é a propriedade que certos materiais idealizados possuem de se deformarem quando submetidos a tensões e de voltarem à condição inicial indeformada quando o estado de tensão que causou a deformação é removido No caso de não haver retorno à situação inicial isto é permanecerem deformações residuais quando o material é carregado e em seguida descarregado o material é dito elastoplástico Neste caso uma parte da deformação é recuperável e outra não Parte da energia absorvida durante o processo de carregamento é dissipada internamente para produzir deformações plásticas permanentes alterando assim a estrutura interna do material em nível microscópico e conseqüentemente as propriedades de rigidez e resistência do mesmo Na Fig 6 são apresentados os diagramas tensão x deformação típicos para material elástico nãolinear material elástico linear e material elastoplástico 8 ε ε ε ε ε Material elástico Material elástico perfeito linear Material elastoplástico ε εe εp εp εe σ σ σ σ σ σ carga descarga εp Deformação plástica residual εe Deformação elástica Fig6 Diagramas Tensão x Deformação Típicos Devese observar que no caso de material elastoplástico a trajetória de descarregamento não é a mesma do carregamento A utilização de materiais do tipo elástico nãolinear ou elastoplástico induz a estrutura a se comportar de forma nãolinear isto é a relação entre as cargas e os deslocamentos não é neste caso diretamente proporcional Uma aproximação teórica muitas vezes utilizada para simular os materiais elastoplásticos é o chamado comportamento elastoplástico perfeito no qual abaixo de um certo limite de solicitação fy assumese que o material apresenta comportamento elásticolinear acima deste limite o comportamento é elastoplástico Este comportamento é ilustrado pelo diagrama tensão x deformação da Fig7 onde a tensão de escoamento fy é admitida como coincidente com a tensão limite de proporcionalidade do material εe εp ε ε fy σ patamar de escoamento Fig 7 Material Elastoplástico Perfeito 9 Para valores de tensão σ abaixo da tensão de escoamento fy o comportamento é elásticolinear enquanto para valores acima de fy o material se comporta como perfeitamente plástico sendo fy o valor máximo de tensão que o material suporta Quando a tensão atinge o valor fy o material começa a se deformar indefinidamente sob tensão constante Os modelos de comportamento descritos acima são aproximações idealizadas do comportamento real dos materiais Na realidade os materiais com aplicação estrutural não apresentam o mesmo comportamento para todos os níveis de tensão Para solicitações baixas o comportamento é quase sempre aproximadamente elástico assimilável a linear Acima de certos níveis de tensão o comportamento passa a ser elastoplástico Na maioria dos casos nos projetos estruturais os fatores de segurança aplicados sobre solicitações e resistências fazem com que os materiais quase sempre trabalhem em um nível de tensão abaixo de 40 da sua tensão de escoamento Por esta razão na maioria das vezes considerase o material com comportamento elásticolinear para fins de análise estrutural com isto obtémse uma simplificação muito significativa na modelagem matemática do comportamento da estrutura Isto vai significar no final do processo que o comportamento da estrutura vai ser descrito por um sistema linear de equações algébricas em termos das forças internas e externas incógnitas e dos carregamentos no caso do Método das Forças ou em termos dos deslocamentos incógnitos e dos carregamentos no caso do Método dos Deslocamentos Caso a hipótese de comportamento linear da estrutura não possa ser aplicada recaise num sistema de equações nãolineares cuja solução é muito mais elaborada e dispendiosa Neste caso os coeficientes das incógnitas do sistema de equações são dependentes dos valores das incógnitas e a solução do sistema em geral se baseia num esquema de solução incremental e iterativo 10 Comportamento Geométrico das Estruturas Linearidade e Nãolinearidade Geométrica O comportamento geométrico de uma estrutura é definido pelas relações entre forças e efeitos estruturais correspondentes A linearidade geométrica existe quando os efeitos são combinações lineares das causas Exemplo P 2 2P P Fig 8 Comportamento Linear Na Fig 8 apresentase uma viga de comportamento linear Existe linearidade pois os efeitos estruturais são diretamente proporcionais às forças isto é ao se dobrar o valor da força externa P o valor do deslocamento na extremidade da viga também fica dobrado Para se ter comportamento linear numa estrutura exigese necessariamente o comportamento linear do material linearidade física e linearidade geométrica da estrutura Para a linearidade geométrica devese ter um arranjo adequado das barras e dos vínculos de forma que seja possível estabelecer as condições de equilíbrio estrutural na posição inicial da estrutura indeformada Para tanto a estrutura deve funcionar em regime de pequenos deslocamentos e pequenas deformações Não é possível uma estrutura apresentar comportamento linear se o material tiver comportamento nãolinear bem como não há possibilidade da 11 estrutura apresentar comportamento linear se apresentar alguma nãolinearidade geométrica A C B P α α Fig 9 Estrutura com nãolinearidade geométrica Para estrutura apresentada na Fig 9 não se consegue o equilíbrio no ponto C sem considerar a deformação das barras AC e BC e os conseqüentes deslocamentos Assim para formular o equilíbrio do nó C conforme Fig 9 é necessário levar em conta o ângulo α formado entre as barras na posição deformada e na posição inicial Esta estrutura apresenta comportamento não linear para qualquer valor de P e qualquer tipo de material e é considerada uma forma crítica da estrutura apresentada na Fig 10 A C B P α α Fig 10 Estrutura com Linearidade Geométrica Na Fig 10 apresentase uma estrutura derivada da estrutura da Fig 9 mas cuja disposição de barras e vínculos permite a ocorrência de linearidade geométrica Neste caso se a estrutura for composta de material elástico linear apresentará comportamento elástico linear como um todo neste caso há proporcionalidade entre P e Se a estrutura da Fig 10 for composta de barras muito delgadas e material muito deformável de forma que os deslocamentos não possam ser considerados como pequenos e de tal forma que o equacionamento da estrutura na posição indeformada leve a resultados significativamente diferentes daqueles obtidos 12 com o equacionamento para o equilíbrio na posição deformada temse comportamento nãolinear geométrico Isto significa que não se podem desprezar os efeitos das rotações α das barras e a variação dos comprimentos das barras AC e CB Caso se utilize neste problema a simplificação de comportamento linear os resultados serão muito diferentes do comportamento real aparecendo portanto a necessidade de se considerar as rotações α na análise e configurandose a necessidade de se considerar o comportamento não linear geométrico Quando é possível formular o equilíbrio considerandose a configuração inicial indeformada da estrutura temse a chamada teoria de primeira ordem caso contrário a formulação deve ser em teoria de segunda ordem 4 Princípio da Superposição dos Efeitos Quando uma estrutura tem comportamento elásticolinear linearidade física e geométrica podese considerar que os efeitos produzidos por várias causas podem ser obtidos combinandose os efeitos produzidos pelas causas atuando individualmente O princípio enunciado acima é conhecido como princípio de superposição dos efeitos e na prática pode ser aplicado quando o comportamento da estrutura é elásticolinear ou seja a O material segue a Lei de Hooke comportamento elásticolinear b Deslocamentos e deformações nos pontos da estrutura são pequenos linearidade geométrica c Não existe interação entre efeitos de força axial e momento fletor nas barras linearidade geométrica d A disposição das barras e de vínculos é tal que se pode formular o equilíbrio na posição inicial da estrutura indeformada Como causas incluemse forças e momentos externos aplicados deslocamentos de apoio gradientes de temperatura e quaisquer carregamentos em geral Como efeitos entendemse reações de apoio deslocamentos tensões e deformações 13 Na Fig 11 apresentase um exemplo ilustrativo da aplicação do princípio de superposição dos efeitos no caso de uma viga submetida a forças externas F1 e F2 O cálculo de um efeito qualquer pode ser realizado considerandose a aplicação simultânea de F1 e F2 ou alternativamente pode ser efetuado aplicandose cada uma das forças isoladamente e calculandose o respectivo efeito parcial O efeito total será a soma dos efeitos parciais se a estrutura tiver comportamento elástico linear Por exemplo na Fig11 a F1 e F2 são forças externas aplicadas causas e considerandose os efeitos RA RB MA reações de apoio e C deslocamento vertical em C Na Fig11 b e 11 c aplicamse F1 e F2 respectivamente e obtêmse os efeitos individuais RA RB MA C causados por F1 e RA RB MA C causados por F2 os efeitos totais podem ser calculados por meio de RA RA RA MA MA MA 1 RB RB RB C C C F2 F1 MA a C RA A RB B C F1 MA b C RA A RB B C F2 MA c C RA A RB B C Fig 11 Princípio de Superposição dos Efeitos 14 Um outro caso de utilização do princípio de superposição dos efeitos é mostrado na Fig 12 para uma viga submetida a um recalque A e a uma rotação de apoio θA em A A situação é inteiramente análoga à do exemplo anterior e o cálculo de um efeito qualquer pode ser efetuado aplicandose cada um dos deslocamentos de apoio especificados separadamente e avaliandose o respectivo efeito parcial sendo o efeito total a soma dos efeitos parciais RA RA RA MA MA MA 2 RB RB RB C C C MA RA A A B a C C RB A MA RA A B b C C RB A MA RA A B c C C RB A Fig 12 Princípio de Superposição dos Efeitos Viga com Recalque de Apoio 15 5 Correspondência entre Força e Deslocamento Um conceito importante e muito útil em análise estrutural é o de correspondência entre força e deslocamento Considerase que força e deslocamento são correspondentes quando São de mesma natureza isto é uma força corresponderá a um deslocamento linear e um momento a um deslocamento angular rotação Estão localizados no mesmo ponto da estrutura Têm mesma direção e mesmo sentido considerado como positivo Por exemplo na Fig13 a força vertical P na extremidade livre da viga em balanço corresponde ao deslocamento vertical neste mesmo ponto e ambos são considerados positivos quando estiverem dirigidos para baixo sentido adotado como positivo neste caso O momento M aplicado naquela mesma extremidade livre corresponde à rotação θ da extremidade e como têm o mesmo sentido horário terão o mesmo sinal Caso os sentidos sejam contrários obviamente os sinais serão contrários O sentido positivo pode ser arbitrado no início da análise e deve ser mantido a partir de então P M P correspondente a M correspondente a θ Fig13 Correspondência entre Força e Deslocamento A relação de correspondência é diferente da relação de causa No exemplo anterior e θ são ambos causados pela ação conjunta de P e M Assim na Fig13 parte do deslocamento é causado pela força P e parte pelo momento M o mesmo raciocínio vale para a rotação θ Por meio do conceito de correspondência entre força e deslocamento podese estabelecer um sistema de coordenadas sistema referência ao longo da estrutura relacionando estas grandezas às suas direções e sentidos e aos respectivos pontos de ocorrência 16 6 Trabalho e Trabalho Complementar O trabalho W realizado por uma força constante P atuando sobre uma partícula durante a trajetória desta entre os pontos A e B conforme Fig 14 é definido como o produto da força pela projeção da distância AB na direção de sua linha de ação Portanto AB cos θ P W 3 θ φ θ ds A B S P B Força constante P atuando sobre a partícula na trajetória S do ponto A ao ponto B θ ângulo entre a linha de ação da força P e a direção AB Fig 14 Trabalho de uma força ao longo da trajetória de uma partícula O trabalho realizado pela força P durante um deslocamento infinitesimal ds medido sobre a trajetória percorrida entre A e B é dado por ds P cos dW φ 4 que integrado ao longo de S fornece o trabalho total produzido por P quando se desloca de A até B B A ds P cos W φ Se P é constante B A ds cos P W φ Como cos φ ds é a componente de ds na direção de P P BB P AB cos W θ 5 17 O trabalho portanto não depende da trajetória percorrida por P mas apenas da componente desta trajetória na direção dela própria BB Se a força P for aplicada lenta e gradativamente em um corpo elástico a relação entre a força aplicada e o deslocamento correspondente no ponto de aplicação da força pode ser representado de maneira geral por um gráfico como o seguinte P v Pe Pe dP P P dv vf v Fig 15 Trabalho da força P durante o deslocamento v Caso de comportamento nãolinear ds cos dv φ 6 sendo dv a componente do deslocamento na direção de P Com base na Fig 15 o trabalho será dado pela área entre a curva e o eixo horizontal fv 0 P dv W 7 Se o comportamento é linear o gráfico Carga X Deslocamento será conforme ilustrado na Fig 16 18 P P vf v P kv k constante Fig 16 Trabalho da força P no caso de comportamento linear Neste caso como P kv e fv 0 P dv W 2 kv kv dv W 2 f v 0 f 2 Pv 1 W 8 No caso da carga P constante já estar totalmente aplicada sobre o corpo e ocorrer um deslocamento v provocado por outra ação qualquer o trabalho realizado por P durante a ocorrência de v será dado por Pv tal como se mostra na Fig17 P v dv Pf P constante v f Fig 17 Trabalho de carga integralmente aplicada durante um deslocamento posterior à aplicação f f v 0 v 0 dv P P dv W Pv W 9 O trabalho complementar é definido como P 0 C v dP W 10 Conforme Fig 18 o trabalho complementar fica definido pela área entre a curva e o eixo vertical 19 P v vf dv Pf dP W c Caso de comportamento nãolinear com P aplicada lenta e gradualmente Fig 18 Trabalho Complementar Portanto observandose as Fig 17 e 18 concluise que W Pv W C 11 No caso de comportamento elásticolinear conforme Fig 19 Pf P Vf v W W c 12 2 Pv 1 W W W v dP P dv W C C P 0 v 0 Fig 19 Trabalho complementar para o caso de comportamento linear Ou seja o trabalho é igual ao trabalho complementar Além disso neste caso é aplicável o Princípio da Superposição dos Efeitos Então se houver várias cargas aplicadas tal como se mostra na Fig 20 o trabalho total é a soma dos trabalhos produzidos pelas cargas atuando individualmente 20 Exemplo 61 P4 P2 P1 P3 v1 v2 v3 v4 Caso de aplicação lenta gradual e simultânea das cargas Fig 20 Trabalho realizado por um sistema de várias cargas 13 1 2 3 4 i 2 P v 1 W W i i 4 1 i C 7 Princípio dos Trabalhos Virtuais PTV 71 Trabalho Virtual Dizse virtual algo que não é real imaginário portanto Um deslocamento virtual ou uma força virtual são respectivamente um deslocamento imaginário ou uma força imaginária arbitrariamente impostos sobre um sistema estrutural O trabalho virtual pode ser considerado como o trabalho produzido em uma das duas situações abaixo relacionadas Trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual Trabalho realizado por forças virtuais durante um deslocamento real Podese considerar aqui como deslocamento virtual um deslocamento provocado por alguma outra ação que não o sistema de carregamento em questão atuante na estrutura Força virtual da mesma forma pode ser considerada uma outra força qualquer que não seja a que está provocando o deslocamento real Portanto na expressão do trabalho virtual a força e o deslocamento envolvidos virtual e real ou viceversa têm uma relação de correspondência mas nunca de causalidade 21 72 Princípio dos Trabalhos Virtuais para Corpos Rígidos Seja um corpo rígido sujeito a um sistema de forças reais Pi constantes e integralmente aplicadas a um corpo rígido conforme mostrado na Fig 21 Se ele é submetido a um deslocamento virtual δv sendo δvi as componentes do deslocamento virtual correspondentes aos Pi P1 P2 δv2 δ v1 A B P3 δv3 C B A C Fig 21 Trabalho virtual realizado por forças reais O trabalho virtual realizado é dado pelas forças reais Pi durante o deslocamento virtual δv é dado por 14 v P W v P v P v P W 3 i 1 i i 3 3 2 2 1 1 δ δ δ δ δ δ Todas as grandezas virtuais serão denotadas pela letra δ precedendo a grandeza por exemplo δv significa deslocamento virtual e δF força virtual Na Fig21 considerandose vi deslocamentos reais provocados por um sistema de forças real e δPi um sistema de forças virtuais não são elas que provocam vi temse uma expressão análoga para o trabalho virtual 15 P v W 3 i 1 i i δ δ 22 Princípio dos Deslocamentos Virtuais Para Corpos Rígidos Se é aplicado um deslocamento virtual a um corpo rígido sujeito a um sistema de forças em equilíbrio o trabalho virtual total realizado pelas forças é igual a zero Na Fig 21 se o sistema de forças Pi estiver equilibrado temse 16 0 v P W 3 i 1 i i δ δ A recíproca também é verdadeira ou seja Se o trabalho virtual total realizado por um sistema de forças reais atuando em um corpo rígido quando ele é submetido a um deslocamento virtual é igual a zero o sistema de forças está em equilíbrio Exemplo 721 Como nas estruturas isostáticas os deslocamentos de apoio não provocam deformações na estrutura nem esforços internos podese considerar que as estruturas isostáticas funcionam como corpos rígidos Utilizando este fato as reações de apoio de uma estrutura podem ser calculadas como a que se segue usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais aplicado aos corpos rígidos Assim propõese calcular a reação vertical VB no apoio B P a b A C B L Fig 22 Exemplo 2 SOLUÇÃO Submetendo a viga ao deslocamento virtual em B na direção vertical correspondente à reação VB mostrado abaixo 23 P δvc VA H A δvB VB O trabalho virtual total é dado por 17 0 v P W n i 1 i i δ δ Notar que o deslocamento virtual correspondente à carga P é dado por δvC Considerando que se pretende obter uma situação de equilíbrio de forças na viga impõese a condição de trabalho virtual total nulo ou seja 18 0 v V v P W B B C δ δ δ 19 0 v V L a v P W L a v v Como B B B B C δ δ δ δ δ Devese notar que o deslocamento virtual em B foi admitido para baixo no sentido contrário de VB portanto o trabalho virtual desta fica negativo Além disto as forças VA e HA não produzem trabalho pois não há nenhum deslocamento virtual correspondente a estas ações Resolvendo a Equação 19 obtémse 20 L VB P a Exemplo 722 Usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais propõese calcular o momento MA no apoio A M A PL L2 δv3 δv2 L2 P 2P δθ1 δθ4 Fig 23 Exemplo 3 24 SOLUÇÃO Impondose uma rotação virtual δθ4 no apoio A a viga se desloca como um corpo rígido de acordo com o PTV para corpos rígidos o trabalho virtual total é nulo portanto 24 2 7PL M 23 0 PL 2P L 2 P L M 22 0 PL L 2P 2 L P M 2 L v e L v L v tg Como 21 0 PL 2P v v P M 0 W A A 4 4 4 4 A 4 3 4 2 2 4 4 1 1 2 3 4 A δθ δθ δθ δθ δθ δ δθ δ δ δθ δθ δθ δθ δ δ δθ δ 73 Princípio dos Trabalhos Virtuais para Corpos Deformáveis Nos corpos deformáveis pontos do interior do corpo podem moverse uns em relação aos outros sem violar as condições de restrição Portanto neste caso tanto as forças externas quanto as internas esforços solicitantes realizam trabalho Genericamente uma estrutura como a mostrada abaixo pode sofrer deformações deformandose de forma compatível isto é sem apresentar descontinuidades e respeitandose a vinculação nos apoios dx dx Fig 24 Estrutura sujeita a deformações O elemento de barra dx estará sujeito também genericamente a resultantes de tensão representadas aqui pelos esforços solicitantes 25 q dx N T M V V N T M q força externa genérica V esforço cortante N força normal M momento fletor Tmomento de torção Fig 25 Esforços solicitantes num elemento infinitesimal A deformação da estrutura provoca deslocamentos relativos entre as seções transversais externas do elemento mostradas a seguir d δ dx def axial dx def de flexão dθ dx def de cisalhamento d λ A A d φ dx def de torção por simplicidade de representação fixouse a extremidade da esquerda do elemento 26 Nas ilustrações anteriores devem ser notadas as seguintes relações de correspondência N dδ dδ deslocamento relativo entre as seções extremas do elemento de barra na direção do eixo da barra M dθ dθ rotação relativa entre as seções extremas do elemento de barra no plano da mesma V dλ dλ deslocamento relativo no plano da barra entre as seções extremas do elemento de barra na direção perpendicular ao eixo T dφ dφ rotação relativa entre as seções extremas do elemento em torno do eixo da barra Portanto existe um trabalho real interno produzido por estes esforços que no caso de comportamento elástico linear é dado por pela integral do trabalho infinitesimal sobre cada elemento de barra dx No caso das estruturas de comportamento elástico linear este trabalho interno é a energia de deformação total que é igual ao trabalho realizado pelas forças externas durante o processo de deformação da estrutura Todo o trabalho realizado pelo carregamento real é armazenado como energia de deformação e pode ser recuperado se o carregamento for removido O trabalho interno total energia de deformação será 25 T d V d M d N d 2 1 W estr estr estr estr int φ λ θ δ Pelo Princípio da Conservação da Energia o trabalho das forças internas é igual ao trabalho das forças externas 26 W W int ext 27 Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Deformáveis Quando a uma estrutura deformável em equilíbrio sob a ação de um sistema de carregamento é dada uma pequena deformação virtual compatível o trabalho virtual realizado pelas forças externas carregamento é igual ao trabalho virtual realizado pelas forças internas esforços solicitantes Chamando δWext o trabalho virtual das forças externas e δWint o trabalho virtual das forças internas temse de acordo com o referido princípio 27 W W int ext δ δ Observação Os deslocamentos ou deformações virtuais devem ser compatíveis com as condições de contorno geométricas apoios e não devem violar a continuidade das deformações da estrutura Considerando a estrutura seguinte δθB θB P M vc A B C δvc δv δv elástica virtual ponto genérico Fig 26 Estrutura com deformações reais e virtuais Onde P e M força e momento externos VC e θB deslocamentos correspondentes a P e M originados da deformação real causada pelo carregamento P e M δvC e δθB deslocamentos virtuais correspondentes a P e M impostos após a deformação real da estrutura Não são provocados por P e M mas sim da deformação virtual Neste caso o trabalho virtual externo será B C ext M v P W δ θ δ δ 28 notar que as reações de apoio não realizam trabalho pois os deslocamentos virtuais correspondentes são nulos A deformação virtual imposta provoca deslocamentos virtuais das seções transversais correspondentes aos esforços solicitantes reais atuantes nestas seções Portanto conforme figuras anteriores o trabalho virtual das forças internas realizado ao longo de todo o comprimento da estrutura pode ser expresso por 28 dM d M dV d V W B A B A int θ λ δ pois na viga em questão os dois únicos esforços solicitantes existentes são V e M Na expressão acima e para o que se segue φ δ θ λ d d d d representam as deformações virtuais de um elemento de barra dx associadas à deformação virtual imposta na barra Aplicando o PTV no equilíbrio temse δWext δWint portanto 29 dM d M dV d V M v P B A B A θ λ δ θ δ A expressão geral para estruturas deformáveis planas considerandose a existência dos quatro esforços solicitantes N M V T e um carregamento externo qualquer será 30 dT d T dV d V dM d M dN d N Wext φ λ θ δ Desprezandose os produtos de dois infinitésimos temse 31 T d V d M d N d Wext φ λ θ δ δW ext terá uma expressão para cada caso genericamente 32 v P W i n i 1 i ext δ δ 29 Princípio das Forças Virtuais para Corpos Deformáveis De forma análoga ao PTV para deslocamentos virtuais temse o Princípio das Forças Virtuais que pode ser enunciado como Se a um corpo deformável que sujeito a deslocamentos reais provocados por um sistema de forças em equilíbrio é aplicado um sistema equilibrado de forças virtuais o trabalho virtual externo produzido pelas forças virtuais externas quando ocorrem os deslocamentos reais é igual ao trabalho virtual interno produzido pelos esforços virtuais internos quando ocorrem as deformações reais das barras int ext W W δ δ δWext e δWint são trabalhos virtuais complementares Considerandose a mesma viga anterior P M v2 A B δQ θ v1 Fig 27 Estrutura com deformações reais e carga virtual Onde P e M força e momento externos reais δQ força virtual v1 v2 θ deslocamentos reais correspondentes a δQ P M provocados por P e M Temse então neste caso para o trabalho virtual externo 1 ext Q v W δ δ A expressão para o trabalho virtual interno é a mesma anterior sendo que aqui os esforços solicitantes são virtuais provocados pela força virtual δQ e os deslocamentos são reais provocados por P e M 33 dM d M dV d V W B A B A int θ λ δ 30 Generalizando e desprezando os produtos de dois infinitésimos temse a mesma uma expressão análoga à anterior para o PTV 34 T d V d M d N d Wext φ λ θ δ δ Aqui também δWext terá uma expressão para cada caso Genericamente 35 Q v W i n i 1 i ext δ δ Notase que como nenhuma restrição foi feita ao comportamento da estrutura o PTV é aplicável a estruturas de comportamento elástico linear ou nãolinear 8 Método da Carga Unitária MCU A particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais forças virtuais na qual se considera a força virtual ou forças virtuais com valor unitário é conhecida como Método da Carga Unitária MCU Também conhecido como Método do Trabalho Virtual Método da Carga Substituta e Método de Maxwell Mohr o MCU pode ser utilizado para calcular deslocamentos devidos a deformações reais causadas pelo carregamento em estruturas isostáticas Como o MCU é uma sistematização do PTV sua formulação geral pode ser utilizada em estruturas de comportamento elástico linear e nãolinear Seja calcular um determinado deslocamento por exemplo o deslocamento vertical no ponto C em uma estrutura isostática sujeita a um sistema de cargas qualquer 31 M C A B P q C deslocamento vertical do ponto C real Fig 28 Estrutura sujeita a carga real Pelo MCU considerase um outro sistema de carregamento atuando sobre a mesma estrutura constituído de uma carga virtual unitária P correspondente ao deslocamento provocado A B P 1 C P força virtual unitária correspondente a Fig 29 Estrutura sujeita a carga virtual unitária Temse pelo PTV int ext W W δ δ O trabalho virtual neste caso é devido a forças virtuais e deslocamentos reais O trabalho virtual externo será δ 1 P Wext O trabalho virtual interno será como visto anteriormente 36 T d V d M d N d W estr estr estr estr int φ λ θ δ δ Sendo N M VT os esforços solicitantes devidos à carga unitária P e dδ dθ dλ dφ as deformações elementares reais devidas ao carregamento prescrito Igualandose PTV W W int ext δ δ 32 Temse 37 T d V d M d d N estr estr estr estr φ λ θ δ Conforme mencionado esforços N M V e T referemse à força virtual unitária e daqui por diante serão denotados no que se segue por n m v t Portanto a equação geral do MCU será escrita 38 t d v d m d d n estr estr estr estr φ λ θ δ Sendo válida para estruturas de comportamento elástico linear ou nãolinear Os deslocamentos dδ dθ dλ e dφ são provocados por carregamento externos em geral bem como por variação de temperatura recalques de apoio modificações impostas na montagem isto é qualquer tipo de solicitação externa real que produza deformações na estrutura Nas análises cotidianas em geral admitese que a estrutura apresente comportamento elásticolinear isto é estrutura constituída de material elástico linear seguindo Lei de Hooke σ Eε apresentando linearidade geométrica As cargas externas produzem tensões representadas aqui por suas resultantes os esforços solicitantes reais N M V T e deformações reais dδ dθ dλ e dφ relacionadas entre si pelas expressões 39 GJ dx T d GA dx V f d EI dx M d EA dx N d S φ λ θ δ Nos quais E módulo de elasticidade longitudinal G módulo de elasticidade transversal A área da seção transversal I momento de inércia da seção transversal J constante de torção da seção transversal 33 fs fator de forma para cisalhamento depende da forma da seção transversal e leva em conta a distribuição da tensão de cisalhamento na seção As grandezas seguintes presentes nos denominadores da Eq39 são relacionadas abaixo com a respectiva nomenclatura EA módulo de rigidez à deformação axial EI módulo de rigidez à flexão GA módulo de rigidez ao cisalhamento GJ módulo de rigidez à torção Substituindose as expressões das deformações nos elementos de barra dadas pela Eq39 na equação geral do MCU Eq38 temse 40 GJ dx tT GA dx f vV dx EI mM EA dx N n estr estr estr estr S que é a expressão do MCU para estruturas de comportamento elásticolinear sujeita a um sistema de cargas externas qualquer Em resumo o cálculo de um deslocamento de uma estrutura isostática feito através do MCU pode ser sistematizado nas seguintes etapas estrutura elásticalinear sujeita a cargas 1 FASE L quando a estrutura dada é submetida ao carregamento real especificado que produz o deslocamento Determinamse os esforços solicitantes devidos ao carregamento real N M V T 2 FASE U quando aplicase à estrutura descarregada uma carga unitária virtual correspondente ao deslocamento procurado e calculamse os esforços solicitantes virtuais devidos a este novo carregamento n m v t 3 Substituemse os esforços das fases L e U na expressão do MCU em seguida integrase a contribuição de cada esforço ao longo de toda a 34 estrutura e no final somamse todas as contribuições para a obtenção do deslocamento procurado A respeito da expressão do MCU podem ser feitas algumas observações a Os esforços virtuais n m v t devem ter dimensão de força ou momento por unidade de carga para que se obtenha com dimensão de comprimento linear ou rotação 41 1 1 b Devem ser usadas as mesmas convenções de sinal para os esforços solicitantes das fases L e U Assim por exemplo se é adotada a convenção de força normal considerando esforço de tração N com sinal positivo na Fase L na Fase U devese adotar tração com sinal positivo na determinação de n Conseqüentemente o deslocamento terá sempre como sentido positivo o sentido arbitrado para a carga unitária virtual c A contribuição das deformações devidas a alguns esforços solicitantes no cálculo dos deslocamentos pode ser desprezada em certas circunstâncias visando reduzir trabalho de cálculo manual Nesse sentido o efeito das deformações devidas à força cortante costuma ser desprezado na determinação dos deslocamentos de vigas pórticos planos e grelhas por ter em geral uma influência secundária em comparação com as deformações decorrentes do momento fletor Da mesma forma a desconsideração da deformação axial das barras devida à força normal na análise de pórticos planos costumava ser adotada Estas simplificações são encontradas com muita freqüência nos textos clássicos de Estática e Análise Estrutural Entretanto atualmente com os recursos computacionais disponíveis estas simplificações podem e devem ser evitadas principalmente no caso de análise de estruturas de 35 grande responsabilidade ou com grande número de barras ou ainda quando não for possível se assegurar a adequação deste tipo de simplificação A disponibilidade de modernos programas computacionais que incorporam todas estas deformações na análise tornam totalmente dispensáveis estas simplificações e eliminam quaisquer dúvidas na precisão dos resultados decorrentes de sua aplicação 36 Considerações sobre a escolha da carga unitária a Cálculo de Deslocamentos Absolutos a1 Deslocamento linear de um ponto translação Neste caso a carga unitária a ser aplicada é uma força concentrada no ponto considerado na direção do deslocamento procurado e no sentido positivo considerado para este deslocamento ou seja correspondente uma carga unitária correspondente ao deslocamento Fig 30 1 Fig 30 Carga Unitária para cálculo de deslocamento linear a2 Rotação de uma seção transversal A carga unitária correspondente é um momento aplicado no ponto em questão Fig 31 1 Fig 31 Carga Unitária para cálculo de rotação a3 Rotação de Corda Corda é a linha reta que liga dois pontos quaisquer da estrutura Portanto uma rotação de corda é a rotação deste segmento em relação à posição inicial e neste caso devese aplicar na corda um momento unitário por meio de um binário de forças nas extremidades desta corda Fig32 37 A A L 1L B B 1L 1 L L 1 M A figura mostra o binário que produz um momento unitário sobre a corda AB Fig 32 Carga Unitária para cálculo de rotação de corda Em treliças sujeitas apenas a cargas nos nós as rotações sofridas pelas barras são movimentos de corpo rígido calculados portanto como rotações de cordas L 1L 1 1L Rotação da barra AB calculada com a ajuda do binário indicado na figura produz um momento unitário Fig 33 Carga Unitária para cálculo de corda na treliça bCálculo de Deslocamentos Relativos O cálculo de um deslocamento relativo entre dois pontos A e B numa dada direção pode ser feito em duas etapas Cálculo do deslocamento absoluto em A na direção especificada Cálculo do deslocamento absoluto em B na direção especificada Se as cargas unitárias aplicadas em A e B nestas etapas anteriores possuem sentidos iguais a diferença dos dois resultados fornecerá o deslocamento relativo procurado Se os sentidos das cargas unitárias forem 38 contrários o deslocamento relativo será encontrado através da soma dos dois deslocamentos O cálculo de deslocamentos relativos pode ser simplificado fazendose as duas etapas de uma só vez isto é aplicandose à estrutura duas cargas unitárias de sentidos contrários O resultado final será o deslocamento procurado b1 Variação da distância entre 2 pontos Caso se queira calcular o deslocamento linear relativo entre dois pontos A e B na direção da linha que os une o sistema de cargas virtuais aplicado será como o mostrado na Fig34 1 A A B B 1 Obtémse desta maneira o deslocamento cujo valor será Fig 34 Deslocamento Relativo entre dois pontos b2 Rotação relativa das extremidades de duas barras em uma articulação A 1 C 1 B Obtémse θ cujo valor será θ θ θ Fig 35 Rotação relativa entre as seções adjacentes numa rótula interna No caso de uma rotação relativa entre duas seções tal como se mostra na Fig35 pode ser aplicado um par de momentos unitários de sentidos opostos b3 Rotação relativa de cordas ou de barras de treliça No caso de rotagao relativa entre duas cordas da estrutura aplicamse dois momentos unitarios de sentido contrario através dos binarios correspondentes Fig36 1 1 L1 1L1 C 4Le L2 C 4L1 LEE Ye A B Fig 36 Carga unitaria para calculo de rotagao relativa entre duas cordas 6 0 0 a rotagao relativa entre as cordas AC e CB A Fig37 mostra a diferenga entre rotagao relativa de cordas e de segoées Y a B Cc B Cc B o A D A D Fig 37 Rotacgao relativa entre duas secdes e entre duas cordas Rotagao relativa entre barras na segcaoC bfy Rotacao relativa entre as cordas BC e CD 0a 39 40 9 Exemplos de aplicação 91 Solução por integração analítica Nos exemplos seguintes vaise aplicar a equação do MCU com as simplificações tais como as mencionadas anteriormente visando a redução do trabalho de cálculo e como forma de facilitar o entendimento global do processo Para efeito didático atribuiuse um número romano a cada termo da equação estr estr estr estr S GJ dx tT GA dx f vV dx EI mM EA dx N n IV III II I Exemplo 911 Calcular o deslocamento vertical do ponto B da estrutura desprezandose o efeito das deformações devidas à força cortante EI 2 x 105 kNm2 constante B 25 kNm 50 kN 3 m B A SOLUÇÃO O deslocamento vertical flecha em B será considerado positivo se for para baixo afundamento do ponto B FASE L Estrutura com carregamento real 41 A B 25 kNm 3 m VA 125 kN M A 2625 kNm x 2625 50 kN Diagrama de momento fletor M 3 0 2 2 25x 50 x M Observar que adotouse a convenção clássica de momentos fletores considerando o momento que produz tração na face inferior face de referência como momento fletor positivo FASE U Cálculo dos esforços solicitantes virtuais Aplicandose à estrutura uma força unitária virtual correspondente ao deslocamento procurado B A B 3 m x VA 1 M A 3 1 42 3 Diagrama de momento fletor m 3 1x 0 m Observar que a carga vertical unitária foi aplicada para baixo conforme sentido positivo assumido para a flecha em B e que a convenção de sinais de m é a mesma utilizada na Fase L Na expressão do MCU as integrais I e IV referemse a esforços inexistentes N e T neste caso portanto se anulam A integral III não será calculada pois será desprezado o efeito de da força cortante conforme previsto no início do problema A expressão reduzse então a m 3516 x 10 se tem Integrando 12 5 x dx EI x 50x 1 dx EI M m 3 B 2 B O sinal positivo de B indica que o deslocamento tem o mesmo sentido da carga unitária isto é para baixo Se a carga unitária tivesse sido arbitrada para cima B resultaria com sinal negativo o que indicaria também o sentido para baixo Exemplo 912 Na viga do Exemplo 911 calcular a rotação da seção B desprezandose o efeito das deformações devidas à força cortante SOLUÇÃO Como a estrutura e o carregamento são os mesmos do Exemplo 911 a FASE L é a mesma Portanto 43 3 0 2 2 25x 50 x M FASE U Como o deslocamento procurado é a rotação em B a carga unitária correspondente a ser adotada é um momento unitário em B Adotarseá o momento unitário no sentido horário A B 3 m MA 1 VA 0 1 Diagrama de momento fletor m 1 3 1 0 m Substituindose os valores rad 688 x 10 1 12 5 x dx EI 1 50x 1 3 B 3 0 2 B θ θ Notar que na Fase U a convenção de sinais de momento fletor usada foi a mesma do Exemplo 911 Como foi arbitrado o sentido horário para a carga unitária e θB obtido foi positivo isto significa que a rotação em B é horária ou seja o sentido de θB concorda com o sentido do momento unitário A configuração deformada da viga é mostrada a seguir 44 B 3516 x 10 m B 1688 x 10 rad 3 3 Exemplo 913 Calcular o deslocamento vertical do ponto C da viga abaixo desprezando o efeito das deformações devidas à força cortante Dado EI 20 x 10 5 kNm2 constante A B 20 kNm 5 m C 35 m 15 m SOLUÇÃO FASE L A B 20 kNm C 5 m x V A 50 kN V B 50 kN 45 M Mmax 625 kNm 5 0 2 2 20x 50 x M FASE U Notar que o deslocamento procurado é a flecha C Adotase neste caso força unitária vertical em C para cima força unitária virtual correspondente a C A B 35 m x V A 070 V B 030 1 15 m C M max 105 m 5 5 1 5 1 0 1 5 1 x 70 x 0 m 70 x 0 m Sendo força normal e momento de torção inexistentes e desprezandose o efeito da força cortante temse dx EI mM Substituindose as expressões de M e m obtémse 5 5 1 2 5 1 0 2 C 10x dx 1 5 50x x EI 070 x 1 10x dx EI 070 x 50x 1 Integrandose 46 m 6617 x 10 4 C O sinal negativo indica que o deslocamento tem o sentido oposto ao arbitrado para a carga unitária isto é para baixo Exemplo 914 Calcular o deslocamento horizontal do nó D do pórtico abaixo desprezandose as influências das deformações axiais e da força cortante EI 20 x 10 5 kNm2 constante D A B C 5 m 3 m 50 kN SOLUÇÃO FASE L D A B C 50 kN x H A 50 kN x x VD 30 kN VA 30 kN 47 M 150 150 5 0 BC 3 0 CD 3 0 AB 30x 150 M 0 M 50x M FASE U D A B C x x x 1 VA 0 VD 0 H A 1 Deslocamento procurado D horizontal força unitária horizontal em D arbitrada para a esquerda 3 3 3 m 3 0 CD 5 0 BC 3 0 AB 1x M 3 M 1x m Observar que foi adotada uma coordenada xi acompanhando o eixo de cada barra com os respectivos sentidos indicados no início da solução para se formularem as expressões de momento fletor na Fase L M e na Fase U m 48 Como no caso não ocorre momento de torção além disto desprezandose o efeito das deformações axiais e de cisalhamento da força cortante temse para a expressão do MCU dx EI mM Substituindo as expressões de M e m na expressão anterior obtémse x 0 dx 30x dx 3 150x x 50x dx 3 0 5 0 3 0 D Integrandose temse D 7875 x 103 m sinal negativo significando que o deslocamento horizontal D é para a direita 92 Solução Utilizando Tabelas de Integrais de Produto de Duas Funções Ao observarse a equação do MCU para estruturas com comportamento elásticolinear sujeitas a cargas estr estr estr estr S GJ dx tT GA dx f vV dx EI mM EA dx nN Notase que para estruturas ou trechos de estruturas com E G I e A constantes cada integral se resume a uma integral do produto de duas funções polinomiais ou seja estr estr estr estr S tT dx GJ 1 vV dx GA f mM dx EI 1 nN dx EA 1 Cada uma das integrais tem a forma Ι 2 1 x x f x g x dx 49 Onde fx gx podem ser funções de x0 x1 x2 x n Para facilitar o processo de integração valores de integrais de produto de diversas funções fx e gx foram tabeladas tabela de KurtBayer Esta tabela encontrase no Anexo 1 Tabela 1 assim como alguns exemplos de sua utilização Exemplo 921 Calcular o deslocamento vertical do nó C do pórtico abaixo considerando efeitos de flexão e deformação axial Dados EA 21 x 107 kN EI 4375 x 105 kNm2 A B 3 m C 80 kN 20 kNm 2 m 15 m Desprezandose o esforço cortante estr estr C mM dx EI 1 nN dx EA 1 SOLUÇÃO FASE L VA 80 kN 80 kN MA 420 kNm 20 kNm N M 48 420 160 180 A B C FASE U 50 A B C 1 MA 5 06 2 5 n m 2 1 Usandose Tabela 1 parcela de C devida à deformação axial EA dx n N BC AB N C dx EA 1 06 48 dx m 10 3429 2 5 0 6 48 10 21 1 6 N C 6 N C parcela de C devida à flexão EI dx mM AB M C EA 1 5 2 420 180 BC dx 160 2 dx 3 2 160 2 5 1 5 180 2 420 2 180 6 2 5 420 1 EI 1 BC AB M C m 10 8221 3 M C deslocamento total em C M C N C baixo para m 10 8224 3 M C obs O deslocamento devido à força normal corresponde a 004 do total em C 51 Exemplo 922 Calcular o deslocamento vertical e a rotação da extremidade D em torno do eixo CD na grelha Desprezar o efeito da força cortante A 40 kN 20 kNm 4 m 20 kN C D 2 m 2 m B EI 15 x 105 Nm2 GJ 99 x 10 4 KNm2 ângulo de 90 Desprezandose o efeito das deformações devidas à força cortante estr estr N C tT dx GJ 1 mM dx EI 1 SOLUÇÃO 1 Deslocamento vertical D FASE L C 40 kN MA480 kNm VA100 kN A TA200 kNm B 20 kN D 20 kNm M 80 T 80 480 80 200 200 52 FASE U carga unitária correspondente a D A B 1 C D 1 2 6 6 2 2 2 2 2 m t AB C EI 1 6 2 80 480 BC dx 2 200 CD dx 2 80 dx AB GJ 1 200 2 BC dx 2 80 0 0 dx dx CD O diagrama M da barra CD deve ser decomposto a tangente não é nula em D e a integral na barra CD fica Ι CD 2 80 CD dx 2 10 dx Usandose a Tabela 1 D 00552 m para baixo 2 Rotação θ D em torno do eixo CD FASE L a mesma do item B1 FASE U carga unitária correspondente a θ D 53 A B C D m t 1 0 0 1 1 1 1 0 EI 1 AB D θ 480 80 BC dx 1 200 dx 0 CD 80 AB GJ 1 dx 1 200 dx 0 BC 80 dx CD 1 0 dx Usando a tabela 1 θD 00094 rad no mesmo sentido da carga unitária Exemplo 923 Calcular o deslocamento vertical do nó G e a rotação da barra 7 da treliça EA 2 x 10 6 kN constante A B C D E 11 5 10 F 1 2 m 8 9 100 kN G 6 7 12 H 13 2 m 2 3 2 m 4 2 m 2 m 2 m 50 kN 54 Como o único esforço solicitante presente em treliças é a força normal a expressão para o deslocamento se reduz a EA dx nN estr Como além disso a força normal em cada barra é constante temse i N i 1 i i i i N i 1 i i i L EA n N dx EA n N Onde N é o número de barras da treliça e Li o comprimento da barra i SOLUÇÃO 1 Deslocamento vertical G FASE L Força normal nas barras Ni 50 100 H A 50 V A 75 VE 25 N1 25 N7 0 N2 25 N8 0 N3 25 N9 0 N4 25 N10 10607 N5 0 N11 10607 N6 0 N12 3536 N13 3536 FASE U Carga unitária correspondente a G Força normal nas barras ni 55 1 H A 0 V A 05 VE 05 n1 05 n7 0 n2 05 n8 0 n3 05 n9 0 n4 05 n10 07071 n5 0 n11 07071 n6 0 n12 07071 n13 07071 Por simplicidade o cálculo do deslocamento será neste caso calculado através de um quadro como o mostrado a seguir i 13 i 1 i i i G L EA n N BARRA ni Ni Li EAi i i i i EA n N L 1 05 25 20 2 x 10 6 125 x 10 5 2 05 25 20 2 x 10 6 125 x 10 5 3 05 25 20 2 x 10 6 125 x 10 5 4 05 25 20 2 x 10 6 125 x 10 5 5 0 0 20 2 x 10 6 0 6 0 0 2 2 2 x 10 6 0 7 0 0 40 2 x 10 6 0 8 0 0 2 2 2 x 10 6 0 9 0 0 20 2 x 10 6 0 56 10 07071 10607 2 2 2 x 10 6 1061 x 10 5 11 07071 10607 2 2 2 x 10 6 1061 x 10 5 12 07071 3536 2 2 2 x 10 6 3536 x 10 5 13 07071 3536 2 2 2 x 10 6 3536 x 10 5 33281 x 10 5 Fazendo o somatório dos elementos da última coluna G 33281 x 10 5 m para baixo 2 Rotação da barra 7 θ 7 FASE L A mesma do item C1 FASE U Carga unitária correspondente à rotação da barra binário que produz um momento unitário Força normal nas barras ni V A 0125 025 025 HA 0 VE 0125 n1 0125 n7 0 n2 0125 n8 0 n3 0125 n9 0 n4 0125 n10 01768 n5 0 n11 01768 n6 0 n12 01768 n13 01768 obs 025 L3 025 4 1 momento unitário na barra 7 Montando o quadro 57 BARRA ni Ni Li EAi i i i i EA n N L 1 0125 25 20 2 x 10 6 3125 x 10 6 2 0125 25 20 2 x 10 6 3125 x 10 6 3 0125 25 20 2 x 10 6 3125 x 10 6 4 0125 25 20 2 x 10 6 3125 x 10 6 5 0 0 20 2 x 10 6 0 6 0 0 2 2 2 x 10 6 0 7 0 0 40 2 x 10 6 0 8 0 0 2 2 2 x 10 6 0 9 0 0 20 2 x 10 6 0 10 01768 10607 2 2 2 x 10 6 2652 x 10 5 11 01768 10607 2 2 2 x 10 6 2652 x 10 5 12 01768 3536 2 2 2 x 10 6 8840 x 10 6 13 01768 3536 2 2 2 x 10 6 8840 x 10 6 3536 x 10 5 rad 10 3536 EA L n N 5 i 13 i 1 i i i 7 θ No sentido oposto ao do binário aplicado portanto antihorário 58 Exemplo 924 Calcular a rotação relativa entre as barras 1 e 4 da treliça EA 20 x 10 6 kN constante 2 m 30 kN 60 kN 1 2 4 3 5 A B C D 2 m SOLUÇÃO FASE L FASE U 30 60 A H C 30 V C 90 VD 30 05 A HC 0 VC 0 V D 0 05 05 05 Forças normais Ni das barras no quadro Forças normais ni das barras no quadro 59 Obs binários unitários 05 x 2 m de sentidos contrários nas barras 1 e 4 levam ao valor da rotação relativa diretamente BARRA ni Ni Li EAI i i i i EA n N L 1 0 30 20 2 x 10 6 0 2 07071 424 2828 2 x 10 6 424 x 10 5 3 05 60 20 2 x 10 6 30 x 10 5 4 0 30 20 2 x 10 6 0 5 05 0 20 2 x 10 6 0 124 x 10 5 rad 10 124 EA L n N 5 i 5 i 1 i i i 1 4 θ No sentido dos binários isto é aumentando o ângulo entre as barras Exemplo 925 Calcular a rotação relativa das seções da articulação do pórtico triarticulado E 21 x 10 8 kNm2 Considerar apenas efeito de flexão Momentos de inércia I1 39727 cm4 I2 19062 cm4 I3 55962 cm4 Áreas A1 100 cm2 A2 726 cm2 A3 118 cm2 60 5 m 8 m 8 m 20 kN 10 kN m B A C D E I 1 A 1 I2A2 I3A3 I3A3 FASE L 20 10 B A C D E H A 219 V A 137 V E 663 HE 419 M 1095 1095 2095 2095 A B C D E FASE U dois momentos unitários de sentidos contrários no ponto C B A C D E H A 02 V A 0 V E 0 HE 02 1 1 m 1 1 1 1 1 AB r EI 1 θ 1095 1 2 BC EI 1 dx 1095 1 dx 3 CD EI 1 2095 1 3 DE EI 1 dx 2095 1 dx 61 O diagrama M da barra CD deve ser decomposto Portanto a integral da barra CD fica CD 3 EI 1 2095 1 CD dx 80 1 dx Usando a Tabela 1 para as integrações obtémse θ 196 x 10 2 rad No mesmo sentido dos momentos Efeito da FORÇA CORTANTE no cálculo de deslocamentos A parcela correspondente à força cortante na expressão do deslocamento isto é λ v d C é muitas vezes avaliada considerandose dx GA V d S λ α onde τ τ α LN S τLN tensão de cisalhamento na linha neutra A τ V tensão de cisalhamento média S α coeficiente de cisalhamento Esta maneira de avaliar dλ é aproximada porque não considera a variação das deformações de cisalhamento ao longo da altura da viga baseouse o cálculo na distorção na linha neutra da flexão simples A consideração das deformações por cisalhamento pode ser feita de maneira mais precisa calculandose o trabalho virtual interno sobre o elemento infinitesimal de volume e considerandose a distribuição de tensões e deformações de cisalhamento na seção transversal da barra θ1 θ2 θr θ1 θ2 62 No MCU δWext δWint onde o trabalho virtual externo é δWext 1 x e o trabalho virtual interno foi considerado como δWint esforços solicitantes x deformações correspondentes integrados no comprimento da barra Para considerarse a distribuição de tensões no cálculo tomase um elemento de volume dx dy dz de uma barra sujeita a flexão e força cortante dy dx dz dy dx τ xy τ xy σ x σ x σ x tensão normal τ xy tensão de cisalhamento distribuição da tensão normal e deformação correspondente h dx σ y LN d θ ε dx dx h distribuição da tensão de cisalhamento e deformação correspondente z y b x h dx τ γ h dx γ dx No MCU as tensões são virtuais e as deformações são reais Portanto considerando validade da Lei de Hooke σ Eε e τ G γ temse 63 FASE L deformações causadas por carregamento real GIb VQ EI M y γ ε Pelas figuras notase que GIb dx VQ dx d EI dx M EIy My y dx d γ λ ε θ Onde M momento fletor na seção Y distância do ponto à linha neutra I momento de inércia da seção V força cortante na seção Q momento elástico da área acima do ponto considerado B largura da seção no ponto E módulo de elasticidade longitudinal G módulo de elasticidade transversal FASE U tensões causadas por carregamento virtual Ib VQ I my τ σ Onde m momento fletor virtual na seção v força cortante virtual na seção O trabalho virtual interno realizado por σ e τ quando acorrem ε e γ no elemento dx dy dz é δWint σ dydz ε dx τ dy dz γ dx resultante dδ resultante dλ de de força na força na seção seção Substituindo os valores de σ ε τ γ dx dy dz GI b vVQ dx dy dz EI mMy W 2 2 2 2 2 int δ 64 Integrando no volume temse o trabalho interno total dx dy dz GI b vVQ dx dy dz EI mMy W V 2 2 2 V 2 2 int Como numa seção reta da barra m M v V E G I são constantes a expressão acima pode ser escrita dy dz dx b Q GI vV y dy dz dx EI mM W A 2 2 2 A 2 2 int Mas I dy dz y A 2 momento de inércia da seção Chamando dydz b Q I A f A 2 2 2 S Podese escrever A I f dydz b Q 2 S A 2 2 O valor fs é chamado fator de forma para cisalhamento característica geométrica da seção Então estr estr S int GA dx f vV dx EI mM W Observase que a parcela devida à flexão não teve o seu valor modificado quando se integrou a tensão no volume Como Wext Wint para o caso de uma barra sujeita a força cortante e momento fletor estr estr S GA dx f vV dx EI m M Os valores de fs e de αs para algumas seções transversais comuns estão listadas a seguir 65 Seção Transversal α s fs 2 3 5 6 3 4 9 10 2 2 paredes finas alma total A A alma total A A Fonte Mecânica dos Sólidos Vol 2 Timoshenko Gere Notase que em geral fs αs portanto os deslocamentos calculados com fs são menores que os calculados com αs Na tabela anterior devese observar que nos casos de seções constituídas de retângulos finos a alma é constituída pelos retângulos verticais caso de perfis I e caixão que são os elementos responsáveis pela resistência à força cortante 93 Solução usando parcela da força cortante Exemplo 931 A estrutura seguinte foi resolvida anteriormente considerandose somente o efeito da flexão e foi encontrado para o deslocamento horizontal em D o valor 66 D M 7875 x 10 3 m para a direita Calcular agora a parcela do deslocamento devido à influência das deformações devidas à força cortante Dados EI 2 x 10 5 kNm2 GA 14 x 10 5 kN constantes e seção transversal retangular 5 fS 6 A B 50 kN D C 3 m 5 m 50 V 30 A H 1 V A 0 V D 0 FASE U 1 1 1 v Utilizando a tabela de integração de produtos o deslocamento horizontal de D devido à força cortante será 50 kN HA 50 kN V A 30 kN V D 30 kN FASE L 67 AB S V D GA f 1 50 0 dx BC 30 CD dx 1 0 dx 3 150 14 10 5 6 v V L GA f 5 AB S V D m 1286 10 4 V D O deslocamento total devido ao momento e à força cortante será m 8004 10 3 V D M D D A parcela devida à cortante é portanto 161 do deslocamento total Exemplo 932 Calcular a flecha no meio do vão da viga abaixo considerando a contribuição das deformações de flexão e do cisalhamento 45 kNm 100 m A B 2 3 2 4 8 10 kN cm G 10 kN cm aço 21 E Seção transversal Perfil VS 800 x 111 dimensões em mm Propriedades geométricas I 155074 cm4 2 mesa 80 cm A Fator de forma para cisalhamento 2 alma 62 cm A 229 62 142 A A f alma total S 2 alma mesa total 142 cm A A A obtido na tabela anterior l l 320 125 775 12 5 8 68 FASE L V 225 225 5625 M FASE U 1 V A 05 H A 0 V B 05 5 m 5 m v 05 05 m 25 GA dx vV f EI dx mM estr S estr C M Infl do momento Infl da cortante O deslocamento é composto de duas parcelas uma devida à flexão e outra ao cisalhamento Utilizando a tabela de integrais de produtos Anexo 1 temse 1 Contribuição do momento fletor M 5 0 M EI 1 25 5625 10 5 dx 25 5625 dx Substituindo os valores M 0018 m 2 Contribuição da força cortante C 5 0 C GA 1 225 05 10 5 dx 05 225 dx 45 kNm V A 225 H A 0 V B 225 A B 69 Substituindo os valores C 0001134 m A flecha será então 001913 m 0001134 0018 C M A influência da força cortante no deslocamento total é então 0593 0 C C corresponde a 593 do deslocamento total 70 10 Deslocamentos devidos a Variações de Temperatura e Deformações Prévias As estruturas isostáticas quando submetidas a variações de temperatura ou quando algumas de suas partes são executadas com dimensões diferentes das especificadas em projeto podem sofrer deformações e portanto deslocamentos de pontos devidos a estas deformações O cálculo destes deslocamentos envolve a determinação para cada caso dos valores dos deslocamentos reais dδ e dθ na expressão geral do MCU estr estr md nd θ δ É importante observar que não há o aparecimento de tensões em estruturas isostáticas sujeitas a estes tipos de agente pelo fato de não haver impedimento às deformações que ocorrem 101 Deslocamentos devidos a Variações de Temperatura Serão considerados aqui os seguintes tipos de variação de temperatura variação uniforme e variação linear ao longo da altura da seção da barra que provocam deformações distintas a Variação Uniforme de Temperatura Uma variação uniforme de temperatura provoca uma variação volumétrica na barra com mudanças nas suas dimensões sem alteração nas relações entre estas dimensões O efeito é similar ao efeito produzido por três tensões normais σx σy σz de valores iguais num estado triplo de tensões Tratandose de estruturas reticuladas podese simplificar a análise e considerar como única deformação a deformação axial variação no comprimento da barra análoga à produzida por uma força axial 71 A B B L L AB comprimento inicial AB Comprimento final Barra AB sujeita a um aumento uniforme de temperatura T A variação no comprimento de um elemento dx da barra devida a uma variação uniforme de temperatura pode ser calculado pela expressão T dx d δ α dx dδ Onde α coeficiente de dilatação térmica comumente tomado como 10 5 C 1 para concreto e aço T valor da variação de temperatura Esta variação térmica axial é análoga à deformação axial provocada pela força normal Obs Por variação uniforme de temperatura entendese que todas as fibras da barra numa seção sofrem um mesmo valor de T isto é numa seção transversal T é constante Mas ao longo do eixo da barra T pode variar o que não muda o caráter axial da deformação Portanto o valor de um determinado deslocamento devido a uma variação uniforme de temperatura á no MCU obtido pela expressão T dx n estr α A deformação térmica axial sendo análoga à deformação axial da força normal deve ter convenção de sinais compatível com os sinais das deformações da força normal Assim como em geral considerase força normal de tração com sinal positivo que tende a alongar a elemento de barra produzindo deformação axial positiva o acréscimo de temperatura T tende a causar alongamento do elemento de barra deformação axial térmica que deverá ser considerada 72 positiva Portanto considerandose acréscimos de temperatura como positivos e decréscimos como negativos obtémse uma convenção de sinais compatível com as deformações normais baseadas na convenção de sinais onde força normal de tração é positiva e de compressão negativa b Variação Linear de Temperatura na altura da barra Se a variação de temperatura numa face da barra é diferente da variação na face oposta podese admitir a variação de temperatura ao longo da altura da seção como linear Esta hipótese pode ser verificada experimentalmente e a deformação sofrida pela barra é análoga à deformação provocada por um momento fletor Se a variação de temperatura for nula no centro de gravidade a deformação é análoga a uma flexão pura S Flexão provocada por uma variação linear de temperatura do tipo h S T1 T2 CG Variação linear de Temperatura ao longo da altura h na seção transversal S É nula no centro de gravidade CG vale T2 na face inferior e T1 na face superior A rotação dθ produzida por uma variação linear de temperatura pode ser calculada da seguinte forma 73 T1 0 Decréscimo de temperatura T2 0 Acréscimo de temperatura Para pequenos deslocamentos h d d tg d d T1 T 2 δ δ θ θ Sendo dx T d 2 T 2 α δ alongamento da fibra da face inferior caso T2 0 e dx T d 1 T1 α δ encurtamento da fibra da face superior caso T1 0 variação de comprimento das fibras inferior e superior quando sujeitas a T2 e T1 respectivamente notar que T 2 d δ e T1 d δ têm sinais contrários Portanto a expressão de dθ fica dx h T T d 1 2 θ α Um deslocamento qualquer devido a variação linear de temperatura pode ser calculado através da expressão estr 1 2 dx h T m α T Obs Devese considerar como T2 a variação de temperatura na face de referência de acordo com a convenção de sinais do momento fletor e como T1 a variação de temperatura na face oposta para que haja consistência com a Fase U sinal de m isto é dθ positivo quando há alongamento nas fibras da face de referência deformação análoga àquela causada pelo momento fletor positivo Muitas vezes temse uma variação linear de temperatura com um valor diferente de zero no centro de gravidade Nestes casos é possível decompor a solicitação em uma parcela de variação uniforme e outra de variação linear com h T 1 T2 CG d θ d θ dx d δ T1 d δ T2 74 valor nulo no centro de gravidade Cada parcela deve então ser tratada separadamente Este procedimento é mostrado na figura seguinte CG a b c T 1 T CG T 2 TCG T1 TCG T1 T2 TCG T2 A variação linear de temperatura mostrada em a é decomposta numa variação uniforme com valor da variação igual ao valor de TCG no centro de gravidade da seção b e numa variação linear com valor nulo no centro de gravidade CG Um deslocamento produzido por este tipo de solicitação será então calculado através da soma dos dois efeitos estr 1 2 estr CG dx h T T m dx T n α α Sendo dx T d δ α CG dx h T T d 1 2 θ α Notar que considerandose sempre os valores de T2 T1 e TCG positivos no caso de aumento de temperatura e negativos no caso de redução e além disto T2 a variação de temperatura na face de referência T1 a variação de temperatura na face oposta os sinais de dδ e dθ obtidos nas respectivas expressões ficarão compatíveis com a convenção de sinais da força normal e do momento fletor 102 Deslocamentos devidos a Deformação Prévia Quando uma ou mais barras de uma estrutura sofrem defeitos de fabricação tais como uma mudança no seu comprimento estes efeitos denominados deformações prévias podem introduzir alterações na geometria da 75 estrutura montada e conseqüentemente deslocamentos dos pontos em relação à posição inicialmente projetada Nestes casos a Fase L do MCU referese às deformações prévias que já constituem diretamente os valores de barra barra barra barra d d d d φ λ θ No caso da estruturas isostáticas estas deformações prévias das barras não introduzem esforços nas estruturas apesar da alteração da configuração geométrica 103 Exemplos de aplicação Exemplo 1031 Na treliça abaixo calcular o deslocamento vertical do nó C provocado por um aumento uniforme de temperatura igual a 40 C nas barras 1 e 2 A B C D E 1 2 3 4 5 6 15 m 15 m 05 m 05 m EA 2 x 10 6 kN α 105 C A expressão para o deslocamento será estr n d δ onde T d δ α FASE L 40ºC T T 2 1 T dx d δ α dx 4 10 40 dx 10 T dx d 4 5 1 1 δ α dx 4 10 T dx d 4 2 2 α δ Como T das barras 3 4 5 6 é zero temse 0 d d d d 6 4 4 3 δ δ δ δ 76 FASE U Resolvendo a treliça temse A B C D E 1 2 3 4 5 6 HÁ 30 VÁ 0 HE 30 VE 10 1 n1 30 n4 0 n2 30 n5 3163 n3 0 n6 3163 número de barras N n d n d i N i 1 i estr C δ δ Como n e T d δ α são constantes em cada barra onde L é o comprimento da barra i T L n dx T n i i i N i 1 i i i N i 1 i C α α Portanto substituindose os valores temse para baixo 0036 m 0 2 1 5 4 10 3 0 T L n T L n C 4 C 2 2 2 1 1 1 C α α b Calcular na mesma treliça anterior o deslocamento vertical do nó C provocado por um aumento no comprimento da barra 6 de 1 cm ocorrido em função de um erro de fabricação n dδ Neste caso a deformação média εx da barra é dada por i L δ e a deformação axial do elemento de barra i dx d x i ε δ e dx L d i i δ δ então 77 i i i n i 1 i L 0 i n i 1 i i n i 1 barra i i estr n L L dx L n n d n d 1 i δ δ δ δ L dx dx d x δ ε δ FASE L 001 m dx L n dx L n d n 0 n d n d n d n d d n 6 0 6 6 6 6 6 6 6 6 5 4 3 2 1 δ δ δ δ δ δ δ δ FASE U Como o deslocamento procurado neste exemplo é o mesmo do exemplo anterior deslocamento vertical em C a Fase U é a mesma anterior carga unitária vertical em C Substituindo os valores como n é constante em cada barra para cima 0316 m 0 001 163 3 para as outras barras é zero d d n d n C C 6 6 C i N i 1 i C δ δ δ c Calcular no pórtico da figura o deslocamento de C produzido por uma variação linear de temperatura na barra AB como mostrada no esquema 78 A variação de temperatura existente pode ser decomposta nos efeitos de T uniforme e linear conforme mostrado abaixo 40 C 15 C TCG 275 C I T2 125 C II T1 125 C Tratando separadamente os efeitos de deformação axial e flexão temse estr I C n d I δ FASE L B C A I c Efeito de I α 10 5 C1 variação de temperatura na barra AB T1 40 C T2 15 C Seção transversal 40 cm 15 cm T 2 T 1 B C A 15 m 3 m 15 40 posição da barra 79 0 T pois 0 dx T d dx 75 10 2 d 27 5 dx 10 dx T d BC BC BC 4 AB 5 AB AB α δ δ α δ FASE U B C A 10 HA 0 VA 10 MA 15 10 n 15 15 m nAB 10 nBC 0 mAB 15 mBC 10 x 15 0 Substituindo para cima m 25 10 8 dx 75 10 2 1 d n 4 I C 3 0 4 AB AB AB I C δ A B Efeito de II C C II estr II C m d II θ FASE L 0 T pois T 0 d dx 625 10 d dx 40 12 5 12 5 10 dx h T T d BC 1 2 BC 4 AB 5 1 2 AB θ θ α θ 80 FASE U a mesma anterior 5 1 0 AB AB x 1 0 m 1 5 m Substituindo m para baixo 2813 10 dx 625 10 1 5 3 II C AB 4 II C O deslocamento total será II C I C c para baixo m 1988 10 3 c 81 11 Como usar a tabela de Integrais de Produto de Duas Funções Na utilização da tabela no Método da Carga Unitária o valor m nas colunas corresponde ao valor da força normal n do momento fletor m da força cortante v ou do momento de torção t obtidos na fase de aplicação da carga unitária FASE U O valor M nas linhas corresponde ao valor da força normal N do momento fletor M da força cortante V ou do momento de torção T obtidos na fase de aplicação do carregamento real FASE L Sendo L o trecho a ser integrado o valor da integral é obtido no cruzamento da linha e da coluna correspondentes aos diagramas do esforço em questão nas fases L e U respectivamente Exemplo 111 A integral Ι B A m M dx para uma barra AB para a qual Fase L 10 kN 20 kNm 20 kN L 2 m A B A B M 20 kNm diagrama de momento fletor Fase U A 2 1 1 A B m 2 diagrama de momento fletor Será cruzando linha M e coluna m Ι 2 0 2 20 2 20 2 4 1 4 m M L 1 dx Ι 20 Devese atentar para o fato de que na tabela apresentada os diagramas de funções quadráticas e cúbicas possuem tangente nula nos pontos assinalados com e respectivamente 82 Se a função a ser integrada não corresponde aos casos abordados na tabela devese decompor o diagrama de maneira a que se recaia na combinação de casos simples constantes na tabela Provase que no caso de parábolas quadráticas qualquer diagrama pode ser decomposto em dois conforme mostrado abaixo L L L a b b a 8 qL M 2 MAX Quaisquer que sejam os valores de a b positivos ou negativos Onde L comprimento do trecho q carga distribuída no trecho a b valores extremos da função Exemplo 112 Desejase calcular Ι L 0 m M dx na barra AB Fase L A B 10 kN 20 kNm 30 kNm 2 m 5 kN 15 kN 30 20 M Fase U 1 1 0 0 1 m 83 Ι 2 0 1 30 20 dx O diagrama de M não é encontrado na tabela Desta forma devese decompor o mesmo 30 20 20 30 5 8 2 10 8 qL M 2 2 MAX A integral portanto calculase Ι 2 0 20 1 30 2 0 dx 1 5 dx 33 43 2 3 1 5 2 30 2 2 1 20 1 3 m M L 2 M L 2 m M 1 2 1 Ι Ι