Análise de Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas: Conceitos e Diagrama de Esforços Internos

Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas Análise Estrutural Conceitos Bibliografia SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural Globo vol 1 1980 HIBBELER R C Análise de estruturas 8 ed São Paulo Pearson Education 2013 Ebook Disponível em httpsplataformabvirtualcombrLeitorPublicacao3819pdf0 BOTELHO Manoel Henrique Campos Resistência dos materiais para entender e gostar 2ed São Paulo Blucher 2013 Ebook Disponível em httpsplataformabvirtualcombrLeitorPublicacao177895pdf0 KASSIMALI A Analise Estrutural Cengage Learning 5ª edição 2015 ISBN 9788522124985 Cargas coplanares Esforços externos Reações de apoio𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝑀𝐴 Cargas aplicadas P1 e P2 Esforços internos esforços na seção aa Diagrama de esforços internos em vigas Momento fletor MB Normal NB Cortante VB CONVENÇÃO DE SINAL PARA ESFORÇOS INTERNOS Somatório das forças internas será igual a zero pois essas forças entre as partículas do próprio corpo ocorrem aos pares são opostas e de mesma intensidade conforme a terceira lei de Newton Somatório das forças externas 𝐹𝑥 0 𝐹𝑦 0 𝑀𝑜 0 Representação gráfica V x x M Diagrama de cortante Diagrama de momento fletor N x Diagrama de normal Observação no eixo horizontal x temos os pontos da viga Aspecto geral das curvas nos diagramas Carregamento Curva dos diagramas Observação Mx Vx carga distribuída linear 3 grau 2 grau Mx V e Vx w carga distribuída constante w 2 grau 1 grau Mx V e Vx w força pontual F 1 grau força constante ΔV F momento fletor aplicado M0 momento constante nula ΔM M0 Aspecto geral das curvas nos diagramas V esforço cortante M momento fletor 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤 𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 Exemplo Calcular o diagrama de esforços internos para a viga a seguir A B C A B C 𝑨𝒚 𝟎 𝑨𝒙 𝑩𝒚 𝟐𝟎𝑲𝑵 Reações de apoio 𝑀𝐴 0 𝐵𝑦 4 10 2 10 6 0 𝐵𝑦 20 𝐾𝑁 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 10 20 10 0 𝐴𝑦 0 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 Diagrama de cortante aplicando equação de equilíbrio 𝐹𝑦 0 Trecho AB equação de 1 grau Trecho BC constante 𝑉𝐴 0 𝑉𝐵 𝐴𝐵 𝐹𝑦 0 10 𝑉𝐵 𝐴𝐵 0 𝑉𝐵 𝐴𝐵 10 𝐾𝑁 Menos no resultado significa que o sentido que eu coloquei para 𝑉𝐵 𝐴𝐵 tem que ser trocado para que o equilíbrio exista Internamente a força à direita do corpo para cima é negativo 𝑉𝐵 𝐵𝐶 𝐹𝑦 0 10 𝑉𝐵 𝐴𝐵 20 0 𝑉𝐵 𝐴𝐵 10 𝐾𝑁 Mais no resultado significa que o sentido que eu coloquei para 𝑉𝐵 𝐵𝐶 está certo para que o equilíbrio exista Internamente a força à direita do corpo para baixo é positivo 𝑉𝐶 10 𝐾𝑁 25 4 10 𝐾𝑁 2 m 10 10 20 10 No ponto B para o diagrama de cortante existirá uma descontinuidade que vale a força aplicada em B reação de apoio O mesmo ocorre para o ponto C 10 KN V KN A B C 𝑨𝒚 𝟎 𝑨𝒙 𝑩𝒚 𝟐𝟎 25 4 10 𝐾𝑁 2 m 10 10 Outra forma para calcular o diagrama de cortante Se eu caminhar na viga da esquerda para a direita basta seguir o sentido da força que estarei respeitando a convenção de sinais para cortante interno Ou seja se a força está para baixo eu subtraio o valor no diagrama se a força está para cima eu somo no diagrama 𝑉𝐴 0 não tenho força aplicada em A 𝑉𝐵 𝐴𝐵 0 25 4 10 acrescento a carga distribuída em 4 m 𝑉𝐵 𝐵𝐶 10 20 10 somo a força aplicada em B de 20 KN 𝑉𝐶 10 10 0 chego com o valor de 10 KN constante até C e acrescento a força aplicada de 10 KN V KN A B C 𝑨𝒚 𝑨𝒙 𝑩𝒚 25 4 10 𝐾𝑁 2 m 10 10 Diagrama de momento aplicando equação de equilíbrio 𝑀 0 Trecho AB 2 grau Trecho BC 1 grau Nos extremos sempre tenho zero Se eu tiver um momento aplicado nos extremos tenho zero mais o momento aplicado Não é o caso do ponto A e C 𝑀𝐴 0 𝑀𝐶 0 Em B tenho o mesmo valor de momento interno para os 2 trechos porque não tenho momento aplicado em B 𝑀𝐵 𝑀𝑠 0 10 2 𝑀𝐵 0 𝑀𝐵 20 𝐾𝑁𝑚 Para que o equilíbrio exista preciso que o momento esteja sentido contrário ao que considerei inicialmente O momento à direita do corpo no sentido horário é negativo internamente 20 V KN M KNm Vigas com Dentes Gerber Definição de viga Gerber tratase da associação de vigas com estabilidade própria com outras sem estabilidade própria apoiadas sobre as primeiras que dão a estabilidade ao conjunto Tem estabilidade própria Não tem estabilidade própria A parte que não tem estabilidade própria se apoia na parte que tem estabilidade própria Como o ponto C é um ponto de transmissão de forças não transmitindo momento algum ele será representado por uma rótula Procedimento para resolver viga Gerber 1 Decompor a viga Gerber nas vigas que a constituem 2 Inicialmente resolver aquelas sem estabilidade própria 3 Em seguida as dotadas de estabilidade própria para as cargas que lhe estão diretamente aplicadas acrescidas para estas últimas das forças transmitidas pelas rótulas Para determinar as quatro reações de apoio dispomos das três equações da Estática no plano 𝑿 𝟎 𝒀 𝟎 𝑴 𝟎 e devido à existência da rótula em C o que significa não haver transmissão de momento em C temos uma quarta equação dizendo que o momento fletor em C é nulo 𝑴𝑪 𝟎 4 equações e 4 incógnitas 𝑨𝒙 𝑨𝒚 𝑩𝒚 e 𝑫𝒚 diagramas solicitantes na viga Gerber As vigas Gerber tiveram seu aparecimento por motivos de ordem estrutural e construtiva 7 Reações de apoio 3 equações de equilíbrio 4 rótula logo temos 4 equações momento interno na rótulo vale zero Tem estabilidade e o número de equações é igual ao número de reações Isostática httpswwwyoutubecomwatchvJmNMuVzDA4 1 Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Figura abaixo Exemplos Para calcular as reações de apoio vamos decompor a viga sempre de rótula em rótula Primeiro vamos calcular a viga sem estabilidade própria viga CD que se apoio na viga com estabilidade própria viga AC transmitindo esforços para esta viga Observa que as forças aplicadas na rótula 12 KN e 16 KN vou considerar em apenas uma viga Se considerei na viga CD não vou considerar na viga AC A B C D C D A B C Decomposição da viga Decomposição da viga A B C D D C A B C Para calcular as reações de apoio vamos decompor a viga sempre de rótula em rótula Primeiro vamos calcular a viga sem estabilidade própria viga CD que se apoio na viga com estabilidade própria viga AC transmitindo esforços para esta viga Observa que as forças aplicadas na rótula vou considerar em apenas uma viga Se considerei na viga CD não vou considerar na viga AC Reações de apoio Viga CD 𝑀𝐷 0 𝐶𝑦 3 12 3 3 0 𝐶𝑦 22 𝐾𝑁 𝐹𝑦 0 22 12 𝐷𝑦 0 𝐷𝑦 1 𝐾𝑁 𝐹𝑥 0 𝐶𝑥 16 0 𝐶𝑥 16 Viga AC 𝑀𝐴 0 22 3 1 1 𝑀0 0 𝑀0 76 𝐾𝑁𝑚 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 1 22 0 𝐴𝑦 32 𝐾𝑁 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 16 0 𝐴𝑥 16 𝐾𝑁 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟔 Decomposição da viga A B C D D A B C 𝑪𝒙 𝑪𝒚 𝑫𝒚 𝟐 𝟐 𝟏 𝟔 𝑨𝒚 𝑨𝒙 𝑴𝟎 1 KN 1 m 𝟑 𝟐 𝟏 𝟔 𝟕 𝟔 𝟐 𝟐 𝟏 𝟔 A B C D 𝟑 𝟐 𝟏 𝟔 𝟕 𝟔 𝟏 Diagrama de cortante Caminhando com as forças da esquerda para a direita consigo montar o diagrama de cortante ou seja Se a força está para cima vou para cima no diagrama Se a força está para baixo vou para baixo no diagrama Trecho AB 1grau Trecho BC constante Trecho CD constante 𝑉𝐴 32 𝐾𝑁 força aplicada em A 32 𝑉𝐵 32 1 22 𝐾𝑁 Entre A e B acrescento a carga distribuída de 05 2 𝑉𝐶 𝐵𝐶 22 𝐾𝑁 chego com a carga constante de 22 KN lembrando que neste trecho não carga distribuída 𝑉𝐶 𝐶𝐷 22 12 1 𝐾𝑁 acrescento a força aplicada de 12 KN 𝑉𝐷 1 1 0 chego a carga constante de 1 KN em D porque não tenho carga distribuída e acrescento a força aplicada em D de 1 KN fechando o meu diagrama em zero V KN 32 22 10 A B C D 𝟑 𝟐 𝟏 𝟔 𝟕 𝟔 𝟏 Diagrama de momento Trecho AB 2 grau Trecho BC 1 grau Trecho CD 1 grau 𝑀𝐴 76 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 32 2 76 1 1 22 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 76 32 3 1 2 0 rótula 𝑀𝐷 3 𝐾𝑁𝑚 V KN 32 22 10 76 22 B C 3 M KNm A B C D 𝟑 𝟐 𝟏 𝟔 𝟕 𝟔 𝟏 Diagrama de normal Em todos os trecho a normal é constante 𝑁𝐴 16 𝐾𝑁 𝑁𝐵 16 𝐾𝑁 𝑁𝐶 𝐴𝐶 16 𝐾𝑁 𝑁𝐶 𝐶𝐷 16 16 0 𝐾𝑁 𝑁𝐷 0 𝐾𝑁 V KN 32 22 10 76 22 3 M KNm 16 N KN 0 2 Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Figura abaixo A B C D E F 𝟓 𝟓 𝟎 𝟓 A B C D E F 𝑩𝒚 𝑪𝒚 1 2 2 𝐾𝑁 𝟎 𝟓 𝑫𝒚 𝑬𝒚 1 3 3 𝐾𝑁 Reação na viga AC 𝑀𝐶 3 3 𝐵𝑦 2 2 1 0 𝐵𝑦 55 𝐾𝑁 𝐹𝑦 0 3 55 2 𝐶𝑦 0 𝐶𝑦 05 𝐾𝑁 Reação na viga CF 𝑀𝐷 05 1 3 05 𝐸𝑦 2 8 0 𝐸𝑦 3 𝐾𝑁 𝐹𝑦 0 05 3 𝐷𝑦 3 8 0 𝐷𝑦 135 𝐾𝑁 𝟎 𝟓 𝟏𝟑 𝟓 𝟑 A B C D E F 𝟓 𝟓 𝟏𝟑 𝟓 𝟑 Diagrama de cortante Trecho AB constante Trecho BC 1 grau Trecho CD 1 grau Trecho DE 1 grau Trecho EF 0 𝑉𝐴 3 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 3 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐶 3 55 25 𝐾𝑁 𝑉𝐶 25 1 2 05 𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐶𝐷 05 1 1 05 𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 05 135 8 50 𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐷𝐸 50 1 2 3 𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐸𝐹 3 3 0 3 25 05 05 50 30 0 V KN A B C D E F 𝟓 𝟓 𝟏𝟑 𝟓 𝟑 Diagrama de momento Trecho AB 1 grau Trecho BC 2 grau Trecho CD 2 grau Trecho DE 2 grau Trecho EF constante 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 3 1 3 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 0 3 3 55 2 2 1 0 𝑀35𝑚 3 35 55 25 1 25 125 0125 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 8 3 2 2 1 0 𝑀𝐸 8 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐹 8 𝐾𝑁𝑚 3 25 05 05 50 30 0 V KN M KNm 3 0125 8 3 Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Figura abaixo A B C A B C 𝐵𝑦 𝐶𝑦 2667 𝐴𝑦 Reação de apoio da viga BC 𝑀𝐶 0 10 𝐵𝑦 3 4 3 15 0 𝐵𝑦 2667 𝐾𝑁 𝐹𝑦 0 2667 4 3 𝐶𝑦 0 𝐶𝑦 9333 𝐾𝑁 Reação de apoio da viga AB 𝑀𝐴 0 𝑀0 10 2667 2 4 2 1 0 𝑀0 3334 𝐾𝑁𝑚 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 4 2 2667 0 𝐴𝑦 10667 𝐾𝑁 9333 2667 10667 3334 2667 9333 10667 3334 A B C V KN M KNm 10667 10667 4 2 2667 2667 4 3 9333 𝑀𝐴 3334 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝐴𝐵 10667 2 3334 4 2 1 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝑟ó𝑡𝑢𝑙𝑎 10 10 0 𝑀𝐵 𝐵𝐶 0 10 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 0 𝐾𝑁𝑚 Semelhança de triângulo 2667 9333 𝑥 3𝑥 2667 3 𝑥 9333𝑥 8 2667𝑥 9333𝑥 𝑥 8 26679333 067 𝑚 x 3x 233 𝑀𝑚á𝑥 𝐵𝐶 9333 233 4 233 233 2 1088 10 1088 4 Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Figura abaixo A B C D E F 5 Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Figura abaixo