Atividade Valendo 4 Pontos de Intr a Análise

Atividade Extra de Introdução em Análise Matemática Professor Fabrício Lima INSTRUÇÕES Leia atentamente a tarefa abaixo A resposta deve ser escrita à mão utilizando lápis de tinta azul ou preto PRAZO PARA ENVIO No dia da 3ª Prova de Introdução à Análise Resolva as questões a seguir Questão 1 Suponha que uma função 𝑔 é contínua em 0 e que 𝑔0 0 Considere que uma função 𝑓 é tal que 𝑓𝑥 𝑔𝑥 para todo 𝑥 Mostre que 𝑓 também é contínua em 0 Questão 2 Mostre que lim 𝑥0 𝑥4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 0 Questão 3 Use o TVI para mostrar que a equação abaixo tem solução cos𝑥 𝑥 Questão 4 Mostre que todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais possui uma raiz real ALUNO 1 g contínua em 0 e g0 0 Função f tal que fx gx x Devemos mostrar que a função f é contínua em 0 ou seja que lim fx f0 x0 Por hipótese g é contínua em 0 e g0 0 então lim gx g0 0 x0 por definição de limite temos que ε 0 δ 0 tal que se x0 δ então gx g0 ε ou seja x x δ então gx ε Ainda por hipótese temos fx gx para todo x em particular para x 0 logo f0 g0 0 f0 0 Daí como f0 0 fx gx x e gx ε temos que fx ε Logo com o mesmo δ 0 da continuidade de g ε 0 δ 0 tal que se x δ então fx gx ε fx ε Portanto lim fx 0 f0 x0 f é contínua em 0 2 Devemos mostrar que lim x4 cos2x 0 x0 Sabemos que cosu é uma função limitada para todo u ou seja 1 cosu 1 para todo u em particular para u 2x x 0 Assim 1 cos2x 1 x 0 Ou x4 x4 cos2x x4 I Como lim x4 lim x4 0 podemos usar o teorema do confronto na desigualdade I e com isso obtermos que lim x4 cos2x 0 x0 x0 Outra forma de resolver essa questão é usando um teorema que diz que lim fx gx 0 se uma das funções for a zero e a outra for limitada por exemplo lim fx 0 e gx M lim fx gx 0 x0 x0 3 Devemos usar o TVI para mostrar que cos x x tem solução O TVI diz que se f I ℝ é contínua com a b I tais que fa d fb então c ℝ tal que fc d Para resolver essa questão primeiro vamos definir fx cos x x f ℝ ℝ para mostrar que f tem solução pelo TVI vamos observar o comportamento da f para outros pontos x π2 fπ2 cosπ2 π2 π2 0 x π2 fπ2 cosπ2 π2 π2 0 Então como fx cos x x é contínua pois é a substituição de funções contínuas e fπ2 0 e fπ2 0 então pelo TVI c π2 π2 tal que fc 0 Logo fx cos x x tem solução 4 Devemos mostrar que todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real Suponha px um polinômio dado por px a0 a1 x an xn x ímpar e an 0 Veja que p ℝ ℝ então analisaremos o comportamento de p nos extremos ou seja x e x Para isso vamos dividir em dois casos dependendo do sinal de an que o coeficiente dominante de p Caso 1 an 0 lim px e lim px x x Caso 2 an 0 lim px x e lim px x Podemos observar que tanto no caso 1 como no caso 2 o polinômio troca de sinal quando x e x Além disso px é contínuo todo polinômio é Logo pelo TVI existe c R tal que pc 0 ou seja pelo menos uma raíz real c R