Limite e Continuidade - Roteiro Introdutorio para Analise Matematica

ROTEIRO O7 LIMITE E CONTINUIDADE 1 Introdução O conceito de limite é um dos pilares da análise matemática e juntamente com a continuidade constitui a base para muitas das descobertas e avanços em diversos campos da matemática moderna Essas duas ideias aparentemente abstratas têm aplicações práticas tanto na pesquisa matemática quanto em questões do cotidiano O limite lida com a ideia de como uma função se comporta à medida que suas entradas valores de uma variável se aproximam de determinado ponto O conceito de aproximação é central para isso Por exemplo se desejamos entender o comportamento de uma função conforme uma variável se aproxima de zero ou de um número específico utilizamos o limite Sem ele não poderíamos explorar com rigor fenômenos que envolvem valores que tendem a um resultado sem necessariamente alcançálo diretamente A continuidade de uma função reflete a fluidez com que ela se comporta isto é uma função contínua não sofre saltos bruscos Na prática uma função contínua permite que pequenos ajustes em suas entradas resultem em pequenos ajustes nas saídas Isso é vital para garantir previsibilidade e controle em diversos contextos científicos e tecnológicos Na pesquisa matemática limite e continuidade são fundamentais para o desenvolvimento do cálculo uma ferramenta indispensável em várias áreas como a física a economia e a biologia Limites permitem o estudo de séries infinitas enquanto a continuidade é essencial na formulação de equações diferenciais que modelam desde o crescimento populacional até fenômenos eletromagnéticos Em especial o cálculo diferencial e integral que se apoia fortemente nesses conceitos abriu caminhos para a formulação de teoremas importantes e para o estudo de áreas complexas como a teoria do caos topologia e a matemática pura No cotidiano esses conceitos também aparecem de forma prática Quando falamos sobre velocidade instantânea em um carro estamos essencialmente falando de um limite A velocidade que vemos no velocímetro é o limite da distância percorrida sobre o tempo decorrido em um intervalo de tempo cada vez menor Outro exemplo é na economia ao calcular tendências de mercado onde a análise de limites e continuidade ajuda a prever o comportamento de funções econômicas Além disso em processos de engenharia a continuidade é crucial para garantir o funcionamento suave de mecanismos sem falhas repentinas Em áreas como a medicina limites e continuidade são usados na análise de dados de sinais vitais para prever variações sutis como as variações do batimento cardíaco ao longo do tempo 2 Limite Definição Sejam 𝑓 𝑋 ℝ uma função e 𝑎 ℝ um ponto de acumulação1 de 𝑋 Dizemos que lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 𝜖 0 𝛿 0 𝑥 𝑋 0 𝑥 𝑎 𝛿 𝑓𝑥 𝐿 𝜖 EA01 Mostre que a lim 𝑥1 3𝑥 2 5 b lim 𝑥3 𝑥2 2 7 c lim 𝑥5 𝑥 1 2 Proposição Heine Sejam 𝑓 𝑋 ℝ uma função e 𝑎 ℝ um ponto de acumulação de 𝑋 São equivalentes as afirmações i lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 ii 𝑥𝑛 𝑋 𝑥𝑛 𝑎 𝑥𝑛 𝑎 𝑛 ℕ 𝑓𝑥𝑛 𝐿 EA02 Prove que não existe lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 EA03 Prove que lim 𝑥0 𝑥𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 0 Exercícios de Fixação EF01 Sabendo que lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 mostre que lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 EF02 Suponha que 𝑥 𝑔𝑥 𝑥4 Calcule lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑥 1 Dizemos que um número é um ponto de acumulação de um conjunto quando a vizinhança desse número contém elementos do conjunto diferente dele EF03 Dada a função 𝑓 ℝ ℝ definida por 𝑓𝑥 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ℚ 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ℚ Mostre que lim 𝑥0 𝑓𝑥 0 mas lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 se 𝑎 0 EF04 Use a definição para provar que lim 𝑥6 5 𝑥1 1 EF05 Existe um número 𝑎 tal que lim 𝑥2 3𝑥2 𝑎𝑥 𝑎 3 𝑥2 𝑥 2 exista Caso afirmativo encontre o valor de 𝑎 e o valor do limite EF06 Um torneiro mecânico é necessário para fabricar um disco de metal circular com área de 1000 𝑐𝑚2 a Qual o raio produzido b Se for permitido ao torneiro uma tolerância de erro de 5𝑐𝑚2 na área do disco quão próximo do raio ideal da parte a o torneiro precisa controlar o raio c Em termo de definição de 𝜖 𝛿 de lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 o que é 𝑥 O que é 𝑓𝑥 O que é 𝑎 O que é 𝐿 Qual o valor de 𝜖 dado Qual o valor correspondente de 𝛿 EF07 Sabendo que lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 1 calcule lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛21𝑥 7𝑥 EF08 Mostre que lim 𝑥0 𝑥4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 0 EF09 Calcule a lim 𝑥0 𝑡𝑔8𝑥 𝑡𝑔9𝑥 b lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛78𝑥 13𝑥 EF10 Se lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛𝑥3 𝑥2𝑠𝑒𝑛3𝑥 1 𝑎 determine o valor de 𝑎 EF11 Determine um inteiro 𝑏 6 para que lim 𝑥0 𝑥𝑏𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥6 2 EF12 Determine o valor de 𝑎 sabendo que lim 𝑥0 𝑥10𝑠𝑒𝑛6𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥11 𝑎 EF13 Sejam 𝑎 𝑏 e 𝑐 reais fixos e suponha que para todo 𝑥 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 𝑥3 Prove que 𝑎 𝑏 𝑐 0 EF14 Se 𝑓𝑥 10 5𝑥 23 para todo 𝑥 calcule lim 𝑥2 𝑓𝑥 3 Continuidade Dizemos que uma função 𝑓 𝑋 ℝ é contínua no ponto 𝑎 𝑋 se e somente se para qualquer 𝜖 0 escolhido existir 𝛿 0 tal que 𝑥 𝑋 tal que 𝑥 𝑎 𝛿 implicar em 𝑓𝑥 𝑓𝑎 𝜖 Proposição Uma função 𝑓 𝑋 ℝ é contínua no ponto 𝑎 𝑋 𝑋 se e somente se lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑓𝑎 EA04 Verifique se a função abaixo é contínua em 𝑥 2 𝑓𝑥 𝑥2 4 𝑥 2 𝑠𝑒 𝑥 2 𝑥2 3𝑥 6 𝑠𝑒 𝑥 2 EA05 Suponha que uma função 𝑓 satisfaz 𝑓𝑥 𝑥 para todo 𝑥 Mostre que 𝑓 é contínua EA06 Seja 𝑓 ℝ ℝ uma função contínua que se anula nos racionais Prove que 𝑓 é identicamente nula Exercícios de Fixação EF15 Mostre que toda função 𝑓 ℤ ℝ é contínua EF16 Mostre que se 𝑓 𝑋 ℝ é contínua então 𝑓 é contínua Dê um exemplo para mostrar que a recíproca não é verdadeira EF17 Uma função 𝑓 é dita ser simetricamente contínua em um ponto 𝑥 se lim ℎ0𝑓𝑥 ℎ 𝑓𝑥 ℎ 0 Mostre que se 𝑓 é contínua em um ponto então ela é simetricamente contínua no ponto mas a recíproca não é verdadeira EF18 Um estacionamento cobra 3 pela primeira hora ou parte dela e 2 por hora sucessiva ou parte até o máximo de 10 a Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma função do tempo decorrido b Discuta as descontinuidades da função e sua significância para alguém que use o estacionamento EF19 Mostre que a função 𝑓 11 ℝ definida logo abaixo é contínua 𝑓𝑥 2𝑥2 2𝑥 𝑠𝑒 𝑥 1 1 2 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 1 2 0 𝑥𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 0 1 EF20 Suponha que uma função 𝑔 é contínua em 0 e que 𝑔0 0 Considere que uma função 𝑓 é tal que 𝑓𝑥 𝑔𝑥 para todo 𝑥 Mostre que 𝑓 também é contínua em 0 DESAFIO Considere a função 𝑓 01 01 definida da seguinte forma 𝑓1 1 e se 𝑎 0 𝑎1𝑎2𝑎3 é a representação decimal de 𝑎 escrito sem terminar em 999 quando possível Por exemplo 022999 é trocado por 023 Defina 𝑓𝑎 00𝑎10𝑎20𝑎3 Verifique se 𝑓 é contínua em 022