o Assunto É Números Reais Info e Supremo

EF03 Sejam A e B conjuntos limitados em ℝ Mostre que a A B é limitado b supA B maxsupAsupB c Se A B a b a A b B então supA B supA sup B d Se A B a b a A b B então infA B infA infB EF03 Sejam A e B conjuntos limitados em ℝ Mostre que a A B é limitado Um conjunto S ℝ é dito limitado se existe um número real M 0 tal que x M para todo x S Equivalentemente S é limitado se existe M 0 tal que inf S sup S Ou seja S é limitado se suas infimum e supremum são finitas Sejam A e B conjuntos limitados em ℝ Por definição existem números reais MA e MB tais que x MA para todo x A y MB para todo y B Vamos analisar o conjunto A B Dado que A ℝ e B ℝ temos que A B ℝ Para todo z A B temos duas possibilidades z A z B Se z A então z MA Se z B então z MB Assim para qualquer z A B temos z maxMA MB Portanto o conjunto A B é limitado por M maxMA MB Como A B é limitado por M maxMA MB concluímos que A B é um conjunto limitado b supA B maxsupA supB Primeiro notamos que supA e supB são os supremos de A e B respectivamente Como A B contém todos os elementos de A e B é evidente que supA B deve ser ao menos supA e supB Vamos formalizar isso supA B maxsupA supB Para qualquer x A B temos duas possibilidades x A então x supA x B então x supB Logo x maxsupA supB para todo x A B o que implica que supA B maxsupA supB supA B maxsupA supB Seja M maxsupA supB Por definição de máximo M supA e M supB Isso significa que Para qualquer x A temos x supA M Para qualquer x B temos x supB M Portanto todo elemento de A B é limitado superiormente por M o que implica que supA B M maxsupA supB Como mostramos as duas desigualdades supA B maxsupA supB c Se A B a b a A b B então supA B supA sup B Primeiro vamos estabelecer a desigualdade supA B supA supB Para qualquer a A e b B temos que a b supA supB Portanto como A B é o conjunto de todas as somas a b onde a A e b B segue que supA B supA supB Agora vamos mostrar que supA B supA supB Para isso precisamos provar que dado qualquer ε 0 existe algum par a b A B tal que supA B a b supA supB ε Como supA é o supremo de A dado qualquer ε₁ 0 existe algum a A tal que supA ε₁ a supA De maneira análoga como supB é o supremo de B dado qualquer ε₂ 0 existe algum b B tal que supB ε₂ b supB Escolhendo ε₁ ε₂ ε2 temos supA supB ε a b supA B Portanto supA B supA supB ε Como ε 0 é arbitrário segue que supA B supA supB Combinando as duas desigualdades temos supA B supA supB d Se A B a b a A b B então infA B infA infB Primeiro vamos estabelecer a desigualdade infA B infA infB Para qualquer a A e b B temos que a b infA infB Portanto como A B é o conjunto de todas as somas a b onde a A e b B segue que infA B infA infB Agora vamos mostrar que infA B infA infB Para isso precisamos provar que dado qualquer ε 0 existe algum par a b A B tal que infA B a b infA infB ε Como infA é o ínfimo de A dado qualquer ε₁ 0 existe algum a A tal que infA a infA ε₁ De maneira análoga como infB é o ínfimo de B dado qualquer ε₂ 0 existe algum b B tal que infB b infB ε₂ Escolhendo ε₁ ε₂ ε2 temos infA infB a b infA infB ε Portanto infA B infA infB ε Como ε 0 é arbitrário segue que infA B infA infB Combinando as duas desigualdades temos infA B infA infB