Sequências Numéricas - Monotonicidade, Convergência e Limites Infinitos

ROTEIRO O5 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS PARTE II 1 Sequências Monótonas Seja 𝑎𝑛 uma sequência dizemos que ela é i crescente se 𝑎𝑛 𝑎𝑛1 𝑛 ℕ ii decrescente se 𝑎𝑛 𝑎𝑛1 𝑛 ℕ Dizemos que 𝑎𝑛 é monótona quando ela é crescente ou decrescente Se 𝑎𝑛 𝑎𝑛1 𝑛 ℕ dizemos que 𝑎𝑛 é estritamente crescente E se 𝑎𝑛 𝑎𝑛1 𝑛 ℕ dizemos que ela é estritamente decrescente Exemplo 1 Verifique se a sequência 𝑥𝑛 𝑛 2𝑛1 é monótona ou não Teorema 1 Toda sequência monótona e limitada é convergente Demonstração Sala de aula Exemplo 2 Verifique que a sequência abaixo é convergente 𝑏𝑛 1 𝑘 1 1 1 2 1 3 1 𝑛 𝑛 𝑘0 Exemplo 3 Qual o valor de 2 2 2 Exercícios de Aprendizagem EA01 Sabendo que lim 𝑛 1 1 𝑛 𝑛 𝑒 mostre que lim 𝑛 1 1 𝑛 𝑛 𝑒1 DICA Escreva inicialmente 1 1 𝑛 𝑛1 𝑛 1 𝑛 𝑛1 1 1 1 𝑛1 EA02 Seja 𝑥𝑛 uma sequência de números reais e suponha que 𝜆 com 0 𝜆 1 e 𝑛0 ℕ tais que 𝑥𝑛1 𝜆𝑥𝑛 𝑛 𝑛0 Prove que 𝑥𝑛 0 EA03 Use o fato de que se uma sequência 𝑥𝑛 de números reais positivos é tal que lim 𝑛 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 1 𝑥𝑛 0 para mostrar que a lim 𝑛 𝑎𝑛 𝑛 0 b lim 𝑛 𝑛 𝑛𝑛 0 EA04 Encontre o limite da sequência 222 2 Limites infinitos Dizemos que lim 𝑛 𝑥𝑛 se e somente se 𝑀 0 𝑛0 ℕ 𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑀 Exemplo 4 Considere 𝑥𝑛 𝑐𝑛 com 𝑐 1 Mostre que 𝑥𝑛 Exemplo 5 Verifique que 𝑥𝑛 𝑛𝑛 𝑛 Exercícios de Aprendizagem EA05 Se 𝑥𝑛 é uma sequência tal que 𝑥𝑛 mostre que 1 𝑥𝑛 0 EA06 Sejam 𝑥𝑛 e 𝑦𝑛 sequências de termos positivos Se existir 𝑐 0 tal que 𝑥𝑛 𝑐 𝑛 ℕ e se lim 𝑛 𝑦𝑛 0 mostre que lim 𝑛 𝑥𝑛 𝑦𝑛 EA07 O teorema de BolzanoWeierstrass é um famoso teorema da matemática onde é dito que Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente Usando esse fato mostre que as sequências abaixo possuem subsequências convergentes a 𝑥𝑛 𝑛220𝑛35𝑠𝑒𝑛𝑛3 𝑛2𝑛1 b 𝑥𝑛 𝑒𝑠𝑒𝑛7𝑛 EA08 Dizemos que uma sequência 𝑥𝑛 é de Cauchy se para qualquer 𝜖 0 existir 𝑛0 ℕ tal que para quaisquer índices 𝑚 𝑛 𝑛0 temos que 𝑥𝑚 𝑥𝑛 𝜖 Sabendo disto mostre que a Toda sequência convergente é de Cauchy b Se 𝑥𝑛 é de Cauchy então é convergente Exercícios de Aprofundamento EAF01 ENADE 2011 EAF02 ENADE 2011