Teorema do Valor Intermediário- Definição e Aplicações

ROTEIRO O8 TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO 1 Introdução O Teorema do Valor Intermediário TVI é uma das propostas fundamentais da análise matemática e desempenha um papel crucial no entendimento do comportamento das funções contínuas Este teorema estabelece uma conexão íntima entre a continuidade de uma função e a presença de valores intermediários sendo amplamente utilizado em diversas áreas da matemática ciências aplicadas e engenharia O TVI tem aplicações práticas que vão desde a resolução de equações não lineares até o estudo de fenômenos físicos e modelos matemáticos complexos Por exemplo ao modelar a temperatura ao longo do dia ou o crescimento populacional o TVI assegura que ao longo do tempo todos os estados intermediários serão atingidos permitindo previsões e análises mais robustas Além de sua importância teórica o Teorema do Valor Intermediário é frequentemente utilizado em contextos de ensino ajudando os estudantes a desenvolverem uma compreensão intuitiva da continuidade e do comportamento das funções Sua simplicidade e elegância fazem dele uma ferramenta valiosa na matemática destacando a conexão entre as propriedades das funções e os valores que elas podem assumir Assim o TVI não é apenas um conceito abstrato mas uma ponte que liga a teoria matemática a aplicações práticas do mundo real permitindo que matemáticos cientistas e engenheiros compreendam e descrevam o comportamento de sistemas complexos de forma precisa e confiável 2 TVI Teorema do Valor Intermediário TVI Sejam 𝐼 um intervalo e 𝑓 𝐼 ℝ uma função contínua com 𝑎 𝑏 𝐼 tais que 𝑓𝑎 𝑑 𝑓𝑏 Então existe 𝑐 ℝ entre 𝑎 e 𝑏 tal que 𝑓𝑐 𝑑 Para entender melhor a ideia do teorema imagine que você está subindo uma montanha e no pé dela você está a uma altura de 100 metros Quando chega no topo você está a 300 metros de altura O Teorema do Valor Intermediário diz que como você subiu de forma contínua sem pular de um lugar para outro em algum momento da subida você necessariamente passou por todas as altitudes entre 100 e 300 metros Ou seja em algum ponto da subida você estava a 200 metros de altura e também a 250 metros e assim por diante Exemplo Suponha que temos uma função contínua 𝑓 𝑎 𝑏 ℝ onde 𝑓𝑎 2 e 𝑓𝑏 8 O TVI garante que para qualquer valor 𝑑 28 por exemplo 𝑑 5 existe algum ponto 𝑐 𝑎 𝑏 tal que 𝑓𝑐 5 Isso mostra que 𝑓 preenche todos os valores entre 2 e 8 Em certo sentido o TVI garante que uma função contínua é localmente sobrejetora em qualquer intervalo 𝑓𝑎 𝑓𝑏 que ela cobre Exercícios de Aprendizagem EA01 Dada a função de variável real 𝑓𝑥 4 3𝑥 𝑥2 Use o TVI para mostrar que existe um 𝑐 25 tal que 𝑓𝑐 1 EA02 Use o TVI para mostrar que 𝑓𝑥 3𝑥5 5𝑥4 3𝑥 1 possui uma raiz real no intervalo 12 Idem para o intervalo 1 1 2 EA03 Para cada item a seguir mostre que existe solução para a equação dada a 𝑥83 𝑥17 242 1𝑥4𝑠𝑒𝑛2𝑥 201 b cos 𝑥 𝑥 EA04 Um monge tibetano deixa o monastério às 7h da manhã e sugue sua caminhada usual para o topo da montanha chegando lá às 7h da noite Na manhã seguinte ele parte do topo às 7h da manhã pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7h da noite Mostre que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas Exercícios de Fixação EF01 Mostre que a equação 𝑥3 𝑥 3 0 tem uma raiz entre 2 e 1 EF02 Seja 𝑓 01 ℝ uma função contínua tal que 𝑓0 𝑓1 Prove que existe 𝑐 0 1 2 tal que 𝑓𝑐 𝑓 𝑐 1 2 Sugestão Considere 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑓 𝑥 1 2 no intervalo 0 1 2 EF03 Mostre que todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais possui uma raiz real Sugestão Ver livro ANÁLISE REAL Maurício Zahn página 256 EF04 Considere a função 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 0 0 𝑠𝑒 𝑥 0 a Mostre que 𝑓 não é contínua b Mostre 𝑓 satisfaz o resultado do TVI mesmo não sendo contínua EF05 Um ponto fixo de uma função é um ponto 𝑥0 𝐷𝑜𝑚𝑓 tal que 𝑓𝑥0 𝑥0 O resultado a seguir é conhecido como Teorema do Ponto Fixo de Brower que diz Se 𝒇 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 é contínua então 𝒇 possui um ponto fixo Agora faça o que se pede a Desenhe em um mesmo plano cartesiano o gráfico da função ℎ𝑥 𝑥 e de uma possível função contínua 𝑓 01 01 para que você se convença da veracidade do teorema b Explique por que a função 𝑔𝑥 𝑥 𝑓𝑥 é contínua em 01 e note que suas raízes são pontos fixos de 𝑓 c Use o TVI para demonstrar o Teorema do Ponto Fixo de Brower d Exiba uma função que não tem ponto fixo A questão a seguir caiu no ENADE 2011 e a solução da questão foi dada pelo ChatGPT avalie se a solução apresentada está correta ENADE 2011 Pela definição de velocidade instantânea a velocidade em cada momento da corrida pode variar No entanto sabemos que a função que descreve a velocidade ao longo do tempo é contínua assumindo que o corredor não teletransporta nem para subitamente No início da corrida a velocidade do corredor foi 0 ms porque ele começou parado No final da corrida a velocidade do corredor também foi 0 ms pois ele parou ao final Sabemos que a velocidade média foi maior que 5 ms aproximadamente 567 ms Pelo Teorema do Valor Intermediário em algum momento da corrida sua velocidade deve ter sido exatamente 5 ms pois ele passou de 0 ms até uma velocidade máxima e depois reduziu até 0 ms novamente Como a velocidade sobe e desce continuamente o TVI garante que há dois momentos distintos onde sua velocidade foi exatamente 5 ms c Situação real modelada por uma função contínua Um exemplo clássico que pode ser modelado por uma função contínua é a temperatura ao longo de um dia Vamos definir ft como a temperatura em um dado local em função do tempo t onde t representa as horas do dia e t 0 24 Agora imagine que existe uma temperatura k digamos 25C e sabemos que a temperatura em algum momento do dia atingiu 25C Como a temperatura varia de forma contínua ao longo do dia podemos usar o Teorema do Valor Intermediário para afirmar que se a temperatura em dois momentos do dia foi diferente de 25C por exemplo começou abaixo de 25C de manhã e à tarde ficou acima de 25C então em algum momento entre esses dois horários a temperatura foi exatamente 25C Essa situação justifica o uso do TVI pois a temperatura é uma grandeza contínua e ao variar entre dois valores deve atingir qualquer valor intermediário como os 25C