Introdução às Variáveis Aleatórias e Funções de Distribuição

Disciplina Probabilidade e Medida Unidade Variáveis Aleatórias Conteudista Prof Dr Francisco de Assis Cavallaro Revisão Textual Profª Dra Selma Aparecida Cesarin Objetivo da Unidade Compreender conceitos sobre variáveis aleatórias contínuas discretas e mistas e funções de distribuição Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 2 Variáveis Aleatórias Definição e Funções de Distribuição Iniciaremos o estudo desta Disciplina com a introdução de algumas definições principais sobre probabilidade e espaço amostral importantes para uma melhor compreensão dos conceitos de variáveis aleatórias e funções de distribuição que trataremos com maior detalhe nesta Unidade A seguir são apresentadas algumas definições importantes Experimento Aleatório Quando um experimento pode produzir diferentes resultados ao ser realizado mais de uma vez nas mesmas condições denominase experimento aleatório Espaço amostral 𝛀𝛀 É definido como o conjunto formado por todos os possíveis resultados de um experimento aleatório Não confundir com a letra grega ômega em minúsculo 𝜔𝜔 que representa um dos resultados de um experimento aleatório 𝝈𝝈 álgebra Uma classe de subconjuntos ℱ de um espaço amostral Ω de certo experi mento aleatório incluindo o conjunto vazio é denominada 𝜎𝜎 á𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 se satis fizer as seguintes propriedades FARIAS KUBRUSLY SOUZA 2016 𝐴𝐴1 Ω ℱ 𝐴𝐴2 𝑆𝑆𝑙𝑙 𝐴𝐴 ℱ 𝐴𝐴𝐶𝐶 ℱ 𝐴𝐴3 𝑆𝑆𝑙𝑙 𝐴𝐴𝑖𝑖 ℱ 𝑖𝑖 𝑈𝑈𝑖𝑖1 𝐴𝐴𝑖𝑖 ℱ Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 3 Definição de Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória denotada por 𝑋𝑋 em um espaço de probabilidade Ω ℱ 𝑃𝑃 é qualquer função real definida no espaço amostral Ω 𝑋𝑋 Ω ℝ se 𝑋𝑋 𝑥𝑥 ℱ 𝑥𝑥 ℝ isto é implica que 𝑋𝑋 seja uma função mensurável à classe de subconjuntos ℱ Em outras palavras temse que da definição anterior uma variável aleatória é uma função que associa a cada elemento do espaço amostral Ω um número real Observe que 𝑋𝑋 maiúscula é a variável aleatória e 𝑥𝑥 minúscula seria um va lor específico dessa variável Magalhães 2006 p 64 define uma variável aleatória como qualquer função 𝑋𝑋 Ω ℝ considerando um espaço de probabilidade Ω ℱ 𝒫𝒫 tal que a imagem inversa de 𝑋𝑋 é nos intervalos de 𝐼𝐼 ℝ pertence a 𝜎𝜎 á𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 de ℱ isto é 𝑋𝑋1𝐼𝐼 𝜔𝜔 Ω 𝑋𝑋𝜔𝜔 𝐼𝐼 ℱ Leitura Departamento de Estatística Probabilidade Relembre os principais conceitos sobre probabilidade aces sando o material a seguir httpsbitly428iItE Teorema 1 PEREZ 2017 A imagem inversa X1 considerada para qualquer fundo X 0 R nao ne cessariamente uma variavel aleatéria com A Aj A3 A 0 deve satisfazer as seguintes propriedades i X72A X72A ii X72Un An Un X72 An iii X71N An Nn X71 An Exemplo 1 JAMES 1981 Ao lancar uma moeda n vezes podese definir os resultados possiveis de caras c e coroas como 0 4n c ou 6 i1n A quantidade de vezes que se obtém caras c definidas como X nos n lan camento de moedas é denominada caracteristico numérico da sequéncia de ca ras e coroas sendo X um valor dependente do resultado do experimento isto é Xw nimero de caras em W 4n i Wj c 1isn e ef e e Propriedades das Variaveis Aleatorias A seguir sdo elencadas as propriedades das variaveis aleatérias definidas no espaco de probabilidade 0 FP Teorema 2 A funcdo X c é uma variavel aleatoria no espaco amostral 9 onde c 6 uma constante 4 Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 5 Teorema 3 Considerando que 𝑋𝑋 seja uma variável aleatória no espaço amostral Ω e 𝑐𝑐 seja uma constante a função 𝑐𝑐𝑋𝑋 é também uma variável aleatória no mesmo espaço amostral Teorema 4 Considerando que 𝑋𝑋 e 𝑌𝑌 sejam variáveis aleatórias no espaço amostral Ω a soma dessas duas variáveis aleatórias 𝑋𝑋 𝑌𝑌 é também uma variável aleatória no mesmo espaço amostral Teorema 5 Sendo 𝑋𝑋 uma variável aleatória no espaço amostral Ω e 𝑙𝑙 𝑙𝑙 constantes então 𝑙𝑙𝑋𝑋 𝑙𝑙 resulta também em uma variável aleatória no mesmo espaço amostral Teorema 6 Sejam 𝑋𝑋 e 𝑌𝑌 variáveis aleatórias no espaço amostral Ω o produto dessas duas variáveis aleatórias 𝑋𝑋 𝑌𝑌 é também uma variável aleatória no mesmo espaço amostral Teorema 7 Sejam 𝑋𝑋 e 𝑌𝑌 variáveis aleatórias no espaço amostral Ω e 𝑌𝑌 0 então o quoci ente dessas duas variáveis aleatórias 𝑋𝑋𝑌𝑌 é também uma variável aleatória no mesmo espaço amostral Teorema 8 Sejam X e Y variaveis aleatorias no espaco amostral 0 entdo para quaisquer valores nos reais x as funcdes max X Y min X Y Sdo também variaveis alea tdrias no mesmo espaco amostral isto é max XY x X xYx X x n Y x minxX Y x XxVYSx XKSxn fY x Teorema 9 Sendo X uma variavel aleatoria no espaco amostral 0 entdo o mddulo de x ou seja X também é uma variavel aleatoria no mesmo espaco amostral Exemplo 2 Considerando que X0 Rea funcdo identidade Xw w definidos no es paco amostral 9 101 e que o Algebra F 0 1 1 0 entado o mé dulo de xX X uma variavel aleatoria pois para qualquer Boreliano B resulta em se 01 B 4 0 seQ0EBel1éB Ix Py se0Be1leEB 0 se 01E8B Note que o reciproco de X para esse caso isto é X nao é uma variavel aleaté riano mesmo espaco amostral pois o seu inverso X1o0 1 1 nado é um elemento dao Algebra F Teorema 10 Considerando que XXX sejam variaveis aleatérias no espaco amostral onde os nimeros sup Xw X2 Xw inf X X2w Xw para cada w 1 sejam finitos entao as funcdes SUP n21 Xn 6 Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 7 inf 𝑛𝑛1 𝑋𝑋𝑛𝑛 são também variáveis aleatórias no mesmo espaço amostral Ω Teorema 11 Considerando que 𝑋𝑋1 𝑋𝑋2 𝑋𝑋𝑛𝑛 sejam variáveis aleatórias no espaço amostral Ω onde para cada 𝜔𝜔 Ω exista lim 𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑛𝑛𝜔𝜔 e seja finito então a função lim 𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑛𝑛 é uma variável aleatória no mesmo espaço amostral Ω Teorema 12 Toda variável aleatória 𝑋𝑋 é limite pontual da sequência de variáveis aleatórias simples 𝑋𝑋𝑛𝑛 de forma que o módulo dessa sequência seja menor ou igual ao mó dulo de 𝑋𝑋 isto é 𝑋𝑋𝑛𝑛 𝑋𝑋 Funções de Distribuição Quando queremos descrever a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória isto é apresentar uma descrição da medida de probabilidades no espaço amostral correspondente fazemos uso de uma função denominada Fun ção de Distribuição Acumulada FDA ou simplesmente Função de Distribui ção Neste tópico estudaremos esse tipo de função e veremos alguns exemplos aplicados Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 8 A função de distribuição de uma variável aleatória 𝑋𝑋 considerando para todo 𝑥𝑥 ℝ é uma função 𝐹𝐹𝑋𝑋 ℝ 0 1 que é definida por 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑥𝑥 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ℝ A Figura 1 a seguir ilustra a função de distribuição para os casos em que seja discreta e absolutamente contínua sendo uma das principais funções quando se trata das variáveis aleatórias pois apresenta as principais informações dessas variáveis juntamente com a correspondente distribuição de probabilidades Figura 1 Ilustração gráfica de funções de distribuição para os casos absolutamente contínuo e discreto Importante O comportamento de uma variável aleatória discreta ou contí nua pode ser determinado por sua função de distribuição Fonte Adaptada de PEREZ 2017 ParaTodosVerem Ilustracdo grafica de duas funcées Em fundo branco e linhas em preto na esquerda ha o grafico da funcao de dis tribuicdo do tipo continua na forma de linha continua e sinuosa No grafico da direita ha um exemplo de fungd4o de distribuicdo do tipo discreta cuja curva da funcdo apresenta a forma de uma escada com linhas retas e degraus Fim da descriao A fungdo de distribuiado acumulada F considerando um espaco de probabi lidade 0 Ff P com a variavel aleatéria X OQ R tem como propriedades i lim Fy 1 x00 ii lim Fyx 0 x00 iil Sex x2 entdo Fy é nao decrescente isto é Fy 1 S Fy x2 iv Fyxécontinua pela direita ou seja Fyx Fy x Para esclarecer melhor a propriedade 4 a seguir é descrita a demonstracdo dada por Pérez 2017 Considere a sequéncia de eventos decrescente Aney onde A X x e X4X2X Sja UMa sequéncia de numeros reais decrescente a x Entdo Anen tera interseccdo com limite e xp X x n21 Assim pela continuidade da funcdo de probabilidade lim Fyx lim PX S Xn PX x Fxx x00 x00 Contudo para ser uma funcdo de distribuido uma dada fungao real Fy R 01 deve satisfazer as quatro propriedades anteriores 9 Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 10 Para o cálculo de probabilidades por meio da função de distribuição acumu lada 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑥𝑥 para quaisquer números reais 𝑙𝑙 𝑙𝑙 podese utilizar as seguintes propriedades PÉREZ 2017 i 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑙𝑙 ii 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑙𝑙 iii 𝑃𝑃𝑙𝑙 𝑋𝑋 𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑙𝑙 iv 𝑃𝑃𝑙𝑙 𝑋𝑋 𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑙𝑙 v 𝑃𝑃𝑙𝑙 𝑋𝑋 𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑙𝑙 vi 𝑃𝑃𝑙𝑙 𝑋𝑋 𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑙𝑙 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑙𝑙 Exemplo 3 FARIAS KUBRUSLY SOUZA 2016 Determine a função de distribuição da variável aleatória 𝑋𝑋 supondo um ex perimento em que é sorteado aleatoriamente um ponto dentro do intervalo 0 1 no qual o ponto sorteado é 𝑋𝑋 Solução A descrição do enunciado implica o seguinte Importante Quando existe mais de uma variável aleatória a se considerar a notação comumente utilizada para descrever a função de dis tribuição acumulada é como 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑥𝑥𝑖𝑖 isto é com 𝐹𝐹 maiúscula representando a função de distribuição 𝑋𝑋 representando a variável aleatória também em maiúscula e 𝑥𝑥𝑖𝑖 o valor espe cífico ImX 01 Como x 01 implica que PX x x Como nao ha qualquer numero possivel de sorteio no experimento menor que 0 entao x0 PX x0 Ja que os numeros possiveis de serem sorteados no experimento sdo menores ou iguais a1 entdo x1 PX x1 Partindo das informac6es anteriores podemos definir a funcdo de distribui ao acumulada correspondente ao experimento 0 sex 0 Fyx fs se0Qx 0 1 sex21 A Figura 2 a seguir ilustra a fundo de distribuicdo do Exemplo 3 1 0 0 1 Figura 2 Ilustracao grafica da funcao de distribuicao do Exemplo 3 Fonte Adaptada de FARIAS KUBRUSLY SOUZA 2016 11 Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 12 ParaTodosVerem Ilustração gráfica uma função Em fundo branco e linha em preto há o gráfico que representa a função de distribuição do Exemplo 3 A curva da função vai em uma linha reta horizontal da es querda para a direita até o ponto 00 que depois segue diagonal mente para a parte superior direita até o ponto 11 do gráfico termi nando em uma linha reta horizontal para a direita Fim da descrição A seguir são apresentados outros teoremas e definições importantes relaci onados à função de distribuição Teorema 13 PÉREZ 2017 Toda função de distribuição acumulada tem no máximo um número enume rável de descontinuidades Teorema 14 As funções de distribuição das variáveis aleatórias 𝑋𝑋 e 𝑌𝑌 são iguais para todo 𝑥𝑥 isto é as variáveis 𝑋𝑋 e 𝑌𝑌 são identicamente distribuídas 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑥𝑥 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑥𝑥 𝑃𝑃𝑌𝑌 𝑥𝑥 𝐹𝐹𝑌𝑌𝑥𝑥 𝑥𝑥 Partindo do Teorema anterior temse como definição que duas variáveis ale atórias 𝑋𝑋 e 𝑌𝑌 podem ser consideradas identicamente distribuídas caso a proba bilidade 𝑃𝑃𝑋𝑋 seja igual à probabilidade 𝑃𝑃𝑌𝑌 Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 13 Tipos de Variáveis Aleatórias Neste tópico são mostradas as definições dos tipos de variáveis aleatórias discretas contínuas e mistas Variável aleatória discreta 𝑋𝑋 é denominada variável aleatória discreta se ela assumir um valor finito ou infinito e enumerável de valores 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℝ tal que 𝑋𝑋𝜔𝜔 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝜔𝜔 Ω ou seja nesse caso 𝑋𝑋 assume valores somente em um conjunto contável À função que atribui probabilidade a cada um dos possíveis valores com o qual a variável aleatória discreta pode assumir denominase Função de Probabilidade ou Função Massa de Probabilidade FMP Para ilustrar a definição anterior considere que 𝑋𝑋 é uma variável aleatória discreta com valores 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 com 𝑖𝑖 1 2 Assim 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑃𝑃𝜔𝜔 Ω 𝑋𝑋𝜔𝜔 𝑥𝑥𝑖𝑖 A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta 𝑋𝑋 definida no espaço de probabilidades Ω ℱ 𝑃𝑃 deve satisfazer as seguintes propriedades i 0 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 2 Leitura Acesse os links a seguir e estude os assuntos abordados Relação entre a função de probabilidade e a função de distribuição httpsbitly3mPyQA5 Relação entre a densidade e a função de distribuição httpsbitly3JfXd1t ii fi 1 percorre todos os valores possiveis de X Exemplo 4 MAGALHAES 2006 Definir a variavel X como sendo a quantidade de caras observadas nos dois langamentos independentes de uma moeda equilibrada adotando o espaco de probabilidades usual Solucao X sera uma variavel aleatoria discreta A funcao de probabilidade é dada por Xx 0 1 2 px 14 12 114 A funcao de distribuicdo correspondente é 0 sex 0 j14 seOsx1 ren fi selx2 1 sex2 A seguir apresentase o Grafico da funcao de distribuido Fx para o numero de caras Figura 3 14 Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 15 Figura 3 Gráfico de Fx do exemplo 4 Fonte Adaptada de MAGALHÃES 2006 ParaTodosVerem Ilustração gráfica uma função Em fundo branco e linha em preto há o Gráfico que representa a função de distribuição F maiúsculo de x do Exemplo 4 A curva da função vai em linha reta horizontal da esquerda para a direita do ponto 0 ¼ até o ponto 1 ¼ A linha é interrompida Depois iniciase no ponto 1 ¾ até o ponto 2 ¾ A linha é interrompida Finaliza o gráfico iniciando a li nha no ponto 21 indo horizontalmente em linha reta até o infinito no eixo de x Fim da descrição Variável aleatória contínua 𝑋𝑋 é denominada de variável aleatória contínua se ela assumir um valor infinito e não enumerável de valores isto é podendo as sumir qualquer valor em um intervalo real Para esse tipo de variável a proba bilidade de ocorrência de um valor em específico é nula sendo assim somente se define a probabilidade associada a um intervalo real Uma variável aleatória contínua 𝑋𝑋 definida no espaço de probabilidade Ω ℱ 𝑃𝑃 somente pode ser denominada contínua caso exista uma função densi dade 𝑓𝑓 não negativa de forma que sua função de distribuição 𝐹𝐹𝑥𝑥 seja x Fx i fwdw paratodox R A funcdo que caracteriza a probabilidade de uma variavel aleatéria continua ocorrer associada a um intervalo de valores possiveis dessa variavel é denomi nada de Funcdao Densidade de Probabilidade FDP ou simplesmente Funcdao Densidade A Funcdo Densidade de uma variavel aleatéria continua x definida no espaco de probabilidade 0 F P e deve satisfazer as seguintes propriedades i fx 20 VX ER ii X fwdw 1 iii PaXbPaXbPaX b f fxdx Fb Fa Conforme Magalhdes 2006 p 70 Classificamos a variavel X como conti nua se sua funcdo de distribuigdo F é absolutamente continua por ser integral da funcdo densidade Em Sintese Como foi possivel perceber realizando a integraao da funcdo densidade de probabilidade podese obter a funcdo de distri buicdo correspondente Ja ao derivar esta Ultima obtémse a funcdao densidade Calcular a integral da funcdo densidade para um certo intervalo a b ab a b ou a b possibilita conhecer a probabilidade de uma variavel aleatéria con tinua estar no mesmo intervalo isto é b Paxb f xdx Fb Fa a 16 Exemplo 5 MAGALHAES 2006 Avalie para quais valores de c R a seguinte funcdo representa uma densi dade de probabilidade c1x seOx12 fx 41c 1 se12x 1 0 caso contrario Solucao As condic6es que precisam ser satisfeitas por f sao fx 20 i fQxdx 1 Assim caso c 0 temos que fx é ndo negativa Para satisfazer a segunda condicdo temos de obter os valores de c fazendo oo 0 12 1 1 oo i foxddx ode ct x2dx ext Odx1 00 0 yj2e1 1 Cujo resultado é 1 x3 x 11 5 c 2c 1712 0 3 0 c1 12 A equacao do 2 grau resultante gera duas solucoes No entanto a solucdo ne gativa é descartada para atender a primeira condicdo solicitada ficando so mente c 3 Variavel aleatéria mista podese classificar de modo geral como uma vari avel aleatoria mista quando ela apresenta partes de diferentes classificacdes MAGALHAES 2006 No entanto as variaveis aleatérias mais comumente en contradas sdo as continuas e as discretas Muitos autores definem esse tipo de variavel aleatéria como a que nado é nem discreta nem continua mas uma mis tura desses dois tipos 17 Graficamente observase que a funcao de distribuicao acumulada de uma va riavel aleatéria mista apresenta saltos em um numero finito de pontos Xo X4X em certos intervalos de pontos sdo continuas A funcao de distribuicdo acumulada de uma variavel aleatéria mista tem a se guinte forma YNOGUTI 2011 Fyx pF x 1 pFox com0p1 Onde e Fx a funcdo de distribuicdo da variavel aleatoria discreta e Fx a fungdo de distribuicdo da variavel aleatéria continua A Figura 4 apresenta o grafico de uma fungdo de distribuido mista caracte rizada por 0 sex 0 x4 sedOsx1 Fx Hi selx 2 1 sex22 Fx 1 e I I I I 12 l I Wap 56 l I 1 2 X Figura 4 Grafico da Funcao de Distribuicado Mista Fx Fonte Adaptada de MAGALHAES 2006 18 ParaTodosVerem Ilustracdo grafica uma funado Em fundo branco e linha em preto ha o grafico que representa a funcao de distribuiao mista F maitsculo da variavel aleatoria X maitisculo de x mi nusculo do exemplo A curva da funcao é uma linha reta horizontal até o ponto 00 da esquerda para a direita Do ponto 00 até o ponto 1 4 segue diagonalmente para cima a direita até 0 ponto 1 Ys A linha é interrompida Depois iniciase no ponto 1 12 até o ponto 2 12 A linha é interrompida Finaliza o grafico iniciando a linha no ponto 21 indo horizontalmente em linha reta até o infinito no eixo de x Fim da descricao Por meio do grafico da Figura 3 temos que nos intervalos o0112 e 2 0 a variavel aleatoria é continua Ja a parte discreta dessa variavel x pode ser observada nos pontos em que ocorre descontinuidade em 1 2 isto é os saltos entre os degraus no grafico Exemplo 6 YNOGUTI 2011 Considere a seguinte situacdo de uma fila na qual o tempo de espera de um usuario ao encontrar o sistema livre p é 0 e caso o sistema esteja ocupado o tempo de espera apresenta uma distribuicdo exponencial 1 p Determine a funcdo de distribuicdo da variavel aleatéria x Solucao Fy x PIX sx PX S Xivrelp PX Ss xocupado1 p A partir do enunciado e da relacdao anterior temos que quando x20 PX xluvrelp 1 Caso contrario seu valor sera 0 Fy x 0 x0 x ptlpe x20 19 o e e e e Vetores Aleatorios Distribuicao Conjunta e Marginais Em determinados experimentos quando mais de uma variavel aleatoria se relacionam eou quando o interesse da analise seja investigar mais de um carac teristico numérico do resultado do experimento aleatério em que o comporta mento dessas variaveis deve ser estudado em conjunto Essas variaveis aleaté rias relacionadas s4o denominadas vetores aleatorios definidos no mesmo es paco de probabilidade e e e Definicao de Vetores Aleatorios De acordo com Magalhaes 2006 p1156 um vetor aleatério também de nominado d variavel aleatoria multivariada ou multidimensional é uma funcao XQ2R que seja F mensuravel considerando o espaco de probabilidade 0FP Assim a funcdao representada por Xw X X2 Xm w E tal que resulte Xi F Considerado para todo i 12mel CR Assim segue que a imagem inversa de todos as variaveis aleatérias xX esteja em F Partindo da definicdo anterior fica implicito o seguinte e Vetor aleatorio é um vetor cujas componentes X X2 Xm sejam va riaveis aleatorias e Vetor aleatério discreto 6 um vetor cujas componentes XX Xm isto é todas as variaveis aleatorias X comi 12msejam discretas 20 e Vetor aleatério continuo é um vetor cujas componentes X X3 Xm isto é todas as variaveis aleatorias X com i 12m sejam conti nuas e haja uma funcdo real ndo negativa fx x2 Xm que seja dis tribuicdo de probabilidade do vetor aleatério tal que i Ff 24 XQ ey Xp JAX AX AX py 1 Os topicos a seguir mostram os principais conceitos e definides importantes para caracterizar um vetor aleatorio variavel aleatoria multivariada sendo de certa forma analogo ao ja demonstrado nas variaveis aleatérias univariadas Inicialmente sdo mostradas as defini6es principais sobre as distribuicdes de probabilidade conjunta e marginal com suas respectivas funcées de distribuicdao para em seguida separar essas distribuicdes conforme as classificac6es dos ti pos de variaveis aleatorias Distribuicao de Probabilidade Conjunta Considere um evento aleatorio que depende de ao menos duas variaveis alea torias X e Y definidas em um espaco de probabilidades Quando precisamos de terminar a distribuicao de probabilidade desse evento considerando X e Y con siderase uma distribuicao de probabilidade conjunta Esse tipo de distribuicgao pode ser especificado para um conjunto de fungdo de distribuicdo funcdo den sidade de probabilidade ou fundo massa de probabilidade Exemplo 7 de probabilidade conjunta MAGALHAES 2006 Considere um caso de uma central de reservas de uma Empresa Aérea na qual nos interessa analisar duas variaveis aleatorias e Xéotempo de espera para atendimento em minutos e Xéotempo de atendimento ao cliente em minutos 21 Supondo que 0 comportamento conjunto das variaveis aleatorias xX e X 6 ca racterizada pela funcdo de distribuido conjunta 0 X1 Ooux 0 FQ 2 ls e1 22 4 O1422 oy SO x 0 Assim podese analisar a qualidade do atendimento dessa empresa ao avaliar a distribuicdo de probabilidade conjunta dos tempos de espera e de atendimento ao cliente Funcdo de distribuido conjunta considerando para qualquer x x1 Xp Xm R a funcdo de distribuicdo conjunta do vetor X é definida como Fx Fx X2 Xm PX S X41 X2 S Xz Xm SF Xm As propriedades da funcdo de distribuicdo conjunta sdo mostradas a seguir Fx uma funcao de distribuicdo conjunta se para qualquer x R e X sendo um vetor aleatorio definido no espaco de probabilidades 0 F P satisfaz as se guintes propriedades MAGALHAES 2006 i Fx éuma fungao nao decrescente em cada uma das coordenadas ii Fx éuma fungao continua a direita em cada uma das coordenadas iii Se paraalgum jx entao Fx 0 iv Separaalgum jx entao Fx 1 v Fx étal que Vab Ra bj1im resulta Pa Xy by ay Xq S dy An Xm bm O 22 Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 23 Distribuição de Probabilidade Marginal Dado um subconjunto de vetor aleatório 𝑋𝑋𝑘𝑘 com componentes 𝑋𝑋1 𝑋𝑋2 𝑋𝑋𝑚𝑚 denominase distribuição de probabilidade marginal de um sub conjunto a distribuição de probabilidade das variáveis contidas no mesmo sub conjunto sendo um termo que faz menção às probabilidades dos valores possí veis de certas variáveis que se deseja analisar sem referência aos valores de ou tras variáveis A Figura 5 ilustra uma distribuição normal bidimensional em que as distri buições marginais correspondem a curva em vermelho e azul gerando nesse caso a forma de histogramas Importante De acordo com Magalhães 2006 p 119 Exceto em casos es peciais não se pode obter a função de distribuição conjunta do vetor partindo das funções de distribuição de cada compo nente Em Síntese De forma geral usase o termo marginal ao processo de se parar das demais variáveis somente aquelas que se tem inte resse de estudo descartandoas das outras e possibilitando sua análise específica Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 24 Figura 5 Exemplo de uma distribuição normal bidimensional com distribuição marginal em azul e vermelho Fonte Adaptada de Wikimedia Commons ParaTodosVerem Ilustração gráfica de uma distribuição normal bi dimensional Em fundo branco com linhas tracejadas indicando a li gação entre os pontos dos eixos do gráfico em x e y são mostra das três áreas principais do gráfico que está ilustrado na forma tridi mensional inclinada para frente Na parte superior esquerda são mostradas algumas barras sendo que as da parte central do eixo são mais altas indicando um histograma que representa uma distribuição do tipo marginal e uma linha representativa em vermelho Na parte central há uma grande quantidade de pequenos pontos na base tridi mensional do gráfico circundado por uma linha em verde claro Na parte superior direita são mostradas algumas barras sendo que as da parte central do eixo são mais altas indicando outro histograma que representa uma distribuição do tipo marginal e uma linha representa tiva em azul ao longo da parte superior das barras Fim da descrição Funcao de distribuicdo marginal considerando que Fx seja a funcdo de dis tribuicdo conjunta de XXXm podese definir a funcdo de distribuicdo marginal de xX paracada k 12me para todo i k cujo limite é aplicado em todas as coordenadas com excecao de k sendo Fy 4 Jim Fx e e Vetor Aleatorio Discreto Caso o vetor aleatdério seja do tipo discreto sua Funcdao de Probabilidade Con junta F P C pode ser definida como DX pXq XQ Xm PX xy Xq Xz Xm Xm A Funcdao de Probabilidade Conjunta F P C de um vetor aleatério discreto X definido no espaco de probabilidade 0fP precisa satisfazer as seguintes propriedades i px 0 Vx ER ii Yy px 1 A Funcao de Probabilidade Marginal do vetor X com k 12m e para todo i k que parte da soma da totalidade das coordenadas com excecado de k é de finida por Pri te Pe x PO Yo Py 1 Xo tas Xm Hs xi xi Como ja sabemos caso o interesse for encontrar a funcdo de probabilidade marginal de certa variavel do conjunto de variaveis devese somar todas as co ordenadas com excecdo da variavel que se deseja analisar 25 Importante E possivel obter a funcao de probabilidade e a funcao de distri buicao a partir uma da outra e Vetor Aleatorio Continuo Caso o vetor aleatorio seja do tipo continuo cuja implicacdo ja conhecemos entdo existe uma fundo denominada Funcao de Densidade Conjunta F D C definida como f R Rt FOD fof FODA dy dm A Funcdo de Densidade Conjunta F D C de um vetor aleatério continuo X definido no espaco de probabilidade 0 F P precisa satisfazer as seguintes pro priedades i fx 0 Vx R i fe SE FO dxydx2 dm 1 A Funcao de Densidade Marginal do vetor X com i k é definido por fx Xn f x dx dxz dxm 26 Saiba Mais De acordo com Magalhdes 2006 p 124 Se desejamos a marginal conjunta de variaveis procedemos de modo similar ao caso discreto integrando todas as variaveis exceto as de in teresse e e e wa wa Distribuicoes de Funcoes de i e o e Variaveis e Vetores Aleatorios Considere um vetor aleatério X XXXm definido no espaco de proba bilidade 0 Ff P cuja distribuicdo de Y gXXXm isto é a distribuicdo da funcdo de uma variavel aleatoria Y gX Para Y ser uma variavel aleatoria g deve ser mensuravel a Borel Assim a fun cdo de distribuicdo de Y é tal que Fyy PY sy PgX1X2Xm Sy A probabilidade PgXXXm y pode ser determinada por meio da dis tribuido conjunta de XXXm Conforme James 1981 p 68 Ao definir By 1 2 Xm 91 X21 Xm S y entao gx12m y Se e somente se X1 Xz Xm By de modo que Py y P Xt X2y 00 Xm By Poe Xe nonkn By 27 Em Sintese A partir da informacdo anterior indicase que teoricamente possivel determinar a distribuicdo de quaisquer funcdes mensuraveis variaveis aleatorias X conhecendo a distribuicdo conjunta das componentes do vetor aleatério X X Xm A seguir sdo apresentadas mais algumas definic6es importantes Caso as variaveis aleatérias X e Y tém densidade conjunta fx y entdo fer feeode fe2Hae Caso as variaveis aleatérias X e Y sejam independentes com densidades fy e fy entao asoma X Y apresenta como densidade frv feedfoae feOfre ode Aconvolucao f f2 caso eles sejam densidades de variaveis aleatorias é dada por firi fiGeofWat Caso XXXm Sejam variaveis aleatérias independentes entdo as funcdes de familias disjuntas caso sejam mensuraveis das variaveis aleatdérias X tam bém sdo consideradas independentes 28 Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 29 Exemplos de Distribuições A seguir são apresentados dois exemplos de distribuições de variáveis alea tórias discreta e contínua muito comuns em diversos estudos de distribuições de probabilidade Distribuição Uniforme Discreta Uma Distribuição Uniforme Discreta com parâmetro 𝑛𝑛 compreende um con junto finito de 𝑛𝑛 elementos no conjunto ℕ cuja probabilidade de a variável alea tória 𝑋𝑋 assumir quaisquer dos elementos é a mesma sem depender do elemento considerado isto é todos os valores têm a mesma probabilidade de ocorrência Uma distribuição uniforme discreta de parâmetro 𝑛𝑛 é geralmente indicada como 𝑈𝑈𝑛𝑛𝑖𝑖𝑓𝑓 𝑛𝑛 A função de probabilidade de uma variável aleatória 𝑋𝑋 com distribuição uni forme de parâmetro 𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑈𝑈𝑛𝑛𝑖𝑖𝑓𝑓𝑛𝑛 onde 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑋𝑋 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥𝑛𝑛 sendo para todo 𝑖𝑖 1 2 𝑛𝑛 é definida como 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑥𝑥𝑖𝑖 1 𝑛𝑛 A Figura 6 a seguir ilustra as funções de probabilidade e distribuição de uma variável aleatória 𝑋𝑋 com distribuição uniforme de parâmetro 𝑛𝑛 Saiba Mais Quando aparecer a seguinte notação 𝑋𝑋𝑈𝑈𝑛𝑛𝑖𝑖𝑓𝑓𝑛𝑛 lemos como sendo uma variável aleatória 𝑋𝑋 com distribuição uniforme de parâmetro 𝑛𝑛 Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 30 Figura 6 Ilustração gráfica de uma Distribuição Uniforme Discreta Fonte Adaptada de FARIAS KUBRUSLY SOUZA 2016 ParaTodosVerem Ilustração gráfica de duas funções Em fundo branco e linhas em preto na esquerda há o gráfico da função de pro babilidade mostrando o eixo de x na horizontal e quatro pequenos círculos em preto no centro do gráfico representando os pontos x1 1n x2 1n x3 1n e xn 1n A indicação dos pontos é feita utili zando linhas tracejadas na vertical No gráfico da direita há uma fun ção de distribuição com linhas em preto na horizontal do ponto 00 até o ponto x10 A linha é interrompida Depois segue do ponto x1 1n até o ponto x2 1n A linha é interrompida Depois segue do ponto x2 2n até o ponto x3 2n A linha é interrompida Depois segue do ponto x3 3n sucessivamente em forma de escada sendo interrompida a linha Finalizando segue horizontalmente para a di reita a partir do ponto xn 1 até o final do gráfico Fim da descrição Distribuição Exponencial Uma Distribuição Exponencial é um tipo de distribuição contínua com parâ metro 𝜆𝜆 0 que indica a taxa de ocorrência por unidade de medida podendo ser tempo distância ou volume entre outras MAGALHÃES 2006 p 96 Assim uma variavel aleatéria xX compreende uma distribuicdo exponencial caso tenha densidade dada por f x Ae 1000 4 Como propriedade desse tipo de distribuicdo temse que uma variavel alea tdria continua X segue uma distribuicdo de probabilidade exponencial com pa rametro A caso sua funcdo densidade atenda Ae74 x0 0 0 x 0 Uma distribuicdo exponencial de parametro 4 de uma variavel aleatéria x é geralmente indicada como XExp A Importante A distribuicdo de probabilidades exponencial é um modelo de grande aplicacdo nas Areas de Engenharia e Matematica MA GALHAES 2006 A funcdo de distribuicgdo do modelo exponencial pode ser obtida por meio de integracao da funcdo densidade resultando em Fx 1 eV I 60 x A Figura 7 ilustra as funcdes densidade e distribuicdo da distribuicdo expo nencial A 31 Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 32 Figura 7 Ilustração gráfica da distribuição exponencial com parâmetro 𝝀𝝀 𝟐𝟐 Fonte Adaptada de FARIAS KUBRUSLY SOUZA 2016 ParaTodosVerem Ilustração gráfica de duas funções de uma distri buição exponencial Em fundo branco e linhas em preto na esquerda há o gráfico da função densidade da distribuição exponencial mos trando o eixo uma curva contínua que inicia no ponto 02 e vai de caindo para baixo e para a direita até se aproximar do eixo de x No gráfico da direita representando a função de distribuição da distri buição exponencial mostra uma linha partindo do ponto 00 e se guindo continuamente para a parte superior direita no ponto aproxi mado 15 09 até quase formar uma reta na horizontal até se apro ximar do ponto 1 do eixo de y e seguindo para a direita até o final do gráfico Fim da descrição Estudo do Método do Jacobiano Quando se deseja transformar variáveis aleatórias elas são definidas como funções de variáveis aleatórias Este último termo é muito empregado em diver sos livros Esse conceito de transformação de variáveis é importante quando se deseja avaliar a função do resultado de um experimento aleatório ao invés do resultado em si Assim considere uma situação na qual se deseja obter a densidade de outra variável aleatória denominada 𝑌𝑌 que é definida em função da variável dada 𝑋𝑋 isto é que Y gX Esse caso consiste em transformar variaveis e geralmente tem disponivel para isso dois métodos praticos e Método da Funcao de Distribuicdo e Método do Jacobiano O método que sera apresentado neste item é 0 Método do Jacobiano que apre senta maior facilidade de aplicacdo e portanto sera o foco de nosso estudo nesta Unidade No entanto ha situacdes em que 0 Método da Funcao de Distribuicdo é mais vantajoso Dessa forma esta indicado nos Materiais Complementares um Material para estudo com explicacdées das suas caracteristicas e processos de aplicacdo sendo importante o seu estudo posterior Em Sintese Fique atentoa ao fato de que os métodos da Funcao de Distri buicdo e do Jacobiano sao aplicados somente quando temos va riaveis aleatorias continuas Para esse tipo de variavel ao con trario das variaveis aleatorias discretas X sendo continua ndo implica que a variavel Y gX seja igualmente continua po dendo ser discreta continua ou nem continua nem discreta A seguir apresentase o processo para obter a distribuido de transformacées de variaveis aleatorias continuas por meio do Método do Jacobiano Considere um vetor aleatério continuo X XX Xm e que sua densidade seja fyx e que Y Yj Yo Ym Seja outro vetor aleatério e uma transformacdo g do vetor continuo X isto é Y gX 91 X 92X ImX De modo que 33 Y GiX1X2 Xm com i12m O Jacobiano da transformagao para todos os pontos x1 x2 m admitindo que g tenha derivadas parciais é O91 O91 99 Ox OX2 OXm 092 992 O92 Ig 0x Ax AXm 9 89m 99m 99m Ox OX OXm Como g é uma funcao bijetora uma funcao bijetora é assim denominada pois é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora o conjunto de equacées determinando para todo x em funcdo de y V1 91 XQ Xm V2 G21 X2 1 Xm Yn Im1 XQ oe Xm Com solucao do sistema sendo x hy Ou X 11 Yas Vm Xq he Va Ym Xm AmWV1 V2 Vm Dessa forma a densidade conjunta das variaveis Y Y Ym onde a densidade fx 0 Jacobiano J sdo aplicados nos pontos x hy com i 12m é dada por 1 fr fA Vg 2O De forma as vezes mais conveniente podese substituir 0 x por hy g7y e multiplicar pelo Médulo do Jacobiano de x em relacdo a y Observase que o Jacobiano de y em relacdo a x é reciproco podendo ser determinado Jx y a par tir de Jy x com sua inversdo e substituicdo de x por hy gy sendo ana logo a derivada da funcao inversa unidimensional JAMES 1981 34 dgy 1 1 dy J hegagy 99710 Observacao No caso unidimensional em que X e Y sdo variaveis aleatorias 0 Jacobiano é a derivada JAMES 1981 p 77 Leitura Relembre o significado de uma funcdo bijetora acessando Ma terial disponivel em httpsbitly3FmqSok Caso a funcdo g nao seja bijetora utilizase como estratégia de resolucdo o particionamento do dominio em subconjuntos disjuntos de modo que restrita a cada subconjunto ela seja biunivoca MAGALHAES 2006 p 162 em que a aplicacao do Método do Jacobiano deve ser feita em cada uma das partic6es de vendo somalas ao final para obter a densidade conjunta Exemplo 8 DEGROOT SCHERVICH 2002 apud MAGALHAES 2006 Considere o vetor aleatorio X cuja densidade é fx 4X1 X21 91 1101 2 Procurase determinar Y Y 2 tal que xy Y Y X4X2 E encontrar a densidade de Y 35 Solucao Conforme o que foi informado no enunciado temos Xy 91X1X2 X G2X1X2 X1X2 Assim 0 Jacobiano da transformado g é 91 991 Ox Ox e wala x 2xx ie 892 892 Xp X4 1 2 Ox OX2 Resolvendo o sistema a seguir MW X V2 X1X2 para x obtémse a seguinte solucdo com h sendo a funcao inversa de g x1 hiOny2 12 X2 hg 2 W21 Os valores possiveis para y y SAO expressos no conjunto A A O12 ER y 0y2 0 y1y21 1 2y 1 Dessa forma resulta que fxhy 401 y2 v2 y11 492 2yiyo hy Wr 2 JahOD Gy jy ye 294 E portanto podemos encontrar a densidade de Y que é dada por 1 1 22 fro fxhOJghO 4y22y 17741 2 yy Avy 36 Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 37 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Leitura Teoria das Probabilidades II Variáveis Aleatórias Unidmensionais Conheça o Método da Função de Distribuição acessando o Material disponível no link a seguir httpsbitly3JhfTxz Aplicação de Cinco Funções Densidade de Probabilidade a Séries de Precipitação Pluvial no Estado de Minas Gerais httpsbitly3JCPBHv Probabilidade Condicional httpsbitly3ZHH3Vs Métodos Estocásticos da Engenharia I Capítulo 4 Principais Modelos Contínuos httpsbitly3mKoelP Probabilidade e Medida Variáveis Aleatórias 38 Referências BIILLINGSLEY P Probability and measure 3 ed New York John Wiley Sons 1995 FARIAS A M L KUBRUSLY J Q SOUZA M A O Teoria das probabilidades II Variáveis Aleatórias Unidimensionais notas de aula sl Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística 2016 FERNANDES P J Medida e integração Rio de Janeiro Associação Instituto Na cional de Matemática Pura e Aplicada 2002 JAMES B Probabilidade um curso em nível intermediário Rio de Janeiro IMPA 1981 MAGALHÃES M N Probabilidade e variáveis aleatórias I 2 ed São Paulo Uni versidade de São Paulo 2006 PÉREZ F L Capítulo 3 Variáveis Aleatórias Universidade Federal do Paraná Departamento de Estatística 2017 Disponível em httpsdocsufprbrlu cambioProbabilidadesProb03pdf Acesso em 18112022 RÊGO L C Probabilidade notas de aula Sl Universidade Federal de Per nambuco Recife UFPE 2013 YNOGUTI C A Probabilidade estatística e processos estocásticos apostila sl sn 2011