Espaços de Probabilidade e Teoria da Medida

Disciplina Probabilidade e Medidas Unidade Espaços de Probabilidade Conteudista Prof Dr Francisco de Assis Cavallaro Revisão Textual Profª Dra Selma Aparecida Cesarin Objetivo da Unidade Entender os axiomas e as definições sobre espaço de probabilidade e in troduzir conceitos de Teoria da Medida Introducao Dentro da Teoria da Probabilidade descrevese o modelo matematico Esse modelo permite estudar de forma abstrata um fendmeno fisico ao qual esteja associada uma incerteza sendo composto por trés elementos Espaco de Amos tras Algebra de Eventos oalgebra e Medida de Probabilidade Dessa forma por exemplo para um dado fenédmeno fisico definese uma experiéncia na qual se admite que pode ser repetida diversas vezes em iguais condicdes dando origem a um conjunto denominado Espaco de Amostras sendo que cada ele mento é denominado amostra E possivel definir subconjuntos de e inquirir se o resultado da experiéncia pertence a um desses subconjuntos Se definidos de forma adequada esses subconjuntos sdo denominados Eventos e para cada evento é associada uma medida de probabilidade Logo Eventos devem ser complementares no sentido de que unidos formam todo 0 espaco Uma colecdo de eventos entenda conjuntos A denominada classe é uma Al gebra quando satisfaz as seguintes condic6ées i AEAAEG s AEA li Begar AUBEA Importante Uma classe é fechada em relacdo as operac6es de Unido inter secdo complemento e diferenca Por inducdo é possivel mos trar que a unido de um numero qualquer finito de eventos tam bém é um evento Além disso se A 6 uma algebra temse AEA i fe4 BNAE A 2 AGA ii E4 BAEA iii OE ANEA Uma algebra é uma oalgebra quando satisfaz a seguinte condicdo Aj E A i 12 3 wo Ja A n Importante Um conjunto é contavel quando é possivel estabelecer um ma peamento umparaum entre seus elementos e 0 conjunto dos numeros inteiros positivos Importante Finito discreto vs Infinito continuo discreto quer dizer conta vel ou enumeravel Porém nado quer dizer necessariamente fi nito assim como infinito nao quer dizer necessariamente continuo Espacos com Medidas Considere que uma medida num conjunto X seja uma funcdo que pode atribuir um numero real nado negativo para subconjuntos de X podendo ser quaisquer proprie dades aditivas Um exemplo notavel é a medida de Lebesgue espaco euclidiano que atribui as medidas de comprimento area e volume respectivamente a subconjuntos de R com n 1 23 3 Probabilidade e Medidas Espaços de Probabilidade 4 Dentro do conceito de contagem a origem do conceito de medida pode ser vista em relação ao número de elementos ou seja cardinalidade ou como me dida isto é comprimento área volume etc Há conjuntos pequenos do ponto de vista da medida mas grandes em relação sua cardinalidade Um exemplo é um conjunto ℚ que não tem medida de Lebesgue porém pode ter cardinalidade in finita de pontos Álgebra e σÁlgebra Podese mostrar que nem sempre é possível atribuir uma área para todo sub conjunto do plano Dessa forma considerase uma coleção de subconjuntos de 𝑋𝑋 cuja medida é bem definida denominada σálgebra chamada de conjuntos mensuráveis de subconjuntos de 𝑋𝑋 Definição 1 Uma σálgebra de subconjuntos de 𝑋𝑋 é uma coleção ξ de subconjuntos de 𝑋𝑋 ou seja ξ P𝑋𝑋 tal que i Ø 𝜉𝜉 ii Para todo 𝐸𝐸 ξ seu complemento 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝑋𝑋 𝐸𝐸 𝜉𝜉 iii Para todo sequência 𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑛𝑛 ℕ em ξ sua união 𝑛𝑛 ℕ 𝐸𝐸𝑛𝑛 𝜉𝜉 ou iv Dados 𝐸𝐸 𝐹𝐹 ξ sua união 𝐸𝐸 𝐹𝐹 𝜉𝜉 Leitura Conheça as principais definições sobre a Álgebra de Borel em httpsbitly3yNxLLG Probabilidade e Medidas Espaços de Probabilidade 5 𝜉𝜉 e seus elementos são denominados de conjuntos mensuráveis e se satisfizer os itens acima dizse que é uma álgebra Exemplo 1 Seja 𝑋𝑋 1 2 3 4 São σálgebra de 𝑋𝑋 𝜉𝜉 Ø 1 2 3 4 𝜉𝜉 𝜉𝜉 Ø 12 3 4 𝜉𝜉 Podese construir novas σálgebras partindo de σálgebras préexistentes Assim a questão é dada uma σálgebra em 𝑋𝑋 préexistente como gerar uma σálgebra em a 𝑋𝑋 𝑋𝑋 por extensão e b 𝐴𝐴 𝑋𝑋 por restrição Definição 2 Produto de uma σálgebra dadas σálgebras 𝜉𝜉𝑋𝑋 em 𝑋𝑋 e 𝜉𝜉𝑌𝑌 em 𝑌𝑌 a σálgebra produto ξ 𝑋𝑋 ₓ 𝑌𝑌 σ𝜉𝜉𝑋𝑋 ₓ 𝜉𝜉𝑌𝑌 onde 𝜉𝜉𝑋𝑋 ₓ 𝜉𝜉𝑌𝑌 é o conjunto formado por 𝐴𝐴 ₓ 𝐵𝐵 com 𝐴𝐴 𝜉𝜉𝑋𝑋 e 𝐵𝐵 𝜉𝜉𝑌𝑌 Definição 3 σálgebra por restrição dadas σálgebras 𝜉𝜉 em 𝑋𝑋 e 𝐴𝐴 𝑋𝑋 qualquer não obri gatoriamente 𝐴𝐴 𝜉𝜉 definese σálgebras 𝜉𝜉 𝐴𝐴 𝜉𝜉 𝐴𝐴 𝑋𝑋 𝐸𝐸 𝜉𝜉 Importante O σ da σálgebra significa ser fechada pela união enumerável Uma álgebra de conjuntos é fechada pelas operações de com plementação e por união finita Medida de Lebesgue em R Historicamente a Medida de Lebesgue é a mais importante para aplicacées além de ser o guia para a Teoria Geral da Medida Ha também o método Teoria Geral de Medidas Exterior introduzido por Carathéodory que possibilita construir medidas nao triviais consistindo na definido de uma medida em uma pequena classe de con juntos por exemplo intervalos bolas ou cilindros estendendo para uma oalgebra que é gerada por esses conjuntos por continuidade Definicao 4 Definese uma medida exterior em X como uma funcdo se 6 PX 0 o V i P0 ii SeA CBC Xentaio 6 A 6B monotona iii Para qualquer sequéncia E j de subconjuntos de x U an 6An ne N n0 O Teorema a seguir Teorema da Extensdo de Carathéodory diz que para uma dada medida exterior 6 existe uma oalgebrasmsx tal que 6 seja restritaa essa oalgebras é uma medida Teorema 1 Extensdo de Carathéodory Considere 9 uma medida exterior em X Assim A c X6ENA OEA paratodoE c x Sendo g uma oalgebras de subconjuntos de X resultado da medida exterior 6 Para exemplificar podemos tomar um conjunto A que decompée qualquer E em duas partes disjuntas E n A e EA representada na Figura 1 6 Probabilidade e Medidas Espaços de Probabilidade 7 Se 𝜃𝜃𝐸𝐸 𝜃𝜃𝐸𝐸 𝐴𝐴 𝜃𝜃𝐸𝐸𝐴𝐴 para todo 𝐸𝐸 então o conjunto A será mensurável Figura 1 Ilustração que representa A mensurável isto é se 𝜽𝜽𝑬𝑬𝒊𝒊 𝜽𝜽𝑬𝑬 𝑨𝑨 𝜽𝜽𝑬𝑬𝑨𝑨 para todo 𝑬𝑬𝒊𝒊 𝑿𝑿 Fonte Adaptada de CABRAL 2016 ParaTodosVerem Ilustração gráfica de quatro conjuntos mensurá veis 𝐴𝐴 Em fundo branco são mostrados quatro conjuntos 𝐴𝐴 em formas irregulares com preenchimento na cor cinza e quatro subconjuntos 𝐸𝐸1 𝐸𝐸2 𝐸𝐸3 e 𝐸𝐸4 nas formas circular triangular quadrada e irregular res pectivamente preenchidos com pequenos pontos com partes sobre postas em cada um dos quatro conjuntos 𝐴𝐴 com a indicação das duas partes disjuntas 𝐸𝐸 𝐴𝐴 e 𝐸𝐸𝐴𝐴 cada que para todo 𝐸𝐸𝑖𝑖 𝑋𝑋 sendo que a parte que está sobreposta ao conjunto 𝐴𝐴 corresponde a 𝐸𝐸 𝐴𝐴 e a parte restante de 𝐸𝐸𝑖𝑖 corresponde a 𝐸𝐸𝐴𝐴 assim representando um conjunto mensurável 𝐴𝐴 Fim da descrição Podese definir o comprimento de intervalos para definir uma medida exte rior Definição 4 e aplicar o Teorema 1 para obter uma medida e uma σálge bras denominada medida e σálgebras de Lebesgue Definicao 5 Medida exterior de Lebesgue considere um intervalo aberto J ab C R podese definir J baabe0e a medida exterior de Lebesgue E c Rpor 6A inf jj Inen uma Seq de intervalos abertos Ac LU I n0 JEN Importante Sendo A C Ujennn 0 inf descrito na definido é to mado num conjunto nao vazio Proposicao 1 Medida Exterior de Lebesgue Se 6for dado pela Definicdo 5 temse i 6 medida exterior em R ii extensdo de comprimento de intervalo ou iii 0 Em todo intervalo aberto Cc R Como visto a medida exterior de Lebesgue é uma medida exterior Dessa forma pode usala para desenvolver a medida y usando o Teorema 1 Definicao 6 Utilizando o Teorema1 aplicado a medida exterior podese obter a medida u denominada medida de Lebesgue em R Os conjuntos sdo denominados men suraveis a Lebesgue conjuntos A c R paraacondicdo 6E OENA OEA OEN A paratodoE c R 8 Podese generalizar a medida de Lebesgue Uma generalizado importante dentre outras é a medida de LebesgueStieljes fundamental na Teoria da Pro babilidade A medida gerada sera representada pela soma de Lebesgue com delta de Dirac unificando a forma continua e a discreta respectivamente Definicao 7 Medida de LebesgueStieljes Seja g R Ruma funcdo crescente podendo ser nao continua Considere um intervalo aberto ab c R definido em g gb gaa be 0 Dado A c R definese Ug A inf iil Ij nen uma Seq de intervalos abertos Ac U iF j0 jen Importante Utilizando 0 Método de Carathéodory e iniciando da medida exterior ug podese gerar a associacao de o algebras a medida de LebesgueStieljes ug Um espaco de probabilidade é a abstracdo matematica de um experimento envolvendo alguma aleatoriedade que sé pode estar nos olhos do observador como consequéncia da falta de conhecimento total Na Teoria Moderna da Pro babilidade um bloco fundamental de construcao é a probabilidade de espaco O primeiro passo é definir Espaco de Probabilidade 9 Probabilidade e Medidas Espaços de Probabilidade 10 Definição 8 Considere um espaço de medida Ω 𝜉𝜉 𝜇𝜇 Podese dizer que é um espaço de probabilidade se 𝜇𝜇Ω 1 Para esse caso trocase a medida 𝜇𝜇 por 𝑃𝑃 e se diz que a trinca Ω 𝜉𝜉 𝑃𝑃é um espaço de probabilidade A partir dessa definição fazse as seguintes considerações Ω é o espaço amostral conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória e será considerado finito Os componentes da σálgebra ξ são os eventos Dizse que um evento ocorre quando o resultado da experiência pertence ao evento São sub conjunto de Ω Em cada evento 𝐴𝐴 𝜉𝜉 associase a sua probabilidade 𝑃𝑃𝐴𝐴 Se existe uma função mensurável 𝑋𝑋 Ω ℝ é denominada variável aleatória A integral 𝑋𝑋 𝑑𝑑𝑃𝑃 é denominada esperança da variável aleatória 𝑋𝑋 cha mada de 𝐸𝐸𝑋𝑋 Chamase de processo estocástico discreto uma sequência 𝑋𝑋𝑛𝑛𝑛𝑛 ℕ de va riáveis aleatórias Chamase de processo estocástico contínuo uma família 𝑋𝑋𝑡𝑡𝑡𝑡 ℝ de vari áveis aleatórias Numa linguagem menos técnica podese dizer que o espaço de eventos ser uma σálgebras significa que dados os eventos 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 esses são eventos também i A não ocorrência de 𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐶𝐶 ii A ocorrência de 𝐴𝐴 ou 𝐵𝐵 𝐴𝐴 𝐵𝐵 iii A ocorrência de 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 𝐴𝐴 𝐵𝐵 iv 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐶𝐶 1 𝑃𝑃𝐴𝐴 pois 𝑃𝑃Ω 1 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐶𝐶 logo 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐶𝐶 1 𝑃𝑃𝐴𝐴 Probabilidade e Medidas Espaços de Probabilidade 11 v 𝑃𝑃 0 pois como Ω tem se 𝑃𝑃Ω 𝑃𝑃Ω 𝑃𝑃 𝑃𝑃Ω 𝑃𝑃Ω 1 𝑃𝑃Ω 𝑃𝑃 𝑃𝑃 0 vi 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝐵𝐵 pois 𝑃𝑃AB 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝐵𝐵 vii 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝐵𝐵 fazendo 𝐴𝐴 𝐵𝐵 como uma união dis junta 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐵𝐵 temse 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐵𝐵 viii Se 𝐴𝐴 𝐵𝐵 então 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐵𝐵 É intuitiva a necessidade de utilizar uniões enumeráveis pois por exemplo num jogo de dados o jogador jogará o dado 𝑛𝑛 vezes até que apareça um deter minado número escolhido por exemplo o número 5 Como existe a possibili dade de esse jogo nunca terminar e se repetir de forma infinita temse de con siderar as uniões infinitas enumeráveis Da mesma forma se 𝑆𝑆𝑡𝑡 representa o va lor de uma ação de mercado no instante 𝑡𝑡 tempo determinar qual a probabi lidade de essa ação ultrapassar um determinado patamar estabelecido ao final de todo o dia Exemplo 2 Para modelar o experimento de lançar um dado comum uma vez deixamos Ω de notar o conjunto de saídas desse experimento Ignorando tais aspectos o experi mento como a duração do tempo que leva para o dado parar de rolar ou a distância percorrida O foco é nas seis saídas que correspondem ao número de pontos que Importante Dado 𝑋𝑋 Ω ℝ é intuitivo querer conferir probabilidade a 𝑎𝑎 𝑋𝑋 𝑏𝑏a todos 𝑎𝑎 𝑏𝑏 ℝ Dessa forma é natural a hipótese de X ser mensurável igual à variável aleatória Probabilidade e Medidas Espaços de Probabilidade 12 aparecem na face superior quando o dado para Então para o nosso modelo monta mos Ω 1 2 3 4 5 6 São excluídos resultados possíveis de ocorrências singulares como o dado parando em uma borda Em algumas circunstâncias a palavra resul tado pode ser usada com um significado diferente Por exemplo uma pessoa pode dizer que espera que o resultado seja um número par Ao fazer isso essa pessoa está usando resultado para denotar um subconjunto de Ω em vez de um membro de Ω Com uma descrição apropriada podese referir a qualquer subconjunto de Ω Deixa mos 𝜉𝜉 denotar a coleção de todos os subconjuntos de Ω Como definido três termos são frequentemente usados no lugar da terminologia usual da Teoria dos Conjuntos Ω pode ser chamado de espaço amostral assim como os membros de Ω são cha mados de pontos amostrais e os membros de 𝜉𝜉 são chamados de eventos Se 𝐴𝐴 é um evento dizemos que 𝐴𝐴 ocorre se o resultado do experimento é um ponto amostral que é membro de 𝐴𝐴 Dessa forma no experimento em discussão se 𝐴𝐴 2 4 6 então dizer que 𝐴𝐴 ocorre é o mesmo que dizer que um número par é lançado A probabilidade de um evento 𝐴𝐴 denotado por 𝑃𝑃A indica a probabili dade de que o evento ocorre É comum no caso de um dado balanceado definir 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝐴𝐴 6 𝐴𝐴 𝜉𝜉 Onde 𝐴𝐴 indica o número de membros de 𝐴𝐴 Em particular 𝑃𝑃Ω 1 e 𝑃𝑃Ø 0 o que é consistente com o fato de que em nosso experimento idealizado o resultado do experimento é sempre um membro de Ω e nunca um membro de Ø Outra maneira de dizer isso é que Ω é um evento que certamente ocorrerá enquanto Ø é um evento que certamente não ocorrerá A função 𝑃𝑃 é chamada de medida de probabilidade e o número 𝑃𝑃𝐴𝐴 é chamado de probabilidade de 𝐴𝐴 O 𝑃𝑃 particular escolhido reflete a simetria geométrica de uma matriz mas deve ser enfatizado que o que torna uma escolha particular de 𝑃𝑃 correta não é raciocínio abstrato mas o grau em que 𝑃𝑃 reflete a natureza do expe rimento Na verdade uma das principais tarefas dos estatísticos é conceber formas de escolher medidas de probabilidade aproximadamente corretas P para varios experimentos De acordo com os principios da mecanica classica podese argumentar que sem pre que um dado é lancado ha um ponto amostral que tem probabilidade 1 Esse ponto amostral poderia ser determinado por meio de um calculo complicado envol vendo as Leis da Fisica e um conhecimento exato das condic6es iniciais e do movi mento da mado rolando o dado Nesse caso um modelo probabilistico é mais utilizado e apropriado Exemplo 3 Considere um experimento que consiste em n sucessivos lancamentos de uma moeda O Wn cara e coroa i 1n Por conveniéncia podese padronizar cara 1e coroa 0 Entdao O Wn 10 i 1n Assim existem 2 pontos amostrais Dessa forma considere a coledo de to dos os subconjuntos de 0 Entao A P 5 AcE Agora suponha que 0 k n Para que AY w k 6 necessario e suficiente 2 n n A que k 1Ha 7 tim pontos amostrais que tém essa propriedade Portanto n P 44Wn i kr 2 Okn d k t1 13 Na terminologia do cara ou coroa essa é a probabilidade de obter exatamente k caras em n lancamentos de uma moeda honesta nao viciada Proposicao 2 SejaA Be An 12 eventos de um espaco de probabilidade Q é P En tao P 0 PA PB PBA PB PA PA 1 PAe P an PA Definicao 9 Seja O um espaco amostral Uma probabilidade sobre é uma funcdo que as socia a cada evento A c O um nimero PA de forma que i Paratodo evento A0 PA 1 ii POQ1 iii SeA nN BQentaoPA U BPAPB Exemplo 4 Considere um lancamento de uma moeda Observe a face que cai voltada para cima Solucao Espaco amostral Q cara coroa os eventos sao A cara B coroaeQ 14 i Definigdo de P uma probabilidade para 0 1 1 P 0 PA 3718 2 ePQ 1 ii Definicdo de P uma outra probabilidade para 0 P 0 PA PB e PQ 1 BD 0 P2 F 2 J 2Q Note que P e P condizem com a definicdo de probabilidade Exemplo 5 Um modelo muito utilizado é 0 equiprobabilistico que é 0 caso de P exemplo anterior O caso geral desse modelo ou seja para 9 n atribuise a cada evento unitario a probabilidade Considere 0 e 2n e Pe Pe2 Pfe k Utilizando o item iii da definicdo 9 temse PQ 1 Pez 2 en Pe U Pfez UU Pen 1 ktkknk k n n termos Exemplo 6 Sejam 12345 A 13 5 e B1 23 Determine A e AB conjunto complementar e subtracao de A e B respectivamente i ASx Ox A ex AS 24 ii AB a Ala BexAB 5 15 De forma mais geral considere um espaco amostral arbitrario 0 Podese ter uma colecdo de subconjuntos que sdo particularmente interessantes ou faceis de descrever Entao quando se tenta construir um espaco de probabilidade 0 F P é natural tomar F o oalgebra para comecar a construir P especificando seus valores em Duas perguntas imediatamente surgem o dominio de P pode ser es tendido para é de modo que seja uma medida de probabilidade Em caso afirmativo essa extensdo é tinica Ambas as questGes serao tratadas no item a seguir Exemplo 7 Seja 2 aBy5 e F um conjunto de todos os subconjuntos de é a 836 By entdo o F Assim podese definir duas medidas de proba bilidades distintas P e Q em Ff cujas restricdes a sdo idénticas Dessa forma definese P por P8 P5 12 Q por Qa Qy 12 e aA e e e Existencia Unicidade Extensao e re e Completacao de Medidas Em alguns dos exemplos dos itens anteriores mais notavelmente no espaco caracoroa definimos um espaco amostral 0 e um conjunto F mas nado especi ficamos completamente probabilidades PA para todo A fF Em vez disso fo ram mostrados apenas os valores de PA para eventos A em uma colecdo menor é tal que F oée entao assumimos sem prova de que P poderia ser estendido de uma maneira unica para todo F Nesse item essa lacuna é retirada mostrando que sob certas suposicoes naturais uma fungao P definida em uma colecdo é de subconjuntos de um espaco amostral 0 pode ser estendida de maneira Unica a uma medida de probabilidade em F o Uma vez que medidas de probabili dade sao construidas podese juntalas para formar medidas ofinitas 16 Probabilidade e Medidas Espaços de Probabilidade 17 Teorema 3 Unicidade da Medida Sejam 𝑃𝑃 e 𝑄𝑄 medidas de probabilidades no espaço mensurável Ω σ𝜉𝜉 onde 𝜉𝜉 é uma coleção de conjuntos fechados sob intersecções pareadas Se 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑄𝑄𝐴𝐴 for cada 𝐴𝐴 𝜉𝜉 então 𝑃𝑃 𝑄𝑄 O Teorema da Unicidade da Medida nos assegura que podemos descrever uma medida de probabilidade de maneira inequívoca dando seus valores para uma pequena coleção de eventos desde que essa coleção seja fechada sob interseções pareadas No entanto não diz que as probabilidades de conjuntos em tal coleção podem ser especificados arbitrariamente Por exemplo considere a seguinte co leção de subconjuntos do espaço Ω 1 2 3 Ø 1 12 13 Ω Essa coleção é fechada sob interseções e gera o ξ de todos os subconjuntos de Ω No entanto não há como estender a função 𝑅𝑅 definida por 𝑅𝑅Ω 𝑅𝑅12 𝑅𝑅13 1 𝑅𝑅1 1 2 𝑅𝑅Ø 0 para uma medida de probabilidade em ℱ É fácil verificar nesse exemplo que a função 𝑅𝑅 não viola as condições exigidas de uma medida de probabilidade em ξ O problema é que embora ξ seja grande o suficiente para garantir a unicidade não é grande o suficiente para garantir a existência Em geral há duas partes no problema de existência i Encontrar uma maneira tratável de verificar se uma função 𝑅𝑅 satisfaz to das as propriedades de uma medida de probabilidade em seu domínio de definição ξ ii Encontrar um conjunto de condições em ξ que irão garantir que se 𝑅𝑅 sa tisfaz todas as propriedades de uma medida de probabilidade em ξ então 𝑅𝑅 pode ser estendido para uma medida de probabilidade em σξ Definicao 10 Uma familia de subconjuntos de um conjunto 0 é uma colecdo de subconjuntos de 0 que tem g como membro e é fechado sob complementacdo e uni6es aos pares Definicao 11 Uma funao de valor real R definida em uma colecdo de subconjuntos de um o conjunto 0 é dito ser finitamente aditivo se RA U B RA RB para cada par disjunto A e B de membros de é Dizse que a funcao R é aditiva contavel se R U 4n RA n1 n1 sempre que Aj Ap uma sequéncia de membros disjuntos pareados de é cuja unido também é membro da é Dada uma coleao é de subconjuntos de um espaco podemos especificar pro babilidades RA para conjuntos A que sa4o membros de é Acontece naturalmente que R ndo negativo e finitamente aditivo e que R 1 Parao caso de R ser um aditivo contavel a condicdo na Proposicdo 1 tem de ser verificada que fornece uma condicao util sob a qual a aditividade finita implica aditividade contavel Proposicao 3 Considere R ser uma funcao finitamente aditiva nado negativa definidaem um é de subconjuntos tal que RQ 1 Entdo R é aditivo contavel se e somente se RA 0 para cada sequéncia decrescente A Ap em é onde lim A 18 Probabilidade e Medidas Espaços de Probabilidade 19 Lema 1 Considere 𝑅𝑅 ser uma função finitamente aditiva não negativa definida em um ξ de subconjuntos Ω tal que 𝑅𝑅Ω 1 Seja 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 e 𝐵𝐵1 𝐵𝐵2 sequências ξ cujos limites existem e são iguais Então o lim 𝑛𝑛 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑜𝑜 lim 𝑛𝑛 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑛𝑛 existem e são iguais Se 𝑅𝑅 é aditivo contável então pode ser estendido para uma probabilidade me dida definida em 𝜎𝜎𝜉𝜉 A prova requer vários passos que serão descritos breve mente a seguir primeiro seja 𝜉𝜉1 uma coleção de subconjuntos de Ω que são li mites de sequências de membros de 𝜉𝜉 Considere coleção 𝜉𝜉1 uma coleção que contém 𝜉𝜉 usando o Lema 1 e a Proposição 3 para mostrar que 𝑅𝑅 pode ser esten dido para uma função aditiva contável não negativa definida em 𝜉𝜉1com 𝜉𝜉1 no lugar de 𝜉𝜉 O resultado é que 𝑅𝑅 é estendido para uma função aditiva contável não negativa definida em uma coleção 𝜉𝜉2 que contém todos os limites de sequências de membros do 𝜉𝜉1 Poderíamos continuar a repetir esse procedimento sucessivamente esten dendo R aos campos 𝜉𝜉3 𝜉𝜉4 No entanto verificase que a coleção 𝜉𝜉2 desempenha um papel especial Introduzindo uma coleção D de subconjuntos de Ω chamado a completação de 𝜉𝜉2 Um conjunto 𝐵𝐵 é um membro de D se existem conjuntos 𝐴𝐴 e 𝐶𝐶 em 𝜉𝜉2 tal que 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐶𝐶 e 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑅𝑅𝐶𝐶 Para finalizar estendese de forma natu ral a função 𝑅𝑅 para D Definição 12 Seja ξ uma coleção de subconjuntos de um espaço Ω e seja R uma função adi tiva contável não negativa definida em ξ tal que 𝑅𝑅Ω 1 A completação de ξ em relação a 𝑅𝑅 é definida ser a coleção de todos os conjuntos B Ω tal que existem 𝐴𝐴 e 𝐶𝐶 em ξ satisfazendo 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐶𝐶 e 𝑅𝑅𝐶𝐶𝐴𝐴 0 Teorema 2 Extensão seja ξ uma coleção de subconjuntos de um espaço Ω e seja R uma fun ção aditiva contável não negativa definida em ξ tal que 𝑅𝑅Ω 1 Então existe uma única medida de probabilidade P definido 𝜎𝜎𝝃𝝃 tal que 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑅𝑅𝐴𝐴 para todo 𝐴𝐴 𝝃𝝃 Exemplo 8 Dado D n N1 n 365eK c PD sendo que K representa uma coledo de todos os subconjuntos de D com 2 elementos E se ao acaso escolher um ele mento B K qual a probabilidade de soma de seus elementos ser 183 Solucao Com base na descricdo do enunciado K C3 sendo C 0 conjunto dos ele mentos B no qual a soma deve ser igual a 183 e representado na forma C 1182 2181 3 180 4179 9192 Portanto C 91 Para um elemento B B K escolhido ao acaso a proba bilidade de que a soma dos elementos seja 183 sera pare 91 91 91 il K C2 365x182 66430 730 Exemplo 9 Considere um sorteio por meio de uma urna com 90 bolas identificadas nu mericamente de 1a 90 em que a retirada de uma bola é igualmente provavel a retirada de cada uma das demais Dessa forma procedese a retirada aleatoria de uma das 90 bolas dessa urna Determine a probabilidade de que o numero re lativo a essa bola seja um miltiplo de 5 e 6 Solucao Sabendo que e Asne N1n 90enémiltiplo de 5 e Agne N1n 90enémiltiplo de 6 20 Probabilidade e Medidas Espaços de Probabilidade 21 Fazendo 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 sendo 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 o conjunto que representa os múltiplos de 30 no intervalo 1 90 Note que 90 5 x 18 6 x 15 30 x 3 𝑃𝑃 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 90 18 15 3 90 30 90 1 3 Probabilidade e Medidas Espaços de Probabilidade 22 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Leitura Sobre os Sistemas de Caratheodory httpsbitly3LszfT9 As Integrais de Riemann RiemannStieltjes e Lebesgue httpsbitly3yISTTo Teoria Geral da Medida Aplicações httpsbitly40gkSWh Distribuições e a Função Delta de Dirac httpsbitly42mv15K Probabilidade e Medidas Espaços de Probabilidade 23 Referências BILLINGSLEY P Probability and measure 3ed New York John Wiley Sons 1995 CABRAL M A P Introdução à teoria da medida e integral de Lebesgue 3ed Rio de Janeiro Instituto de MatemáticaUniversidade Federal do Rio de Janeiro 2016 FARIAS A M L KUBRUSLY J Q SOUZA M A O Teoria das Probabilidades II Variáveis Aleatórias Unidimensionais Notas de Aula S l Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística 2016 FERNANDES P J Medida e integração Rio de Janeiro Associação Instituto Na cional de Matemática Pura e Aplicada 2002 FRISTEDT B GRAY L A modern approach to probability theory Probability and its Applications New York Springer Basel AG 1997 JAMES B Probabilidade um curso em nível intermediário Rio de Janeiro IMPA 1981 MAGALHÃES M N Probabilidade e variáveis 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