Teoremas Limites em Probabilidade e Medidas

Disciplina Probabilidade e Medidas Unidade Teoremas Limites Conteudista Prof Dr Francisco de Assis Cavallaro Revisão Textual Esp Pérola Damasceno Objetivo da Unidade Compreender as definições e propriedades sobre alguns teoremas limi tes para sequências de variáveis aleatórias independentes e identica mente distribuídas Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 2 Introdução A teoria da medida termina e a probabilidade começa com a definição de in dependência Nessa Unidade será apresentado o Teorema Central do Limite para variáveis aleatórias quatro de suas versões para variáreis aleatórias in dependentes e identicamente distribuídas a versão de Lindeberg a de Linde bergFeller e o teorema do Limite Central para a distribuição de Poisson Para que se possa ter um conhecimento melhor do Teorema Central do Limite para variáveis aleatórias serão abordados conceitos importantes como indepen dência funções características e suas propriedades lei dos grandes números e convergência em distribuição Um importante resultado que pode ser obtido com as funções características e a convergência em distribuição é que uma sequência de variáveis aleatórias convergirá em distribuição para uma determinada distribuição se e somente se a sequência de funções características convergir pontualmente para a função ca racterística desta mesma determinada distribuição Este resultado é importante para a prova do Teorema Central do Limite Independência O conceito de independência de variáveis aleatórias é muito importante por exemplo se duas variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌 forem independentes o fato de ter o conhecimento do resultado de 𝑋 não irá afetar as probabilidades dos possíveis resultados de 𝑌 A recíproca é verdadeira A independência traz consequências interessantes como a de que se variáveis aleatórias 𝑋e 𝑌 forem independentes e forem definidas novas variáveis 𝑔𝑋 e ℎ𝑋 quaisquer funções 𝑔 e ℎ então tam bém serão essas independentes Além disso esse conceito é uma ferramenta im portante na obtenção de algumas distribuições em probabilidade e estatística Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 3 Definição 1 Considere um espaço de probabilidade Ω ℱ 𝑃 e sejam σálgebras ℱ1 ℱ2 ℱ𝑛 contidas em ℱ Essas σálgebras são independentes se para quais quer 𝐴1 ℱ1 𝐴2 ℱ2 𝐴𝑛 ℱ𝑛 temse 𝑃𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 𝑃𝐴1𝑃𝐴2 𝑃 𝐴𝑛 Definição 2 As variáveis aleatórias 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 em um espaço de probabilidade Ω ℱ 𝑃 são independentes se e somente se ℱ𝑋1 ℱ𝑋𝑛 são σálgebras independentes Definição 3 O conjunto de σálgebras ℱ1 ℱ2 contido em ℱ são independentes se e so mente se para cada 𝑛 ℱ1 ℱ𝑛 forem independentes Definição 4 Dadas variáveis aleatórias 𝑋1 𝑋2 em um espaço de probabilidade Ω ℱ 𝑃 são independentes se e somente se para cada 𝑛 𝑋1 𝑋𝑛 são independentes Lema 1 Considere as álgebras independentes ℱ0 e 𝒢0 e que ℱ e 𝒢 As σálgebras ge radas por ℱ0 e 𝒢0 respectivamente são independentes Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 4 Definição 5 Dados os vetores aleatórios 𝑋 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 𝑒 𝑌 𝑌1 𝑌2 𝑌𝑛 são indepen dentes se e somente se ℱ𝑋 é independente de ℱ𝑌 Teorema 1 Suponha que 𝑋1 𝑋𝑛 sejam variáveis aleatórias independentes de 𝑋𝑖 e que tenham distribuição 𝜇𝑖 então 𝑋1 𝑋𝑛 tem distribuição 𝜇𝑖 𝜇𝑛 Função Característica As funções características são muito importantes para a convergência em dis tribuição e por conseguinte uma prova para o teorema do Limite Central sendo que essas funções definirão a distribuição para qualquer variável aleatória Tem se uma única função característica para qualquer variável aleatória que a definirá Desta forma seja uma variável aleatória 𝑋 e associada a ela existe uma função complexa 𝜑 ℝ ℂ única e determinada por 𝑋 denominada por função caracte rística de 𝑋 Considere uma sequência de variáveis aleatórias 𝑋𝑛𝑛1 então existe uma sequência de funções características de 𝜑𝑛𝑛1 relacionadas a ela O compor tamento dessas funções em geral tende ser mais fácil de se estudar Serão apre sentados a seguir algumas propriedades da função características chf Definição 6 Função característica Definese uma função característica de uma variável aleatória 𝑋 como uma função 𝜑x ℝ ℂ 𝜑x𝑡 𝐸𝑒𝑖𝑡𝑋 𝐸𝑐𝑜𝑠𝑡𝑋 𝑖𝐸𝑠𝑒𝑛𝑡𝑋 𝑡 ℝ Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 5 Onde a variável aleatória complexa 𝑒𝑖𝑡𝑋 possui esperança finita para qual quer 𝑋 porque da equação de Euler temse 𝑒𝑖𝑦 cos𝑦 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑦 ℝ Sendo que as funções 𝑠𝑒𝑛𝑦 e cos𝑦 são limitadas Proposição 1 Propriedades da função característica dados 𝑋 e 𝑌 variáveis aleatórias tem se as seguintes propriedades para as funções características 𝜑 𝜑x0 1 𝜑x𝑡 𝜑x𝑡 Se 𝑋 e 𝑌 são independentes então 𝜑xy𝑡 𝜑x𝑡𝜑y𝑡 𝑡 ℝ Generalizando 𝜑x1𝑋𝑛𝑡 𝜑x𝑖𝑡 𝑛 𝑖1 𝑡 ℝ Se 𝑛 𝑡𝑛 𝜑x𝑡 𝑡0 𝑖𝑛𝐸𝑋𝑛 𝑛 1 2 3 se 𝐸𝑋𝑛 𝜑x𝑡 1 𝑡 ℝ Se 𝑌 𝑎𝑋 𝑏 então 𝜑y𝑖𝑏𝑡 𝑒𝑖𝑦 𝜑x𝑎𝑡 Se 𝜑1 𝜑𝑛 são chf então 𝜑 𝜑1 𝜑𝑛 também é uma chf A variável aleatória 𝑋 possui simetria em torno de zero em sua distribuição ie 𝑃𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 𝑥 ℝ se e somente se 𝜑x𝑡 ℝ 𝑡 ℝ Se 𝜑 é uma chf então da mesma forma ocorre com 𝜑2 A seguir no próximo teorema denominado fórmula de inversão será dado a chamada recíproca que quer dizer que a função característica de uma função aleatória determina a função de distribuição dessa Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 6 Teorema 2 Fórmula de Inversão dado 𝑋 uma variável aleatória qualquer cuja função ca racterística 𝜑x𝑡 que determina a função de distribuição da variável 𝑋 a partir da seguinte equação fórmula de inversão 𝐹x𝑏 𝐹x𝑎 lim 𝑐 1 2𝜋 𝑒𝑖𝑎𝑡 𝑒𝑖𝑏𝑡 𝑖𝑡 𝜑x𝑡𝑑𝑡 𝑐 𝑐 sendo 𝐹x𝑤 1 2 𝐹𝑤 𝐹𝑤 para todo 𝑤 ℝ e os números reais 𝑎 𝑏 e 𝑐 𝑐 0 e 𝑎 𝑏 Definição 7 Convolução sejam duas funções distribuídas 𝐹1 𝐹2 Dizse que a função de distribuição 𝐹 é uma convolução de 𝐹1 e 𝐹2 se 𝑥 ℝ 𝐹𝑥 𝐹1𝑥 𝑦 𝑑𝐹2𝑦 𝑜𝑢 𝐹 𝐹1 𝐹2 Teorema 3 Dadas as variáveis independentes 𝐴1 𝐴2 com função distribuição 𝐹1 𝐹2 e chf 𝜑1 𝜑2 respectivamente então a variável aleatória 𝑋 𝑋1 𝑋2 possui uma função distribuição 𝐹 𝐹1 𝐹2 e chf 𝜑 𝜑1𝜑2 Teorema 4 Dada uma variável aleatória 𝑋com função distribuição 𝐹 e chf 𝜑 então 𝐸𝑋𝑛 se e somente se 𝜑 possuir 𝑛 derivadas contínuas ou 𝜑𝑘𝑡 𝑖𝑥𝑘 𝑒𝑖𝑡𝑥 𝑑𝐹𝑥 Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 7 Teorema 5 Dadas as variáveis independentes 𝐴1 e 𝐴2 e chf 𝜑1 e 𝜑2 respectivamente en tão 𝑋1 𝑋2 possui chf 𝜑1𝑡𝜑2𝑡 Exemplo 1 Cara ou coroa seja 𝑃𝑋 1 𝑃𝑋 1 1 2 então 𝐸𝑒𝑖𝑡𝑋 𝑒𝑖𝑡 𝑒𝑖𝑡 2 cos 𝑡 a chf Exemplo 2 Distribuição de Poisson seja 𝑃𝑋 𝑘 𝑒𝜆 𝜆𝑘 𝑘 para 𝑘 0 1 2 então a chf é 𝐸𝑒𝑖𝑡𝑋 𝑒𝜆 𝜆𝑘𝑒𝑖𝑡𝑘 𝑘 𝑘0 Exemplo 3 Distribuição exponencial dada a função densidade 𝑒𝑥 𝑥 0 Integrando temse como chf 𝑒𝑖𝑡𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 0 𝑒𝑖𝑡1𝑥 𝑖𝑡 1 0 1 𝑖𝑡 1 Desde que 𝑒𝑖𝑡1𝑥 0 assim como 𝑥 Teorema 6 Da unicidade dadas as variáveis aleatórias 𝑋 𝑒 𝑌 que possuem a mesma função característica então possuem também a mesma função de distribuição Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 8 Teorema 7 Dadas duas variáveis aleatórias independentes 𝑋 e 𝑌 com funções caracterís ticas 𝜑x𝑡 𝑒 𝜑Y𝑡 respectivamente Assim 𝜑xY𝑡 𝜑x𝑡 𝜑Y𝑡 𝑡 ℝ Exemplo 4 Dadas duas variáveis 𝑋1 e 𝑋2 normalmente distribuídas onde a soma 𝑌 𝑋1 𝑋2 igualmente distribuídas normalmente encontre a função característica 𝜑Y Solução Sabendo que 𝐸𝑋1 𝜇1 𝑉𝑎𝑟𝑋1 𝜎1 2 𝐸𝑋2 𝜇2 𝑒 𝑉𝑎𝑟𝑋2 𝜎1 2 assim as funções características dessas variáveis 𝑋1 e 𝑋2 são 𝜑x1 𝑒𝑖𝜇1𝑡 1 2𝜎12𝑡2 e 𝜑x2 𝑒𝑖𝜇2𝑡 1 2𝜎22𝑡2 Utilizando o Teorema 7 a função característica 𝜑Y da soma 𝑌 𝑋1 𝑋2 é 𝜑Y 𝜑x1 𝜑x2 𝑒𝑖𝜇1𝜇2𝑡05𝜎12 𝜎22𝑡2 A esperança é 𝜇 𝜇1 𝜇2 e a variância 𝜎 𝜎1 2 𝜎2 2 De acordo com o teorema 8 unicidade a função de distribuição da variável aleatória 𝑌 é normal Importante Utilizando os Teoremas 4 e 5 podese garantir que variáveis aleatórias que possuem a mesma função caraterística terão também a mesma função de distribuição Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 9 Tipos de Convergência O estudo de convergência em Matemática está fortemente associado à expec tativa de uma aproximação Para o caso especifico de sequência de variáveis ale atórias utilizadas no Teorema Central do Limite conhecido como convergência fraca ou convergência em distribuição serão considerados os tipos de conver gências quase toda parte em probabilidade e em distribuição Considere que 𝑋𝑛𝑛1 seja uma sequência de variáveis aleatórias em Ω ℱ 𝑃 e as sequências 𝐹𝑛𝑛1 𝑒 𝜑𝑛𝑛1 construídas através das funções de distribuição e características respectivamente Naturalmente surge a questão Como elas se relacionam Ou melhor se uma das sequências convergir as outras duas também convergirão Um passo importante é a identificação de seus limites e caracterís ticas da eventual convergência Como há diversas formas de limites com diferen tes interpretações obtêmse muitos resultados Entre os resultados mais impor tantes destacase a lei dos grandes números e o Teorema Central do Limite Definição 8 Considere que 𝑋𝑛𝑛1 seja uma sequência de variáveis aleatórias em um mesmo espaço de probabilidade Ω ℱ 𝑃 e que a sequência 𝐹𝑛𝑛1 seja formada pelas respectivas funções de distribuição Desta forma podese dizer que 𝑋𝑛 converge para 𝑋 em quase toda parte se 𝑃𝑋𝑛 𝑛 𝑋 1 ie se 𝑋𝑛 converge pontualmente para 𝑋 exceto em uma coleção de medida de probabilidade nula 𝑋𝑛 converge para 𝑋 em probabilidade se para todo 𝜖 0 𝑃𝑋𝑛 𝑋 𝜖 ou 𝑃𝑋𝑛 𝑃 𝑋 𝑋𝑛 converge para 𝑋 em distribuição se 𝐹𝑛𝑛1 converge fracamente para a função distribuição 𝐹 ie se 𝐹𝑛 𝑛 𝐹𝑥 para quaisquer 𝑥 é o ponto de continuidade de 𝐹 ou 𝑃𝑋𝑛 𝐷 𝑋 Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 10 Proposição 2 Se 𝑋𝑛convergir para 𝑋 em quase toda a parte então 𝑋𝑛 𝑃 𝑋 Proposição 3 Se 𝑋𝑛 𝑃 𝑋 então 𝑋𝑛 𝐷 𝑋 Proposição 4 Se 𝑋𝑛 𝐷 𝑐 sendo 𝑐 uma constante real então 𝑋𝑛 𝑃 𝑐 Saiba Mais A notação 𝑋𝑛 𝑞𝑐 𝑋 será utilizada para indicar a convergência Nesse caso utilizando um sinônimo de em quase toda parte Quase Certa Pode ser denominada também de Con vergência Forte Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 11 Há uma relação entre as funções de distribuição e caraterística pelo Teorema da Unicidade Assim os dois próximos teoremas garantirão a maneira de convergência em distribuição com funções características de modo a validar a relação 𝑋𝑛 𝐷 𝑋 𝜑x𝑛𝑡 𝜑x𝑡 𝑡 ℝ onde 𝐹𝑋𝑛 𝑓 𝐹𝑋 ou convergirá fracamente e 𝑋𝑛convergirá em distribuição para 𝑋 se 𝜑x𝑛𝑡 𝜑x𝑡 𝑡 ℝ Essa convergência em distribuição de 𝐹1 𝐹2 para 𝐹 ou melhor 𝐹x𝑛 𝐷 𝐹x dizem também que essas funções acumuladas con vergem fracamente para 𝐹 Teorema 8 De HellyBray dadas as funções de distribuição 𝐹 𝐹1 𝐹2 com 𝐹𝑛𝑛1 conver gindo fracamente para 𝐹 ie 𝐹𝑛𝑥 𝑛 𝐹𝑥 para todo 𝑥 que for ponto de conti nuidade de 𝐹 Assim 𝑔𝑥𝑑𝐹𝑛𝑥 𝑛 𝑔𝑥𝑑𝐹𝑥 com 𝑛 que seja 𝑔 contínua e limitada 𝑔 ℝ ℝ Pontualmente se 𝜑 𝜑1 𝜑2 as respectivas funções características de 𝐹 𝐹1 𝐹2 temse 𝐹𝑛 𝐷 𝐹 resultando em 𝜑𝑛𝑡 𝑛 𝜑𝑡 𝑡 ℝ Saiba Mais A recíproca da Proposição 3 não vale de forma geral porém de acordo com a Proposição 4 a validade pode ocorrer para o caso em que 𝑋 degenera num ponto É um fato muito útil na demonstração da Lei dos Grandes Números Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 12 Teorema 9 Continuidade de Paul Lévy considere as funções de distribuições 𝐹1 𝐹2 e suas funções características respectivas dadas por 𝜑1 𝜑2 Assim se 𝜑𝑛 con vergir para um limite 𝜑 pontual e se for contínuo no ponto zero então existirá 𝐹 função distribuição 𝐹𝑛 𝑓 𝐹 e 𝜑 será a função característica de 𝐹 Desta forma dado um conjunto de variáveis aleatórias 𝑋1 𝑋2 se 𝜑x𝑛𝑡 𝜑 𝑡 ℝ e a função seja contínua no ponto zero portanto essa função será carac terística de uma variável aleatória 𝑋 como consequência então 𝜑 𝜑x e 𝑋𝑛 𝐷 𝑋 Corolário 1 𝑋𝑛 𝐷 𝑋 se e somente se 𝜑x𝑛 convergir pontualmente para 𝜑x Teorema 10 Dados o conjunto de funções de distribuição 𝐹 𝐹1 𝐹2 com 𝐹𝑛𝑛1 convergindo fracamente para 𝐹 e 𝜑 𝜑1 𝜑2 as respectivas funções características Então 𝜑𝑛𝑛1 converge de forma uniforme para 𝜑 em qualquer intervalo limitado De acordo com os Teoremas 6 7 e 8 estabeleceuse uma relação de equivalência entre a convergência de distribuição e de suas respectivas funções características Lei dos Grandes Números A Lei dos Grandes Números é a fundamentação teórica para a maioria das téc nicas desenvolvidas para a obtenção de estimativas da probabilidade de eventos Ela é composta pela Lei Fraca dos Grandes Números que considera a convergên cia em probabilidade e pela Lei Forte que se refere à convergência quase certa Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 13 Leis Fraca e Forte dos Grandes Números Dada uma sequência de 𝑋𝑛 de variáveis aleatórias e 𝑆𝑛 𝑋𝑛 𝑛1 a Lei Fraca garante as condições nas sequências de números 𝐴𝑛 e 𝐵𝑛 a fim de que uma se quência de variáveis aleatórias por exemplo 𝐵𝑛1𝑆𝑛 𝐴𝑛 convirja em proba bilidade para zero quando 𝑛 Definição 9 Dada uma sequência de variáveis aleatórias 𝑋𝑛 e 𝑆𝑛 𝑋𝑘 𝑘1 𝑛 1 Essa se quência obedece à Lei Fraca com relação a uma sequência de constantes 𝐵𝑛 𝐵𝑛 0 e lim 𝑛 𝐵 se existir uma outra sequência de números reais 𝐴𝑛 𝑆𝑛𝐴𝑛 𝐵𝑛 0 sendo 𝐴𝑛 constantes de centralização e 𝐵𝑛 constantes de normalização Para uma forma generalizada temse Teorema 11 De Chebyshev dada uma sequência de variáveis aleatórias 𝑋𝑛 no mesmo es paço de probabilidade 𝐸𝑋𝑘 𝜇𝑘 𝑉𝑎𝑟𝑋𝑘 𝜎𝑘 2 e 𝐶𝑜𝑣𝑋𝑟 𝑋𝑠 0 𝑟 𝑠 Se lim 𝑛1 𝜎𝑘 2 𝑛 𝑘1 Escolhendo 𝐴𝑛 𝜇𝑘 𝑛 𝑘1 e 𝐴𝑛 𝜎𝑘 2 𝑛 𝑘1 temse que 𝑆𝑛 𝐸𝑆𝑛 𝑉𝑎𝑟𝑆𝑛 0 Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 14 Teorema 12 De Khinchine considere variáveis aleatórias definida no mesmo espaço de probabilidade independentes e igualmente distribuídos 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝐸𝑋k μ exista Então 𝑋𝑛 𝜇 0 quando 𝑛 Saiba Mais Variáveis aleatórias não precisam ter esperanças e variâncias iguais para validar o resultado do Teorema 11 Saiba Mais Seja uma sequência 𝑋𝑛𝑛1 composta por variáveis aleatórias independentes e igualmente distribuídas tendo média 𝐸𝑋1 𝜇 𝑒 𝑉𝑎𝑟𝑋1 𝜎2 então 𝑉𝑎𝑟𝑆𝑛 𝑛2 𝑛𝜎2 𝑛2 𝜎2 𝑛 0 quando 𝑛 e 𝑋𝑛𝑛1 satisfaz o Teorema 11 Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 15 Definição 10 Lei Forte dos Grandes Números dada uma sequência de variáveis aleatórias 𝑋𝑛𝑛1 e que 𝑆𝑛 𝑋𝑛 𝑘1 𝑛 1 2 3 Se existir uma sequência de números re ais 𝐴𝑛𝑛1 𝑆𝑛𝐴𝑛 𝐵𝑛 0 então dizse que a sequência obedece à Lei Fraca em relação à sequência de constantes 𝐵𝑛𝑛1 𝐵𝑛 0 e lim 𝑛 𝐵 sendo 𝐴𝑛 𝑒 𝐵𝑛 constantes de centralização e de normalização respectivamente Teorema Central do Limite para Variáveis Aleatórias É um teorema muito importante para probabilidade e estatística e através dele podese provar e validar outros inúmeros teoremas que contribuem para o desenvolvimento de novas ferramentas Tratase do estudo de convergência de sequências do tipo 𝑆𝑛𝑏𝑛 𝑎𝑛 Enuncia que a soma de uma sequência de variáveis ale atórias independentes dentro de certas condições e padronização convergirá em distribuição para uma função normal padrão na forma 𝑆𝑛 𝐸𝑆𝑁 𝑉𝑎𝑟𝑆𝑛 𝐷 𝑍 𝑛 Sendo 𝑆𝑛 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 𝑍 variável aleatória com distribuição normal padrão com a média de 𝐸𝑍 0 e variância 𝑉𝑎𝑟𝑍 1 𝑍 convergirá em distri buição para uma função normal padrão quando 𝑛 vai para o infinito ou lim 𝑛 𝑃𝑍 𝑥 Φ𝑥 𝑥 ℝ onde Φ𝑥 é uma distribuição normal padronizada Lema 2 Dados 𝑐1 𝑐2 e 𝑐 pertencentes aos números complexos lim 𝑛 𝑐𝑛 𝑐 lim 𝑛 1 𝑐𝑛 𝑛 𝑛 𝑒𝑐 Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 16 Teorema 13 Teorema Central do Limite TCL considere as variáveis aleatórias indepen dentes 𝑋1 𝑋2 e distribuídas identicamente com média 𝜇 e variância 𝜎2 𝜎 Assim para sequência 𝑆𝑛 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 temse 𝑆𝑛 𝑛𝜇 𝜎𝑛 𝐷 𝑍 De forma prática podese se seguir os seguintes passos Considere 𝑆𝑛 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 Determine 𝐸𝑍 e 𝑉𝑎𝑟𝑍 sabendo que 𝐸𝑍 𝑛𝜇 𝑛𝐸𝑋𝑖 𝑉𝑎𝑟𝑍 𝑛𝜎2 𝑛𝑉𝑎𝑟𝑋𝑖 Pelo o TLC temse que 𝑆𝑛𝑛𝜇 𝜎𝑛 é uma distribuição normal padrão aproximadamente Assim para encontrar 𝑃𝑎 𝑆𝑛 𝑏 temse que 𝑃𝑎 𝑆𝑛 𝑏 𝑃 𝑎 𝑛𝜇 𝜎𝑛 𝑏 𝑛𝜇 𝜎𝑛 Φ 𝑏 𝑛𝜇 𝜎𝑛 Φ 𝑎 𝑛𝜇 𝜎𝑛 Saiba Mais Uma distribuição normal padronizada é distribuição normal qualquer notação 𝑋𝑁𝜇 𝜎2 com os parâmetros 𝜇 0 e 𝜎2 1 constantes Isso significa que sempre que se desejar calcu lar uma probabilidade podese recorrer a uma tabela de coe ficientes onde valores de probabilidade já foram previa mente calculados para essa única distribuição Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 17 Exemplo 5 Uma roleta de cassino possui 36 compartimentos numerados slot sendo 18 na cor vermelha e 18 em preto sequenciados de 1 a 36 e mais dois numerados com 0 e 00 em verde Os Jogadores podem apostar R 100 que uma bola cairá em um slot vermelho ou preto e ganhar R 100 se isso acontecer Pode se fazer uma análise de ganhos e perdas na seguinte forma Seja 𝑋𝑖 os ganhos na 𝑖ésima jogada então 𝑋1 𝑋2 com 𝑃𝑋𝑖 1 18 38 e 𝑃𝑋𝑖 1 20 38 𝐸𝑆𝑁 𝐸𝑋𝑖 1 19 e 𝑉𝑎𝑟𝑥 𝐸𝑋2 𝐸𝑋2 1 1 19 2 09972 Assim o que se quer é 𝑃𝑆𝑛 0 𝑃 𝑆𝑛 𝑛𝜇 𝜎𝑛 𝑛𝜇 𝜎𝑛 Fazendo 𝑛 192 361 e 𝜎 1 temse 𝑛𝜇 𝜎𝑛 361 1 19 361 1 Utilizando esse resultado e consultando a tabela de distribuição normal ve rificase que 𝑃𝑆𝑛 0 𝑃𝜒 1 1 08413 01587 16 Leitura Consulte a tabela de coeficiente no link a seguir wwwimeunicampbrcnabertabelanormalpdf Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 18 Interpretação Após 361 rodadas o cassino terá ganho o total de R1900 de seu dinheiro em média porém há uma probabilidade de 16 aproximadamente do jogador estar à frente Exemplo 6 Uma fábrica produz engradados com 250 unidades de uma determinada peça Cada peça pesa em média 500 gramas desvio padrão igual a 100 gramas Vinte engradados são encaixotados Determine a probabilidade de que essas peças na caixa excedam 2510 Kg Solução Não serão considerados os pesos do engradado e da caixa Os pesos das peças são variáveis aleatórias independentes 𝑆𝑛 𝑋1 𝑋2 𝑋250205000 𝐸𝑆𝑁 𝐸𝑋1 𝑋2 𝑋5000 5000 05𝑘𝑔 2500𝑘𝑔 Var𝑆𝑁 𝑉𝑎𝑟𝑋1 𝑋2 𝑋5000 5000 001 50 𝑃𝑆𝑁 2510 𝑃 𝑆𝑛 𝐸𝑆𝑁 𝑉𝑎𝑟𝑆𝑛 2510 𝐸𝑆𝑁 𝑉𝑎𝑟𝑆𝑛 𝑃 𝑍 2510 2500 50 1 Φ141 008 Exemplo 7 Um caixa de um determinado banco atende aos clientes que estão na fila um por um Suponha que o tempo de atendimento 𝑋𝑖 para o cliente 𝑖 tenha uma mé dia 𝐸𝑋𝑖 2 minutos e 𝑉𝑎𝑟𝑋𝑖 1 Assuma que os tempos de atendimento para diferentes clientes bancários são independentes Seja 𝑌 o tempo total que o caixa do banco gasta atendendo 50 clientes encontre 𝑃 90 𝑌 110 Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 19 Solução 𝑌 𝑆𝑛 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 onde 𝑛 50 𝐸𝑋𝑖 𝐸𝑋𝑖 𝜇 2 𝑉𝑎𝑟𝑋𝑖 1 𝑃90 𝑌 110 𝑃 90 𝑛𝜇 𝜎𝑛 𝑌 𝑛𝜇 𝜎𝑛 90 𝑛𝜇 𝜎𝑛 𝑃 90 100 50 𝑌 𝑛𝜇 𝜎𝑛 110 100 50 𝑃 2 𝑌 𝑛𝜇 𝜎𝑛 2 Pelo TLC 𝑌𝑛𝜇 𝜎𝑛 é aproximadamente uma normal padronizada assim 𝑃90 𝑌 110 Φ2 Φ2 08427 Exemplo 8 Aproximação Normal pela binomial Considere 𝑆𝑛 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 Estimar 𝑃𝑆16 8 usando o TLC no intervalo 75 a 85 fazendo 𝜇 1 2 e 𝜎𝑛 2 para n16 Solução 𝑃𝑆16 8 05 𝑃 𝑆𝑛 𝑛𝜇 𝜎𝑛 025 𝑃𝜒 025 205987 05 01974 Mesmo que 𝑛 seja pequeno isso concorda bem com a probabilidade exata 16 8 216 13 11 10 9 65536 01964 Generalizando as condições para a convergência à normal há o TCL de Lin deberg no qual podese utilizar variáveis aleatórias independentes com variân cia finita necessitando que pelo menos uma dessas variáveis seja maior que zero e que essas atendam às condições de Lindeberg Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 20 Teorema 14 TCL de Lindeberg considere as variáveis aleatórias independentes 𝑋1 𝑋2 com 𝐸𝑋𝑖 𝜇𝑖 e 𝑉𝑎𝑟𝑋𝑖 𝜎𝑖 2 𝑖 1 2 𝜎𝑖 0 para um componente 𝑖 no mínimo Se 𝑆𝑛 𝑋1 𝑋𝑛 e 𝑉𝑎𝑟𝑆𝑛 𝜎1 2 𝜎𝑛2 então a sequência do tipo 𝑆𝑛𝐸𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝐷 𝑁01 quando 𝑛 é suficiente para que a condição de Lindeberg ou seja 𝜖 0 lim 𝑛 1 𝑠𝑛2 𝑥 𝜇𝑘2 𝑥𝜇𝑘𝜖𝑆𝑛 𝑛 𝑘1 𝑑𝐹𝑘𝑥 0 seja satisfeita Outro teorema importante é o LindebergFeller Ele mostra que uma quanti dade grande o suficiente de observações independentes com média zero quando somadas tenderão a convergir em distribuição para uma distribuição normal Incialmente para melhor compreensão pense que para cada 𝑛 ℕ temse 𝑋𝑛𝑚 para 1 𝑚 𝑛 variáveis independentes O resultado de tal processo é o vetor triangular que tem a forma vetor triangular 𝑋11 𝑋21 𝑋22 𝑋31 𝑋32 𝑋33 independentes entre si As sequências só finalizarão quando 𝑚 𝑛 Teorema 15 TCL de LindebergFeller considere 𝑋𝑛𝑚 para cada 𝑛 onde 1 𝑚 𝑛 variáveis aleatórias independentes com 𝐸𝑋𝑛𝑚 0 Fazendo 𝑖 𝐸𝑋𝑛𝑚 2 𝜎2 0 𝑛 𝑛 𝑚1 𝑖𝑖 𝜖 0 lim 𝑛 𝐸 𝑋𝑛𝑚 2 𝑋𝑛𝑚 𝜖 𝑛 𝑚1 0 Assim 𝑆𝑛 𝑋𝑛1 𝑋𝑛𝑛 𝐷 𝜎𝑍 quando 𝑛 𝑍 va com distribuição normal padrão Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 21 Uma consequência da versão do TCL de Lindeberg é o teorema de Liapunov Esse teorema é importante para o caso de as variáveis 𝑋𝑛 possuírem momentos finitos de ordem maior a dois Teorema 16 Liapunov dado uma sequência de variáveis aleatórias independentes 𝑋𝑛𝑛1 com 𝐸𝑋𝑛 e 𝜎𝑛2 𝑉𝑎𝑟𝑋𝑛 onde pelo menos um 𝜎𝑛2 0 e supondo que 𝛿 0 𝐸𝑋𝑛 𝜇𝑛2𝛿 𝑛 1 2 Se lim 𝑛𝑆𝑛2𝛿 𝐸𝑋𝑛 𝜇𝑛2𝛿 𝑛 𝑗1 0 Então 𝑇𝑛 𝐸𝑇𝑛 𝑆𝑛 𝐷 𝑁01 Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 22 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Vídeo Como Usar a Tabela Normal httpsbitly3KfCVH4 Leituras Teorema Central do Limite para Martingais httpsbitly3TQH9bf Versões do teorema Central do Limite httpsbitly3G0SYpr Distribuição Normal Gaussiana httpsbitly2JFrrxw Probabilidade e Medidas Teoremas Limite 23 Referências BIILLINGSLEY P Probability and measure 3 ed New York NY USA John Wiley Sons 1995 CABRAL M A P Introdução à teoria da medida e integral de Lebesgue 3 ed 2016 Rio de Janeiro Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro 2016 FARIAS A M L KUBRUSLY J Q SOUZA M A O Teoria das probabilidades II variáveis aleatórias unidimensionais notas de aula Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística 2016 FERNANDES P J Medida e integração Rio de janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 FRISTEDT B GRAY L A modern approach to probability theory probability and its applications New York USA Springer Basel AG 1997 JAMES B Probabilidade um curso em nível intermediário Rio de Janeiro IMPA 1981 MAGALHÃES M N Probabilidade e variáveis aleatórias I 2 ed São Paulo Editora da Universidade de São Paulo 2006 MORETTIN P A Tópicos de probabilidade avançada apostila Departamento de Estatística Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo 2020 Disponível em httpswwwimeuspbrpammacroprobpdf Acesso em 27012023 YNOGUTI C A Probabilidade estatística e processos estocásticos apostila sl sn 2011