Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes

i i i i i i i i Aula TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 10 O b j e t i v o s Nesta aula vocˆe 1 estudara dois importantes teoremas de probabi lidade e 2 vera suas aplicacoes em diversas situacoes en volvendo a tomada de decisao Probabilidade e Estatistica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES Esses teoremas conhecidos como teorema da probabilidade total e teorema de Bayes resultam diretamente da definigao de probabilidade condicional e das propriedades vistas para a pro babilidade A apresentacao desses teoremas sera feita inicialmente por meio de exemplos para que vocé compreenda bem 0 contexto de sua aplicagao Ao final da aula sera apresentada a formulaao geral dos teoremas Exemplo 101 Em uma linha de producao de certa fabrica determinada pega é produzida em duas maquinas A maquina 1 mais antiga é responsavel por 35 da producao e os 65 restantes vém da maquina 2 A partir dos dados passados e das informagodes do fabricante das maquinas estimase em 5 a proporcao de pecas defeituosas produzidas pela maquina e em 25 a proporcao de pecas defeituosas produzidas pela maquina 2 As pecas pro duzidas pelas duas maquinas seguem para o departamento de ar mazenamento e embalagem para venda posterior sem distingao de qual maquina a produziu 1 Qual é a proporcao de pegas defeituosas colocadas no mer cado por essa fabrica 2 Se um cliente identifica uma pega defeituosa qual é a pro babilidade de que ela tenha sido produzida pela maquina 2 Solucao 1 Na Figura 101 representase a situag4o descrita no exemplo Nosso experimento aleatdério é 0 sorteio de uma pega produzida por essa fabrica e nosso espacgo amostral representado pelo retangulo é 0 conjunto de todas as pecas produzidas em de terminado periodo Podemos ver que 0 espaco amostral esta dividido em 2 eventos mutuamente exclusivos M1 pecas pro duzidas pela maquina 1 e M2 pecas produzidas pela maquina 2 8 CEDERJ i i i i i i i i AULA 10 1 M ODULO 1 Mais precisamente Ω M1 M2 isso significa que M1 e M2 formam uma particao do espaco amostral retorne a Aula 5 se necessario Um outro evento de interesse e o evento D peca e defeituosa Podemos ver que esse evento tem intersecao com os eventos M1 e M2 ou seja ha pecas defeituosas produzidas na maquina 1 e na maquina 2 Figura 101 Espaco amostral para o experimento do Exemplo 101 Pelos dados do problema temos uma estimativa a priori das proporc oes de pecas produzidas em cada maquina ou seja as probabilidades a priori dos eventos M1 e M2 sao PrM1 035 PrM2 065 Sabemos tambem a proporcao de pecas defeituosas produzidas por cada maquina Essa proporcao se traduz em uma proba bilidade condicional se a peca foi produzida pela maquina 1 existe 5 de chance de ser defeituosa para a maquina 2 essa chance reduzse a 25 Em termos de probabilidade temos PrDM1 005 PrDM2 0025 Como M1 e M2 formam uma particao de Ω podemos escrever D DM1DM2 Mas M1 e M2 sao mutuamente exclusivos logo DM1 e DM2 tambem o sao Assim pelo Axioma 3 da probabi lidade resulta que PrD PrDM1DM2 PrDM1PrDM2 Pelo teorema da multiplicac ao veja a aula anterior sabemos que PrAB PrAPrBA Logo PrD PrM1PrDM1PrM2PrDM2 0350050650025 003375 C E D E R J 9 Probabilidade e Estatistica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes Note que a probabilidade de uma pega ser defeituosa é uma média ponderada das probabilidades de defeito em cada maquina os pesos sao definidos de acordo com o nivel de produgao de cada maquina 2 Na segunda parte do exemplo temos uma informacfo sobre a pega ela é defeituosa ou seja sabemos que ocorreu 0 evento D O que o problema pede é que com essa informac4o reava liemos a probabilidade de a pega ter sido produzida pela maquina 1 Essa probabilidade é chamada probabilidade a posteriori ou seja é a probabilidade que calculamos depois de realizado o ex perimento de sorteio e teste da pega Em notacg4o matematica temos que calcular PrMD Por definigdo temos PrM ND PrMD PrMi ND PrD Usando a regra da multiplicagao e o resultado encontrado no item anterior resulta que PrM PrDM PrM PrDM PrM2 PrDM2 035 x 005 035 x 005 0 65 x 0025 00175 05185 003375 Compare os resultados Sem qualquer informacao sobre o resultado do experimento nossa estimativa para a probabilidade de ocorréncia de M peca a ser produzida pela maquina era 035 Com a informagao de que a pega é defeituosa a probabilidade de ter sido produzida pela maquina 1 aumenta para 05185 Exemplo 102 Considere novamente a situagao do Exemplo 101 mas com a seguinte modificagao as pecas sao produzidas em trés maquinas que sao responsaveis por 30 35 e 35 da producao res pectivamente As proporgdes de pecas defeituosas produzidas nessas maquinas s40 5 25 e 2 1 Qual é a proporgao de pegas defeituosas produzidas na fabrica 10 CEDERJ i i i i i i i i AULA 10 1 M ODULO 1 2 Se um cliente identifica uma peca defeituosa qual e a pro babilidade de que tenha sido produzida na maquina 1 E na maquina 2 E na maquina 3 Solucao 1 O espaco amostral desse experimento esta ilustrado no diagrama de arvore da Figura 102 Figura 102 Espaco amostral para o experimento do Exemplo 102 Como visto na aula anterior cada galho da arvore corresponde ao condicionamento do evento aos eventos dos galhos anteri ores Assim na parte superior da arvore temos os eventos DM1 e DM1 Na parte do meio temos os eventos DM2 e DM2 e na parte inferior DM3 e DM3 Os dados do problema dao que PrM1 030 PrDM1 005 PrM2 PrM3 035 PrDM2 0025 PrDM3 002 Como antes M1M2 e M3 formam uma particao de Ω e portanto podemos escrever D DM1DM2DM3 Mas M1M2 e M3 sao mutuamente exclusivos logo DM1 DM2 e DM3 tambem o sao Pelo Axioma 3 da proba bilidade resulta que PrD PrDM1DM2DM3 PrDM1PrDM2PrDM3 C E D E R J 11 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes Pelo teorema da multiplicacao sabemos que PrAB PrAPrBA Logo PrD PrM1PrDM1PrM2PrDM2PrM3PrDM3 0300050350025035002 003075 Com antes a probabilidade de uma peca ser defeituosa e uma media ponderada das probabilidades de defeito em cada maquina com os pesos definidos de acordo com o nıvel de producao de cada maquina 2 Na segunda parte do exemplo desejase saber PrM1D PrM2D e PrM3D Por definicao temos PrM1D PrM1 D PrD Usando a regra da multiplicacao e o resultado encontrado no item anterior resulta que PrM1D PrM1PrDM1 PrM1PrDM1PrM2PrDM2PrM3PrDM3 030005 0300050350025035002 0015 003075 0487805 PrM2D PrM2PrDM2 PrM1PrDM1PrM2PrDM2PrM3PrDM3 0350025 0300050350025035002 000875 003075 0284553 PrM3D PrM3PrDM3 PrM1PrDM1PrM2PrDM2PrM3PrDM3 035002 0300050350025035002 0007 003075 0227642 Note que 048780502845530227642 1000000 esse resultado e imediato a partir do fato de que PrΩ 1 Se ocor 12 C E D E R J reu uma peca defeituosa essa peca sé pode ter vindo de umas o das trés maquinas 5 Oo Exemplo 103 Sabese que um soro da verdade quando aplicado a um 5 suspeito 90 eficaz quando a pessoa é culpada e 99 efi caz quando é inocente Um suspeito é retirado de um grupo de pessoas onde 95 jamais cometeram qualquer crime 1 Qual é a probabilidade de o soro dar a resposta certa 2 Se o soro indica culpado qual é a probabilidade de o suspeito ser inocente Solucao 1 Vamos definir os seguintes eventos veja a Figura 103 C suspeito é culpado C suspeito é inocente V soro indica culpado V soro indica inocente Vv C v c v v Figura 103 Espaco amostral para o experimento do Exemplo 103 Note que vocé tem que definir os eventos de acordo com a execucdo do experimento Ao se aplicar um soro da verdade a resposta é culpado ou inocente e nao soro acerta ou soro erra Os dados do problema nos dao as seguintes probabilidades PrVC 090 PrVC099 PrC 095 Usando o resultado sobre probabilidade do evento complemen tar obtemos PrVC 010 PrVC001 PrC 005 CEDERJ 13 Probabilidade e Estatistica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes A partic4o do espaco amostral é definida pelos eventos C e C para os quais temos as probabilidades a priori Os eventos de interesse sio V eV Seja 0 evento A soro acerta o diagndéstico Note que o soro pode diagnosticar corretamente sendo o suspeito culpado ou inocente ou seja ACAVUCNV Logo PrA PrCNVPrCNV PrCPrVC PrC PrV C 005 x 090095 x 099 09855 2 Queremos calcular PrC V Por definigao temos que PrCAV PrCV PrC OAV PrV O soro pode indicar culpado sendo o suspeito culpado acerto do diagnéstico ou inocente erro no diagnéstico ou seja PrV PrVACPrVNC PrVC x PrCPrVC x PrC 090 x005001 x 095 0045 00095 00545 Pr VNC PrVC x PrC 001 x 095 00095 Logo 00095 PrCV 0 1743 CIV 9 osg5 9 Exemplo 104 Uma caixa contém trés moedas A moeda 1 honesta a moeda 2 tem duas caras e a moeda 3 é viciada de tal modo que cara é duas vezes mais provavel que coroa Uma moeda é esco lhida ao acaso e langada 1 Qual é a probabilidade de observarmos cara e moeda 1 2 Qual é a probabilidade de observarmos cara 14 CEDERJ i i i i i i i i AULA 10 1 M ODULO 1 3 Se o resultado foi cara qual a probabilidade de que a moeda lancada tenha sido a moeda 1 Solucao Vamos definir os eventos K cara C coroa M1 moeda 1 M2 moeda 2 M3 moeda 3 E dado que PrKM1 1 2 PrKM2 1 Para a moeda 3 como a probabilidade de cara e duas vezes a probabi lidade de coroa e a soma dessas probabilidades tem que ser 1 resulta que PrKM3 2 3 Como a moeda lancada e escolhida aleatoriamente temos que PrM1 PrM2 PrM3 1 3 Veja a Figura 104 Figura 104 Espaco amostral para o Exemplo 104 das 3 moedas 1 Aqui a solucao e consequˆencia direta da regra de multiplicac ao PrK M1 PrM1PrKM1 1 3 1 2 1 6 2 Os eventos que formam a particao do espaco amostral sao M1 M2 e M3 Logo C E D E R J 15 Probabilidade e Estatistica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes PrK PrKNM PrK NM M2 PrKOM3 PrM x PrKM Pr M2 x PrKM2 Pr M3 Xx Pr KM3 1 M42 128 2 3 2 3 3 6 18 3 O problema pede PrKMM PrMxPrKMi 3 PrMK PROM PrMi x PrKIMi ig 3 PrK PrK z 13 Exemplo 105 Um gerente de banco tem que decidir se concede ou nao empréstimo aos clientes que o solicitam Ele analisa diversos dados para estudar a possibilidade de o cliente vir a ficar inadim plente Com base em dados passados ele estima em 15 a taxa de inadimpléncia Dentre os inadimplentes ele tem 80 de chance de tomar a decisdo certa enquanto essa chance au menta para 90 entre os clientes adimplentes Esse gerente acaba de recusar um empréstimo Qual é a probabilidade de ele ter tomado a decisao correta Solucao Os fatos envolvidos nesse processo decis6rio sao cliente é inadim plente ou nao e gerente concede ou nao o empréstimo Vamos definir os seguintes eventos I cliente é inadimplente C gerente concede empréstimo Usaremos a notacgdo de evento complementar para definir I cliente é adimplente C gerente nado concede empréstimo Note que temos duas possibilidades de acerto e duas possibilidades de erro Os acertos sao 1 cliente é inadimplente e gerente nao concede o empréstimo e 2 cliente é adimplente e gerente concede 0 empréstimo 16 CEDERJ i i i i i i i i AULA 10 1 M ODULO 1 Os erros sao 1 cliente e inadimplente e gerente concede o emprestimo e 2 cliente e adimplente e gerente nao concede o emprestimo A arvore que representa o espaco amostral e dada na Figura 105 Figura 105 Espaco amostral para o Exemplo 105 As probabilidades dadas sao PrI 015 PrCI 080 PrCI 090 Pela lei do complementar resulta que PrI 085 PrCI 020 PrCI 010 Com relacao ao que o problema pede temos que dado que o ge rente recusou o emprestimo a decisao so sera certa se o cliente for inadimplente Logo temos que calcular PrIC PrI C PrC Mas o gerente pode recusar o emprestimo sendo o cliente inadimplente ou nao ou seja PrC PrC IPrC I PrIPrCIPrIPrCI 015080085010 0205 PrIC PrI C PrC PrIPrCI PrIPrCIPrIPrCI 015080 0205 05854 C E D E R J 17 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES Considere a Figura 106 onde A1A2An e uma particao do espaco amostral Ω e B um evento qualquer em Ω Figura 106 Particao do espaco amostral Como a uniao de todos os Ais e o espaco amostral segue que B A1 BA2 BAn B O fato de alguns desses termos serem o conjunto vazio por exemplo B A4 nao invalida o resultado uma vez que A A Por definicao de particao os Ais sao mutuamente exclusivos dois a dois logo os eventos Ai B tambem o sao Entao pela lei da probabilidade de eventos disjuntos podemos escrever PrB PrA1 BA2 BAn B PrA1 BPrA2 BPrAn B e a regra da multiplicacao nos da que PrB PrA1PrBA1PrA2PrBA2PrAnPrBAn Esse resultado e conhecido como teorema da probabilidade total Teorema 101 Teorema da Probabilidade Total blablabla Seja A1A2An uma particao do espaco amostral Ω e seja B um evento qualquer em Ω Entao PrB n i1 PrAiPrBAi Como visto a probabilidade PrAi e denominada probabi 18 C E D E R J lidade a priori do evento A Continuando no contexto da Fi Q gura 106 suponhamos agora que B tenha ocorrido Vamos 2 usar essa informagao para calcular a probabilidade a posteriori g do evento A ou seja vamos calcular PrAB Por definicao temos que PrANB Pr AB Pr4iB 2 PrB Usando a regra da multiplicagaéo e 0 teorema da probabilidade total resulta que Pr A Pr BIA prAB rAd PrBlAi L Pr A Pr BIA J Esse resultado é conhecido como teorema de Bayes Teorema 102 Teorema de Bayes SejaAA2A4n uma particgao do espacgo amostral Q e seja B um evento qualquer em 2 Entao Pr A Pr BIA PrAjB 2 Ai PrBlAi L Pr A Pr BIA J E importante que na resolucdo de exercicios e também na apli cacao pratica desses teoremas vocé identifique os eventos de interesse os eventos que definem a partiao do espaco amostral e quais sao as probabilidades a priori Em geral sao essas pro babilidades que identificam a partigao de QVamos considerar mais um exemplo para ilustrar esses pontos Exemplo 106 Em uma turma de Administragao 65 dos alunos sao do sexo masculino Sabese que 30 dos alunos tém carro en quanto essa proporao entre as alunas se reduz para 18 Sorteia se ao acaso um estudante dessa turma usando o seu nimero de matricula e constatase que possui um carro Qual é a probabili dade de que a pessoa sorteada seja do sexo feminino CEDERJ 19 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes Solucao Os eventos em questao envolvem o sexo do aluno e a posse de um carro Vamos definir os eventos de interesse da seguinte forma H homem M mulher C possui carro C nao possui carro Note que H e M definem uma particao do espaco amostral assim como C e C No entanto as probabilidades a priori dadas referemse a H e M logo a particao de Ω sera definida em termos desses eventos Os dados do problema nos dao que PrH 065 PrM 035 PrCH 030 PrCH 070 PrCM 018 PrCM 082 O problema pede PrMC e para calcular essa probabilidade temos que calcular PrC Pelo teorema da probabilidade total sabemos que PrC PrC MPrC H PrMPrCMPrHPrCH 035018065030 0518 Logo PrMC PrC M PrC PrMPrCM PrC 035018 0518 012162 20 C E D E R J i i i i i i i i AULA 10 1 M ODULO 1 Resumo Nesta aula vocˆe estudou dois importantes teoremas da teoria de probabilidade Seja A1A2An uma particao do espaco amostral Ω e seja B um evento qualquer de Ω Teorema da Probabilidade Total PrB n i1 PrAi B n i1 PrAiPrBAi Teorema de Bayes PrAiB PrAiPrBAi n j1 PrAjPrBAj i 12n Probabilidades a priori sao as probabilidades PrAi Probabilidades a posteriori sao as probabilidades PrAiB Exercıcio 101 Uma propaganda de um curso preparatorio para a prova da ANPAD diz que 80 dos seus alunos conseguem ingressar em algum programa de Mestrado em Administracao Dos cadastros da ANPAD sabese que 15 dos candidatos aos programas de Mestrado escolhem esse curso e que o ındice geral de aprovacao e de 63 dados fictıcios 1 Se um candidato nao escolhe esse curso qual e a probabi lidade de ele passar no exame da ANPAD 2 Sabese que um aluno foi aprovado conseguindo ingres sar no programa de Mestrado de uma grande universidade Qual e a probabilidade de ele ter frequentado este curso preparatorio Exercıcio 102 Em uma localidade 8 dos adultos sofrem de determinada doenca Um medico local diagnostica corretamente 95 das pessoas que tˆem a doenca e diagnostica erradamente 2 das C E D E R J 21 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes pessoas que nao a tˆem Um adulto acaba de ser diagnosticado pelo medico como portador da doenca Qual e a probabilidade de esse adulto ter de fato a doenca Exercıcio 103 Uma urna contem 4 bolas numeradas de 1 a 4 Duas bolas sao retiradas sem reposicao Seja A o evento soma e 5 e seja Bi o evento primeira bola sorteada tem o numero i i 1234 Calcule PrABi e PrBi A para i 1234 Exercıcio 104 Resolva o exercıcio anterior supondo que as extracoes sao feitas com reposicao Exercıcio 105 Numa prova ha 7 perguntas do tipo VerdadeiroFalso Cal cule a probabilidade de um aluno acertar todas as 7 questoes 1 se ele chuta as respostas 2 se ele chuta as respostas mas sabendo que ha mais Ver dadeiros do que Falsos Exercıcio 106 Continuacao do Exercıcio 913 da Aula 9 O Ministerio da Economia da Espanha acredita que a probabilidade de a inflacao ficar abaixo de 3 este ano e de 020 entre 3 e 4 e de 045 e acima de 4 e de 035 O Ministerio acredita que com inflacao abaixo de 3 a probabilidade de se criarem mais 200000 em pregos e de 06 diminuindo essa probabilidade para 03 caso a inflacao fique entre 3 e 4 no entanto com inflacao acima de 4 isso e totalmente impossıvel No ano seguinte um econo mista estrangeiro constata que foram criados 200000 empregos novos Qual e a probabilidade de a inflacao ter ficado abaixo de 3 Exercıcio 107 Continuacao do Exercıcio 915 da Aula 9 Joana quer enviar uma carta a Camila A probabilidade de que Joana escreva a carta e 8 10 A probabilidade de que o correio nao a perca e 9 10 A probabilidade de que o carteiro a entregue e tambem 9 10 Dado 22 C E D E R J que Camila nao recebeu a carta qual é a probabilidade de que O Joana nao a tenha escrito 5 Oo Exercicio 108 2 Continuacdo do Exercicio 923 da Aula 9 Um aluno res ponde a uma questao de miultipla escolha com 4 alternativas com uma s6 correta A probabilidade de que ele saiba a resposta certa da questao é de 30 Se ele nao sabe a resposta existe a possibilidade de ele acertar no chute Nao existe a possibilidade de ele obter a resposta certa por cola Se o aluno acertou a questao qual é a probabilidade de ele ter chutado a resposta Exercicio 109 Consideremos dois dados um deles é equilibrado e 0 outro viciado com Pr1 05 e Pr2 Pr6 0 1 Escolhe se um dos dados ao acaso e efetuamse dois langamentos que resultam ambos na face 1 Qual a probabilidade de ter sido es colhido o dado viciado Exercicio 1010 Uma urna tem 3 bolas brancas 3 pretas e 4 azuis Duas bolas sao retiradas ao acaso e substituidas por 5 vermelhas Depois disso retirase uma bola Qual a probabilidade de ser azul Exercicio 1011 Sao dadas as urnas A Be C Da urna A 6 retirada uma bola que é colocada na urna B Da urna B retirase entao uma bola que é colocada na urna C Retirase em seguida uma bola da urna C A probabilidade de ocorrer bola de cor vermelha na ultima extragao é 0537 Determinar o valor de x sabendo que as urnas tém as seguintes composic6es 7V 3V 9x V af af efory onde V representa bola vermelha e P bola preta Exercicio 1012 O chefe do Setor de Compras de uma empresa trabalha com 3 grandes distribuidores de material de escritério O distribuidor 1 é responsavel por 70 dos pedidos enquanto cada um dos outros 2 distribuidores responde por 15 dos pedidos Dos re gistros gerais de compra sabese que 6 dos pedidos chegam CEDERJ 23 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes com atraso A proporcao de pedidos com atraso do distribuidor 1 e a metade da proporcao do distribuidor 2 que por sua vez e o dobro da proporcao do distribuidor 3 Calcule a porcentagem de pedidos com atraso de cada um dos distribuidores Exercıcio 1013 O gerente de Recursos Humanos de uma empresa escolhe estagiarios oriundos de dois cursos de Administracao No curso 1 a proporcao de alunos com boa formacao em informatica e de 60 enquanto no outro curso essa proporcao cai para 40 Um estagiario acaba de ser contratado A probabilidade de que tenha boa formacao em informatica e 044 Qual e a preferˆencia probabilidade do gerente pelo curso 1 Exercıcio 1014 Em um escritorio de contabilidade o contadorchefe tem trˆes auxiliares um que trabalha em tempo integral e os outros dois que trabalham em tempo parcial O funcionario de tempo inte gral e responsavel por 50 dos balancetes enquanto cada um dos funcionarios de tempo parcial responde pela metade dos ba lancetes restantes Nos ultimos 2 meses a proporcao de balan cetes com erros oriundos do funcionario de tempo integral foi de 5 enquanto para os funcionarios de tempo parcial essas proporcoes foram de 6 e 8 O chefe resolve entao fazer um novo treinamento discutindo os principais erros encontra dos No mˆes seguinte ao treinamento a proporcao de balance tes com erro cai pela metade com cada funcionario de tempo parcial produzindo a mesma proporcao de balancetes com erro igual a metade da proporcao de erros do funcionario de tempo integral Quais sao as novas proporcoes de balancetes com erro de cada funcionario Exercıcio 1015 Um empreiteiro apresentou orcamentos separados para a exe cucao da parte eletrica e da parte hidraulica de um edifıcio Ele acha que a probabilidade de ganhar a concorrˆencia da parte ele trica e de 12 Caso ele ganhe a parte eletrica a chance de ganhar a parte hidraulica e de 34 caso contrario essa probabilidade e de 13 Qual e a probabilidade de ele 1 ganhar os dois contratos 2 ganhar apenas um 3 nao ganhar qualquer contrato 24 C E D E R J i i i i i i i i AULA 10 1 M ODULO 1 SOLUC AO DOS EXERCICIOS Exercıcio 101 Os eventos de interesse no problema sao C escolher o curso em questao P passar no concurso da ANPAD Os dados do problema informam que PrPC 080 PrC 015 PrP 063 Veja a Figura 107 Figura 107 Espaco amostral para o experimento do Exercıcio 101 1 Temos que PrP PrPCPrPC 063 PrCPrPCPrCPrPC 063 015080085PrPC PrPC 063015080 085 PrPC 060 C E D E R J 25 Probabilidade e Estatistica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes 2 O problema pede PrCP PrCNP PrCPrPC PrP PrP 015 x 080 oH 9 1905 063 Exercicio 102 Vamos definir os seguintes eventos D pessoa tem a doencga D pessoa nao tem a doenga V diagnéstico indica doenga V diagnostico nao indica doenca Se a pessoa tem a doenga diagnostico correto significa que o médico identificou a doenga Se a pessoa nao tem a doenga diagn 6stico correto significa que o médico nao identificou a doenga Dessa forma os dados do problema nos dao as seguin tes probabilidades PrD 008 PrD 092 PrVD 095 PrVD 005 PrVD 002 PrVD 098 A probabilidade a priori dada PrD e por consequéncia PrD Entéo para aplicar o teorema de Bayes a partigao do espaco amostral tem que ser definida por esses eventos em bora V e V também definam uma particdo Queremos calcular PrDV Por definigo temos que PrDNV PrDV Mas PrV PrVMDPrVND PrVD x PrD PrV D x PrD 095 x 008002 x 092 007600184 00944 PrV ND PrVD x PrD 095 x 008 0076 26 CEDERJ i i i i i i i i AULA 10 1 M ODULO 1 Logo PrDV 0076 00944 08051 Exercıcio 103 Pelo princıpio fundamental da multiplicacao temos que Ω 43 12 A 14233241 PrA 4 12 1 3 B1 121314 B2 212324 B3 313234 B4 414243 PrBi 3 12 1 4 i 1234 Note que Ω B1 B2 B3 B4 e como esses eventos sao mutu amente exclusivos dois a dois eles formam uma particao de Ω Temos que AB1 14 AB2 23 AB3 32 AB4 41 PrABi 1 12 i 1234 Logo PrABi PrABi PrBi 1 12 1 4 1 3 PrA i 1234 PrBi A PrABi PrA 1 12 1 3 1 4 PrBi i 1234 Note que os eventos A e Bii 1234 sao independentes Exercıcio 104 Pelo princıpio fundamental da multiplicacao temos que Ω 44 16 A 14233241 PrA 4 16 1 4 C E D E R J 27 Probabilidade e Estatistica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes By 1 1 12 13 14 By 2 1 22 23 24 Bz 3 1 32 33 34 Ba 4 1 42 43 44 4 1 P B j 1 2 4 t Bj 164 i 3 Entao ANB 14 ANB 23 ANBs 32 ANBs4 1 Pr AM Bj i 1234 r i Fe 14 16 Logo PrANB 1 PrAB A086 py 21234 Pr B i 4 PrANB 1 PrpijA ADB 6 pp 1234 Pr A i 4 Como antes os eventos A e Bji 1234 sao independentes Exercicio 105 1 Pelo principio fundamental da multiplicacao hé 27 128 possibilidades de respostas para as 7 questdes Logo a probabilidade de acertar todas é DE 2 Haver mais Verdadeiros do que Falsos significa que pode ter 4 Verdadeiros e portanto 3 Falsos 5 Verdadeiros e portanto 2 Falsos 6 Verdadeiros e portanto Falso e 7 Verdadeiros e portanto nenhum Falso 7 7 71x6x5x4 4 verdadeiros existem aa axagxdnl 35 maneiras 7 7 7x6x5 5 verdadeiros existem Sol sox 21 maneiras 7 7 7x6 6 verdadeiros existem e ant 7 manei ras 28 CEDERJ 7 7 1 1 5 7 verdadeiros existem 7 70 Or 1 1 maneira Assim se denotamos por V 0 evento ter mais verdadeiros g que falsos resulta que pv O000 128 s 35421471 64 1 z 128 1282 Se A 0 evento acertar todas as questées entéo A C V e o problema pede PrANV PrA pg 1 PrAV Se PrV PrV 64 Exercicio 106 No Exercicio 913 da aula anterior definimos os seguintes eventos B inflagdo abaixo de 3 M inflagao entre 3 e 4 A inflagado acima de 4 e E 200000 empregos O problema da o seguinte PrB 020 PrM 045 PrA 035 PrEB 06 PrEM 03 PrEA 0 La calculamos também que PrE PrBPrB PrM PrEM PrA PrEA 020 x 060045 x 030035 x 00255 O problema agora pede PrBE PrBOE PrB PrEB PrE PrE 020 x 06 04706 0255 Exercicio 107 Veja a Figura 108 na qual temos os seguintes eventos E Joana escreve a carta C correio nao perde a carta T carteiro entrega a carta No Exercicio 97 da aula anterior definimos o evento CEDERJ 29 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes Figura 108 Diagrama de arvore para o Exercıcio 107 R Camila recebe a carta e calculamos PrR PrEPrE CPrE C T 2 10 8 10 1 10 8 10 9 10 1 10 0352 O problema agora pede PrER PrER PrRE PrR PrEPrRE PrR O evento RE significa Camila nao receber a carta dado que Joana nao a escreveu Ora se Joana nao escreveu e claro que Camila nao recebe a carta Logo esse evento e o evento certo e portanto PrER PrEPrRE PrR 021 0352 05682 Exercıcio 108 Veja a Figura 109 na qual temos os eventos S sabe a resposta e A acerta a resposta Figura 109 Diagrama de arvore para o Exercıcio 108 30 C E D E R J i i i i i i i i AULA 10 1 M ODULO 1 E dado que PrS 03 PrS 07 Se o aluno sabe a resposta ele acerta a questao Se ele nao sabe ele pode chutar entre as 4 alternativas Logo PrAS 1 PrAS 025 No Exercıcio 914 da aula anterior calculamos PrA PrASPrAS PrSPrASPrSPrAS 03107025 0475 O problema agora pede PrSA PrSA PrSA PrA PrSPrAS PrA 07025 0475 03684 Exercıcio 109 Seja Ai face i no primeiro lancamento i 16 e seja Bi face i no segundo lancamento i 16 Como os lancamentos sao independentes os eventos Ai e Bi sao indepen dentes Logo a probabilidade de cada um dos 36 pares AiBi do espaco amostral e dada pelo produto das probabilidades indi viduais ou seja PrAiBi PrAiPrBi Vamos definir os seguintes eventos E dado equilibrado E dado viciado D dois 1s D no maximo um 1 A escolha dos dados e aleatoria Logo PrE PrE 1 2 C E D E R J 31 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes Temos tambem que PrDE 1 6 1 6 1 36 PrDE 35 36 PrDE 1 2 1 2 1 4 PrDE 3 4 O problema pede PrED Temos que PrED PrE D PrD PrE D PrDEPrDE PrEPrDE PrEPrDEPrEPrDE 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 36 1 8 91 72 9 10 Exercıcio 1010 Sao feitas 3 extracoes Veja a Figura 1010 na qual os numeros representam o numero de bolas disponıveis de cada cor no momento da respectiva extracao Queremos a probabi lidade de sair azul na terceira extracao Esse evento corresponde a uniao dos eventos indicados pelas setas na figura ou seja re presentando a extracao pelo numero no subscrito temos que PrA3 PrB1 B2 A3PrB1 P2 A3PrB1 A2 A3 PrP1 B2 A3PrP1 P2 A3PrP1 A2 A3 PrA1 B2 A3PrA1 P2 A3PrA1 A2 A3 PrB1PrB2B1PrA3B1 B2PrB1PrP2B1PrA3B1 P2 PrB1PrA2B1PrA3B1 A2PrP1PrB2P1PrA3P1 B2 PrP1PrP2P1PrA3P1 P2PrP1PrA2P1PrA3P1 A2 PrA1PrB2A1PrA3A1 B2PrA1PrP2A1PrA3A1 P2 PrA1PrA2A1PrA3A1 A2 3 12 2 11 4 15 3 12 5 11 4 15 3 12 4 11 3 15 5 12 3 11 4 15 5 12 4 11 4 15 5 12 4 11 3 15 4 12 3 11 3 15 4 12 5 11 3 15 4 12 3 11 2 15 440 1980 2 9 32 C E D E R J i i i i i i i i AULA 10 1 M ODULO 1 Figura 1010 Espaco amostral para o experimento do Exercıcio 1010 Esse problema pode ser resolvido de forma mais simples ja que so estamos interessados em bola azul na terceira extracao Podemos pensar em cada extracao que ocorreu bola azul ou nao Veja a Figura 1011 Dessa forma podemos escrever PrA3 PrA1 A2 A3PrA1 A2 A3PrA1 A2 A3 PrA1 A2 A3 PrA1PrA2A1PrA3A2 A1PrA1PrA2A1PrA3A2 A1 PrA1PrA2A1PrA3A2 A1PrA1PrA2A1PrA3A2 A1 4 12 3 11 2 15 4 12 8 11 3 15 8 12 4 11 3 15 8 12 7 11 4 15 440 1980 2 9 C E D E R J 33 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes Figura 1011 Solucao alternativa do Exercıcio 1010 Exercıcio 1011 Sao feitas 3 extracoes Como antes vamos denotar por Vi o evento bola de cor vermelha na extracao i e por Bi o evento bola de cor branca na extracao i Queremos PrV3 PrV3 PrV1 V2 V3PrV1 P2 V3 PrP1 V2 V3PrP1 P2 V3 PrV1PrV2V1PrV3V1 V2 PrV1PrP2V1PrV3V1 P2 PrP1PrV2P1PrV3P1 V2 PrP1PrP2P1PrV3P1 P2 Logo 0537 7 10 4 10 10x 10 7 10 6 10 9x 10 3 10 3 10 10x 10 3 10 7 10 9x 10 0537 003710x00639x 0537 093701x 01x 04 x 4 34 C E D E R J i i i i i i i i AULA 10 1 M ODULO 1 Exercıcio 1012 Vamos definir os seguintes eventos Di distribuidor ii 123 A atraso Temos que PrD1 070 PrD2 PrD3 015 PrA 006 PrAD1 1 2 PrAD2 PrAD2 2PrAD3 Fazendo p PrAD1 temos que PrAD2 2p PrAD3 1 2 PrAD2 p Mas PrA PrAD1PrAD2PrAD3 PrD1PrAD1PrD2PrAD2PrD3PrAD3 Logo 006 07p0152p015p 006 115p p 0052174 e portanto PrAD1 0052174 PrAD2 0104348 PrAD3 0052174 Exercıcio 1013 Considere os eventos I aluno tem boa formacao em in formatica e Ci aluno do curso ii 12 O problema da as seguintes probabilidades PrIC1 060 PrIC2 040 PrI 044 C E D E R J 35 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes e pede PrC1 Sabemos que PrI PrC1 IPrC2 I PrC1PrIC1PrC2PrIC2 PrC106PrC204 06PrC1041PrC1 Logo 044 0402PrC1 02PrC1 004 PrC1 02 Exercıcio 1014 Vamos indicar por Fi o evento funcionario i e por E o evento balancete com erro Antes do treinamento temos PrE PrF1 EPrF2 EPrF3 E PrF1PrEF1PrF2PrEF2PrF3PrEF3 05005025006025008 006 Depois do treinamento passamos a ter PrE 003 PrEF2 PrEF3 PrEF1 2PrEF3 Logo fazendo p PrEF3 PrE PrF1 EPrF2 EPrF3 E PrF1PrEF1PrF2PrEF2PrF3PrEF3 003 052p025 p025 p 003 15p p 002 ou seja depois do treinamento as probabilidades de erro de cada funcionario passam a ser PrEF1 004 tempo integral PrEF2 PrEF3 002 tempo parcial 36 C E D E R J a os Exercicio 1015 Q Sejam os eventos E ganhar parte elétrica e H ganhar A parte hidraulica Temos que 1 3 PrE PrHE PrAE 2 4 3 s Resulta que z PrE PrE PrHE 2 4 3 1 Pr ENA PrAEPrE 3 x 13 7 428 2 Pr ENH PrEN PrAE x PrE Pr AE x PrE ol 1 4 1 1 7 352 452 24 3 2 1 1 Pr ENH Pr AE x PrE 353 CEDERJ 37