Revisão sobre Valor Esperado e Teoremas de Convergência em Probabilidade

Disciplina Probabilidade e Medidas Unidade Esperança e Teoremas de Convergência Conteudista Prof Dr Francisco de Assis Cavallaro Revisão Textual Esp Pérola Damasceno Objetivos da Unidade Compreender alguns dos principais teoremas de convergência Entender as definições e propriedades do valor esperado esperança matemática e condicional em variáveis aleatórias Introducao O conceito de valor esperado ou média de uma variavel aleatoria sera apre sentado como uma quantidade que é frequentemente utilizada como uma sin tese do comportamento da variavel e é aplicada como parametro para varios modelos por exemplo Normal Dentro da formalidade matematica o valor es perado é também chamado de esperanca matematica Daqui por diante as vari aveis aleatérias que serdo apresentadas estardo no mesmo espaco de probabili dade FP e que por conveniéncia sera omitido Dentro de cada distribuicdo podem ser associados certos pardametros cuja a importancia sao as informacées geradas e muito importantes sobre a distribuicdo Esses parametros sdo deno minados de Esperanga e Variancia primeiro e segundo momento de uma distri buicdo respectivamente Esses parametros fornece uma medida de posicdao Es peranca e uma medida de variabilidade que é a variancia Esperanca Matematica O conceito de valor esperado ou média sera descrito com auxilio do forma lismo matematico incluindo os casos continuos e discretos Definicao 1 Valor esperado para variaveis discretas dada uma variavel discreta x que possui uma fundo de probabilidade px e valor x para i dentro de um conjunto de indices J podese definir o valor esperado ou esperanca matematica ou mé dia de X por EQ w xpd ie para uma soma determinada Exemplo 1 Determine o valor esperado de X Bnp 2 Distribuicdo Binomial e nensaios Bernoulli independentes e PS PSucesso p e Xnumero de sucessos observados nos n ensaios n Dh icg y i Bw ria p t0 Conhecendo a identidade i n 1 inefazendo v i1temse n n i ni EX Gpiapyrt i0 in 1 in 1 y pta pyri pra pyr np d i1 d v i0 10 Portanto o valor esperado de uma binomial é igual a multiplicacdo de seus parametros ne p Exemplo 2 Considere um jogo de dados ndo viciados seguindo regras bem definidas a saber um jogador deve pagar a banca RS 100 para poder jogar e ganhar RS 100 sea face 4e 5 for apresentada e RS 200 para a face 6 para cada rodada Porém o jogador ndo ganhara nada se der as faces restantes Esse tipo de jogo sera fa voravel a banca ou ao jogador Solucao Fazendo X ser o saldo em uma jogada podese dar os seguintes valores em relacdo a sua probabilidade 3 Tabela1 es es Ts tt Assim 2 EQ xp 12 051 xpx 5 3 B 73 t0 Portanto a expetativa em uma jogada é de RS 033 de saldo e corresponde a média de resultados de uma série longa de repetido desse jogo onde um dos valores de X ocorrera em cada rodada Sendo assim esse tipo de jogo é favoravel para a banca Claro que o jogador pode comegar com saldo positivo se tiver muita sorte porém sera melhor para ele parar de jogar Definicao 2 Dado uma variavel aleatéria continua X cuja a funcdo densidade é f pode se definir o valor esperado esperanca matematica ou média de X por Ex xf xdx com os limites bem definidos Podese interpretar de forma similar 0 caso continuo e o das variaveis discretas pois o valor esperado é 0 centro de gravi dade da distribuicdo da variavel aleatoria 4 Exemplo 3 Dada uma variavel aleatoria x continua com densidade representada pela funcdo 1 1 fx 4 T20 x 4 T24 x A Esperanca Matematica é co 0 1 4 1 Ex xf xdx xdx I xdx1 0o 2 4 2 4 A representaao erafica dessa funcgdo e Sua respectiva esperanca matematica sao mostradas na Figura 1 fix 14 2 0 Ex 2 4 Xx Figura 1 Funcdo densidade e esperanca matematica como centro de gra vidade da distribuicao Fonte MAGALHAES 2006 ParaTodosVerem Ilustracao grafica de uma funcao e sua esperancga Em fundo branco e linha em preto ha o grafico que representa a funcao densi dade f x ea esperanca Ex do exemplo 3 A curva da funcao inicia com uma linha reta horizontal da esquerda para a direita no eixo de x 0 até o ponto 2 0 A linha é interrompida Depois volta no ponto 2 14 até o ponto 0 14 A linha é interrompida Depois volta no ponto 0 0 até 0 ponto 2 0 A linha é interrompida Depois volta no ponto 2 atéo ponto 4 14 Finaliza o grafico iniciando a linha no ponto 40 indo hori zontalmente em linha reta até o infinito no eixo de x Fim da descricao 5 Definicao 3 Caso Geral da Esperanca Matematica Dada uma variavel aleatoria xX qual quer em um espaco de probabilidade 0FP a esperanca matematica de xX se existir é EX EX EX7 Saiba Mais A esperanca matematica pode ser representada com notacdo mais comum pela integral de LebesgueStieltjes E xdPw 0 Para EX existir em relacdo a EX e EX devese ater ao fato de que pelo menos uma das partes de X tem esperanca infinita Teorema 1 Seja F uma funcao distribuicdo cuja variavel aleatéria é x e que a esperanca matematica exista Entdo co 0 EX xdFdx I 1 Fxdx Fx dx oo 0 00 Exemplo 4 A expressdo fx 2x 1 Ij14x a densidade da variavel aleatoria x e a funcdo distribuicdo é dada por 6 0 x1 1 Fx i x21x4 1 xA4 X tem somente valores positivos portanto 00 1 4 1 00 EX 1 Fxdx dx x2 x 20dx i Odx 0 0 1 18 4 1 1 5 30 p 73 72 HW 4 Exemplo 5 Tipo mista dada a variavel aleatoria x cuja a funcdo de distribuicdo é re presentada por 0 x2 1 x4 4x 42 x 0 1 x 2 0x1 Fx 46 get3 1x2 1 x4 8x82x4 1 x24 Para a esperanca matematica temse co 0 EX 1 Fdx Fx dx 0 00 14x 23x 4164 x 8x x 8x 5 x f Sat Or a Gr 8 8 6 1 6 5 24 24 6 7 Teorema 2 Considere uma variavel aleatoria x com esperanca matematica conhecida e que Y gX seja uma funcdo de xX que também é uma variavel aleatoria no mesmo espaco de probabilidade entdo Eg gaRo Importante O Teorema 2 pode ser generalizado e utilizado para obter 0 va lor da esperanca matematica de funcées de vetores aleatérios Exemplo 7 Dada uma variavel aleatoria x com funcdo densidade representada por 2 or 2x 0 41 fx 2 0Ox 1 0 caso contrario Seja gX X entdo a esperanca matematica de gX é 2 1 EgX FX gx fxxdx I eS dx xia dx 0o 2 2 1 x4 2x 2 44 3 JL Xe 2 A aplicacdo do Teorema 2 evita 0 calculo de X isto é sua espe ranca matematica facilitando a resolucdo 8 Importante Atentese para o fato de que EgX gEX Proposicao 1 Propriedades considere Xe Y variaveis aleat6érias com valor de esperanca matematica conhecida Entdo i Dadaumaconstante c PX c 1 entdo EX Ec c ii EaX b aEX 5 iii Sex Y entdo FX EY Iv EXy Xp b E Xp FX EX2 1 EE Xn v Ei Xi E x EX2 x x EX esperanca do produto de varia veis independentes vi EX D2 x px ou f x fxdx Importante Atentese para o fato de que x ED EInx InEX eE a pois sdo operadores nao lineares Teorema 3 Convergéncia Mondtona dada uma colecdo de variaveis aleatoérias XX Xp Xn em um espaco de probabilidade 0FP e suponha xX 0neEN com X Xz S Xn S Xn41 que Xw Xw Vw E 0n ow Assim temse lim EX EX n0oo 9 e e Momentos Esperanca Condicional e Funcoes Auxiliares A esperanca matematica de poténcias de uma variavel é a quantificacdo de um conjunto importante de caracteristicas das variaveis aleatdérias Serdo descritos algumas delas a seguir iniciando pela definiao de momento Momentos Definicao 4 Momentos das Variaveis Aleatorias omomento de ordem k k 12dava riavel aleatoria x pode ser definido por EX ou EX momento absoluto desde que esse valor exista O momento central de ordem k é definido por EX p se EX w o Importante Uma variavel aleatoria é simétrica que facilitara alguns calcu los do momento em torno de um valor a se satisfizer a equa Gao PX ax PX axVx R ou em relacdo a uma fungdo distribuicdo Fa x 1FatxVx R A variavel aleatéria possui uma carateristica importante sua variabilidade que é a distancia de seus valores em relacdo a média Assim esse desvio ou X y fator de avaliacdo da dispersdo do conjunto de seus valores 10 Probabilidade e Medidas Esperança e Teoremas de Convergência 11 Utilizando o quadrado dos desvios e calculando a esperança chegase a uma medida muito importante a variabilidade Definição 5 Variância e desvio padrão Definese a variância de 𝑋𝑋 com 𝜇𝜇 como mo mento central de ordem 2 como 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉𝑋𝑋 𝜎𝜎2 𝐸𝐸𝑋𝑋 𝜇𝜇2 Sendo 𝜎𝜎𝑥𝑥 raiz qua drada da variância denominado de desvio padrão Importante Uma característica importante de uma variável aleatória é sua variabilidade que em geral é avaliada pela discrepância de seus valores em relação à média ou à mediana Porém a média dos desvios é zero A variância é o parâmetro de distribuição do modelo normal A unidade de medida da variação é a mesma do desvio padrão muito importante numa avaliação da amplitude dos valores possíveis da variável Proposicao 2 Propriedades da variancia onde o valor da esperanca momento de ordem 1 e da variancia existem i VarK 0K constante ii VarKX KVarX ili VarK X VarXx iv VarY X VarX VarY 2 x CovXY onde CovXY EX EXY EY EXY EXEY v Expresses alternativas para a variancia EX uw EX EX VARX EXX 1 EX pb Importante Se as variaveis aleatorias XY sao independentes isto é EXY EXEY entao CovXY 0 portanto VarY X VarX VarY Exemplo 8 Dada uma variavel aleatéria x na forma discreta esta possui os seguintes va lores em relacdo a sua probabilidade Tabela1 oO 1 1 1 4 2 4 Determine a VarX 12 Solucao 1 1 1 EX 2 px 0 15 1 i 1 1 1 3 2 2 yo2 2 22 222 EX px 0 31 52 5 3 1 VarX EX EX 7 1 3 Exemplo 9 Considere a Funcdao Densidade de Probabilidade FDP a seguir e calcule a VarX 2x0x 1 fX 0 para outros valores Solucao 1 1 2 EX x 2xdx I 2xdx x 0 0 3 1 1 1 EX I x 2xdx I 2x3dx 0 0 2 VarX EX2 EQ 2 ams 2 3 18 Definicao 6 Coeficiente de assimetria dado uma variavel aleatoria com esperanca pe desvio padrdo o O coeficiente de assimetria da variavel aleatoria x denominado a3 momento de ordem 3 de X esta relacionado com o grau de assimetria de sua distribuicao de probabilidade E definido pela equacao EX 37 o3 13 Probabilidade e Medidas Esperança e Teoremas de Convergência 14 Definição 7 Coeficiente de Curtose dado uma variável aleatória 𝑋𝑋 qualquer com esperança 𝜇𝜇 e desvio padrão 𝜎𝜎 O coeficiente de Curtose da variável aleatória 𝑋𝑋 denominado 𝛼𝛼4 momento de ordem 4 de 𝑋𝑋 está relacionado com a medição da intensidade dos picos de sua distribuição de probabilidade É definido pela equação 𝛼𝛼4 𝐸𝐸𝑋𝑋 𝜇𝜇4 𝜎𝜎4 Definição 8 Dadas duas variáveis aleatórias 𝑋𝑋 𝑌𝑌 em Ω ℱ 𝑃𝑃 A covariância nessas duas variáveis é definida desde que existam as esperanças matemáticas por 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑣𝑣𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝜎𝜎XY 𝐸𝐸𝑋𝑋 𝜇𝜇x𝑌𝑌 𝜇𝜇Y Definindo de outra forma a covariância é uma medida de dependência linear entre as variáveis É o valor esperado do produto dos desvios das variáveis alea tórias em relação às suas médias Proposição 3 A covariância entre duas variáveis aleatórias 𝑋𝑋 𝑌𝑌 é a subtração da esperança do produto e do produto das esperanças ou 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑣𝑣𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝐸𝐸𝑋𝑋𝑌𝑌 𝜇𝜇x𝜇𝜇Y desde que as esperanças matemáticas sejam bem definidas Exemplo 10 Dado 𝑋𝑋 𝑌𝑌 variáveis aleatórias e a função densidade conjunta de 𝑋𝑋 e 𝑌𝑌 na seguinte expressão 𝑓𝑓𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝐼𝐼02𝑥𝑥𝐼𝐼0𝑥𝑥𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 Solucao As marginais devem ser determinadas incialmente para que se possa utilizar a expressdo alternativa da covariancia Assim temse EX 1eEY Aes peranca matematica do produto é dada por co co 1 2 7x 1 pan x tonlondaxdy xy sdyax J 00 x 0 Jo 2X 1 2 2 xdx 4 J 3 Entao CovXY EXY 2 1 1 xX Definicao 9 Coeficiente de correlacdo Dadas duas variaveis aleatorias XY em 0F P 0 coeficiente de correlacdo entre elas pode ser definido desde que existam as es perancas matematicas por C YY CovXY orrXY pxy Ox0y Exemplo 11 Dada a fundo densidade conjunta fxy 9e7Ioy I00v que repre senta as variaveis continuas XY calcule 0 coeficiente de correlacao Solucao Para X tem se co co co 1 EX I x 9e3 aydx 3xe 3dx 0 x 0 3 co co co 2 EX I x I 9e3 dydx I 3x7e3Vdx 0 x 0 9 VARX EX EX fiat 9 32 9 15 Para Y tem se EY y 9 e 3 dxdy 9ye Vdy 0 0 0 3 EY I y 9e3 dxdy 3y3e Ydy 0 0 0 3 VARY EYEY 22 2 EW 373279 A esperanca do produto XY é dada por EXY i xy 9e3 dxdy I yre Wdy 0 0 0 2 3 1 12 CovXY EXYEXEY 3733 V2 Px Ox0y VARX JVARY 19292 Esse valor indica uma associacao linear entre as variaveis como positiva Esperanca Condicional A esperanca condicional de x dado Y EXY ndo é nada mais do que amesma calculada através da probabilidade condicionada a algum evento Sendo EX fi nita a esperanca condicionada Y pode ser garantida pelo teorema de Randon Nikodym Para o desenvolvimento do conceito de esperanca condicional sera utilizado para os calculos de esperanga a integral de RiemammStieltjes Definicao 10 Esperanga condicional dadas duas variaveis aleatorias XY em um mesmo espaco de probabilidade 0 F P a esperanca matematica de X dado que Y y se existir é BOW xdFey WY y 16 Importante A expressdo XY y uma funcdo de y e pode ser represen tada por Xy recebendo 0 nome regressdo de X em relacdo a Y correspondendo a medida de valores de x porém restrita a valores de Y y Exemplo 12 Dadas duas variaveis aleatérias XY a densidade conjunta é dada por fuyy 2Ixy x y 2l x y onde a regiao A xyx 0xy 1 Solucao y esta fixado no intervalo 0 y 1 Adensidade condicional de x dado Y yé 1 fryyxy ToyPara 0y1y1 Entao EXY dF yy Y f 1 gy 1 Procedendo a substituicao de y por Y obtémse EXY Teorema 4 Dadas duas variaveis aleatorias XY em 0FfP temse que EEXY EX desde que as esperancas existam Um resultado util em resolucdo de problemas é 0 produto xY em funcdo da esperana condicional de X e Y Desta forma podese fazer EXYY y EXyY y yEXY y 17 Entao EXYY YEXY Pelo Teorema 4 apds a tomada da esperanca dos dois lados da igualdade temse EXY EY EXY Exemplo 13 Dado um intervalo continuo 01 e seja Y um ponto contido nesse intervalo Um outro ponto X é escolhido dentro de um intervalo 0 Y Determine a espe ranca de Xx Solucao A média do intervalo ab continuo é temse que EXY y Logo Y Y 1 1 EXY e entao EEXY E EY Exemplo 14 Dado um circulo de um raio unitario com centro na origem do plano cartesi ano e com uma area Z do retangulo Figura 2 formado pelos pontos X Y Considere um par de variaveis aleatérias EXY no primeiro quadrante esco lhido ao acaso nesse circulo Desta forma Z 4XY Determine a esperanca de Z Solucao A area do primeiro quadrante é e a densidade conjunta é fevoy sex y130xledy1 Para a marginal de Y temse fyxy 1y se 0y1 Entao a densidade condicional de xX dado que Y y assim corresponde ao intervalo continuo 0 1 y2 18 woe 12 Para o valor da esperana condicional gfxy y Gy Desta forma 2 1v22 2 fl 2 1 EXY EYEXY EY fy y1ydy Assim a esperanga de Z EZ E4XY y Figura 2 Ilustracao a partir de XY ParaTodosVerem Ilustracdo grafica do exemplo 14 sob fundo branco sdo mostradas duas figuras sendo um retangulo em linhas finas na cor vermelha formado pelos pontos X Y cuja area é Z e envolta ha um circulo maior em linhas finas na cor preta As duas formas geométricas estao representadas no plano cartesiano sendo que o circulo é um raio unitario com centro na origem do plano Fim da descricao Definicao 11 Variancia condicional Dadas duas variaveis aleatorias x Y em 0 F P A vari ancia condicional de X sabendo que Y y aesperanca supondo que elas existam dos desvios da variavel em relacdo a esperanca condicional ou de outra forma VARXY y EX EQY y EQY y EQXY y 19 Probabilidade e Medidas Esperança e Teoremas de Convergência 20 Definição 12 Covariância condicional Dadas duas variáveis aleatórias 𝑋𝑋 𝑌𝑌 em Ω ℱ 𝑃𝑃 A covariância condicional entre 𝑋𝑋 e 𝑌𝑌 supondo que suas esperanças existam sa bendo que 𝑍𝑍 𝑧𝑧 é apresentada na forma 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑣𝑣𝑋𝑋 𝑌𝑌𝑍𝑍 𝑧𝑧 𝐸𝐸𝑋𝑋𝑌𝑌𝑍𝑍 𝑧𝑧 𝐸𝐸𝑋𝑋𝑍𝑍 𝑧𝑧𝐸𝐸𝑌𝑌𝑍𝑍 𝑧𝑧 MedidasProduto Em Matemática é comum ter uma estrutura que pode ser topológica grupo espaço com medida entre outros com uma definição separada em coleções 𝑉𝑉 e 𝐵𝐵 por exemplo e a partir dessas estruturas desenvolver uma outra estrutura na forma 𝑉𝑉 B chamado de espaçoproduto Tratandose da medida de Lebesgue em ℝ2 a medida de subconjuntos será realizada através de retângulos onde sua área é o produto da medida dos lados A construção a seguir generaliza esse raciocínio Definição 13 σálgebra produto Seja σálgebras 𝜉𝜉𝑥𝑥 em 𝑋𝑋 e 𝜉𝜉𝑦𝑦 em 𝑌𝑌 a σálgebra produto 𝜉𝜉𝑋𝑋 𝜉𝜉𝑌𝑌 em 𝑋𝑋 𝑌𝑌 pode ser definida por 𝜉𝜉𝑋𝑋𝑌𝑌 𝜎𝜎𝜉𝜉𝑋𝑋 𝜉𝜉𝑌𝑌 onde 𝜉𝜉𝑋𝑋 𝜉𝜉𝑌𝑌 é a co leção vinda de 𝑉𝑉 B com 𝑉𝑉 𝜉𝜉𝑋𝑋 e 𝐵𝐵 𝜉𝜉𝑌𝑌 Teorema 5 MedidaProduto Considere dois espaços de medida σfinitos 𝑋𝑋 𝜉𝜉 𝜏𝜏 e 𝑌𝑌 𝛵𝛵 𝜏𝜏 e que exista uma única medida 𝜋𝜋 denominada MedidaProduto sendo definida em 𝜎𝜎𝜉𝜉 𝛵𝛵 σálgebra produto 𝜋𝜋𝑉𝑉 𝐵𝐵 𝜇𝜇𝑉𝑉 𝜏𝜏𝐵𝐵 𝑉𝑉 𝜉𝜉 e 𝐵𝐵 𝛵𝛵 Importante A forma 𝜇𝜇𝑉𝑉 𝜏𝜏𝐵𝐵 é usualmente denotada por 𝜋𝜋 𝜇𝜇 𝜏𝜏 Apos a construcdo da medida em espacos através do produto cartesiano podese utilizar o teorema de Fubini Esse teorema é uma ferramenta que per mite o calculo da integral no espacoproduto por interacdo tendo duas inte grais dupla sucessivas simples trocando a ordem de integraao Teorema 6 Fubini dados dois espacos de medidas completos zm u x t a medida pro duto e fX x Y Ruma fundo z integravel entdo far fenavon aux fenaven dvy XXY x Y Xx Y Teoremas de Convergéncia Os teoremas da convergéncia monotona e da convergéncia de Lebesgue sao os principais resultados da Teoria da Integracdo pois permite em condicdes simples a troca do limite pela integral ou seja tin fucse Chir fad au n00 no Como sera observado nos proximos teoremas basta ter convergéncia pontual qtp em condicdo extra também simples a dominancia por uma funcdo inte gravel ou monotonicidade deixando a integral de Lebesgue na pratica mais simples comparada a de Riemann que necessita da convergéncia uniforme Teorema 7 Convergéncia monotona Dado um espaco de medida X é uw frnen Lepre sentando uma sequéncia de funcées reais ndo negativas integraveis em X tais que fx Jim fnx 4tp em X convergéncia pontual Se a sequéncia for monotona crescente por suposicdo entao fx fn4ix uqtp em xXVvn E N monotonicidade Se f f du entao f éintegravele J f du lim J fn Qh 21 Probabilidade e Medidas Esperança e Teoremas de Convergência 22 Teorema 8 Convergência dominada de Lebesgue dado um espaço de medida 𝑋𝑋 𝜉𝜉 𝜇𝜇 e 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑛𝑛ℕ representando uma sequência de funções reais integráveis em 𝑋𝑋 tais que 𝑓𝑓𝑥𝑥 lim 𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑥𝑥 𝜇𝜇 qtp em 𝑋𝑋 convergência pontual Se existir uma função in tegrável 𝑔𝑔 tal que 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑋𝑋 𝑔𝑔𝑥𝑥 𝜇𝜇 qtp em 𝑋𝑋 𝑛𝑛 ℕ monotonicidade então 𝑓𝑓 será integrável e 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝜇𝜇 lim 𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑛𝑛 𝑑𝑑𝜇𝜇 Definição 14 Podese dizer que uma sequência de funções mensuráveis 𝑓𝑓𝑛𝑛 converge em medida para 𝑓𝑓 se lim 𝑛𝑛 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑎𝑎 𝑎𝑎 0 Definição 15 Considere uma medida 𝑣𝑣 com sinal e outra medida 𝜇𝜇 ambas na mesma 𝜎𝜎 álgebra 𝜎𝜎 dizse que 𝑣𝑣 é absolutamente contínua com relação a 𝜇𝜇 e que 𝑣𝑣 𝜇𝜇 𝑉𝑉 𝜎𝜎 𝜇𝜇𝑉𝑉 0 𝑣𝑣𝑉𝑉 0 Teorema 9 RadonNikodym Dada uma medida 𝑣𝑣 e uma medida 𝜎𝜎finita sobre 𝜎𝜎álgebra 𝜎𝜎 sendo 𝑣𝑣 𝜇𝜇 então existe 𝑓𝑓 Ω 0 𝑉𝑉 𝜎𝜎 𝑣𝑣𝑉𝑉 𝐴𝐴 𝑓𝑓𝑑𝑑 𝜇𝜇 A principal característica desse teorema é a definição da derivada de uma de terminada medida em relação a outra Leitura Para saber de detalhes do teorema de RadonNikodym acesse o seguinte material httpsbitly3yRCTic Probabilidade e Medidas Esperança e Teoremas de Convergência 23 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Leitura Alguns Teoremas Limites para Sequências de Variáveis Aleatórias httpsbitly3JuIVKv Estatística httpsbitly3TxcjV4 Probability Theory and Examples httpsbitly40bSggW O Teorema de RadonNikodym httpsbitly3Fxx3Gs Probabilidade e Medidas Esperança e Teoremas de Convergência 24 Referências BILLINGSLEY P Probability and measure 3 ed New York NY USA John Wiley Sons 1995 CABRAL M A P Introdução à teoria da medida e integral de Lebesgue 3 ed 2016 Rio de Janeiro Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro 2016 FARIAS A M L KUBRUSLY J Q SOUZA M A O Teoria das probabilidades II variáveis aleatórias unidimensionais notas de aula Universidade Federal Flu minense Instituto de Matemática e Estatística 2016 FERNANDES P J Medida e integração Rio de janeiro Associação Instituto Na cional de Matemática Pura e Aplicada 2002 FRISTEDT B GRAY L A modern approach to probability theory probability and its applications New York USA Springer Basel AG 1997 JAMES B Probabilidade um curso em nível intermediário Rio de Janeiro IMPA 1981 MAGALHÃES M N Probabilidade e variáveis aleatórias I 2 ed São Paulo Edi tora da Universidade de São Paulo 2006 YNOGUTI C A Probabilidade estatística e processos 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