Esperança e Variância de Variáveis Aleatórias Discretas

i i i i i i i i Aula ESPERANC A E VARI ˆANCIA DE VARI AVEIS ALEAT ORIAS DISCRETAS 12 O b j e t i v o Nesta aula vocˆe estudara os conceitos de media e variˆancia de variaveis aleatorias discretas que sao respectivamente medidas de posicao e dispersao da distribuicao de probabilidade i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Esperanca e Variˆancia de Variaveis Aleatorias Discretas ESPERANC A E VARI ˆANCIA DE VARI AVEIS ALEAT ORIAS DISCRETAS INTRODUC AO Consideremos novamente o experimento aleatorio lanca mento de um dado mas agora um dado que sabemos nao ser equilibrado Como poderıamos proceder para calcular a proba bilidade de cada face Uma resposta talvez intuitiva seria lancar esse dado um grande numero de vezes e observar o numero de ocorrˆencias de cada face As frequˆencias relativas nos dariam entao o que poderıamos pensar como sendo a probabilidade de cada evento simples face E de se esperar que quanto maior o numero de repeticoes do experimento lancamento do dado mais proximas das ver dadeiras probabilidades estariam essas frequˆencias relativas Esta e assim a definicao de probabilidade de um evento atraves da frequˆencia relativa PrA numero de ocorrˆencias de A numero de repeticoes do experimento em que o numero de repeticoes do experimento deve ser grande Ao trabalharmos com variaveis aleatorias podemos pensar tambem nas probabilidades dos diferentes valores da variavel como sendo frequˆencias relativas em um numero sempre cres cente de repeticoes do experimento ou seja podemos pensar as probabilidades como sendo limites das frequˆencias relativas Dessa forma temos um paralelo entre a funcao de distribuicao de probabilidade e as frequˆencias relativas simples e entre a funcao de distribuicao acumulada e as frequˆencias relativas acu muladas No estudo das distribuicoes de frequˆencias de variaveis quan titativas vimos como calcular medidas de posicao e medidas de dispersao da variavel em estudo De modo analogo definiremos medidas de posicao e dispersao para distribuicoes de probabili dades de variaveis aleatorias 8 C E D E R J ESPERANCA OU MEDIA DE VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS B No estudo das distribuig6es de frequéncias de variaveis quan titativas vimos que a média de dados agrupados em classes era calculada como uma média ponderada dos pontos médios das classes valores representativos com a ponderagao definida 5 pelas frequéncias relativas das classes No estudo de variaveis aleatorias e suas distribuicg6es de pro babilidades estamos associando nimeros aos pontos do espago amostral ou seja o resultado é sempre uma variavel quantitativa note que os resultados cara e coroa nao definem uma variavel aleat6ria para tal temos que associar nimeros 0 e 1 por exem plo a esses resultados Sendo assim faz sentido perguntar qual é o valor médio da variavel aleatoria X Definicao 121 Seja X uma variavel aleatoria discreta que assume os valores X1X2 com probabilidades p p2 respectivamente A média ou esperanca de X é definida como EX pixi xi Pr X x 121 i i onde o somatério se estende por todos os valores possiveis de X Podemos ver entéo que a esperanga de X é uma média dos seus valores ponderada pelas respectivas probabilidades Lembrese de que no caso das distribuigdes de frequéncias ti nhamos x fx Como antes a média de uma va X esta na i mesma unidade da variavel Exemplo 121 Em determinado setor de uma loja de departamentos o nimero de produtos vendidos em um dia pelos funcionarios é uma variavel aleatéria P com a seguinte distribuiao de probabilidades esses numeros foram obtidos dos resultados de varios anos de estudo Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 Probabilidade de venda 01 04 02 01 01 005 005 CEDERJ 9 Probabilidade e Estatistica Esperanga e Variancia de Varidveis Aleatérias Discretas Cada vendedor recebe comiss6es de venda distribuidas da se guinte forma se ele vende até dois produtos em um dia ele ganha uma comiss4o de R1000 por produto vendido A partir da terceira venda a comissdo passa para R5000 por produto Qual é o nimero médio de produtos vendidos por cada vendedor e qual a comissdo média de cada um deles Solucao O nimero médio de vendas por funcionario é EP 0x0141x042x023x01 4 x015 x 005 6 x 005 205 Com relagao 4 comissao vamos construir sua fdp Numero de produtos P 0 1 2 3 4 5 6 Comissao C 0 10 20 70 120 170 220 Probabilidade de venda 01 04 02 01 01 005 005 EC 0x0110x0420x 0270x01 120 x 01 170 x 005 220 x 005 465 ou seja a comissao média didria de cada vendedor é R 4650 Assim como no caso das distribuic6es de frequéncia a esperanca de X é 0 centro de gravidade da distribui4o de probabilidades ESPERANCA DE FUNCOES DE VARIAVEIS ALEATORIAS Vimos que é possivel obter novas varidveis aleat6rias a par tir de fungdes gX de uma varidvel X e através da fdp de X podemos obter a fdp de Y Sendo assim podemos calcular a esperanca de Y Foi exatamente isso 0 que fizemos no caso das comiss6es no exemplo anterior onde tinhamos CH 10P seP 2 2050xP2 seP2 Analisando atentamente aquele exemplo e notando que por de finigao de fungao a cada valor de X corresponde um unico Y gX obtemos 0 resultado geral sobre a esperanga de fungdes 10 CEDERJ de variaveis aleatorias Definicao 122 Esperanca de Fungdes de uma Varidvel Q Aleatoria a Seja X uma variavel aleatoria discreta com fungao de distribuigao de probabilidade fy x Se definimos uma nova va Y 9X entao a EY EgX og fe 122 Z Exemplo 122 Considere a va X j4 analisada no Exemplo 118 onde cal culamos EX7 x 2 1 O 1 2 3 fx x 01 02 02 03 01 01 Naquele exemplo calculamos a fdp da va Y X e a partir dela podemos calcular EY EX 0x021x054x029x0122 Usando o resultado anterior podemos fazer simplesmente Ex 2x011 x020 x02 1 x 03 2 x 0137 x0122 sem necessidade do calculo da fdp de Y PROPRIEDADES DA ESPERANCA As propriedades da esperanga sAo as mesmas vistas para a meédia de uma distribuicdo de frequéncia No que segue X é uma variavel aleatoria discreta com dis tribuicgdo de probabilidades fy x e ab 4 0 sao constantes reais quaisquer Temos entao os seguintes resultados cujas demons tragdes sao imediatas a partir da definigao de esperanga Eaa 123 EX a EXa 124 EbX bEX 125 CEDERJ 11 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Esperanca e Variˆancia de Variaveis Aleatorias Discretas xmin EX xmax 126 Nessa ultima propriedade xmin e xmax sao os valores mınimo e maximo da variavel X Exercıcio 121 Encontre a esperanca da vaX definida no Exercıcio 111 Exercıcio 122 Encontre a esperanca da vaX definida no Exercıcio 113 Exercıcio 123 Encontre a esperanca das va Y e Z definidas no Exercıcio 114 VARI ˆANCIA DE UMA VARI AVEL ALEAT ORIA A esperanca de uma variavel aleatoria X e uma medida de posicao No entanto e possıvel que duas variaveis bem di ferentes tenham a mesma esperanca como e o caso das duas distribuicoes apresentadas na Figura 121 Figura 121 Distribuicoes com mesma esperanca e diferentes dispersoes Como ja visto no caso da Estatıstica Descritiva e necessario mensurar outros aspectos da distribuicao entre eles a dispersao dos dados Esta sera medida atraves da distˆancia quadratica de cada valor a media da distribuicao 12 C E D E R J Definicao 123 g a A variancia de uma variavel aleatoria X é definida como Var X EX EX 127 Vamos ver como calcular a variancia de uma va discreta z Para isso vamos definir gX X EX Entdo usando o resultado dado na equagao 122 temos que Var X EgX Yo fe EX fx Desenvolvendo 0 quadrado e usando as propriedades do somatério e da esperanga vistas na seao anterior resulta VarX Yx2xEX Ex fic Px frlx 26X Pxfex EQOPY fre YP fxx 2EXEX EXP x 1 2 2 2 Yee fxs EX EXP Yr fx Ex Mas se definimos hX X entdo E hX x fx x Logo podemos escrever Var X EX EX 128 que pode ser lida de maneira mais facil como a variancia é a esperana do quadrado menos o quadrado da esperana Lembrese de que tinhamos visto resultado andlogo para a variancia populacional de um conjunto de dados variancia é a média dos quadrados menos o quadrado da média Vimos também que a unidade de medida da variancia é igual ao quadrado da unidade da variavel CEDERJ 13 Probabilidade e Estatistica Esperanga e Variancia de Varidveis Aleatérias Discretas PROPRIEDADES DA VARIANCIA Sendo uma medida de dispersao é facil ver que sao validas as seguintes propriedades note que s40 as mesmas que vimos para uma distribuigéo de frequéncias onde ab 0 sao cons tantes quaisquer VarX 0 129 Var a 0 Var X a Var X Var bX bVar X DESVIO PADRAO Como ja dito a unidade de medida da variancia é 0 quadrado da unidade de medida da varidvel em estudo sendo assim uma unidade sem significado fisico Para se ter uma medida de dis persao na mesma unidade dos dados definese 0 desvio padrdo como a raiz quadrada da variancia Definicao 124 O desvio padrao de uma varidvel aleatoria X é definido como a raiz quadrada de sua variancia DP X Var X 1210 Como consequéncia direta dessa definigao e das propriedades da variancia temos as seguintes propriedades do desvio padrao onde ab 0 sao constantes reais quaisquer DPX0 DPa 0 DP X a DPX DPbX b DPX 14 CEDERJ Exemplo 123 Q S Considere a va Y definida no Exercicio 112 com fdp dada y 3 l 0 2 5 8 9 fyy 025 030 020 010 007 005 003 5 e seja Z 2Y 3 Vamos calcular a variancia de Y e Z Solucao No Exercicio 121 vocé calculou EY e EZ como EY 3x0251x0300x0202 x 010 5 x 007 8 x 005 9 x 003 017 EZ 2x EY 32x0173 266 Vamos calcular agora EY EY 9x0251x0300 x 0204 x 010 25 x 007 64 x 005 81 x 003 1033 Logo VarY 1033 0177 103011 Usando as propriedades da variancia temos que VarZ 2 x VarY 412044 Exemplo 124 Um lojista mantém extensos registros das vendas diarias de certo aparelho O quadro a seguir da a distribuigao de probabi lidades do nimero de aparelhos vendidos em uma semana Se o lucro por unidade vendida é de R50000 qual o lucro esperado em uma semana Qual é 0 desvio padrao do lucro x numero de aparelhos 0 1 2 3 4 5 fx x 01 01 02 03 02 O1 CEDERJ 15 Probabilidade e Estatistica Esperanga e Variancia de Varidveis Aleatérias Discretas Solucao Seja X o numero de aparelhos vendidos em uma semana e seja L o lucro semanal Entao L 500X EX 0x0141x012x02 3 x 034x025x01 27 aparelhos Ex 0x011x012 x 02 3 x 03447 x 0257 x 01 102 aparelhos Var X 102 27 291 aparelhos DP X 1706 aparelhos Com relagao ao lucro semanal temos que E L 500E X R135000 DP L R85294 Exemplo 125 Seja uma va X com fdp dada na tabela a seguir x fx 3 P 1 Encontre o valor de p para que fxx seja de fato uma fungao de distribuicgdo de probabilidade 2 Calcule PrX 4 e PrX 3 3 Calcule Pr X 3 2 4 Calcule EX e VarX 16 CEDERJ i i i i i i i i AULA 12 1 M ODULO 1 Solucao 1 Como x fXx 1 temos que ter 3p2 2p 1 3p2 2p1 0 p 2 412 6 24 6 p 1 ou p 1 3 Como p e uma probabilidade temos que ter p 0 Logo o valor correto e p 1 3 2 PrX 4 PrX 4PrX 5 p p2 1 3 1 9 4 9 PrX 3 PrX 1PrX 2 2p2 2 9 3 Aqui temos que notar o seguinte fato sobre a funcao modulo ilustrado na Figura 122 x k x k ou x k ex k k x kparte em cinza da figura Figura 122 Funcao modulo Usando esses fatos temos que PrX 3 2 PrX 3 2 X 3 2 PrX 3 2PrX 3 2 PrX 1 PrX 5 PrX 1 PrX 5 2p2 2 9 C E D E R J 17 Probabilidade e Estatistica Esperanga e Variancia de Varidveis Aleatérias Discretas 4 Temos que EX 1x p2xp3x pt4x p45xp 242414542 9 9 39 29 32222 9 9 EX Vx p2x p3x p4x p45 x p ty 5 4 1828 9 9 3 9 105 35 a a 35 29 14 xX 2 Varx 3 9 81 Exemplo 126 Um jogador A paga R500 a B e lanca um dado Se sair face 3 ganha R2000 Se sair face 4 5 ou 6 perde Se sair face 1 ou 2 tem o direito de jogar novamente Desta vez lanca dois dados Se sairem duas faces 6 ganha R5000 Se sair uma face 6 recebe o dinheiro de volta Nos demais casos perde Seja L o lucro liquido do jogador A nesse jogo Calcule a fungao de distribuigao de probabilidade de L e 0 lucro esperado do jogador A Solucao Sabemos que o dado é honesto e que os langamentos sao indepen dentes O diagrama de Arvore para o espago amostral desse experi mento é dado na Figura 123 18 CEDERJ i i i i i i i i AULA 12 1 M ODULO 1 Figura 123 Solucao do Exemplo 126 Para calcular a probabilidade dos eventos associados aos lanca mentos dos dois dados parte inferior da arvore usamos o fato de que a probabilidade da intersecao de eventos independentes e o produto das probabilidades No calculo da probabilidade de uma face 6 multiplicamos por 2 porque a face 6 pode estar em qualquer um dos dois dados Vemos que os valores do lucro L sao 5 0 15 45 e a fdp de L e Lucro ℓ 5 0 15 45 PrL ℓ 1 2 2 6 5 6 5 6 2 6 2 1 6 5 6 1 6 2 6 1 6 1 6 ou Lucro ℓ 5 0 15 45 PrL ℓ 158 216 20 216 36 216 2 216 EL 5 158 216 15 36 216 45 2 216 160 216 074 Exercıcio 124 Encontre a variˆancia da vaX definida no Exercıcio 111 Exercıcio 125 Encontre a variˆancia da vaX definida no Exercıcio 113 Observacao Vocˆe calculou as esperancas dessas va nos Exercıcios 121 e 122 C E D E R J 19 Probabilidade e Estatistica Esperanga e Variancia de Varidveis Aleatérias Discretas Resumo Nesta aula vocé estudou os seguintes conceitos e Seja X uma variavel aleatoria discreta que assume os valores xx2com probabilidades pj p2respec tivamente A média ou esperanca de X é definida como EX pixi xj Pr X xi i i onde o somatorio se estende por todos os valores possiveis de X e Seja X uma variavel aleatoria discreta com funao de distribuigao de probabilidade fx x Se definimos uma nova va Y gX entéo EY EgX og x fx x e A variancia de uma varidvel aleatéria X é definida como Var X EX EX EX Ex e O desvio padrao de uma varidvel aleatéria X 5 é definido como a raiz quadrada de sua variancia DP X Var X e Propriedades da esperanga da variancia e do desvio padrao sejam ab 0 constantes quaisquer Xmin EX Xmax Eaa EX a EXa EbX bEX VarX 0 DPX0 Vara 0 DPa 0 VarX a VarX DPX a DPX VarbX bVarX DPbX b DPX 20 CEDERJ i i i i i i i i AULA 12 1 M ODULO 1 Exercıcio 126 Um vendedor de servicos de informatica visita diariamente uma ou duas empresas com probabilidades 06 e 04 Em cada visita ele pode ser malsucedido e nao conseguir fechar negocio com probabilidade 06 ou ser bemsucedido e conseguir fechar um contrato medio no valor de 5000 reais ou um contrato grande no valor de 20000 reais com probabilidades 03 e 01 respecti vamente Determine o valor esperado das vendas diarias desse vende dor Exercıcio 127 Uma empresa de aluguel de carros tem em sua frota 4 car ros de luxo e ela aluga esses carros por dia segundo a seguinte funcao de distribuicao de probabilidade No de carros alugadosdia 0 1 2 3 4 Probabilidade de alugar 010 030 030 020 010 O valor do aluguel e de R200000 por dia a despesa total com manutencao e de R50000 por dia quando o carro e alugado e de R20000 por dia quando o carro nao e alugado Calcule 1 o numero medio de carros de luxo alugados por dia bem como o desvio padrao 2 a media e o desvio padrao do lucro diario com o aluguel dos carros de luxo Exercıcio 128 As chamadas diarias recebidas por um batalhao do Corpo de Bombeiros apresentam a seguinte distribuicao Numero de chamadasdia 0 1 2 3 4 5 Percentual de dias 10 15 30 25 15 5 1 Calcule o numero medio de chamadas por dia bem como o desvio padrao do numero de chamadas diarias 2 Em um ano de 365 dias qual e o numero total de chamadas C E D E R J 21 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Esperanca e Variˆancia de Variaveis Aleatorias Discretas Exercıcio 129 Considere o lancamento de trˆes moedas e denote por K a ocorrˆencia de cara e por C a ocorrˆencia de coroa Se ocorre o evento CCC dizemos que temos uma sequˆencia ao passo que se ocorre o evento CKC temos trˆes sequˆencias Defina a va X numero de caras obtidas e Y numero de sequˆencias obtidas Note que no Exercıcio 117 vocˆe obteve as distribuicoes de X e Y Exercıcio 1210 As probabilidades de que haja 1 2 3 4 ou 5 pessoas em cada carro que se dirige ao Barra Shopping em um sabado sao respectivamente 005 020 040 025 e 010 Qual o numero medio de pessoas por carro Se chegam ao shopping 50 carros por hora qual o numero esperado de pessoas no perıodo das 13 as 18 horas SOLUC AO DOS EXERCICIOS Exercıcio 121 EX 000253101496203251 303251401496500253 25 Note que esse valor segue imediatamente do fato de a media ser o centro de gravidade da fdp no exercıcio a fdp e uma funcao simetrica logo a esperanca e o valor do meio Exercıcio 122 EX 001044102982203408 301948400556500064 18186 Exercıcio 123 EY 302510300022010 500780059003 017 22 C E D E R J i i i i i i i i AULA 12 1 M ODULO 1 EZ 90255030302010 70071300515003 266 ou pelas propriedades da esperanca EZ 2EY3 20173 266 Exercıcio 124 EX2 02 0025312 0149622 03251 32 0325142 0149652 00253 7402 VarX 7402252 1152 Exercıcio 125 EX2 02 0104412 0298222 0340832 01948 42 0055652 00064 44642 VarX 44642181862 1156894 Exercıcio 126 Veja a Figura 124 com o espaco amostral deste experi mento Figura 124 Solucao do Exercıcio 126 C E D E R J 23 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Esperanca e Variˆancia de Variaveis Aleatorias Discretas Daı podemos ver que o vendedor pode nao vender qualquer projeto vender apenas um projeto medio vender apenas um projeto grande vender um projeto medio e um projeto grande vender dois projetos medios ou vender dois projetos grandes Seja V a va valor das vendas diarias Usando a regra da multiplicacao que diz que PrAB PrAPrBA e o axioma da probabilidade da uniao de eventos mutuamente exclusivos podemos calcular PrV 0 0606040606 0504 PrV 5000 06032040603 0324 PrV 10000 040303 0036 PrV 20000 06012040601 0108 PrV 25000 2040301 0024 PrV 40000 040101 0004 EV 50000324100000036200000108 250000024400000004 4900 Exercıcio 127 Numero de carros Probabilidade Lucro por dia alugadosdia de alugar 0 010 4200 800 1 030 20005003200 900 2 030 400025002200 2600 3 020 60003500200 4300 4 010 80004500 6000 Sejam X numero de carros de luxo alugados por dia e L lucro diario com aluguel de carros de luxo Entao EX 1030203030204010 19 carros por dia EX2 12 03022 03032 02042 010 49 24 C E D E R J i i i i i i i i AULA 12 1 M ODULO 1 VarX EX2EX2 49192 129 DPX 11356 carros por dia EL 80001090003026000304300020 6000010 2430 reais EL2 8002 0109002 03026002 03043002 020 60002 010 9633000 VarL EL2EL2 963300024302 3728100 DPL 193083 reais Exercıcio 128 1 Seja X numero de chamadas por dia EX 10152030302540155005 235 chamadas por dia VarX 10154030902516015 250052352 17275DPX 13143 chamadas por dia 2 Seja T numero de chamadas em um ano Entao T 365X e ET 235365 85775 Exercıcio 129 As distribuicoes de X e Y sao x 0 1 2 3 fXx 1 8 3 8 3 8 1 8 y 1 2 3 fYy 2 8 4 8 2 8 Logo EX 3 8 6 8 3 8 12 8 3 2 VarX 3 8 12 8 9 8 9 4 3 9 4 3 4 C E D E R J 25 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Esperanca e Variˆancia de Variaveis Aleatorias Discretas EY 2 8 8 8 6 8 16 8 2 Note que a distribuicao e simetrica VarY 2 8 16 8 18 8 4 9 2 4 1 2 Exercıcio 1210 X numero de pessoas em cada carro Y numero de pessoas em 50 carros em 5 horas de con tagem X x 1 2 3 4 5 p 005 020 040 025 010 Y 505X 250X EX 0050401201005 315 pessoas por carro EY 250EX 250315 7875 pessoas 26 C E D E R J