Vibrações Mecânicas - Resolução de Problemas de Sistemas Massa-Mola-Amortecedor

1 valor 030 Um bloco A com 6 kg é solto de uma altura de 800 mm sobre um bloco B com 9 kg que está em repouso O bloco B está apoiado numa com constante de rigidez k 1500 Nm e está ligado a um amortecedor com coeficiente de amortecimento c 250 Nsm Sabendo que não existe qualquer ressalto determine a distância máxima percorrida pelos blocos após o choque 2 valor 030 O sistema mostrado na figura é estruturado com com m1 m m2 2m k1 k k2 2k Determine a resposta do sistema quando k 2000 Nm e m 30 kg e os valores iniciais do deslocamentos da massa m1 e m2 são 2 e 1 respectivamente 4 valor 030 Dois cilindros circulares idênticos de raio r e massa m cada estão ligados por uma mola Determine as frequências naturais de vibração do Sistema para k 300 Nm m 10 kg e r 002m 3 Rigidez da viga trave Kg 48EI l3 48 x 206 x 1011 002 403 Kg 309 x 106 Nm Kg 309 x 106 Nm m1 1000 kg K 3 x 105 Nm m2 5000 kg Equações do movimento m1 x1 Kg K X1 Kx2 0 m2 x2 Kx2 K x1 0 Com xi Xi coswt φ i 12 A frequência angular tem a seguinte equação ω2 m1 Kg K K K ω2 m2 K 0 ω2 m1 Kg K ω2 m2 K K K 0 ω4 Kg K m1 K m2 ω2 Kg K m1 m2 0 Resolvendo a equação biquadrada ω12 ω22 Kg K 2 m1 K 2 m2 sqrt14 Kg K m1 K m22 k1 k2 m1 m2 Se X1 x11 x21 λ1 x11 e X2 x12 x22 λ2 x12 λ1 X21X11 m1ω12 kg kk km2ω12 k λ2 X22X12 m1ω22 kg kk km2ω22 k As soluções gerais são X1t X11 cosω1t φ1 X12 cosω2t φ2 X2t λ1 X11 cosω1t φ1 λ2 X12 cosω2t φ2 Temos que arctgλ1 x10 x20ω2λ1 X10 X20 φ2 VOLTANDO AS FREQUÊNCIAS NATURAIS ω12 309 x 106 3 x 1052 x 1000 3 x 1052 x 5000 sqrt14 309 x 106 3 x 1051000 3 x 10550002 3 x 105 x 309 x 1061000 x 5000 ω12 1695 30 sqrt2975625 185400 ω12 1695 30 1670 ω1 5827 rads ω22 1695 30 sqrt2975625 185400 ω2 739 rads λ1 3 x 105 1000 x 58272 3 x 105 0097 λ2 3 x 105 1000 x 7392 3 x 105 1222 λ1 X21X11 λ2 X22X12 Temos que X10 1 φ arctgλ1 x10 x20ω2λ1 X10 X20 X10 0 X20 1 φ 0 X20 0 φ1 φ2 0 Como foram calculados ω1 e ω2 φ1 e φ2 λ1 e λ2 e temos valores de X10 1 e X20 1 Usamos a resposta xt para o cálculo de X11 X12 X21 X22 X10 1 X11 cos 0 X12 cos 0 X11 X12 1 X20 1 λ1 X11 cos 0 λ2 X12 cos 0 λ1 X11 λ2 X12 1 0097 X11 1222 X12 1 X11 X12 1 0097 X11 1222 1 X11 1 0097 X11 1222 1222 X11 1 1319 X11 2222 X11 2222 1319 1685 X12 1 1685 X12 0685 X11 1685 λ1 X21 X11 λ2 X22 X12 X21 λ1 X11 X21 1685 x 0097 X21 0163 X22 λ2 X12 X22 1222 x 0685 X22 0837 As formas modais são da forma X1t X11 cosω1 t ϕ1 X21 cosω1 t ϕ1 X2t X12 cosω2 t ϕ2 X22 cosω2 t ϕ2 Então temos como as formas modais X1t 1685 cos 5827 t 0163 cos 5827 t X2t 0685 cos 739 t 0837 cos 739 t Modelagem do sistema equivalente Equações do movimento em termos de x e θ mẍ k1x l1θ k2x l2θ 0 J0θ k1l1x l1θ k2l2x l2θ 0 A resposta para vibrações livres são xt X cosωt φ θt Θ cosωt φ De forma matricial temos para as equações anteriores mω² k1 k2 k1l1 k2l2 k1l1 k2l2 J0ω² k1l1² k2l2² x θ 0 0 A frequência natural é mω² k1 k2 k1l1 k2l2 k1l1 k2l2 J0ω² k1l1² k2l2² 0 Substituindo os valores temos 1000ω² 3000 2000 300005 200008 3000 05 2000 08 300ω² 300005² 200008² 0 1000 ω² 5000 100 100 03ω² 2030 0 03ω⁴ 3530ω² 1014x10⁶ 0 Resolvendo a equação biquadrada temos y ω² Δ 3530² 4031014x10⁶ y12 3530 3530² 4031014x10⁶ 2x03 y1 6785 y2 4981 y1 ω1² ω1 6785 ω1 824 rads ω2 4981 ω2 706 rads ω1 824 rads ω2 706 rads frequências naturais Formas modais K1K t1 K2K t2 mJ λ1 J ω1² K t1 K t2 K t2 λ2 J ω² K t1 K t2 K t2 J0 ω2² 5x10⁶ X 01 x10⁶ θ 0 FORMAS MODAIS Substituindo Xθ ω1 01 x10⁶ 1000 ω1² 5x10⁶ 5348 Xθ ω2 01 x10⁶ 1000 ω² 5x10⁶ 0061 O sistema pode ser calculado como um sistema de 2 graus de liberdade pois o comprimento do eixo é grande em relação ao seu eixo Momento de inércia do eixo 1 J 1 eq J turbina J engrenagem 1 J engrenagem 2 15² compensação à distância entre eixos J 1 eq 3000 500 1000 225 J 1 eq 3944 Kg m² Considerando um módulo de elasticidade transversal de 80 x 10⁹ Nm² para o aço a rigidez torsional dos eixos 1 e 2 pode ser determinado como K t2 GJ l 80 x 10⁹ x π32 x 611⁴ 1 K t2 7854 x 10⁵ J 2 eq 2000 kg m² O sistema pode ser definido como sistema semidefinido Então ω10 não precisa calcular K t1 ω2K m1m2m1 m2 ou ω2 K t J 1 eq J 2 eq J 1 eq J 2 eq ω2 7854 x 10⁵ 39442000 3944 x 2000 ω2 243 rads