Exercicio Vibrações

As vibrações mecânicas estão presentes em praticamente todos os sistemas que envolvem movimento Elas correspondem ao comportamento oscilatório de corpos ou sistemas mecânicos quando submetidos a forças ou perturbações Esse tema é fundamental no desenvolvimento de projetos pois as vibrações podem influenciar diretamente o desempenho a segurança e a vida útil de máquinas e estruturas No contexto de projetos compreender as vibrações permite prever e mitigar problemas como falhas estruturais ruídos excessivos e desconforto em veículos ou equipamentos Por exemplo o estudo de frequências naturais ajuda a evitar a ressonância uma condição que pode causar danos severos quando um sistema vibra em sua frequência crítica Além disso o controle de vibrações é essencial em aplicações modernas como na construção de prédios resistentes a terremotos no design de motores silenciosos e eficientes ou até em equipamentos médicos de alta precisão Ao explorar esse tema os engenheiros desenvolvem habilidades de análise e resolução de problemas aplicando conceito de física e matemática para modelar simular e aprimorar sistemas reais Este é o primeiro passo para entender a relevância das vibrações no sucesso de projetos em engenharia e tecnologia Uma variedade de forças quando aplicadas a sistemas mecânicos resultam em vibração As forças de terremoto são às vezes modeladas como somas de forças periódicas ou harmônicas monótonas decrescentes Os ventos fortes podem ser uma fonte de carga impulsiva ou constante para as estruturas As estradas ásperas fornecem uma variedade de condições forçadas aos automóveis As ondas do mar e o vento fornecem forças aos navios no mar Vários processos de fabricação produzem forças aplicadas de natureza aleatória periódica não periódica ou transitória Ar e movimento relativo fornecem forças para a asa de uma aeronave que pode causar oscilação Todas essas forças podem causar vibração Outra excitação comum na vibração é uma força constante aplicada por um curto período e então removida Um modelo aproximado dessa força é dado na Figura 1 Figura 1 Modelo de força Fonte o autor Logo seu desafio para essa atividade é calcular a resposta de um sistema sub amortecido a essa excitação Figura 1 Mapa Vibrações Mecânicas e Acústicas 2025 Meu Guru Conforme citado no roteiro da atividade uma força constante de módulo F0 aplicada por um curto período de tempo até t 1 segundo a Figura 1 pode ser modelada como uma combinação de duas forças uma força F1 de módulo constante F0 a partir do tempo zero uma força F2 constante de módulo igual mas com sentido invertido F0 a partir de tt 1 Isso pode ser claramente visto na Figura 1 Considerando x1t como a resposta do sistema sujeito a força F1 e x2t como a resposta do sistema sujeito a força F1 a resposta total do sistema xt poderá ser dada por x t x1 tx2t Figura 1 Modelo de Força Fonte Roteiro do mapa Segunda Rao 2008 a resposta de um sistema sujeito a uma força constante pode ser obtida por meio da integral de convolução sendo esta dada por x t 0 t F τ g tτ dτ No qual Fτ representa a força aplicada gtτ é a resposta de um sistema sujeito a um impulso unitário τ é o instante no qual o impulso é aplicado Para a condição na qual o sistema esteja sujeito a um impulso unitário no tempo tτ gtτ será dado por g tτ e ξ ωn tτ m ωd senωd tτ Assim a integral de convolução será x t 0 t F τ e ξ ωn tτ m ωd senωd tτ dτ Onde k é a constante de rigidez da mola ξ é o fator de amortecimento do sistema ωn é a frequência natural do sistema ωdωn1ξ 2 é a frequência natural amortecida e ϕ é a fase sendo que ϕt g 1 ξ 1ξ 2 Assim podemos obter a resposta de cada uma das forças F1 e F2 Para a força F1 a entrada impulso ocorre desde o início τ0 assim a integral de convolução será dada por x1t 0 t F1τ e ξ ωnt m ωd senωdtdτ 0 t F0 e ξωnt m ωd sen ωdt dτ Fazendo a integração por partes temse que x1t F0 k 1 e ξ ωnt 1ξ 2 cosωdtϕ Analogamente para F2 x2t t1 t F2τ e ξ ωntτ mωd senωd tτ dτ t1 t F0 e ξωntτ m ωd senωd tτ dτ Novamente integrando por partes a resposta será dada por x2t F0 k 1e ξ ωntt 1 1ξ 2 cosωdtt 1ϕ Portanto a resposta total do sistema conforme mencionado acima será dado por x t x1 tx2t x t F0 k 1 e ξωnt 1ξ 2 cosωdtϕ F0 k 1e ξ ωntt 1 1ξ 2 cosωdtt1ϕ x t F0 k F0 k F0 k e ξ ωnt 1ξ 2 cosωdtϕ F0 k e ξ ωntt1 1ξ 2 cosωdtt 1ϕ Colocando o termo F0 k e ξωnt 1ξ 2 em evidência a resposta total do sistema será x t F0e ξωnt k 1ξ 2 cosωdtϕe ξ ωnt1cosωd tt 1ϕ Referências Bibliográficas 1 Rao S Vibrações Mecânicas 4ª Edição São Paulo PearsonPrentice Hall 2008 Mapa Vibrações Mecânicas e Acústicas 2025 Meu Guru Conforme citado no roteiro da atividade uma força constante de módulo 𝐹0 aplicada por um curto período de tempo até 𝑡1 segundo a Figura 1 pode ser modelada como uma combinação de duas forças uma força 𝐹1 de módulo constante 𝐹0 a partir do tempo zero uma força 𝐹2 constante de módulo igual mas com sentido invertido 𝐹0 a partir de 𝑡 𝑡1 Isso pode ser claramente visto na Figura 1 Considerando 𝑥1𝑡 como a resposta do sistema sujeito a força 𝐹1 e 𝑥2𝑡 como a resposta do sistema sujeito a força 𝐹1 a resposta total do sistema 𝑥𝑡 poderá ser dada por 𝑥𝑡 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 Figura 1 Modelo de Força Fonte Roteiro do mapa Segunda Rao 2008 a resposta de um sistema sujeito a uma força constante pode ser obtida por meio da integral de convolução sendo esta dada por 𝑥𝑡 𝐹𝜏𝑔𝑡 𝜏𝑑𝜏 𝑡 0 No qual 𝐹𝜏 representa a força aplicada 𝑔𝑡 𝜏 é a resposta de um sistema sujeito a um impulso unitário 𝜏 é o instante no qual o impulso é aplicado Para a condição na qual o sistema esteja sujeito a um impulso unitário no tempo 𝑡 𝜏 𝑔𝑡 𝜏 será dado por 𝑔𝑡 𝜏 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝜏 𝑚𝜔𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝜏 Assim a integral de convolução será 𝑥𝑡 𝐹𝜏 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝜏 𝑚𝜔𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝜏𝑑𝜏 𝑡 0 Onde 𝑘 é a constante de rigidez da mola 𝜉 é o fator de amortecimento do sistema 𝜔𝑛 é a frequência natural do sistema 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜉2 é a frequência natural amortecida e 𝜙 é a fase sendo que 𝜙 𝑡𝑔1 𝜉 1 𝜉2 Assim podemos obter a resposta de cada uma das forças 𝐹1 e 𝐹2 Para a força 𝐹1 a entrada impulso ocorre desde o início 𝜏 0 assim a integral de convolução será dada por 𝑥1𝑡 𝐹1𝜏 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡 𝑚𝜔𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡𝑑𝜏 𝑡 0 𝐹0 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡 𝑚𝜔𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡𝑑𝜏 𝑡 0 Fazendo a integração por partes temse que 𝑥1𝑡 𝐹0 𝑘 1 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡 1 𝜉2 cos𝜔𝑑𝑡 𝜙 Analogamente para 𝐹2 𝑥2𝑡 𝐹2𝜏 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝜏 𝑚𝜔𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝜏𝑑𝜏 𝑡 𝑡1 𝐹0 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝜏 𝑚𝜔𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝜏𝑑𝜏 𝑡 𝑡1 Novamente integrando por partes a resposta será dada por 𝑥2𝑡 𝐹0 𝑘 1 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝑡1 1 𝜉2 cos𝜔𝑑𝑡 𝑡1 𝜙 Portanto a resposta total do sistema conforme mencionado acima será dado por 𝑥𝑡 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 𝑥𝑡 𝐹0 𝑘 1 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡 1 𝜉2 cos𝜔𝑑𝑡 𝜙 𝐹0 𝑘 1 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝑡1 1 𝜉2 cos𝜔𝑑𝑡 𝑡1 𝜙 𝑥𝑡 𝐹0 𝑘 𝐹0 𝑘 𝐹0 𝑘 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡 1 𝜉2 cos𝜔𝑑𝑡 𝜙 𝐹0 𝑘 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝑡1 1 𝜉2 cos𝜔𝑑𝑡 𝑡1 𝜙 Colocando o termo 𝐹0 𝑘 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡 1𝜉2 em evidência a resposta total do sistema será 𝑥𝑡 𝐹0𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡 𝑘1 𝜉2 cos𝜔𝑑𝑡 𝜙 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡1 cos𝜔𝑑𝑡 𝑡1 𝜙 Referências Bibliográficas 1 Rao S Vibrações Mecânicas 4ª Edição São Paulo PearsonPrentice Hall 2008