Analise Matematica Unicesumar - Livro Completo para Estudantes

ANÁLISE MATEMÁTICA PROFESSORES Dra Denise Trevisoli Destch Dra Irene Magalhães Craveiro Dra Lilian Akemi Kato Dr Rodrigo André Schulz Dra Simone Francisco Ruiz ACESSE AQUI O SEU LIVRO NA VERSÃO DIGITAL EXPEDIENTE C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ Núcleo de Educação a Distância DESTCH Denise Trevisoli CRAVEIRO Irene Magalhães KATO Lilian Akemi SCHULZ Rodrigo André RUIZ Simone Francisco Análise Matemática Denise Trevisoli Destch Irene Magalhães Craveiro Lilian Akemi Kato Rodrigo André Schulz Simone Francisco Ruiz Maringá PR UniCesumar 2020 Reimpresso em 2024 226 p Graduação EaD 1 Análise 2 Matemática 3 Cálculo Diferencial EaD I Título FICHA CATALOGRÁFICA NEAD Núcleo de Educação a Distância Av Guedner 1610 Bloco 4Jd Aclimação Cep 87050900 Maringá Paraná wwwunicesumaredubr 0800 600 6360 Coordenadora de Conteúdo Antoneli da Silva Ramos Projeto Gráfico e Capa Arthur Cantareli Jhonny Coelho e Thayla Guimarães Editoração Matheus Silva de Souza Design Educacional Ivana Cunha Martins Revisão Textual Nágela Neves da Costa Ilustração André Azevedo Fotos Shutterstock CDD 22 ed 5107 CIP NBR 12899 AACR2 ISBN 9786556150222 Impresso por Bibliotecário João Vivaldo de Souza CRB 91679 Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff James Prestes Tiago Stachon Diretoria de Design Educacional Débora Leite Diretoria de Graduação e Pósgraduação Kátia Coelho Diretoria de Permanência Leonardo Spaine Head de Produção de Conteúdos Celso Luiz Braga de Souza Filho Gerência de Produção de Conteúdo Diogo Ribeiro Garcia Gerência de Projetos Especiais Daniel Fuverki Hey Supervisão do Núcleo de Produção de Materiais Nádila Toledo Supervisão Operacional de Ensino Luiz Arthur Sanglard NEAD NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Reitor Wilson de Matos Silva ViceReitor Wilson de Matos Silva Filho PróReitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho PróReitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva PróReitor de Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi DIREÇÃO UNICESUMAR BOASVINDAS Neste mundo globalizado e dinâmico nós tra balhamos com princípios éticos e profissiona lismo não somente para oferecer educação de qualidade como acima de tudo gerar a con versão integral das pessoas ao conhecimento Baseamonos em 4 pilares intelectual profis sional emocional e espiritual Assim iniciamos a Unicesumar em 1990 com dois cursos de graduação e 180 alunos Hoje temos mais de 100 mil estudantes espalhados em todo o Brasil nos quatro campi presenciais Maringá Londrina Curitiba e Ponta Grossa e em mais de 500 polos de educação a distância espalhados por todos os estados do Brasil e também no exterior com dezenas de cursos de graduação e pósgraduação Por ano pro duzimos e revisamos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil exemplares Somos reconhe cidos pelo MEC como uma instituição de exce lência com IGC 4 por sete anos consecutivos e estamos entre os 10 maiores grupos educa cionais do Brasil A rapidez do mundo moderno exige dos edu cadores soluções inteligentes para as neces sidades de todos Para continuar relevante a instituição de educação precisa ter pelo menos três virtudes inovação coragem e compromis so com a qualidade Por isso desenvolvemos para os cursos de Engenharia metodologias ati vas as quais visam reunir o melhor do ensino presencial e a distância Reitor Wilson de Matos Silva Tudo isso para honrarmos a nossa mis são que é promover a educação de qua lidade nas diferentes áreas do conheci mento formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária P R O F I S S I O N A L T R A J E T Ó R I A Dra Denise Trevisoli Destch Doutorado em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas 2016 Mestrado em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas 2011 Graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas 2004 Atual mente é professora adjunta da Universidade Federal do Paraná Setor Palotina httplattescnpqbr0550447189661842 Dra Irene Magalhães Craveiro Pósdoutorado pela Universidade Estadual de Campinas 2015 Doutorado em Ma temática pela Universidade Estadual de Campinas 2004 Mestrado em Matemática pela Universidade Estadual de São Paulo 1999 Graduação em Matemática pela Universidade Federal do Mato Grosso do Sul 1996 Atualmente é professora da Universidade Federal da Grande Dourados httplattescnpqbr3816000897725516 Dra Lilian Akemi Kato Doutorado em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas 2004 Mestrado em Matemática pela Universidade de São Paulo 1996 Graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá 1992 Atualmente é professora do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá httplattescnpqbr6356641105245996 P R O F I S S I O N A L T R A J E T Ó R I A Dr Rodrigo André Schulz Doutorado em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá 2014 Mestra do em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá 2008 Graduação em Matemática pela Universidade Estadual do Oeste do Paraná 2005 Atualmente é professor adjunto da Universidade Federal do Paraná Setor Palotina httplattescnpqbr3138448810046000 Dra Simone Francisco Ruiz Doutorado em Matemática Pura pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul 2017 Mestrado em Matemática Pura pela Universidade Estadual de Maringá 2013 Graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá 2010 Atualmen te é professora adjunta da Universidade Federal do Paraná Setor Palotina httplattescnpqbr3454520003811932 D A D I S C I P L I N A A P R E S E N TA Ç Ã O ANÁLISE MATEMÁTICA Seja bemvindoa Prezadoa acadêmicoa é com muita satisfação que elaboramos este livro Ele apresenta os conceitos básicos da Análise Matemática unidimensional a partir dos temas estudados em Cálculo Diferencial em uma variável real Nossa principal preocupação inicialmente foi descrever cuidadosamente os conceitos teo remas e propriedades de cada um dos conteúdos propostos com as devidas demonstrações e justificativas a fim de que você possa desenvolver as habilidades técnicas de demonstração utilizadas na Matemática Esta abordagem lógicoformal bem como a habilidade no trato com as definições as proposi ções e as demonstrações são fundamentais ao futuro professor de Matemática pois constituem o alicerce lógico fundamental de toda Matemática Desse modo na Unidade 1 exploraremos a representação de conjuntos e funções utilizada sistematicamente nos próximos tópicos Na Unidade 2 apresentaremos as propriedades do corpo ordenado completo dos números reais os conceitos de sequências o limite de uma sequência e suas propriedades a definição de série numérica e os conceitos de convergência e divergência Nas outras unidades discutiremos o limite a continuidade e a diferenciabilidade e integrabi lidade de funções reais de uma variável real O estudo dessas unidades requer uma revisão desses temas já vistos na disciplina de Cálculo Diferencial o que facilitará a compreensão dos resultados apresentados Recomendamos portanto que você tenha seu livro de Cálculo em mãos para consulta de exemplos e exercícios Para melhor aproveitamento deste material orientamos que a leitura do livro seja bastante minuciosa com atenção aos passos indicados nas demonstrações e resoluções de exercícios Se preciso leia várias vezes cada resultado apresentado redigindo com suas palavras as de monstrações apresentadas abstraindo a essência de cada teorema É importante também que você tire suas dúvidas com os professores mediadores até sentirse confiante para fazer os exercícios indicados e então seguir para a aula seguinte Para todos os acadêmicos desejamos um ótimo estudo com muita garra dedicação e conse quentemente muito sucesso ÍCONES Sabe aquela palavra ou aquele termo que você não conhece Este ele mento ajudará você a conceituálao melhor da maneira mais simples conceituando No fim da unidade o tema em estudo aparecerá de forma resumida para ajudar você a fixar e a memorizar melhor os conceitos aprendidos quadroresumo Neste elemento você fará uma pausa para conhecer um pouco mais sobre o assunto em estudo e aprenderá novos conceitos explorando ideias Ao longo do livro você será convidadoa a refletir questionar e transformar Aproveite este momento pensando juntos Enquanto estuda você encontrará conteúdos relevantes online e aprenderá de maneira interativa usando a tecno logia a seu favor conectese Quando identificar o ícone de QRCODE utilize o aplicativo Unicesumar Experience para ter acesso aos conteúdos online O download do aplicativo está disponível nas plataformas Google Play App Store Definição 11 sejam A e B conjuntos Dizemos que A é parte de B ou A está contido em B ou ainda B contém A e denotamos por A B se todo elemento de A é elemento de B Ou seja A B xx A x B Neste caso dizemos que A é um subconjunto de B Definição 12 sejam A e B conjuntos dizemos que A é igual a B e indicamos por A B se e somente se A B e B A A negação de A B ou seja A não é subconjunto de B que indicamos por A B equivale dizer que existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B Se A B e A B denotamos por A B e dizemos que A é um subconjunto próprio de B Muitos conjuntos não são definidos por meio da enumeração de cada um dos seus elementos Uma maneira usual de definir conjunto é por meio de uma propriedade P Por exemplo se X é um conjunto formado por brasileiros a propriedade P descreve se um cidadão em questão é brasileiro se x é brasileiro então x satisfaz a propriedade P e viceversa se x satisfaz a propriedade P então x é brasileiro Denotamos por X x x satisfaz P Se definirmos um conjunto E como o conjunto dos habitantes da Terra então podemos escrever X como X x E x satisfaz P O conjunto E é chamado conjunto fundamental Às vezes nenhum elemento de um certo conjunto fundamental E satisfaz determinada propriedade P Nesse caso temos um conjunto sem elementos O conjunto que não possui elemento algum chamamos conjunto vazio e denotamos por Proposição 11 o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto Demonstração se A é um conjunto qualquer então temos duas possibilidades A ou A Caso A então existe um x tal que x A o que não é possível pois por definição o conjunto não possui elemento algum Portanto A Proposição 12 sejam A B e C conjuntos Se A B e B C então A C CONTEÚDO PROGRAMÁTICO UNIDADE 01 UNIDADE 02 UNIDADE 03 UNIDADE 05 UNIDADE 04 FECHAMENTO NOÇÕES PRELIMINARES 10 NÚMEROS REAIS SEQUÊNCIAS E SÉRIES 58 112 LIMITE E CONTINUIDADE 150 DERIVADAS 185 INTEGRAIS 218 CONCLUSÃO GERAL 1 NOÇÕES PRELIMINARES PLANO DE ESTUDO A seguir apresentamse as aulas que você estudará nesta unidade Conjuntos Par ordenado e Produto cartesiano Funções Números inteiros Números racionais Conjuntos finitos infinitos e enumeráveis OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Desenvolver habilidades para trabalhar com a linguagem da teoria de conjuntos Compreender o conceito de produto cartesiano como um conjunto de pares ordenados Introduzir a noção de funções e suas propriedades básicas Apresentar o conjunto dos números inteiros e desenvolver habilidades para aplicar os Princípios da Boa Ordem e de Indução Apresentar o conjunto dos números racionais Definir e identificar conjuntos finitos infinitos e numeráveis PROFESSORES Dra Denise Trevisoli Destch Dra Irene Magalhães Craveiro Dra Lilian Akemi Kato Dr Rodrigo André Schulz Dra Simone Francisco Ruiz INTRODUÇÃO Prezadoa alunoa você poderá consultar alguns dicionários de Lín gua Portuguesa e se deparar com o sinônimo da palavra conjunto cole ção reunião de objetos de mesma natureza aglomeração classe sistema lista ou agrupamento Neste caso substituiuse apenas uma palavra por outra sem definir o que quer que seja Para definir um conceito mate mático temos que justificálo por meio de outros conceitos conhecidos Podemos definir um número par por exemplo da seguinte forma um número inteiro múltiplo de dois Nesta definição utilizamos dois con ceitos conhecidos número inteiro e múltiplo de dois Com este exemplo ilustramos que para estabelecer um conceito matemático precisamos de outro preestabelecido para esse conceito anterior precisamos ainda de outro anterior Dessa forma é preciso estabelecer o primeiro de todos os conceitos que não é baseado por conceitos anteriores e não pode ser definido Como o estudo de um conteúdo matemático parte de algumas premissas temos que adotar sem definir os primeiros conceitos chamados de ideias primitivas ou entes primitivos Na teoria dos conjuntos três noções são adotadas sem definição ou seja são consideradas ideias primitivas conjunto elemento e pertinên cia entre elemento e conjunto Nesta unidade introduziremos a noção de conjuntos estes nos for necem a linguagem para o tratamento de funções e de outros conceitos matemáticos que abordaremos nas unidades posteriores Definiremos a relação de inclusão e as seguintes operações entre conjuntos inter seção união e diferença Também estabeleceremos o complementar de um conjunto aplicações imagem direta e imagem inversa de conjunto Apresentaremos na sequência os conjuntos dos números inteiros e dos racionais juntamente com suas propriedades e perceberemos que para definir conjuntos finitos podemos usar uma aplicação bijetora entre conjuntos pois se um conjunto é infinito então ele admite uma bijeção com o conjunto numérico dos inteiros positivos Também apresenta remos a definição de par ordenado produto cartesiano e funções de maneira mais formal Posteriormente definiremos o que é uma Boa Or denação o Princípio de Indução e definiremosconjuntos enumeráveis UNIDADE 1 12 1 CONJUNTOS De maneira geral podemos pensar o conjunto como um agrupamento de objetos que satisfazem uma mesma propriedade A partir de 1874 Georg Cantor 1845 1918 ficou famoso por provocar uma revolução na Matemática ao desenvolver a Teoria dos Conjuntos Na teoria matemática estabelecida por Cantor 1874 con junto significa uma coleção de objetos dentro de um todo ou seja um conjun to é formado por objetos chamados elementos O conjunto de apartamentos por exemplo em determinado prédio ou condomínio os elementos em questão são apartamentos nesse condomínio Outro exemplo seria o conjunto formado por salas de aula em determinado bloco da faculdade Ainda se olharmos para cada sala de aula desse bloco podemos considerar o conjunto das carteiras dentro dessa sala A relação entre um objeto e um conjunto é a relação de pertinência Quando um elemento x é um dos elementos de um conjunto A dizemos que x pertence a A e denotamos por x A caso contrário dizemos que x não pertence a A e denotamos por x A Uma característica da Matemática é o uso de notações para expressar ideias e conceitos É muito importante para o seu desenvolvimento matemático apri morar a capacidade de compreender e de se expressar usando esses símbolos No parágrafo anterior apresentamos os símbolos da relação de pertinência Na sequência descreveremos outras notações que serão utilizadas com frequência Demonstração demonstraremos que para todo x A temos que x C Se x A então x B pois A B Como B C então x C Portanto mostramos que A C Dado um conjunto A a coleção de todos os subconjuntos de A indicada por PA é chamada de conjunto das partes de A Usamos a notação PA X X A Temos que PA nunca é vazio pois PA e A PA A seguir temos um exemplo de construção dos conjuntos das partes Exemplo 11 sejam A 01a e B xyxxy Determine as partes de A PA e as partes de B PB Temos que PA A 0 1 a 01 0a 1a PB B x y x xy xy xx xxy yx yxy x xy xyx xyxy xx xy x xy y Observe x e x y são elementos do conjunto B Os diagramas de Venn são também utilizados para representar relações entre conjuntos Esses diagramas foram criados pelo matemático inglês John Venn e facilitam a visualização das relações de união e interseção entre conjuntos Esses diagramas podem ser bastante úteis para resolver problemas envolvendo organização de dados No link disponível a seguir você encontrará alguns exemplos de problemas extraídos de vestibulares e concursos que podem ser resolvidos usando os diagramas de Venn Acesse httpsblogprofessorferrettocombrsubconjuntoseconjuntodaspartes Fonte os autores Operações entre conjuntos Dada uma coleção de conjuntos qualquer admitiremos a existência de um conjunto cujos elementos pertencem a pelo menos um dos conjuntos dessa coleção Esse conjunto é chamado união dos conjuntos da coleção Em particular quando esta coleção tem apenas dois conjuntos definimos da seguinte maneira Definição 13 sejam A e B conjuntos Chamamos a união de A e B e indicamos por A B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B Em símbolos A B x x A ou x B Observe que a união de dois conjuntos é um novo conjunto cujos elementos são aqueles que pertencem a pelo menos um dos conjuntos Segue diretamente da definição da operação de união entre conjuntos Propriedades da união sejam A B e C conjuntos Temos que i A A ii A A A iii A A B e B A B iv A B B A v A B C A B C Definição 14 sejam A e B conjuntos Chamamos a interseção de A e B e indicamos por A B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B Ou seja A B x x A e x B No caso particular em que A B dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos Observe que a interseção de dois conjuntos é um novo conjunto formado apenas pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos Consideremos os conjuntos A m n o p e B q r s formados por letras do alfabeto Observamos que A B e portanto A e B são disjuntos Por outro lado se considerarmos o conjunto C m p a b c d temos que A C m p e neste caso A e C não são conjuntos disjuntos Segue diretamente da definição da operação de interseção entre conjuntos os seguintes resultados Propriedades da interseção sejam A B e C conjuntos Temos que i A ii A A A iii A B A e A B B iv A B B A v A B C A B C Definição 15 sejam A e B conjuntos A diferença de um conjunto A em relação ao conjunto B que indicamos por A B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B Ou seja A B x x A e x B Consideremos os conjuntos A m n o p e B m p q r s a b c d formados por letras do alfabeto Observamos que A B o n Quando B A chamamos a diferença do conjunto A em relação ao conjunto B de complementar de B em A e indicamos por CAB Segue diretamente da definição da operação de diferença entre conjuntos Propriedades da diferença sejam A e B conjuntos Temos que i A A ii A A iii Se A B então A B A e B A B iv CA A v CA A Exemplo 12 verifique se a afirmação é falsa ou verdadeira sejam A B e C conjuntos quaisquer Se A C A B então B C A afirmação é falsa Vejamos o seguinte contraexemplo considere os conjuntos A a b c B c d e C a c d Neste caso A B a b c d A C mas B C conceituando Provamos por meio de um contraexemplo que a afirmação dada no Exemplo 12 não é verdadeira Reflita o caso similar do Exemplo 12 para a operação de interseção ou seja verifique se a propriedade é verdadeira se A B A C então B C para quaisquer conjuntos A B e C Fonte os autores AULA 2 PAR ORDENADO E PRODUTO CARTESIANO Um par ordenado a b é um par de objetos matemáticos cuja ordem de ocorrência destes objetos é significante Mais precisamente podemos definilo da seguinte forma Definição 16 dados dois elementos x e y o par ordenado de x e y denotado por x y com primeira coordenada x e segunda coordenada y é o conjunto x y x x y De acordo com a Definição 16 podemos observar que x y x x y y x y y x Dessa forma destacamos que a ordem neste caso tem importância o que justifica o nome par ordenado No par ordenado a primeira coordenada é chamada abcissa e a segunda ordenada Proposição 13 Considere os elementos a b c e d Então a b c d a c e b d Demonstração Suponha que a b c d Segue da definição que a a b c c d Dessa forma faremos duas considerações a c e a b c d ou a c d e a b c Do primeiro caso concluímos que a c e b d Do segundo caso temos a c d e a b c Logo a b c d e daí concluímos a c e b d Portanto segue o resultado Reciprocamente suponha que a c e b d temos que a c e b d a c e b d ab a b c d cd Assim aab ccd Portanto ab cd UNICESUMAR 19 Em sua trajetória como estudante você já deve ter percebido que o estudo de funções matemáticas é um dos mais importantes e historicamente relevantes para a construção de toda a ciência Abordaremos aqui portanto os conceitos relacionados a esse estudo fazendo uso do formalismo matemático necessário para a compreensão dos demais conceitos Definição 18 sejam A e B conjuntos não vazios Uma função f de A em B é uma lei f que associa a cada elemento a A um único elemento y f x com y B Uma função é simbolizada por f A B x f x O conjunto A é chamado domínio da função f o conjunto B é o contradomí nio de f e f x é a imagem de x por f Também é comum usarmos o termo aplicação como sinônimo de função Não devemos confundir f com f x pois f é a função e f x é o valor que a função assume em determinado ponto x do seu domínio Para saber se uma regra matemática é uma função devemos verificar duas condições i Não deve haver exceções Sendo A o domínio de f a regra deve forne cer f x para todo x A 3 FUNÇÕES ii Não deve haver ambiguidades Para todo x A a regra deve fazer um único f x corresponder x em B Uma maneira prática de verificar essas condições é a seguinte Definida uma lei f de um conjunto A em um conjunto B para certificarmos que essa lei define uma função f A B mostramos a seguinte implicação lógica ab A se a b então f a fb Se X A então definimos a imagem direta de X por f como o seguinte subconjunto de B f X y B y f x para algum x X Em particular quando X A f A é denominado conjunto imagem de f Quando Y B definimos a imagem inversa de Y por f como sendo o seguinte subconjunto de A f¹Y x A f x Y Exemplo 14 sejam A 01234 B 015 e f A B definida por f0 f1 0 e f 2 f 3 1 f 4 5 Temos que f01 0 e f¹05 x A fx 05 014 Vejamos agora como classificar as funções quanto à injetividade sobrejetividade e bijetividade Definição 19 seja f A B uma função Dizemos que f é injetora ou injetiva se para quaisquer ab A tais que fa fb então a b Definição 110 seja f A B é uma função Dizemos que f é sobrejetora ou sobrejetiva se f A B ou seja se para cada b B existe a A tal que b f a Definição 111 seja f A B uma função Dizemos que f é bijetora ou bijetiva ou ainda uma bijeção se f é injetora e sobrejetora A igualdade de funções por sua vez é definida da seguinte forma Definição 112 sejam f A B e g A B funções Dizemos que f é igual a g se e somente se f x g x x A Ou seja para que aconteça a igualdade entre funções elas devem ter o mesmo domínio o mesmo contradomínio e a mesma lei de formação Exemplo 15 sejam os conjuntos A 12345 e B abcd e a aplicação f de A em B tal que f 1 a f 2 b f 3 c f 4 d e f 5 c Temos que f é sobrejetora pois f A B No entanto f não é injetora pois f 3 c f 5 e 3 5 Proposição 14 seja f A B uma função sobrejetora Então para todo Z B temse que f f¹Z Z Demonstração de fato por definição f¹Z x A f x Z e f f¹Z y B y f x e x f¹Z Seja y f f¹Z Logo y B e y f x com x f¹Z Como x f¹Z então y f x Z Portanto f f¹Z Z Reciprocamente suponha y Z Como y Z e f A B é sobrejetora temos que existe x A tal que y f x Temos que y f x Z e isso implica que x f¹Z Logo y f x f f¹Z ou seja Z f f¹Z Portanto f f¹Z Z pensando juntos Validamos a Proposição 14 por meio da definição de igualdade de conjuntos da definição de imagem direta e inversa de conjuntos e do conceito de função sobrejetora Caso excluíssemos a hipótese de que a função é sobrejetora qual lado das inclusões continuaria verdadeira Exemplo 16 sejam X e A conjuntos não vazios tais que X A A função i X A definida por ix x para todo x X é chamada de inclusão Temos que i é sempre injetiva porém é sobrejetiva apenas no caso em que X A Quando X A denotamos a inclusão por idA A A cuja lei de formação é idAx x e idA é chamada função identidade de A Claramente temos que idA é sobrejetiva e injetiva Exemplo 17 sejam f X Y uma função e A X Temos que f A A Y definida por f A x f x x A também é uma função chamada restrição de f a A Observe que se é f injetiva então f A é injetiva explorando Ideias Duas funções f e g podem ser combinadas de maneira que possamos obter novas funções tais como fgfgfg e fg Estas funções são obtidas de forma similar ao que fazemos quando somamos subtraímos multiplicamos e dividimos números reais cuidando sempre da maneira de definir o domínio das funções obtidas destas combinações Fonte os autores Composição de funções e função inversa Conforme citado no último Explorando ideias é possível definir as operações de soma subtração multiplicação e divisão entre funções Outra combinação que pode ser feita é a composição de funções Suponha que existam funções f e g em que o domínio da função g é igual ao contradomínio da função f Neste caso é possível criar uma função gf chamada função composta a qual relaciona diretamente os elementos do domínio da função f aos elementos do contradomínio da função g Definição 113 sejam fAB e gBC funções tais que o domínio de g coincide com o contradomínio de f Definimos como função composta gfAC por gfxgfxxA Observe que a função gf consiste em aplicar primeiro f e depois g Dadas as funções fAB gBC e hCD sabemos que a composição de funções é associativa De fato para todo xA temos que hgfxhgfxhgfxhgfxhgfx Desta forma podemos fazer a composição entre f g e h nesta ordem de dois modos que são hgf e hgf Estas duas maneiras de compor funções conduzem ao mesmo resultado Portanto hgfhgf Em geral basta que a imagem fA da função f esteja contida no domínio da g para que a definição de gfAC faça sentido pensando juntos Dissemos anteriormente que a composição de funções é associativa ou seja se consideramos as funções fg e h definidas de maneira adequada para realizar a composição vale a igualdade hgfhgf É possível afirmar também que a composição de funções é comutativa ou seja sempre vale que fggf para quaisquer funções f e g que possam ser compostas Veremos nos próximos dois exemplos que a composição de funções preserva as propriedades de injetividade e sobrejetividade Exemplo 18 sejam fAB e gBC funções injetoras Então gfAC é injetora De fato sejam x₁x₂A tais que gfx₁gfx₂ Queremos provar que x₁x₂ Segue da definição que gfx₁gfx₁gfx₂gfx₂ Como g é injetora temos que fx₁fx₂ Mas f também é injetora e portanto x₁x₂ Exemplo 19 sejam fAB gBC funções sobrejetoras Então gfAC é sobrejetora De fato dado zC queremos provar que existe xA tal que gfxz Como gBC é sobrejetora e zC existe yB tal que gyz Também do fato de que fAB é sobrejetora e yB existe xA tal que yfx Logo zgygfxgfx Segue dos Exemplos 18 e 19 que a composição de duas funções bijetoras é também uma função bijetora Dadas as funções fAB e gBA dizemos que g é uma inversa à esquerda de f quando gfxx para todo xA Veremos na próxima proposição que uma função fAB possui inversa à esquerda se e somente se for injetiva Proposição 15 seja fAB uma função Existe gBA tal que gfxxxA se e somente se fAB é injetora Demonstração de fato suponha a existência de uma função g tal que gfxxxA Queremos provar que fAB é injetora Para isso sejam x₁x₂A tais que fx₁fx₂ Observe que x₁gfx₁gfx₁gfx₂gfx₂x₂ Portanto f é injetora Reciprocamente suponha que fAB é injetora então cada yfA determina um único xA tal que yfx Defina gBA da seguinte forma gyx se yfx e gya se yfA em que a é um elemento qualquer fixado de A Observe que a função g não é única e depende das escolhas de aA no caso em yfA Desta forma temos que gfxgfxgyxxA Portanto segue o resultado Dadas as funções fAB e gBA dizemos que g é uma inversa à direita de f quando fgyy para todo yB A próxima proposição nos mostra que uma função fAB possui inversa à direita se e somente se é sobrejetiva Proposição 16 Seja fAB uma função Existe gBA tal que fgyyyB se e somente se fAB é sobrejetiva Demonstração de fato suponha a existência da função g tal que fgyyyB Temos que yfgyfgyyB ou seja para todo yB existe xgyA tal que yfgyfgyfx Portanto f é sobrejetiva Reciprocamente suponha que fAB é sobrejetiva Então para cada y em B é possível escolher pelo menos um xA tal que yfx Vamos fixar um x para cada y Tome gyx isso define uma função gBA tal que fgyy A próxima proposição nos mostra que se f possui uma inversa à direita e uma inversa à esquerda então elas são iguais Proposição 17 seja fAB uma função Se existem gBA e hBA tal que fgyyyB e hfxxxA então gh Demonstração de fato como h B A e g B A são tais que h fx x x A e f gy y y B então podemos escrever h f idA e f g idB Além disso gy idA gy h f gy h f gy h idBy hy y B Portanto segue o resultado Chamamos uma função g B A de inversa da função f A B quando g é a inversa à esquerda e à direita de f Em outras palavras temos a definição seguinte Definição 114 sejam A e B conjuntos não vazios e f A B uma função Dizemos que g B A é inversa de f ou que f é uma função inversível se g fx x x A e f gy y y B Escrevemos f¹ B A para indicar a inversa de f A B Veremos na próxima proposição que uma função f A B possui inversa se e somente se for bijetiva Proposição 18 seja f A B uma função Existe g B A tal que g fx x x A e f gy y y B se e somente se f A B for bijetora Demonstração segue diretamente das Proposições 15 16 e 17 Apesar da noção de número real existir anteriormente ao século XIX foi em meados desse século que os matemáticos começaram a sentir necessidade de uma fundamentação rigorosa dos diferentes sistemas numéricos É interessante ressaltar que a sistematização dos diferentes conjuntos numéricos ocorreu na ordem inversa do seu desenvolvimento histórico pelo homem ou seja enquanto historicamente surgiram as noções de número natural inteiro racional irracional real e complexo nesta ordem a sistematização matemática desses conjuntos ocorreu da seguinte forma primeiro organizaramse os números complexos depois os números reais os racionais os inteiros e finalmente os números naturais Não faremos aqui um estudo sistemático dos conjuntos numéricos em questão mas abordaremos esses conjuntos sem nos preocuparmos em descrever a evolução do conceito de número inteiro nem tentar explicar sua natureza Como em tudo há sempre um ponto de partida admitiremos o conjunto dos números naturais N 1 2 3 o número 0 zero e o conjunto dos números inteiros Z 3 2 1 0 1 2 3 juntamente com as operações de adição e multiplicação em Z Esta abordagem será essencialmente axiomática ou seja a partir de uma lista razoavelmente pequena de propriedades básicas dos números inteiros obteremos as demais propriedades Da mesma forma abordaremos o conjunto dos números racionais e reais Um estudo mais aprofundado da construção dos conjuntos numéricos é feito por Milies 2003 Ele faz um tratamento completo da construção do conjunto dos números reais iniciando com a construção dos números naturais a partir de três axiomas conhecidos como axiomas de Peano O conjunto dos inteiros é construído a partir dos naturais por meio de uma relação de equivalência definida nesse conjunto Da mesma forma o conjunto dos racionais é construído definindo uma relação de equivalência em Z Em seguida fazse a construção dos números reais Os números inteiros ou apenas inteiros são 3 2 1 0 1 2 3 cujo conjunto denotase por Z O conjunto dos inteiros Z munido das operações de adição denotada por e multiplicação por possui propriedades fundamentais estas enumeramos a seguir Para isto sejam a b e c números inteiros quaisquer então são válidas as seguintes propriedades a a b b a ab Z b ab ba ab Z c a b c a b c abc Z d abc abc abc Z e a 0 a a Z f a1 a a Z g a a 0 a Z h a a1 a Z i ab c ab ac abc Z j 0a 0 a Z k ab 0 a 0 ou b 0 Também existe uma relação de ordem entre os inteiros representada por que lemos menor do que e esta relação satisfaz l a0 a0 ou 0 a m a b e b c a c n a b a c b c c ℤ o a b e 0 c ac bc p a b e c 0 bc ac Outra notação para relação de ordem menor do que é b a que lemos b maior do que a e que significa a b Também apontaremos de modo abreviado a b para indicar que a b ou a b Em símbolos a b a b ou a b Com o mesmo significado escrevese b a que lemos b maior ou igual do que a Outra notação usada a b c e significa que a b e b c Dessas 16 propriedades podemos deduzir outras propriedades no conjunto dos inteiros Mas antes disso queremos destacar alguns subconjuntos dos inteiros e estes recebem um nome particular i O conjunto dos inteiros não nulos denotado por ℤ este pode ser definido pela propriedade ℤ x ℤ x 0 ii O conjunto dos inteiros não negativos denotado por ℤ este pode ser definido pela propriedade ℤ x ℤ x 0 iii O conjunto dos inteiros não positivos denotado por ℤ este pode ser definido pela propriedade ℤ x ℤ x 0 iv O conjunto dos inteiros positivos denotado por ℤ este pode ser definido pela propriedade ℤ x ℤ x 0 v O conjunto dos inteiros negativos denotado por ℤ este pode ser definido pela propriedade ℤ x ℤ x 0 Os inteiros positivos também são denominados números naturais ou seja ℤ ℕ Em alguns livros você pode encontrar que 0 ℕ e em outros que 0 ℕ Esta é uma questão de abordagem e comodidade dependendo dos objetivos de cada texto Boa Ordenação e Princípio da Indução O Princípio da Boa Ordem será abordado neste texto como axioma e o usaremos para demonstrar o princípio de indução O Princípio da Boa Ordem permite alinhar sequencialmente os elementos do conjunto partindo do menor elemento que está no conjunto o seu elemento mínimo O Princípio de Indução é um método de demonstração que pode ser usado para validar determinada afirmação para todos os números inteiros não negativos ou em subconjuntos dos números naturais Neste método primeiro provamos que a afirmação é verdadeira para um valor inicial n₀ ℤ e em seguida supondo que o processo anterior é válido devemos provar o processo posterior Com isso todo o processo é validado a partir do valor inicial n₀ O teorema do Princípio de Indução Finita que apresentaremos nesta aula é um dos axiomas de Peano apesar de ser um axioma em alguns contextos no nosso caso este será um resultado que validaremos usando o Princípio da Boa Ordem Definição 115 seja A ℤ e A Dizemos que A é limitado inferiormente se existir algum inteiro k ℤ tal que para todo x A temos k x Quando k A dizemos que k é o elemento mínimo de A e denotamos por k min A Exemplos 1 A x 3t t ℤ e x 34 Temos que min A 33 2 B x ℤ x 83 Temos que min B 82 3 C x 3t t ℤ e x 33 Temos que min C 36 4 D x 3t 1 t ℤ e x 34 Temos que min D 37 5 E x 3t 2 t ℤ e x 74 Temos que min E 77 6 min ℕ 1 Princípio da Boa Ordem todo subconjunto não vazio dos inteiros não negativos possui elemento mínimo Em símbolos A ℤ e A a A a x x A Proposição 19 seja A ℤ e A Se existe a A tal que a min A então a é único Demonstração sejam a b A tal que a min A e b min A a min A a A e a x x A 1 b min A b A e b x x A 2 Fazendo x b em 1 obtemos em particular a b e fazendo x a em 2 temos b a Logo a b Definição 116 chamase módulo de um número inteiro e se denota por a o seguinte número inteiro não negativo a a se a 0 a se a 0 Ou seja a max a a em que max a a denota o maior número dentre os inteiros a a Exemplo 110 6 max 6 6 6 Dado a ℤ seguem direto da definição os seguintes resultados 1 a 0 a 0 2 a 0 3 a a 4 a a 5 a a 6 a a² 7 Dado um inteiro r 0 a r r a r Proposição 110 dados ab ℤ com b 0 então existe s ℤ tal que a s b Demonstração se a b tome s 1 e observe que a sb Suponha a b Como b 0 então dividiremos a demonstração em dois casos Caso I se b 0 então b 1 Agora multiplicaremos a inequação b 1 por a temos ab a1 a Dessa forma ab a Somando b em ab a temos ab b a b ou seja a 1b a b Como b 0 então a b a Dessa forma a 1b a Tome s a 1 ℤ e observe que sb a Caso II se b 0 então b 0 Como b 0 então segue do Caso I que existe n ℤ tal que nb a ou seja nb a Tome s n a 1 ℤ Portanto segue o resultado Proposição 111 Todo conjunto não vazio de inteiros limitado inferiormente tem elemento mínimo Demonstração seja A ℤ tal que A um conjunto limitado inferiormente Como A é limitado inferiormente então existe k ℤ tal que k x x A Se k A então k minA e a proposição está demonstrada Se k A então considere S x k x A e observe x k 0 para todo x A Logo S ℤ e S pois A Dessa forma segue do Princípio da Boa Ordem que existe s S tal que s minS Como s S então s a k tal que a A Se a não for o elemento mínimo de A então existem b a tal que b minA assim b k a k s e b k S absurdo pois s minS Proposição 112 dados ab ℤ e b 0 então a é múltiplo de b ou se encontra entre dois múltiplos consecutivos Ou seja para cada par de inteiros ab existe um inteiro q tal que qb a q 1b se b 0 e qb a q 1b se b 0 Não faremos a demonstração da Proposição 112 mas ela nos auxiliará na demonstração da seguinte proposição Proposição 113 dados ab ℤ com b 0 existe um único par de inteiros q e r tais que a bq r com 0 r b Demonstração aplicaremos a Proposição 112 para o par de inteiros a e b Assim existe q ℤ tal que qb a q 1b Logo 0 a qb e a qb b Dessa forma considerando r a qb vemos que a bq r com 0 r b Resta provar a unicidade Para isso suponha que exista outro par de inteiros q1 e r1 satisfazendo a bq1 r1 com 0 r1 b Como bq1 r1 a bq r então qb r q1b r1 0 ou seja bq q1 r1 r Desta forma temos que b q q1 r1 r o que implica que r1 r é múltiplo de b Mas 0 r1 r b implica que r1 r0 e consequentemente r r1 Sendo r r1 temos que q q1 UNIDADE 1 34 Um dos pensamentos mais antigos em Matemática é a ideia de número não podemos todavia dizer com precisão quando este conceito se estabeleceu An tes da formalização do conceito de número racional o número fracionário era associado a uma parte de um objeto que podia ser fragmentado em diversas partes e o número à soma das diversas partes desse objeto Consta que no An tigo Egito as partes estavam limitadas a partes de algum comprimento objeto ou quantidade desse modo elas ou seja as frações tinham o numerador 1 Os egíp cios consideravam uma parte do todo e a partir daí obtinham outras frações por meia dessas Estas frações eram as mais usadas para decompor em frações mais gerais na literatura elas são chamadas de frações unitárias Para os egípcios era necessário expressar determinada fração como soma de partes ou de frações unitárias por exemplo a fração 2 5 era decomposta por 1 3 mais 1 15 Muitos fatos sobre o conceito de frações aparecem no Papiro de Rhind tam bém conhecido como Papiro Ahmes Um deles é o conceito de fração dado como razão entre dois comprimentos Durante a construção das pirâmides os egípcios perceberam que era fundamental manter a inclinação constante das faces de uma dada pirâmide que estava em construção Eles se preocupavam com o afas tamento horizontal de uma reta oblíqua em relação ao eixo vertical para cada 5 NÚMEROS RACIONAIS variação de unidade de altura essa inclinação chamada seqt pelos egípcios era dada como o quociente do afastamento horizontal pelo vertical Neste contexto a unidade de medidas era o cúbito quando medido em mãos um sétimo do cúbito Observe que naturalmente para estabelecer razões desse tipo era necessário fazer comparações por exemplo o comprimento horizontal e a unidade de medida cúbito o comprimento vertical e a unidade de medida Quando trabalhamos com conceito de fração comparamos sempre grandezas de mesmas espécies e daí é necessário escolher uma unidade padrão de mesma espécie Quando dizemos que a grandeza é de mesma espécie comparamos comprimento com comprimento área com área volume com volume peso com peso etc Ainda hoje comparamos grandezas pois estamos sempre medindo algo Mas o que é medir Nada mais é do que fazer uma comparação Quando meço o comprimento da altura de um prédio por exemplo 30 metros na verdade comparo o comprimento desse prédio com um padrão de comprimento chamado Metro então o meu prédio é 30 vezes maior do que o comprimento de algo chamado metro Já que medir é comparar quando quisermos medir algo podemos comparar com qualquer coisa Assim posso dizer que eu tenho uma altura de 11 palmos da minha mão direita Por exemplo podemos medir os segmentos AB e CD dados na figura logo a seguir usando como padrão de comprimento o segmento EF Para isso denotaremos respectivamente os comprimentos desses segmentos por AB CD e EF e observaremos que AB é 8EF e que CD é 5EF Usando a notação atual escrevemos ABCD 8EF5EF 85 Figura 1 Segmento comensurável 1Fonte os autores Definição 117 dados dois segmentos AB e CD cujos comprimentos são AB e CD respectivamente Dizemos que AB e CD são comensuráveis se existem inteiros positivos m e n e um segmento EF de comprimento EF tais que ABmEF e CDnEF ou seja ABCD mEFnEF mn No caso particular em que n1 temos que CDEF ABCD mEFEF m1 m Observe que podemos usar uma diversidade de outros segmentos de medida EF A representação fracionária de um número racional é dada por meio de dois inteiros m e n com n diferente de zero que é comum denotar por mn que pode ser interpretado como uma duas três quatro etc partes de um todo dividido em número de partes iguais Por exemplo o símbolo 23 é associado a duas partes de certo todo particionado em três partes iguais E 43 é um todo mais uma parte do todo dividido em três partes iguais Denotaremos o conjunto dos racionais por ℚ formado por todos os pares de inteiros mn da forma mn tal que n0 Iniciaremos com os racionais do tipo pq em que q1 Tais números racionais são identificados com o inteiro pp1 e com certo abuso de linguagem dizemos que ℤℚ Uma forma de representar geometricamente o conjunto dos racionais ℚ é construir uma reta numerada considerando o zero como origem e o número 1 em algum lugar dessa reta tome como unidade de medida a distância entre 0 e 1 que denotamos por u Nesta reta distinguimos dois sentidos de percurso o de 0 para 1 e o de 1 para 0 Para fazer distinção entre esses dois sentidos é usual denominar um deles de positivo de 0 para 1 e outro de negativo de 1 para 0 sendo que o número zero é marco inicial ou seja a origem A partir de 0 no sentido positivo marcamos o segmento unitário de comprimento u 0 cuja extremidade representa o número inteiro 1 Os números inteiros são colocados na reta da seguinte forma para cada n positivo a partir de zero marcamos um segmento de medida nu u u u no sentido positivo cuja extremidade representa n e marcamos um segmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representa n com isso para cada inteiro n existe um ponto dessa reta associado a ele Para representar um racional cujo denominador é b devemos dividir cada segmento unitário ou seja os segmentos contido na reta cujas extremidades são n e n 1 com n inteiro em b partes iguais Em particular se b3 representamos na reta todos os racionais cujo denominador é igual a 3 por exemplo 13 13 63 43 etc Fazendo esse procedimento para todo b 0 temos que para todo racional ab existe um ponto nessa reta que construímos associado a ele Além disso podemos obter uma classe de racionais associados a um mesmo ponto dessa reta esses números racionais são chamados equivalentes por exemplo 416 28 312 14 k4k em que k 0 Os racionais equivalentes podem ser escritos de maneiras diferentes entretanto representam a mesma parte de um todo Dados ab e cd dois números racionais ab cd ad bc O conjunto dos racionais satisfaz as seguintes propriedades para quaisquer abc ℚ temos i a b b a e ab ba ab ℚ ii a b c a b c e abc abc abc ℚ iii existe 0 01 tal que a 0 a a ℚ iv existe 1 11 tal que a1 1 a ℚ v dado x ℚ existe x ℚ tal que x x 0 vi dado x 0 x Q existe x1 1x Q tal que xx1 1 vii ab c ab ac a b c Q O conjunto dos racionais tem ordem total cujas operações definidas por adição e multiplicação são compatíveis com essa ordem Além disso a ordem de Q é uma extensão da ordem do conjunto dos números inteiros Em Z temos que a diferença entre dois inteiros consecutivos é sempre igual a 1 ou seja para todo n Z a distância entre n e n 1 é igual a 1 A ordem natural dos inteiros 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Usamos a seguinte notação para comparar dois números racionais x y x y x y ou x y Proposição 114 para cada racional mn existe k Z tal que k mn k 1 Demonstração aplicaremos a Proposição 113 para o par de inteiros m e n em que n 0 Sem perda de generalidade observe que podemos considerar n 0 pois se n 0 observemos que mn mn com n 0 Logo existem únicos q r Z tais que m nq r com 0 r n Temos que x mn q rn e 0 rn 1 Assim como n 0 então q x mn q rn q 1 Tomando k q e temos que k x k 1 e segue o resultado Dado um número racional qualquer ab podemos escolher um representante para ab de maneira que a e b são primos entre si ou seja ambos não têm fator comum MDCa b 1 em que MDC denota o Máximo Divisor Comum O MDC entre dois inteiros a e b é o maior divisor comum entre a e b Segue da definição que MDCb a MDCa b MDCa b MDCa b MDCa b Um número racional da forma ab tal que a e b primos entre si é chamado de fração irredutível Proposição 115 Q pq p q Z q 0 e MDCp q 1 Demonstração é claro que pq p q Z q 0 e MDCp q 1 Q Reciprocamente considere x pq Q Se d MDCp q 1 então x pq p q Z q 0 e MDCp q 1 Caso contrário d 1 além disso existem k s Z tais que p d k e q d s Dessa forma temos que x pq d kd s ks e o MDCk s 1 Portanto x pq p q Z q 0 e MDCp q 1 Os números racionais costumam ser representados por ab em que a b Z com b 0 e esta representação é única se tomarmos as frações na forma irredutível e com denominadores positivos A conversão de uma fração ordinária em decimal se faz por meio da divisão do numerador conforme ilustrado no exemplo a seguir Exemplo 112 seja ab 4120 Ao escrevermos a representação decimal de ab temos que 4120 205 O próximo resultado nos fornece condições necessárias e suficientes para que um número racional tenha uma representação decimal finita Proposição 116 um número racional na forma irredutível ab possui uma representação decimal finita se e somente se os fatores primos de b forem 2 ou 5 Definição 118 uma dízima periódica é uma representação decimal da forma m a1a2 an em que m é um inteiro não negativo e ai são dígitos ai 0123 9 para i 1 2 3 na qual após um número finito de dígitos aparece um bloco de dígitos chamado período com a propriedade que a partir desse a lista de dígitos é constituída exclusivamente pela repetição sucessiva deste bloco Denotamos m a1a2 an m a1a2 as as1 an em que as1 an é o bloco de dígitos que se repete Por exemplo 234512121212 234512 Exemplo 113 04444 é um dízima periódica de período 4 e 023574747474 é uma dízima periódica de período 74 Fazendo x 0444 temos que 10x 4444 ou seja 10x 4 0444 Dessa forma 10x 4 x isto é 9x 4 e daí concluímos que x 49 e uma representação decimal para 49 é 0444 Para facilitar a compreensão dos demais conceitos que serão aqui abordados é necessário distinguir quanto ao número de elementos três tipos de conjuntos os finitos os infinitos e os enumeráveis Dado k ℕ vamos definir o conjunto Ik formado pelos naturais de 1 até k isto é Ik 123 k Definição 119 um conjunto X é finito quando é vazio ou existe k ℕ e f Ik X tal que f é bijeção Denotamos por x1 f1 x2 f2 x3 f3xn fn e X x1x2 xn A bijeção f chamase uma contagem dos elementos de X e o número k chamase número de elementos ou número cardinal do conjunto X e denotamos por k cardX Exemplo 114 para cada n ℕ o conjunto In é finito e possui n elementos De fato tome a função f In In tal que fx x Ou seja f é a função identidade no conjunto In Exemplo 115 sejam X Y conjuntos quaisquer e f X Y bijeção Então X é finito Y é finito Além disso cardX cardY De fato X é finito se e somente se existir k ℕ e uma função g Ik X tal que g é bijeção Temos que F Ik Y definida Fx f gx Como f e g são bijeções então F é bijeção e segue que Y é finito e cardY k Reciprocamente suponha que Y é finito Então existe k ℕ e uma bijeção h Ik Y Sendo f X Y bijeção existe f1 Y X bijeção Desse modo considere G f1 h Ik X e G é bijeção Portanto X é finito e cardY cardX Teorema 12 seja A In Se existir uma bijeção f In A então A In Demonstração faremos a prova por indução sobre n Para n 1 temos que A I1 1 Então A ou A I1 Como f I1 A é bijeção temos que A Logo A I1 Por hipótese de indução se B In e existe uma bijeção f In B então B In Queremos provar que se existem certo A In1 e uma bijeção f In1 A então A In1 De fato seja A In1 e suponha que existe uma bijeção f In1 A Considere a A tal que a fn1 Se A a In então h In A a definida por hx fx é uma bijeção Assim por hipótese de indução temos que A a In Observe que In1 A a a A Caso A a In então existe x A a tal que x In Logo x n1 Como f é bijeção e n1 A a então existe p In1 tal que fp n1 Agora definiremos a seguinte bijeção g In1 A tal que gx fx se x p e x n1 gp a e gn1 n1 A restrição de g a In é uma bijeção g In In A n1 e evidentemente A n1 In Então segue da hipótese de indução que A n1 In Logo In1 In n1 A n1 n1 A Corolário 11 seja X um conjunto tal que f Im X e g In X são bijeções Então m n Demonstração suponha por absurdo que m n e sem perda de generalidade podemos assumir que n m Como n m temos que In Im Dessa forma existe g1 X In e g1 é bijeção Além disso g1 f Im In é bijeção e isso contradiz o Teorema 12 Portanto m n camente suponha que Y é finito Então existe k ℕ e uma bijeção h Ik Y Sendo f X Y bijeção existe f1 Y X bijeção Desse modo considere G f1 h Ik X e G é bijeção Portanto X é finito e cardY cardX Teorema 12 seja A In Se existir uma bijeção f In A então A In Demonstração faremos a prova por indução sobre n Para n1 temos que A I1 1 Então A ou A I1 Como f I1 A é bijeção temos que A Logo A I1 Por hipótese de indução se B In e existe uma bijeção f In B então B In Queremos provar que se existem certo A In1 e uma bijeção f In1 A então A In1 De fato seja A In1 e suponha que existe uma bijeção f In1 A Considere a A tal que a fn1 Se A a In então h In A a definida por hx fx é uma bijeção Assim por hipótese de indução temos que A a In Observe que In1 A a a A Caso A a In então existe x A a tal que x In Logo x n1 Como f é bijeção e n1 A a então existe p In1 tal que fp n1 Agora definiremos a seguinte bijeção g In1 A tal que gx fx se x p e x n1 gp a e gn1 n1 A restrição de g a In é uma bijeção g In In A n1 e evidentemente A n1 In Então segue da hipótese de indução que A n1 In Logo In1 In n1 A n1 n1 A Corolário 12 seja X um conjunto finito Se f X X é injetiva então f é sobrejetiva Dessa forma obtemos uma bijeção de A Iₙ para Iₙ Como os conjuntos são finitos temos que A Iₙ Observe que Iₙ A φ¹Y φIₙ φφ¹Y Y Como φIₙ X segue que X Y Proposição 117 se X é finito e X então a X X a é finito Demonstração de fato X finito implica que existe f Iₙ X bijetora Se n 1 então X a Suponha n 1 e seja a X Se fn a considere a aplicação t Iₙ₁ X a definida por tx fx e observe que t é bijeção Logo X a é finito Se fn a então existe p X tal que fn p e s Iₙ com fs a Dessa forma defina a bijeção g Iₙ X tal que gx fx se x n e x s gs p e gn a Agora considere a bijeção l Iₙ₁ X a definida por lx gx Assim novamente teremos que X a é finito Teorema 13 todo subconjunto de um conjunto finito é finito Demonstração provaremos que se X é finito e Y X então Y é finito A prova será feita por indução sobre a cardinalidade de X Se cardX n 1 então X x₁ e os subconjuntos de X são X portanto finitos Suponha que o resultado é válido para todo conjunto de cardinalidade n Seja X tal que cardX n 1 Queremos provar que dado Y X Y é finito Segue da definição que cardX n 1 então existe uma bijeção f Iₙ₁ X Se X Y não há nada para demonstrar Suponha que Y X e assim existe a X tal que a Y Dessa forma temos Y X a e cardX a n por hipótese de indução Y é finito Definição 120 um conjunto X ℕ é limitado se existe p ℕ tal que x p x X Corolário 14 seja X ℕ Então X é finito se e somente se X for limitado Demonstração suponha X finito e escreva X x₁ x₂ xₙ Tome p x₁ x₂ xₙ e observe que x p x X Logo X é limitado Reciprocamente suponha que X é limitado ou seja existe p ℕ tal que x p para todo x X Considere o conjunto Ip 1 2 3 p e observe que X Ip Como Ip é finito e X Ip segue que X é finito Definição 121 um conjunto X é infinito quando X não é finito ou seja X e seja qual for n ℕ não existe bijeção f Iₙ X Exemplo 116 o conjunto dos números naturais é infinito De fato seja qual for n ℕ n 1 e f Iₙ ℕ tome p f1 f2 fn Temos que p ℕ e p fIₙ Logo f não é sobrejetiva e portanto ℕ é infinito Teorema 14 seja X conjunto Se X é infinito então existe uma função injetiva f ℕ X Demonstração de fato como X podemos considerar x₁ X Faça f1 x₁ e P₁ X Considere P₂ X x₁ e observe P₂ pois X é infinito Dessa forma seja x₂ P₂ e faça f2 x₂ e P₃ X x₁ x₂ observe que P₃ Analogamente considere Pₙ X x₁ x₂ xₙ₁ e veja que Pₙ pois X é infinito Seja xₙ Pₙ e defina fn xₙ isto é f ℕ X n xₙ xₙ Pₙ Provemos que f é injetiva Para isso sejam m n ℕ tais que m n Como m n então m n ou m n Suponha sem perda de generalidade que m n Temos que xₘ Pₘ X x₁ x₂ xₘ₁ e xₙ Pₙ X x₁ x₂ xₘ₁ xₘ xₙ₁ Logo xₘ Pₙ e fm xₘ xₙ fn Portanto f é injetiva Os conjuntos infinitos podem ser caracterizados por meio do seguinte resultado Corolário 15 seja X um conjunto O conjunto X é infinito se e somente se existe Y X e φ X Y bijeção Demonstração suponha que X é infinito então existe uma função injetiva f ℕ X com fn xₙ e fℕ x₁ x₂ xₙ Defina g fℕ x₁ X por gxₙ gxₙ₁ n 1 2 3 Em seguida considere Y X x₁ e defina φ X Y por φx gx se x fℕ x₁ x caso contrário É claro que φ é sobrejetiva Mostremos a injetividade Sejam x y X com x y temos que mostrar que φx φy e para isso são três casos a considerar Caso 1 se x y fℕ x₁ então digamos que x xᵢ e y xⱼ com i j pois x y Logo φx φxᵢ gxᵢ xᵢ₁ xⱼ₁ gxⱼ φxⱼ φy ou seja φx φy Caso 2 se x y fℕ x₁ então φx x y φy ou seja φx φy Caso 3 se x fℕ x₁ e y fℕ x₁ então φx fℕ e φy fℕ Logo φx φy Assim em qualquer caso temos que φx φy o que mostra a injetividade Reciprocamente suponha por absurdo que X é finito Como existe Y X e φ X Y bijeção pelo Corolário 13 segue que X Y o que é um absurdo pois Y X Exemplo 117 seja ℙ z 2x x ℕ o conjunto dos pares Temos que ℙ é infinito De fato considerando Y y 4x x ℕ temos que Y ℙ Defina a bijeção φ ℙ Y por φz 2z Para todo y Y y 4x para algum x ℕ e φ2x 22x 4x y Portanto φ é sobrejetora Sejam z₁ z₂ ℙ tais que φz₁ φz₂ Logo 2z₁ 2z₂ e consequentemente z₁ z₂ e φ é injetiva Portanto ℙ é infinito Exemplo 118 seja X y 3ˣ x ℕ Temos que X é infinito Após definir os conjuntos finitos e infinitos estamos aptos a apresentar o conceito de conjuntos enumeráveis Definição 122 um conjunto X é enumerável quando X é finito ou existe uma bijeção f ℕ X Neste caso f denominase enumeração dos elementos de X Exemplo 119 o conjunto dos números naturais é enumerável pois definida por fn n é bijeção Exemplo 120 o conjunto dos números naturais pares X ℙ é enumerável pois ϕ ℕ ℙ definida por ϕx 2x é bijeção Exemplo 121 o conjunto dos números inteiros X ℤ é enumerável pois ϕ ℕ ℤ definida por ϕn n2 se n é par n12 se n é ímpar é bijeção De fato sejam x₁ x₂ ℕ tal que ϕx₁ ϕx₂ Temos que x₁ e x₂ tem a mesma paridade pois ϕx₁ ϕx₂ Logo x₁ e x₂ tem o mesmo final Se x₁ x₂ são pares então ϕx₁ ϕx₂ implica que x₁2 x₂2 ou seja x₁ x₂ Se x₁ x₂ são ímpares então ϕx₁ ϕx₂ implica que x₁ 12 x₂ 12 ou seja x₁ x₂ Em ambos os casos temos que ϕ é injetiva Para provar a sobrejetividade seja y ℤ Logo y 0 ou y 0 Se y 0 tome x 2y ℕ e observe que ϕx f2y 2y2 y Se y 0 tome x 2y 1 ℕ e veja que fx f2y1 2y1 12 y Portanto ϕ é sobrejetiva Portanto ϕ ℕ ℤ é bijeção de onde segue que ℤ é enumerável Teorema 15 todo subconjunto X ℕ é enumerável Demonstração de fato se X é finito por definição X é enumerável Dessa forma suporemos X infinito Logo X e X ℕ Segue do Princípio da Boa Ordem que existe x₁ X tal que x₁ minX Faça B₁ X Agora faça B₂ X x₁ e veja B₂ Então existe x₂ minB₂ Da mesma forma existe x₃ minB₃ em que B₃ X x₁ x₂ Definiremos por indução uma bijeção f ℕ X da seguinte forma x₁ f1 x₂ f2 x₃ f3 xₙ fn em que xₙ minBₙ e Bₙ X x₁ x₂ xₙ₁ Provemos que f é bijeção Sejam a b ℕ tais que a b Suponha sem perda de generalidade a b Temos que xₐ Bₐ X x₁ x₂ xₐ₁ e xb Bb X x₁ x₂ xₐ₁ xₐ xb₁ Logo xₐ xb e fa fb f é injetiva Temos que fℕ X X fℕ Suponha por absurdo que X fℕ ou seja existe x X fℕ Por construção B₁ B₂ B₃ Bₙ Como fn xₙ com xₙ Bₙ para todo n ℕ temos que x fn para todo n ℕ e assim concluímos que fℕ é limitado o que é uma contradição pois f ℕ fℕ é bijetiva e ℕ é infinito o que implica que fℕ é infinito Portanto fℕ X e f é sobrejetiva Como f ℕ X é bijeção temos que X é enumerável como queríamos demonstrar Perceba que o corolário anterior nos garante que todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável De fato quando X Y e Y é enumerável concluímos que X é enumerável pois a função inclusão i X Y é sempre injetiva Dessa forma segue do Corolário 16 o resultado Corolário 17 se f X Y é sobrejetiva e X é enumerável então Y é enumerável Demonstração com efeito como f X Y é sobrejetiva então para cada y Y existe x X tal que y fx Dessa forma para cada y Y escolheremos um único x X tal que y fx e definiremos g Y X com gy x se fx y Observe que f gy fgy fx y Temos que g é injetiva pois se para quaisquer y₁ y₂ Y tal que gy₁ gy₂ temos que fgy₁ fgy₂ Logo y₁ y₂ Como g Y X é injetiva e X é enumerável segue do Corolário 16 que Y é enumerável Exemplo 124 seja n N Temos que cardIn cardN De fato é claro que existe f In N injetiva basta considerar a função inclusão Além disso para qualquer que seja φ φ In N esta função não pode ser sobrejetiva Para ver isso tome p φ1 φ2 φn Veja que p N e p φIn Logo φ não é sobrejetiva Portanto cardIn cardN explorando Ideias Depois dos Elementos de Euclides 300 a C poucos matemáticos influenciaram tanto o modo de apresentar a Matemática quanto Georg Cantor 18451918 Cantor nasceu na Rússia e cresceu na Alemanha Ao estudar séries trigonométricas deparouse com certas questões da Análise Matemática que o levaram a criar a Teoria dos Conjuntos e toda a teoria sobre infinito Na época de Cantor os matemáticos conservadores desprezavam os estudos sobre os números irracionais o conceito de infinito e tudo o que se relacionava a eles Em particular Leopold Kronecker 18231891 professor de Cantor liderava uma campanha contra esses estudos e contra seu próprio exaluno O conflito acadêmico fez com que a entrada de Cantor em círculos de mais altos níveis da Matemática fosse barrada Pessoalmente Cantor acreditava que existiam vários níveis de infinito O mais alto deles o Absoluto e inatingível era o próprio Deus Mais informações sobre este matemático você encontrará acessando os links a seguir httpsimpabrnoticiasgeorgcantor18451918paidoinfinitoedoicm httpswwwsomatematicacombrbiografcantorphp Fonte os autores UNICESUMAR 51 CONSIDERAÇÕES FINAIS Nesta unidade introduzimos de maneira breve a linguagem de conjuntos e funções utilizada sistematicamente nas unidades seguintes Como dito no início desta unidade o uso de notações para expressar ideias e conceitos é uma característica da Matemática por isso émuito importante para o seu desenvolvimento matemático aprimorar a capacidade de compreender e se expressar usando esses símbolos Uma vez que essa é a linguagem natural da Matemática no ambiente acadêmico imaginamos que você já tenha certa familiaridade com este tipo de escrita Também abordamos os conjuntos finitos infinitos e enumeráveis apresen tando critérios que permitem classificar conjuntos quanto a estes conceitos pois saber distinguir conjuntos quanto ao número de elementos é essencial para a compreensão de outros conceitos abordados no decorrer deste livro No estudo de conjuntos finitos infinitos e enumeráveis é essencial o concei to de função o objeto matemático básico do Cálculo Diferencial e Integral Neste sentido tratamos de funções de maneira breve destacando apenas as propriedades básicas utilizadas no decorrer deste texto tais como injetivi dade bijetividade sobrejetividade composição de funções e função inversa Apresentamos o conjunto dos números inteiros e dos racionais descre vemos alguns resultados e enfatizamos suas nomenclaturas e representações Tratamos também do Princípio da Boa Ordem e do Princípio de Indução Finita O Princípio da Boa Ordem foi apresentado como axioma e utilizado para demonstrar o Princípio de Indução Este é um método de demonstra ção que pode ser usado para validar determinada afirmação para todos os números inteiros não negativos ou em subconjuntos dos números naturais Embora tenhamos explorado poucas propriedades dos conjuntos numéricos deixamos a sugestão para que você pesquise mais sobre eles Este é um tema muito amplo e pode ser um bom assunto para projetos acadêmicos ou tra balhos de conclusão de curso Esta unidade foi elaborada com o intuito de facilitar sua compreensão a respeito dos demais conceitos que apresentaremos a partir de agora Espera mos que os assuntos nesta primeira unidade possam auxiliálo no decorrer do livro E sempre que for necessário não hesite em retomar algum tópico que aqui tratamos na prática 1 Prove que se X e Y são conjuntos quaisquer então X Y X X Y Y X Y X Y 2 Prove que se X e Y são conjuntos quaisquer então X X Y Y X Y 3 Em relação ao conteúdo estudado neste livro considere as seguintes afirmações I Considere os conjuntos A a 6t t Z e B b 3t t Z Temos que A B II Sejam f X Y e g Y Z funções Se g ο f é bijeção então f e g são bijetores III Para todo x Q temos que x2 0 IV Sejam ab Z tais que ab 0 Se a b então 1a 1b É correto o que se diz em a I apenas b I e II apenas c I III e IV apenas d II III e IV apenas e I II III e IV na prática 4 Com base no conteúdo estudado neste livro prove por indução a 112 123 1n1n n1n para todo n 1 b 10n 1 é divisível por 9 para todo n N 5 Com base no conteúdo estudado neste livro prove as afirmações a seguir a Sejam X e Y conjuntos finitos disjuntos Então cardX Y cardX cardY b Sejam X e Y conjuntos finitos tais que Y X e X é finito Então cardX Y cardX cardY c Sejam X e Y conjuntos finitos Então cardX Y cardX cardY cardX Y 54 aprimorese FANTASIA MATEMÁTICA Uma maneira ilustrativa de representar o problema do infinito na Matemática pode ser apresentada com a charada do Hotel Infinito ou Grande Hotel Georg Cantor Nesta charada imagine que alguém chega à recepção de um hotel e solicite uma vaga O gerente prontamente diz que não há mais quartos disponíveis pois ape sar de existirem infinitos quartos todos estão ocupados Existe no entanto uma maneira de obter uma vaga no hotel Uma das alternativas pensadas pelo gerente do hotel para solucionar o problema foi a seguinte deslocar o hóspede do primei ro quarto para o segundo o hóspede do segundo quarto por sua vez deveria ser deslocado para o terceiro Naturalmente o do terceiro quarto seria deslocado para o quarto de número 4 e assim sucessivamente infinitas vezes Desta forma ne nhum hóspede ficaria sem quarto pois existem infinitos deles e o problema estaria resolvido A seguir descrevemos uma das formas como a narrativa desta charada é apre sentada O Grande Hotel Georg Cantor tinha uma infinidade de quartos numerados con secutivamente um para cada número natural Todos eram igualmente confortáveis Em um fim de semana prolongado o hotel estava com seus quartos todos ocupa dos quando chega um viajante A recepcionista vai logo dizendo Sinto muito mas não há vagas 55 aprimorese Ouvindo isto o gerente interveio Podemos abrigar o cavalheiro sim senhora E ordena Transfira o hóspede do quarto 1 para o quarto 2 passe o do quarto 2 para o quarto 3 e assim por diante Quem estiver no quarton mude para o quarto n 1 Isto manterá todos alojados e deixará disponível o quarto 1 para o recémchegado Logo depois chegou um ônibus com 30 passageiros todos querendo hospeda gem A recepcionista tendo aprendido a lição removeu o hóspede do quarto n para o quarto n 30 e acolheu assim todos os passageiros do ônibus Mas ficou sem saber o que fazer quando horas depois chegou um trem com uma infinidade de passageiros Desesperada apelou para o gerente que prontamente resolveu o problema dizendo Passe cada hóspede do quarto n para o quarto 2n Isto deixará vago todos os quartos de número ímpar nestes colocaremos os novos hóspedes Pensando melhor mude quem está no quarto n para o quarto 3n Os novos hóspedes ponhaos nos quartos de número 3 n 2 Deixaremos vagos os quartos de número3 n 1 Assim sobrarão ainda infinitos quartos vazios e eu poderei ter sossego por algum tempo Fonte adaptado de Lima et al 2016 56 eu recomendo Apologia da História ou Ofício do Historiador Autor Marc Léopold Benjamin Bloch Editora Zahar Sinopse Bloch escreveu as ideias deste livro enquanto era pri sioneiro de guerra Mais tarde foi fuzilado pelos nazistas Não pôde concluir o último dos cinco capítulos que compõem esta obra mas nem por isso ele perdeu seu valor em mostrar o ver dadeiro trabalho de um historiador que legitima a História como ciência e define métodos objetivos e práticas Nesta obra o autor defende a chamada História Problema na qual se produz uma historiografia analítica e problematizadora ao invés de um conto a partir de uma visão positivista do autor Com isso defende a história como uma ciência que busca um diálogo entre todas as áreas mostrando que estas não são estanques e independentes umas das outras livro 57 eu recomendo Enigma Ano 2001 Sinopse em março de 1943 a equipe de elite dos decodificadores da Inglaterra tem uma responsabilidade monumental decifrar o Enigma um código ultrasseguro utilizado pelos nazistas para en viar mensagens aos seus submarinos O desafio fica ainda maior quando se sabe que uma grande esquadra de navios mercantis está prestes a cruzar o Atlântico e cerca de dez mil homens corre rão perigo caso a localização dos submarinos alemães não seja logo descoberta o que apenas poderá ocorrer quando o Enigma for decifrado Para liderar este trabalho é chamado Tom Jericho Dougray Scott um gênio da matemática que consegue realizar tarefas consideradas impossíveis pelos especialistas Porém ao mesmo tempo em que Jericho se envolve cada vez mais com a decodificação do Enigma ele precisa atentarse à sua namorada Claire Saffron Burrows uma sedutora e misteriosa mulher que pode estar trabalhando como espiã para os alemães filme Um interessante documentário produzido pelo History Channel conta a história do número 1 Disponível no link a seguir httpswwwyoutubecomwatchv3rijdn6L9sQ conectese 2 NÚMEROS REAIS SEQUÊNCIAS E SÉRIES PROFESSORES Dra Denise Trevisoli Detsch Dra Irene Magalhães Craveiro Dra Lilian Akemi Kato Dr Rodrigo André Schulz Dra Simone Francisco Ruiz PLANO DE ESTUDO A seguir apresentamse as aulas que você estudará nesta unidade Números reais Sequências Séries OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Apresentar as propriedades do corpo ordenado completo dos números reais Compreender os con ceitos de sequências e de limite de uma sequência sequência limitada e ilimitada com as suas res pectivas propriedades Compreender a definição de série numérica e os conceitos de convergência e divergência INTRODUÇÃO Prezadoa alunoa uma sequência é um tipo especial de função cujo domínio é o conjunto dos números naturais o contradomínio é o conjunto dos números reais e a imagem é um subconjunto dos números reais Denotamos a sequência por x1 x2 xn cada número xn é chamado de um termo da sequência Os termos de uma sequência podem ser definidos segundo o valor do índice n ou de forma recorrente dependendo dos termos anteriores Os termos de uma progressão geométrica ou aritmética fornecem um exemplo de sequência Um aspecto importante das sequências é o conceito de convergência isto é se os termos da sequência se aproximam ou não de algum número real à medida que aumentamos o valor de seu índice Isto definiremos de forma precisa nesta unidade Um segundo conceito que trabalharemos aqui é o conceito das séries numéricas pois são de grande importância na Matemática uma vez que possibilitam modelar matematicamente alguns processos discretos e infinitos De forma bem superficial podemos dizer que uma série deve fornecernos a soma dos infinitos termos de uma sequência A ideia do cálculo dessa soma consiste em construir uma nova sequência somando um termo de cada vez e verificar se esta nova sequência converge ou não Antes da fundamentação do estudo de séries o cálculo de uma soma com infinitas parcelas intrigava os matemáticos pois conduzia a situações paradoxais Um deles é o paradoxo de Zenão de Eleia caracterizado pelo fato de não poder executar um número infinito de passos em um tempo finito Quando se descobriu que séries infinitas convergem para valores finitos o paradoxo perdeu a força uma vez que não é mais necessário um tempo infinito para executar uma soma de infinitas parcelas INTRODUÇÃO Nesta unidade apresentaremos portanto o conjunto dos núme ros reais explorando a sua representação geométrica e as diversas propriedades referentes a esse conjunto extensões das propriedades dos números racionais que admitiremos como axiomas Em seguida definiremos alguns subconjuntos especiais da reta chamados intervalos e exploraremos os conceitos de ínfimo e su premo de um subconjunto o que permitirá validar a inexistência de números racionais cujo quadrado vale 2 Na sequência abordaremos as definições de sequências e séries de números reais acrescentando suas respectivas propriedades por exemplo os critérios de convergência de tais sequências e séries Além disso abordaremos exemplos de alguns números decimais que po dem ser representados por meio de somas infinitas AULA 1 NÚMEROS REAIS Agora que conhecemos o contexto dos números racionais queremos convidáloa a continuar em nossa jornada de estudos por isso propomos a seguinte reflexão dado um ponto da reta é possível encontrar um número racional ab associado a este ponto Esta questão no século V a C representou uma derrota para os pitagóricos A origem histórica da necessidade da construção dos números racionais relacionase à dificuldade de natureza geométrica como obter a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos têm uma unidade de medida O Teorema de Pitágoras nos garante que h2 c12 c22 sendo h a hipotenusa c1 e c2 os catetos de um triângulo retângulo Em particular se c1 c2 1 então h2 2e neste caso denotamos a medida desse segmento por h 2 número esse desconhecido pelos pitagóricos Por mais que existam infinitos racionais entre quaisquer dois outros racionais ou seja dados a b racionais com a b sempre existe c a b2 com a c b esses números não cobrem a reta numérica toda ou seja nem todo ponto P da reta corresponde a um racional O número h corresponde ao ponto P da reta obtido por meio do traço de uma circunferência centrada em 0 de raio igual à hipotenusa h que está na interseção da reta com essa circunferência Este fato colabora para a existência de um número que não é racional ou seja esse número não pode ser escrito como uma fração ab Neste contexto começamos a apresentar o seguinte resultado UNIDADE 2 62 Proposição 21 2 não é racional Demonstração faremos a prova por redução ao absurdo Ou seja suporemos que h 2 é um número racional Podemos supor que h a b com a e b primos entre si Então 2 2 2 2 h a b Logo 2 2 2 b a e a2 é par Temos que a é par pois caso contrário se a é ímpar então a2 é ímpar e isto contradiz o fato de a2 ser par Como a é par então existe k tal que a k 2 Logo a k 2 4 2 Uma vez que 2 2 2 b a e a k 2 4 2 temos b k 2 2 2 e concluímos que b2 é par e com isso b é par Portanto a e b são divisíveis por dois o que é um absurdo pois a e b são primos entre si Dessa forma h não é racional Chamamos de número irracional a abcissa x de um ponto P da reta caso x não seja um número racional A Proposição 21 garante a existência de pontos na reta cuja abcissa não pertence ao conjunto dos números racionais Dessa forma consideraremos um conjunto numérico mais amplo que o conjunto dos racionais e cujos elementos estejam em correspondência bijetora com os pontos da reta A esse conjunto denotamos por e denominamos conjuntos dos números reais Um elemento xé se e só se x é racional ou x é irracional Observe que os números naturais e os números inteiros são casos particulares de números racionais de forma que quando dizemos que um número é racional fica aberta a possibilidade de ele ser um número inteiro positivo ou negativo ou simplesmente um número natural Não nos aprofundaremos na construção dos números reais pois não faz parte do objetivo deste curso Para os interessados em estudar a construção dos conjuntos numéricos sugerimos que veja a obra de Milies 2003 O que faremos para o con junto de números reais é uma apresentação de várias propriedades a respeito desse conjunto e estes fatos serão admitidos como axiomas ou seja não serão demonstra dos A partir desses fatos deduziremos diversas consequências demonstradas como teoremas Esses axiomas apresentam o conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo HEFEZ 2010 Mas se considerarmos os reais apenas como a união dos racionais com os irracionais deixamos de apresentar fatos importantes por exemplo de que as propriedades dos reais são consequências diretas do fato de este conjunto ser um corpo ordenado e completo O matemático alemão Richard Dedekind 18311916 definiu a noção de corpo numérico em seu livro Über die Theorieder Ganzen Zahlen algebraischen trazendo grandes contribuições para o campo da álgebra especialmente para a teoria dos números algébricos nos fundamentos dos números reais e para a teoria de anéis em sua obra mais famosa intitulada Corte de Dedekind Desta forma é natural que a primeira seção desta unidade seja dedicada a apresentar o conceito de corpo ordenado Corpo ordenado Definição 21 um corpo é um conjunto não vazio C munido de duas operações denominadas adição e multiplicação que satisfazem os axiomas de corpo A M e D que são A Axiomas da adição A1 Se x y C então a soma x y C A2 Associatividade quaisquer que sejam x y z C temse que x y z x y z A3 Comutatividade quaisquer que sejam x y C temse que x y y x A4 Elemento neutro existe 0 C chamado zero ou elemento neutro tal que x 0 x A5 Simétrico todo elemento x C possui um simétrico x C tal que x x 0 M Axiomas da multiplicação M1 Se x y C então o produto x y C M2 Associatividade quaisquer que sejam x y z C temse que x y z x y z M3 Comutatividade quaisquer que sejam x y C temse que x y y x M4 Elemento neutro existe 1 C denominado um tal que 1 0 e satisfaz x 1 x M5 Inverso todo elemento x C com x 0 possui um inverso x1 C tal que x x1 1 D Axioma da distributividade D1 Quaisquer que sejam xyz C temse que xyzxyxz Uma vez que todo elemento de um corpo possui um simétrico dados xy C podemos definir a operação de subtração xyxy Observe que xy denominada diferença entre x e y nada mais é do que xy De maneira análoga se y0 então existe o simétrico y1 de y e podemos definir a multiplicação xy1 que pode ser indicada também por xy e denominada o quociente de x por y Temos definida assim a operação xyxy para todo x e y0 em C que é denominada divisão Exemplo 21 o conjunto dos números racionais é um corpo Observe que os axiomas de corpo são satisfeitos em Q com as operações usuais de adição e multiplicação Proposição 22 os axiomas da adição implicam as seguintes propriedades i Se xyxz então yz ii Se xyx então y0 iii Se xy0 então yx iv xx A propriedade i é chamada de lei de cancelamento Decorre da propriedade ii que o 0 zero é único Demonstração i Se xyxz então segue dos axiomas da adição que y0y xxyxxyxxzxxz0zz ii Segue de i basta tomar z0 iii Segue de i basta tomar zx iv Segue de iii que se xy0 então xx Proposição 23 os axiomas da multiplicação implicam as seguintes propriedades i Se x0 e xyxz então yz ii Se x0 e xyx então y1 iii Se x0 e xy1 então y1x iv Se x0 então x11x A propriedade i é chamada de lei do corte Decorre da propriedade ii que o 1 um é único A demonstração destas propriedades é similar à demonstração das propriedades que seguem dos axiomas da adição Deixamos esta tarefa para você Proposição 24 os axiomas de corpo implicam as seguintes propriedades Sejam xyz C i 0x0 ii Se x0 e y0 então xy0 iii xyxyxy iv xyxy Demonstração i Como 0x0x00x0x temos pela Proposição 11 I que 0x0 ii Assuma x0 e y0 com xy0 segue de I que 1 1y1xxy 1y1x00 Temos assim uma contradição Portanto xy0 iii Provaremos a primeira igualdade e deixaremos a segunda para você Como xyxyxxy0y0 segue da Proposição 11 item III que xyxy iv Utilizando III e a Proposição 11 item IV temos que xyxyxyxy Agora que já apresentamos o conceito de corpo podemos esclarecer o que é um corpo ordenado Definição 22 um corpo ordenado é um corpo C que contém um subconjunto P denominando o conjunto dos elementos positivos de C satisfazendo às seguintes propriedades i A soma e o produto de elementos positivos são positivos Se xy P então xy P e xy P ii Dado x C então uma e somente uma das três possibilidades ocorre ou x P ou x P ou x0 Indicamos por P o conjunto dos elementos x tais que x P Os elementos de P chamamse negativos Observe que CP P 0 e os conjuntos P P e 0 são dois a dois disjuntos pensando juntos Vimos no Exemplo 21 que o conjunto dos números racionais é um corpo Mais que isso podemos afirmar que Q é um corpo ordenado Neste caso qual seria o conjunto P descrito na Definição 22 Números reais conectese Veja no vídeo como podemos mostrar que o conjunto dos números Racionais é enumerável O conjunto dos números reais denotado por R é um corpo munido das operações de adição denotada por e multiplicação por Desse modo satisfaz todas as propriedades da Definição 21 Mais especificamente são válidas Propriedade 21 a b R e ab R a b R Propriedade 22 a b b a e ab ba a b R Propriedade 23 a b c a b c e abc abc a b c R Propriedade 24 existe 0 tal que a 0 a a R Propriedade 25 existe 1 tal que a 1 1 a a a R Propriedade 26 dado x R existe x R tal que x x 0 Propriedade 27 dado x 0 x R existe x¹ 1x R tal que xx¹ 1 Propriedade 28 ab c ab ac a b c R Mais que um corpo o conjunto dos números reais pode ser classificado como um corpo ordenado De fato considere o subconjunto próprio R R Claramente R satisfaz às seguintes propriedades i Dados x y R temse que x y R e x y R ou seja R é fechado em relação à adição e à multiplicação ii Dados x R ocorre exatamente um dos três casos ou x 0 ou x R ou x R sendo 0 o elemento neutro da adição Ou seja o subconjunto R satisfaz às condições descritas na Definição 22 o que mostra que R é um corpo ordenado Definição 23 sejam a e b elementos de um corpo ordenado C munido das operações adição e multiplicação e P C um subconjunto que satisfaz às propriedades da Definição 21 Dizemos que a é menor do que b e denotamos por a b quando b a P Além disso dizemos que a é maior do que b e denotamos por a b quando a b P As relações a b e a b são chamadas relações de ordem no corpo C A relação de ordem a b em um corpo possui algumas propriedades as quais estudaremos apenas no corpo dos reais Propriedade 29 dado a R então a 0 a 0 ou 0 a Propriedade 210 sejam a b R Se a b e b c então a c Propriedade 211 sejam a b R Se a b então a c b c c R Propriedade 212 sejam a b R Se a b e 0 c então ac bc Propriedade 213 sejam a b R Se a b e c 0 então bc ac Como supomos o conjunto dos números reais é representado por pontos de uma reta chamada de reta real então a relação x y isso significa que o ponto x está à esquerda de y Outra notação para a relação de ordem menor do que é b a que lemos b maior do que a e que significa a b Também apontaremos de modo abreviado a b para indicar que a b ou a b Em símbolos a b a b ou a b Com o mesmo significado escrevese b a que lemos b igual ou maior do que a Outra notação usada a b c e significa que a b e b c A Propriedade 29 permite definir os subconjuntos dos números reais R R R R R da mesma forma como definimos os subconjuntos dos números inteiros Segue da Propriedade 29 que dados quaisquer x y R temos que x y e y x se e só se x y Segue da Propriedade 28 que x0 0 para todo x R De fato x 0 x 0 0 x 0 x 0 somando x 0 em ambos lados desta igualdade temos x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Logo 0 0 x 0 ou seja 0 x 0 Exemplo 22 para todo x R vale que x² 0 De fato se x 0 então x² x x x 0 0 Se x 0 então x² x x x 0 0 Também na Propriedade 28 está a justificativa das regras de sinais ou seja para quaisquer x y R temos que x y x y x y e x y x y De fato x y x y x x y 0 y 0 e x y x y Da mesma forma verificase que x y x y Já para provar que x y x y basta observar que xy xy xy xy xy Exemplo 23 sejam x y R tais que 0 x y Então 1y 1x De fato observe que x yxy 1y 1x Sendo x y 0 e xy 0 segue o resultado Exemplo 24 sejam n N e x R com x 1 Então 1 xⁿ 1 nx De fato a prova será feita por indução sobre n É claro que para n 1 temos 1 x¹ 1 1 x Suponha que 1 xⁿ 1 nx para algum n 1 Como 1 xⁿ 1 nx e 1 x 0 então 1 xⁿ 1 x 1 nx1 x Dessa forma 1 xⁿ¹ 1 xⁿ 1 x 1 nx1 x 1 nx x nx² 1 n 1x nx² 1 n 1x provando que 1 xⁿ 1 nx n N O resultado dado no Exemplo 24 é chamado de Desigualdade de Bernoulli Intervalos abertos fechados supremo e ínfimo Dados dois elementos a e b da reta tal que a b temos que existem subconjuntos de R denominados intervalos cujos extremos são a e b Tais intervalos são definidos da seguinte forma a Intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto a b a b x R x a e x b x R a x b b Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto a b x R x a e x b x R a x b c Intervalo fechado à esquerda ou aberto à direita de extremos a e b é o conjunto a b a b x R x a e x b x R a x b d Intervalo fechado à direita ou aberto à esquerda de extremos a e b é o conjunto a b a b x R x a e x b x R a x b Os intervalos apresentados são limitados Veremos agora como definir os intervalos ilimitados a a a x R x a b a x R x a c a a x R x a d a a x R x a e R A representação gráfica de cada intervalo é dada da seguinte forma a b a b a b a b a b a b ab b b a a Tabela 2 Representação gráfica Fonte os autores Na Unidade 1 definimos o conceito de módulo no conjunto dos números inteiros Agora estenderemos este conceito para os números reais Definição 24 chamase módulo de um número real a e denotamos por a o seguinte número real não negativo a a se a 0 a se a 0 Ou seja a maxaa em que maxaa denota o maior número real entre aa Exemplo 2 2 Seguem direto da definição os seguintes resultados para todo a R temos i a0 a 0 ii a 0 iii aa iv a a v a a vi aa² vii Dado um número real r 0 a r r a r Os intervalos da reta de extremos x e y são segmentos de reta de extremos x e y Além disso xy é a distância do ponto x ao ponto y A próxima proposição caracteriza os elementos do intervalo aδaδ como os pontos da reta cuja distância do ponto a é menor do que δ Proposição 25 sejam axδ R com δ 0 Então xaδ a δ x a δ Demonstração temos que xa max xaxa Dessa forma temos xaδ xa δ e xa δ ou seja xa δ e xa δ Somando a em ambos os lados temos que x δ a e δ a x ou seja δ a x δ a Portanto xaδ a δ x a δ Perceba que as ideias e propriedades apresentadas até agora sobre o conjunto dos números reais não permitem diferenciar R de Q ambos formam um corpo ordenado O próximo passo é descrever uma propriedade em R que não é satisfeita em Q Essa propriedade caracteriza R como um corpo ordenado completo Para isso introduziremos alguns conceitos e resultados Definição 25 um conjunto X R é dito limitado superiormente quando existe b R tal que x b para todo x X O número real b é denominado de cota superior de X Da mesma forma dizemos que X R é limitado inferiormente quando existe a R tal que a x para todo x X O número real a é denominado cota inferior de X Quando X é limitado superiormente e inferiormente então dizemos apenas que X é limitado Exemplo 25 o subconjunto dos números reais formado por todos os números x tal que x² 2 é limitado De fato se X x R x² 2 então X é limitado inferiormente por 2 e superiormente por 2 Definição 26 seja X R tal que X e X é limitado superiormente Definimos o supremo de X e denotamos por supX a menor das cotas superiores de X Em outras palavras b R é o supremo de X se i b for cota superior de X ii Se c R for cota superior de X então b c Exemplo 26 seja X o conjunto formado pelos números racionais maiores que 0 e menores que 1 ou seja X x Q 0 x 1 Temos que todo racional maior ou igual a 1 é cota superior de X e supX 1 Exemplo 27 seja X Q definido por X x Q 0 x 1 Então supX 1 Os Exemplos 26 e 27 nos mostram que o supremo de um conjunto quando existe pode pertencer ou não ao conjunto Definição 27 seja X R tal que X e X é limitado inferiormente Definimos o ínfimo de X e denotamos por inf X a maior das cotas inferiores de X em outras palavras a R é o ínfimo de X se i a for cota inferior de X ii Se c R for uma cota inferior de X então c a A propriedade II da Definição 26 é equivalente a se c b então existe x X tal que c x Assim como a propriedade II da Definição 27 é equivalente a se a c então existe x X tal que x c Exemplo 28 determine o supremo do conjunto X 0 12 23 34 nn1 Temos que para todo n N nn1 1 Afirmamos que supX 1 De fato a propriedade I segue do fato que nn1 1 Considere c 1 Então devemos mostrar que existe n₀ tal que c n₀n₀ 1 Para isso basta tomar n₀ c1c e observar que c n₀n₀ 1 1 o que prova a propriedade II Logo supX 1 Exemplo 29 o conjunto dos números naturais N R é limitado inferiormente Não é entretanto limitado superiormente e consequentemente não é limitado De fato N é limitado inferiormente por 0 Verificaremos que N não é limitado superiormente Suponhamos por absurdo que N seja limitado superiormente e seja c supN Como c supN então c1 não é cota superior de N e c1 c Dessa forma existe n N tal que c1 n ou seja c n 1 e n 1 N o que é uma contradição com c supN Portanto N não é limitado Exemplo 210 seja X 1n n ℕ Prove que inf X 0 É claro que 0 é cota inferior de X Verificaremos que 0 é a maior das cotas inferiores Seja c ℝ como ℕ ℝ não é limitado superiormente então existe n ℕ tal que n 1c ou seja 1n c Dessa forma para todo c 0 temos que c não é cota inferior de X Portanto inf X 0 Dados os números reais a e b tais que 0 a b segue do Exemplo 210 que existe n ℕ tal que n a b De fato como ab 0 e inf 1n n ℕ 0 então existe n ℕ tal que 1n ab ou seja n a b Nesta unidade definimos o conceito matemático de ínfimo de um subconjunto de números reais limitado inferiormente Dessa forma se X 12ⁿ n ℕ existe o ínfimo de X Se a resposta é afirmativa qual seria esse valor Como você usaria a Desigualdade de Bernoulli e o fato de que o conjunto dos números naturais ℕ ℝ não é limitado superiormente para validar sua conjectura Exemplo 211 sejam a b ℝ tais que a b Então existe r ℚ tal que a r b De fato considere c b a 0 e suponha b 0 Como o ℕ não é limitado superiormente e 1c 2b 0 são números reais então existem s₁ s₂ ℕ tais que 1c s₁ e 2b s₂ Faça m maxs₁ s₂ e observe que m 1c e m 2b Temos que 0 1m b2 b então existe k ℕ tal que k 1m b ou seja k mb Como mb 2 então k 2 Segue do Princípio da Boa Ordem que existe h ℕ tal que h mink ℕ k 1m b Então h 1m b e h 1 1m b ou seja h 1m b hm Agora verificaremos que h 1m a De fato suponha por absurdo que h 1m a Dessa forma c b a b h 1m b hm 1m b b 1m 1m e isto contradiz o fato que m 1c Portanto h 1m a Tome r h 1m ℚ e observe que a r b Se b 0 temos que a 0 Observe que b a e a 0 então segue do caso anterior que existe q ℚ tal que b q a ou seja r q é racional e a r b Quando dizemos que o corpo ordenado ℝ é completo significa que ℝ satisfaz a seguinte propriedade todo conjunto X ℝ não vazio e limitado inferiormente possui ínfimo ou seja existe b ℝ tal que b inf X Observe que se nos limitamos a ℚ então não podemos garantir a validade desta propriedade Este fato relacionase à inexistência de raízes quadradas de alguns números racionais O exemplo a seguir deixará esta afirmação mais clara Exemplo 212 seja X x ℚ x 0 e x² 2 Vamos verificar que X ℚ não tem ínfimo em ℚ Note que X visto como subconjunto de ℝ possui ínfimo pois é limitado inferiormente pelo 0 Entretanto temos que infX ℚ De fato se b infX e b² 2 então b ℚ Mostraremos que as desigualdades b² 2 e b² 2 não ocorrem e portanto a única possibilidade é b² 2 Se b² 2 então 2 b² 0 Para todo n ℕ tal que n 2b 12 b² ou seja 2 b² 2b 1n temos que b 1n² b² 2bn 1n² b² 2bn 1n b² 2b 1n b² 2 b² 2 Dessa forma b 1n é cota inferior de X para todo n 2b 12 b² e b não pode ser o ínfimo de X Agora suponha b² 2 ou seja b² 2 0 Para todo n ℕ tal que n 2bb² 2 temos que b 1n² b² 2bn 1n² b² 2bn b² 2 b² 2 Como b 1n b para todo n ℕ então existe r ℚ tal que b 1n r b Logo assim 2 r² b² Logo temos uma contradição do fato de que b infX Teorema 21 considere os intervalos I₁ I₂ Iₙ Iₙ₁ tais que Iₙ aₙ bₙ com aₙ bₙ ℝ e aₙ bₙ para todo n ℕ Então existe c ℝ tal que c Iₙ para todo n ℕ Demonstração de fato como I₁ I₂ Iₙ Iₙ₁ então a₁ a₂ aₙ bₙ b₂ b₁ Considere o conjunto A aᵢ i ℕ Temos que A é limitado superiormente por b₁ e A Então seja c ℝ tal que c sup A É claro que aₙ c para todo n ℕ Como cada bₙ é cota superior de A então c bₙ para todo n ℕ Logo c aₙ bₙ para todo n ℕ Exemplo 213 dado I a b ℝ existe c d a b tal que x₀ c d De fato se x₀ a b então tome c 3a b4 e d a 3b4 Caso x₀ a b então tome c 3a x₀4 e d a 3x₀4 Teorema 22 o conjunto dos números reais não é enumerável Demonstração seja uma função f N R e faça fn xn n 12 Observe que X fN x1 x2 xn Provaremos que f não é sobrejetiva ou seja existe c R tal que c fN Considere agora um intervalo I1 a1 b1 com a1 b1 e x1 I1 Segue do Exemplo 213 que existe I2 I1 tal que x2 I2 Da mesma forma existe I3 I2 tal que x3 I3 e assim indutivamente obtemos I1 I2 In In1 com xi Ii Segue do Teorema 21 que existe c R tal que c In para todo n N Logo c fN e f não é sobrejetiva fx y1y1 y1y y1y1 y1y y1y 1yy1y y o que prova a sobrejetividade de f Portanto f é bijeção AULA 2 SEQUÊNCIAS y y1 y2 y3 y4 2 4 6 8 10 Exemplo 217 considere a sequência z N R definida por zn 2n 1 Assim z z1 z2 z3 z4 1 3 5 7 9 Exemplo 218 seja a sequência w N R definida por wn 1n Temos que w w1 w2 w3 w4 1 12 13 14 Exemplo 219 seja a sequência c N R definida por cn k em que k é uma constante real Assim c c1 c2 c3 c4 k k k k A sequência c é chamada sequência constante Definição 29 seja xn uma sequência de números reais Dizemos que xn é limitada se existe k R k 0 tal que xn k para todo n N Quando uma sequência xn não é limitada dizemos que xn é ilimitada Uma sequência dizse limitada superiormente quando existe b R tal que xn b para todo n N Dizemos que xn é limitada inferiormente se existe c R tal que c xn para todo n N Claramente uma xn sequência é limitada se e somente se xn é limitada inferiormente e superiormente Exemplo 220 são sequências limitadas i r r2 r4 r8 com r 0 ii 1 12 13 14 iii k k k k com k R iv 1 1 1 1 Exemplo 221 são sequências ilimitadas i 1 2 3 4 5 ii 2 4 6 8 10 iii 1 3 5 7 9 iv 1 4 9 16 25 Definição 210 Dizemos que uma sequência xn é crescente se x1 x2 xn e decrescente se x1 x2 x3 xn Dizemos que uma sequência xn é não decrescente se x1 x2 xn e não crescente se x1 x2 x3 xn Uma sequência que satisfaz qualquer uma dessas propriedades é chamada de sequência monótona Exemplo 222 I 1 2 3 4 5 é monótona crescente II 1 1 1 1 1 não é monótona III 1 12 13 14 15 é monótona decrescente IV 1 1 2 2 3 3 4 4 é monótona não decrescente V 1 1 12 12 13 13 14 14 é monótona não crescente Quando eliminamos um ou vários termos de dada sequência obtemos uma nova sequência que chamamos de subsequência da sequência Por exemplo a sequência dos números pares positivos é uma subsequência da sequência dos números naturais Também são subsequência dos naturais a sequência dos números ímpares positivos a sequência dos números primos a sequência dos múltiplos positivos de 3 Definição 211 uma subsequência x de uma sequência x xn é uma restrição de x em um subconjunto infinito N n1 n2 n3 nk N Denotamos x xnkkN ou x n1 x n2 x n3 x nk ou ainda x xnnN Exemplo 223 descrevemos as seguintes subsequências de an 1n 1 1n I a2n 1 12n II a4n 1 14n III a2n1 1 12n1 IV a4n1 1 14n1 Limite de uma sequência O interesse principal desta seção é o estudo de uma classe de sequências que são chamadas sequências convergentes Em termos intuitivos uma sequência an é convergente se à medida que o índice n cresce o elemento an tornase cada vez mais próximo de um certo número L chamado limite da sequência an A proximidade entre an e L é medida pelo valor absoluto da diferença entre esses dois números isto é an L Dessa forma dizer que an se torna arbitrariamente próximo de L significa dizer que an L tornase inferior a qualquer número positivo ϵ por menor que seja desde que façamos o índice n suficientemente grande Ou seja Definição 212 dizemos que uma sequência xn converge para o número real L se para cada ϵ 0 existe n0 N tal que xn L ϵ sempre que n n0 Dizemos que L é limite da sequência xn e denotamos por lim n xn L ou lim xn L ou ainda xn L Simbolicamente lim xn L ϵ 0 n0 N n n0 xn L ϵ Quando a sequência xn não é convergente dizemos que xn é divergente 110 aprimorese do Cálculo Diferencial e Integral no seu tratamento do cálculo de áreas por meio da uniformização do método de exaustão fazia uso da noção de somas de infinitési mos ou seja somas de séries Jean Le Rond dAlembert 17171783 foi o único matemático da sua época que reconheceu a centralidade do limite no Cálculo e afirmou que a definição apropria da do conceito de derivada requer primeiramente a compreensão de limite para o qual propôs uma definição Em 1812 Carl Friedrich Gauss 17771855 deu o primeiro tratamento rigoroso para a noção de convergência de sequências e séries ao realizar o estudo da série hipergeométrica embora não utilizasse a terminologia de limite Finalmente AugustinLouis Cauchy 17891857 um dos grandes matemáticos franceses da primeira metade do século XIX formulou as noções modernas de limi te continuidade e convergência de séries obtendo resultados que marcaram uma nova era para a Análise Matemática No século XIX por obra de Abel Weierstrass Riemann e outros desenvolveuse a teoria das funções analíticas que faz uso de séries polinomiais convergentes para representar a importante classe das funções analíticas Fonte adaptado de Muniz Neto 2015 111 eu recomendo Uma breve história do infinito dos paradoxos de Zenão ao universo quântico Autor Richard Morris Editora Zahar Sinopse há aproximadamente 2500 anos ao propor seu famo so paradoxo envolvendo Aquiles e a Tartaruga o filósofo Zenão de Eleia tocou no cerne de um dos mais duradouros e enigmáti cos problemas da ciência como definir o infinito Desde então nossos maiores filóso fos naturais lógicos matemáticos e cientistas de Aristóteles a Stephen Hawking são aturdidos e provocados pelo tema O aclamado autor de livros de divulgação científica Richard Morris nos guia em uma fascinante e divertida viagem por meio da história esclarecendo os esforços feitos até hoje para se compreender o conceito de infinito Reconstituindo essa busca mostranos como cada novo confronto com a infinidade provocou o avanço da física e da matemática Nesse trajeto encontramos personali dades como Galileu e Newton Tycho Brahe e Giordano Bruno além dos gigantes da física moderna Planck Einstein Bohr Feynman Hawking e muitos outros livro O homem que viu o infinito Ano 2016 Sinopse uma verdadeira história de amizade que mudou a mate mática para sempre Em 1913 Ramanujan um gênio da matemática autodidata da Índia viaja para a o Colégio Trinity na Universidade de Cambridge aproximandose de seu mentor o excêntrico profes sor GH Hardy e luta para mostrar ao mundo o brilhantismo de sua mente filme Paradoxos de Zenão de Eleia Este vídeo apresenta uma sátira usando um dos famosos paradoxos de Zenão de Eleia que viveu aproximadamente entre os anos de 480 aC e 430 aC Você verá acessando o link a seguir como a ideia de limite de sequência perturbou os filósofos antigos httpswwwyoutubecomwatchvfDNAPkckL3g conectese 3 LIMITE E CONTINUIDADE PROFESSORES Dra Denise Trevisoli Detsch Dra Irene Magalhães Craveiro Dra Lilian Akemi Kato Dr Rodrigo André Schulz Dra Simone Francisco Ruiz PLANO DE ESTUDO A seguir apresentamse as aulas que você estudará nesta unidade Noções topológicas Limites de funções Funções contínuas Funções contínuas em intervalos compactos OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Distinguir os conceitos de ponto aderente e ponto de acumulação Propiciar por meio de exemplos o entendimento das definições de conjuntos abertos fechados e compactos Entender o conceito de limite e acontinuidade de funções reais de uma variável Caracterizar o conceito de limite e acontinui dade de funções reais de uma variável por meio de sequências de números reais Identificar pontos de descontinuidade ou de continuidade de uma função real de uma variável Analisar o comportamento de funções de uma função real de uma variável definidas em conjuntos compactos INTRODUÇÃO Prezadoa alunoa os primórdios da ideia de limite aparecem de forma intuiti va no cálculo de áreas e volumes por estudiosos da Grécia Antiga Arquimedes e Eudoxo não formularam explicitamente o conceito de limite mas estes conceitos estavam implícitos no método da exaustão usado por eles Séculos depois Ca valieri usa novamente esta ideia cujo nome dado foi métodos dos indivisíveis Historicamente o conceito de limite é posterior ao conceito de derivada A origem da derivada encontrase em problemas de tangência ou seja problemas que consistiam em determinar a reta tangente em um ponto P da curva Eucli des havia anteriormente estudado problemas desta natureza quando constatou que a reta tangente em um ponto P de um círculo tem a propriedade de ser perpendicular ao raio desse círculo As ideias de Euclides registradas nos Itáli co inspiraram diversos matemáticos no século XVII como Descartes Fermat e Leibniz que contribuíram para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial Os trabalhos de Leibniz por sua vez nessa linha de estudo foram fortemente criticados pelos matemáticos pois apresentavam falhas na estrutura lógica de suas demonstrações Esse impasse entretanto foi resolvido com a formalização da teoria de limites a partir do século XIX O objetivo principal desta unidade portanto é estudar o comportamento de uma classe de funções Estas denominamos funções reais cujos domínio e a imagem são o conjunto dos números reais ou subconjuntos destes Para entender como essas funções se comportam em uma vizinhança de um pon to x0 tal que x0 não precisa ser um elemento do domínio dessas funções vamos definir o conceito de limite que nos informa como se comportam as imagens dos valores de x no domínio das funções quando esses valores se aproximam arbitrariamente de x0 Iniciamos a unidade com a apresentação de conjuntos abertos fechados e vizinhança de um ponto para então definirmos pontos de acumulação e conjuntos compactos Em seguida abordaremos as definições de limite de funções reais de uma variável e em seguida listaremos e provaremos diversas propriedades inerentes a este conceito Um dos principais resultados que esta beleceremos permite caracterizar O limite por meio de sequência convergen tes que vimos na Unidade 2 Este resultado será de grande importância para validar exemplos de inexistência de limite de funções em determinado ponto O próximo passo será definir função contínua em um ponto x0 por meio do conceito de limite enumerar e provar algumas propriedades UNIDADE 3 114 1 NOÇÕES TOPOLÓGICAS Nesta aula abordaremos algumas noções topológicas referentes a subconjuntos de com objetivo de dar suporte para desenvolver os conceitos de limite e con tinuidade A linguagem que adotaremos é a geométrica usaremos a palavra ponto para indicar o número real x e reta para indicar o conjunto dos números reais Conjuntos abertos e conjuntos fechados A motivação para os estudos de conjuntos abertos e fechados é bem exemplifi cado por Lima2004b p 162163 seja a um número real maior que 2 Então para todo x sufi cientemente próximo de a ainda se tem x 2 Isto é se deslocarmos a um pouquinho para a esquerda ou evidentemente para a direita obteremos ainda um número maior do que 2 Já o mesmo não ocorre quando tomamos um número racional r e o olhamos como número racional Deslocandoo um pouco para qualquer dos lados podemos UNICESUMAR 143 Nesta aula enunciaremos e demonstraremos o Teorema de Weierstrass Para co meçar provaremos que toda função contínua transforma um conjunto compacto em outro conjunto compacto Teorema 316 seja f X uma função contínua com X com pacto Então f X é compacto O Teorema do Valor Intermediário O Teorema do Valor Intermediário tem importantes aplicações tanto de natureza teórica como prática Além disso tem uma visualização geométrica muito evidente Em linguagem corrente ele afirma que o gráfico de uma função contínua definida em um intervalo ao passar de um lado a outro do eixo x necessariamente tem que cortar este eixo Até o final do século XVIII esse resultado foi aceito como evidente sem que ninguém pensasse em demonstrálo uma atitude muito de acordo com o espírito da época Foi Bolzano o primeiro matemático a fazer uma tentativa séria de demonstrar esse teorema de maneira puramen te analítica em um trabalho de 1817 trabalho este que mais tarde seria visto como um dos marcos principais do início do rigor na análise das primeiras décadas do século XIX Fonte Ávila 2006 explorando Ideias 4 FUNÇÕES CONTÍNUAS EM CONJUNTOS COMPACTOS UNIDADE 3 146 CONSIDERAÇÕES FINAIS Nesta unidade você pôde aprofundar seus conhecimentos sobre o conceito de limite de funções reais de uma variável a partir daqueles já aprendidos no Cálculo Diferencial e Integral I O conceito de limite dentro da Análise Matemática extrapola sua apli cação na caracterização de funções contínuas por exemplo adentrando em outros campos da Matemática Pura com aplicações em diversas áreas do conhecimento em especial na Física por meio das noções de convergência e divergência A noção intuitiva do limite de funções data do século XVIII e tem como base a noção de que o valor de uma função f em determinado valor x ou seja f x tende para um número real L quando x se aproxima de um valor a Ou ainda isso significa dizer que quanto mais x se aproxima de a no domínio o valor f x se aproxima de L no contradomínio Por isso a importância dos conceitos sobre proximidade vistos nas unidades anteriores Nesse contexto apresentamos o conceito de limite inicialmente por meio da Definição 38 seguida de diversos exemplos por meio dos quais você pôde compreender como essa definição se aplica em diversos limites de funções já conhecidos do Cálculo I Na sequência o Teorema 36 apresenta outra forma de concebermos esse limite recorrendo aos conceitos de limite de sequências de números reais estudados na Unidade 3 Essa formulação torna mais fáceis algumas demonstrações das propriedades de limite da existência e da unicidade do limite de determinada função bem como verificar se uma função é contínua em certo ponto do seu domínio Desse modo pudemos finalmente explorar o conceito de continuida de juntamente com as suas propriedades observando que a continuidade é um fenômeno local Além disso enunciamos e demostramos o Teorema do Valor Intermediário cuja interpretação geométrica é bastante conhecida do Cálculo I com várias aplicações 148 aprimorese UM POUCO DE HISTÓRIA A primeira vez em que se tem notícia do aparecimento da ideia de limite foi por volta de 450 aC com os paradoxos de Zenão de Eleia Em seguida foi Eudoxo de Cnido século IV aC e posteriormente Arquimedes de Siracusa 287212 aC que utilizaram o cha mado método de exaustão que para calcular a área ou o volume de uma região nela inscreviam uma sequência infinita de figuras de áreas ou volumes conhecidos e tal que a soma das áreas ou dos volumes dessas figuras tendiam à área ou volume da região É essa noção de tender que está por trás do conceito de limite No século XVII vários matemáticos desenvolveram métodos algébricos para encon trar retas tangentes a determinadas curvas Em cada um desses métodos o conceito de limite era utilizado sem ser formulado explicitamente Isaac Newton 16411727 em Principia Mathematica foi o primeiro a reconhecer em certo sentido a necessidade do limite No início do Livro I do Principia Mathematica ele tenta dar uma formulação precisa para o conceito de limite Por outro lado Gottfried Wilhelm Leibniz 16461716 que juntamente com Newton é considerado um dos criadores do Cálculo Diferencial e Integral no seu tratamento do cálculo de áreas por meio da uniformização do método de exaustão fazia uso da noção de somas de infinitésimos ou seja somas de séries Jean le Rond dAlembert 17171783 foi o único matemático da sua época que re conheceu a centralidade do limite no Cálculo e afirmou que a definição apropriada do conceito de derivada requer primeiramente a compreensão de limite para o qual pro pôs uma definição Em 1812 Carl Friedrich Gauss 17771855 deu o primeiro tratamento rigoroso para a noção de convergência de sequências e séries ao realizar o estudo da série hipergeo métrica embora não utilizasse a terminologia de limite Finalmente AugustinLouis Cauchy 17891857 um dos grandes matemáticos fran ceses da primeira metade do século XIX formulou as noções modernas de limite con tinuidade e convergência de séries obtendo resultados que marcaram uma nova era para a Análise Matemática No século XIX por obra de Abel Weierstrass Riemann e ou tros foi desenvolvida a teoria das funções analíticas que faz uso de séries polinomiais convergentes para representar a importante classe das funções analíticas Fonte Muniz Neto 2015 149 eu recomendo A música dos números primos a história de um problema não resolvido na matemática Autor Marcus du Sautoy Editora Zahar Sinopse o mistério dos números primos passou a ser considerado o maior problema matemático de todos os tempos Em meados do século XIX o alemão Bernhard Riemann formulou uma hipótese é possível uma harmonia entre esses números primos à semelhança da harmonia musical A partir de então as mentes mais ambiciosas da matemática embarcaram nesta procura que parece não ter fim Atualmente estipulouse o prêmio de um milhão de dólares para quem provar a hipótese O relato deste verdadeiro Santo Graal da matemática feito pelo brilhante professor de Oxford Marcus du Sautoy também pesquisador da Royal Society aparece pontilhado de casos interessantes e retratos pitorescos dos personagens que desde Euclides envolveramse neste estranho mistério Esta obra recebeu em 2005 um prêmio da Academia de Ciência de Göttingen da Alemanha e um na Itália para o livro de matemática mais lido no país livro The Number 23 Ano 2007 Sinopse Walter Sparrow Jim Carrey é um simplório pai de família que ganhou um livro de presente de sua esposa Agatha Virginia Madsen Chamado O Número 23 o livro narra a obsessão de um homem com este número e como isto modifica sua vida Ao lêlo Walter reconhece várias de suas passagens como situações que ele próprio viveu Aos poucos ele nota a presença do número 23 em seu passado e também no presente tornandose cada vez mais paranoico O livro ter mina com uma morte brutal Walter desse modo teme tornarse um assassino filme No vídeo disponível por meio do link a seguir você poderá entender um pouco como os diversos matemáticos colaboraram para o desenvolvimento da matemática principal mente no que diz respeito aos conceitos do Cálculo Diferencial e Integral httpswwwyoutubecomwatchv7wX5mya9wWwt90s conectese 4 DERIVADAS PROFESSORES Dra Denise Trevisoli Detsch Dra Irene Magalhães Craveiro Dra Lilian Akemi Kato Dr Rodrigo André Schulz Dra Simone Francisco Ruiz PLANO DE ESTUDO A seguir apresentamse as aulas que você estudará nesta unidade Derivadas em um ponto Regras operacionais e Regra da Cadeia O teorema do Valor Médio de Lagrange Aplicações da derivada no estudo de funções OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Entender o conceito de derivada de uma função f em ponto x0 do seu domínio Caracterizar as fórmulas das funções elementares f que são deriváveis em seu domínio e compreender a derivada da composição de funções Apresentar o Teorema do Valor Médio e alguns resultados que são conse quências dele Estudar algumas aplicações da Derivada no estudo de funções INTRODUÇÃO Prezadoa acadêmicoa esta unidade é dedicada ao estudo da de rivada de funções reais de uma variável real O conceito de derivada está intimamente ligado à concepção de reta tangente de uma curva em um ponto Esta questão foi discutida pelos gregos na Antiguidade Clássica como o tratado das tangências conhecido nos dias de hoje como o Problema de Apolônio Arquimedes e Apolônio se apoiavam na geometria para determinar tangentes a parábolas e elipse O conceito de tangente a uma curva em um ponto desenvolveuse ao longo da história adquirindo uma forma mais consistente a partir do século XVIII Grandes matemáticos contribuíram com o desenvolvimento do Cál culo Diferencial em grande parte motivados em resolver problemas de Astronomia e Física Newton explorou o estudo do movimento de cor pos por meio de curvas Nesse sentido uma partícula em movimento descreve uma curva em um sistema de coordenadas A reta tangente fornece uma compreensão geométrica da derivada A origem da derivada encontrase nos problemas geométricos clássicos de tangência ou seja problemas cujo objetivo era determinar quando uma reta intercepta uma curva dada em um único ponto O objetivo principal desta unidade é estudar o comportamento de uma classe de funções que denominamos funções reais cujos domínio e imagem estão contidos no conjunto dos números reais Para entender como essa função se comporta na vizinhança de um ponto x0 que não precisa ser um elemento do domínio dessa função definiremos o con ceito de limite que nos informa como se comportam as imagens dos valores de x no domínio da função quando estes valores se aproximam arbitrariamente de x0 Nesta unidade abordaremos a definição de derivada juntamente com a sua intepretação geométrica como coeficiente angular da reta tangente a uma curva em ponto Em seguida validaremos suas princi pais propriedades UNIDADE 4 152 1 DERIVADA EM UM PONTO Definição e Propriedades Dos cursos de Cálculo sabemos que a derivada representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função A motivação geométrica de sua definição vem do fato de que a reta tangente ao gráfico de uma função f em um ponto a pode ser obtida como o limite das inclinações das retas secantes a f nos pontos x e a quando x se aproxima de a a x fx fa yfx secante tangente UNIDADE 4 166 y yx 3 x Algumas vezes você pode não prestar atenção se em determinado teorema ou definição escrevemos um intervalo aberto ou um intervalo fechado Pode parecer que um ponto a mais ou a menos em um intervalo não faça muita diferença Cui dado Sempre existe um motivo para enunciar um resultado de tal forma por isso é importante que você reflita sobre ele perguntandose o porquê daquela forma Vejamos a seguinte situação se f a b tem um extremo local em a ou b não quer dizer que a derivada se anule nestes extremos A função f x x para x 0 1 ilustra bem este fato pois tem um mínimo em x 0 e um máximo em x 1A derivada de f entretanto é igual a 1 para todo x 0 1 Note que isso não contraria o teorema anterior pois 0 e 1 não pertencem ao intervalo 0 1 Esta disciplina é repleta de detalhes como este Teorema 46 Teorema de Rolle seja f a b uma função contínua em todos os pontos de seu domínio Se f é derivável no intervalo aberto a b e f a f b 0 então existe c a b tal que f c 0 Demonstração como f é contínua no intervalo fechado a b pelo Teo rema de Weierstrass seu valor máximo M e seu valor mínimo m são atingidos em pontos de a b Isto é existem x0 e x1 pertencentes à a b tais que f x M 0 e f x m 1 UNICESUMAR 173 A seguir veremos alguns resultados referentes a intervalos de crescimento e decres cimento de funções pontos críticos máximos e mínimos envolvendo derivadas O primeiro resultado é uma aplicação do Teorema do Valor Médio e diz que os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função podem ser deter minados pelo sinal da derivada Antes deste resultado porém definiremos os conceitos de função crescente e decrescente Definição 43 considere uma função f I definida em um intervalo I Dizemos que I f é crescente em I se f x f x 1 2 sempre que x x I 1 2 e x x 1 2 II f é decrescente em I se f x f x 1 2 sempre que x x I 1 2 x x 1 2 III f é não decrescente em I se f x f x 1 2 sempre que x x I 1 2 e x x 1 2 IV f é não crescente em I se f x f x 1 2 sempre que x x I 1 2 e x x 1 2 Teorema 411 seja f a b uma função derivável I Se f x 0 para todo x a b então f é crescente II Se f x 0 para todo x a b então f é não decrescente III Se f x 0 para todo x a b então f é não crescente IV Se f x 0 para todo x a b então f é decrescente 4 APLICAÇÕES DA DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES UNIDADE 4 180 CONSIDERAÇÕES FINAIS A questão de determinar a reta tangente em um ponto da curva constituía em um dos muitos problemas que instigou os pensadores ao longo da história den tre estes destacamos o Problema de Apolônio citado nesta unidade Apolônio e Arquimedes se apoiavam na geometria para traçar retas tangentes a curvas particulares a saber hipérboles e elipses Estas ideias foram formalizadas a partir do século XVII com grandes contribuições de Newton e Leibniz Nesta unidade introduzimos o conceito de derivada de funções reais de uma variável Este conceito é essencial para o Cálculo Diferencial pois por meio dele po demos explorar diversas aplicações A mais simples que elegemos e desenvolvemos nesta unidade é a construção da tangente à curva em um ponto A construção da tangente à curva nos fornece uma compreensão geométrica para derivada entretanto outras diversas aplicações podem ser exploradas como velocidade aceleração densi dade crescimento populacional entre outros que deixamos como sugestão para você fazer uma pesquisa do assunto por exemplo em um trabalho de conclusão de curso Vimos na Unidade 3 o conceito de continuidade de dada função em um determinado ponto do seu domínio e que podemos definir o conceito de conti nuidade em um subconjunto do seu domínio As funções deriváveis representam uma classe de funções contínuas ou seja o Teorema 42 desta unidade nos per mite dizer que as funções deriváveis pertencem à classe das funções contínuas entretanto o exemplo 45 garantenos que nem toda função contínua é derivável Também na Unidade 3 vimos que calcular o limite de certas funções em um determinado ponto usando a definição não é a melhor técnica e dessa forma desenvolvemos propriedades para facilitar esse trabalho Da mesma forma cal cular a derivada de certas funções pela definição pode ser um processo difícil Desse modo enunciamos e provamos nesta unidade as regras operacionais das derivadas que permitem derivar uma grande variedade de funções por meio de funções mais simples que facilmente calculamos pela definição Outra propriedade que vimos e permite derivar funções utilizando funções mais simples é a Regra da Cadeia Tal propriedade estabelece uma fórmula para a derivada de funções compostas Vimos também resultados extremamente importantes tais como o Teorema do Valor Médio oTeorema de Rolle e o Teorema de Darboux Por fim apresentamos alguns resultados referentes a intervalos de crescimen to e decrescimento de funções pontos críticose máximos e mínimos envolvendo derivadasDestacaramse assim as aplicações de derivadas no estudo de funções 182 aprimorese A ARITMETIZAÇÃO DA ANÁLISE Logo no início do desenvolvimento racional da Matemática há cerca de 25 sé culos surgiu a crença atribuída a Pitágoras de que o número é a chave da explicação dos fenômenos Mas não tardaria muito para que essa crença fosse seriamente abalada com a primeira grande crise de fundamentos da Matemá tica Essa crise foi contornada por Eudoxo ligado à escola de Platão com sua teoria das proporções descrita no Livro V dos Elementos de Euclides Isso deslocou o eixo dos fundamentos da Aritmética para a Geometria E Platão exprime muito bem essa nova convicção quando ensina que Deus geometriza sempre e manda escrever no pórtico da Academia quem não for geômetra não entre Desde então e por muitos séculos a Matemática identificase com a Geometria tanto assim que até início do século XX os matemáticos eram conhecidos como geômetras Por isso mesmo os matemáticos do século XVII que tanto inovaram e de ram origem à nova disciplina do Cálculo foram todavia buscar inspiração em Euclides e Arquimedes cujas obras eram então estudadas e admiradas como modelo mais acabado de rigor E essa crença em uma possibilidade de funda mentação geométrica do Cálculo perdurou até o início do século XIX Os con ceitos de derivada e integral que tiveram origem nos conceitos de reta tangen 184 eu recomendo Um clássico da matemática Matemática Lúdica Autor Leon Battista Alberti Editora Zahar Sinopse escrita em meados do século XV esta obra ilustra uma convicção característica do Renascimento a ciência era capaz de ampliar o domínio do homem sobre a natureza Ao demonstrar a possibilidade de medir grandezas aparentemente inapreensí veis sem o auxílio de instrumentos e aparelhos lançando mão apenas de rela ções matemáticas o sábio e artista renascentista Leon Battista Alberti nos brinda com um singular testemunho de época que permite reconstituir o tipo de proble ma que um homem do século XV enfrentava em seu cotidiano livro A Teoria de Tudo Ano 2015 Sinopse baseado na história de Stephen Hawking o filme expõe como o astrofísico fez descobertas relevantes para o mundo da ciência inclusive relacionadas ao tempo Também retrata seu ro mance com Jane Wilde uma estudante de Cambridge que viria a se tornar sua esposa Aos 21 anos de idade Hawking descobriu que sofria de uma doença motora degenerativa mas isso não o impediu de se tornar um dos maiores cientistas da atualidade filme No vídeo disponível no link a seguir você entenderá um pouco mais sobre como o século XVII viu o nascimento de uma das mais importantes ferramentas mate máticas o cálculo Matemáticos modernos examinam a contribuição de seus três inventores Fermat Newton e Leibniz httpswwwyoutubecomwatchv6HI47rcOiA conectese 5 INTEGRAIS PLANO DE ESTUDO A seguir apresentamse as aulas que você estudará nesta unidade A origem das integrais A Inte gral de Riemann Condições suficientes para a integrabilidade Propriedades da integral Principais Teoremas do Cálculo OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Compreender o conceito de integral segundo Riemann Estudar condições para que uma função seja integrável Explorar propriedades de funções integráveis Estudar os principais Teoremas do Cálculo que norteiam o estudo de integrais PROFESSORES Dra Denise Trevisoli Detsch Dra Irene Magalhães Craveiro Dra Lilian Akemi Kato Dr Rodrigo André Schulz Dra Simone Francisco Ruiz UNICESUMAR 187 1 A ORIGEM DAS INTEGRAIS Historicamente o conceito de integrais começou a ser construído muito antes das derivadas As primeiras noções sobre o conceito de integral aparecem nos traba lhos de Arquimedes 287212 aC referentes a áreas de figuras planas enquanto o conceito de derivada foi desenvolvido apenas no século XVII Para calcular a área do círculo Arquimedes usou o método da exaustão Este método consistia em aproximar o círculo por polígonos regulares inscritos com um número cada vez maior de lados com a finalidade de que a área do círculo seja exaurida pelas áreas dos polígonos Observe que quanto maior o número de lados do polígono regular mais ele se aproxima do círculo em que está inscrito Figura 1 Aumento do número de lados do polígono regular inscrito em uma circunferência Fonte os autores UNIDADE 5 188 Note que a área do polígono inscrito pode ser calculada somando a área dos triângulos gerados a partir dos seus vértices e centro Dessa forma para o caso de um polígono regular de n lados inscrito em uma circun ferência de raio r teremos n triângulos de base b e altura h cuja soma das áreas resul ta na área Ap do polígono dada por A n bh nb h p 2 2 h nb r Figura 3 Arranjo dos triângulos inscritos em uma circunferência Fonte os autores Além disso observe que a soma das áreas destes n triângulos é igual a área do triângulo de base nb e altura h nb h Figura 4 Soma das áreas dos triângulos inscritos em uma circunferência Fonte os autores Como o perímetro nb do polígono se aproxima do comprimento c da circun ferência e a altura h se aproxima do raio r à medida que n aumenta a área do círculo coincide com a área do triângulo de base c e altura r Isto é a área Ac do círculo é dada por A cr c 2 b h r Figura 2 Polígono dividido em triângulos inscrito em uma circunferência Fonte os autores UNIDADE 5 212 CONSIDERAÇÕES FINAIS Apresentar a noção de área quando consideramos regiões como quadrados ou retângulos é uma tarefa simples Apresentar esse conceito no entanto quando consideramos regiões com lados curvos pode não ser tão trivial assim Se para definir uma tangente inicialmente tomamos aproximações das inclinações de retas secantes e posteriormente tomamos o limite destas aproximações para definir a área de uma região qualquer podemos raciocinar de maneira semelhante isto é aproximamos a região que se quer determinar a área por retângulos e em seguida tomamos o limite das áreas desses retângulos Essa foi a motivação apresentada nesta unidade antes de definir a Integral de Riemann Na sequência apresentamos detalhadamente conceitos primordiais tais como a noção de partição integral superior e integral inferior que são a base para definir rigorosamente a Integral de Riemann Com o objetivo de obter condições suficientes para que uma função li mitada f a b seja integrável introduzimos a noção de conjunto de medida nula e apresentamos os principais resultados que garantem a integra bilidade destas funções como é o caso do Teorema de Lebesgue Descrevemos também importantes propriedades que são satisfeitas por funções integráveis Por fim apresentamos o Teorema Fundamental do Cálculo resultado que estabelece uma relação entre a diferenciação e a integração A primeira sur giu do problema da reta tangente como discutido na Unidade 4 enquanto a segunda surgiu do problema da área como mencionado no início desta uni dade O Teorema Fundamental do Cálculo nos fornece de maneira precisa a relação inversa entre a derivada e a integral e a partir dele podese obter importantes resultados e aplicações das integrais Apesar do rigor matemático necessário para definir funções integráveis esperamos que ao final desta unidade você tenha compreendido este conceito de maneira clara e além disso tenha amadurecido o que já sabia do cálculo diferencial e integral sobre integrabilidade de funções 214 aprimorese AS ORIGENS DO CÁLCULO As ideias do Cálculo surgiram aos poucos nas obras de vários matemáticos do sé culo XVII Foram amadurecendo gradualmente adquirindo forma mais acabada nos trabalhos de Newton e Leibniz Esses dois sábios vieram mais tarde na segunda metade do século e realizaram independentemente ou do outro o trabalho de sis tematização das ideias e métodos centrados no chamado Teorema Fundamental do Cálculo Isaac Newton nasceu na aldeia de Woolsthorpe na Inglaterra Enquanto menino e jovem Newton não manifestou nada de excepcional em seus estudos Seu exa me de ingresso na Universidade de Cambridge até revelou deficiência em seus co nhecimentos de Geometria Ao terminar os estudos de graduação a Universidade fechouse devido a uma epidemia de peste que grassava por toda parte Assim Newton passou os anos de 1665 e 1666 recolhido em sua aldeia natal Mais tarde ele contaria que foram nesses dois anos biennium mirabilissimum que se sentiu no auge de sua criatividade tendose dedicado à Matemática e à Filosofia Natural Philosophy ou seja Ciências Naturais mais do que em qualquer outra época des de então Foi nesse período que Newton teve as grandes ideias que o celebrizaram em teoria da Gravitação em Ótica e no Cálculo Dotado de uma personalidade complexa Newton sempre relutou em publicar ou mesmo divulgar entre seus pares suas descobertas científicas aparentemente por receio de críticas Segundo Augustus De Morgan durante toda a sua vida ele foi dominado por um temor mórbido de oposição Em 1969 Newton foi designado professor em Cambridge na cátedra até então ocupada por seu mestre Isaac Bar row Seu livro Princípios Matemáticos de Filosofia Natural conhecido como Principia do título em latim certamente a maior obra científica de todos os tempos só foi publicada em 1687 por insistência de alguns amigos e colegas dentre eles o astrô nomo Edmond Halley que fez uma revisão completa da obra e pagou os custos de sua publicação 215 aprimorese O primeiro documento de Newton sobre o Cálculo é um manuscrito de 1666 que teve circulação muito limitada tano na época em que foi composto como após sua morte Só recentemente é que foi publicado como parte da edição das mais de 5000 páginas de manuscritos deixados por Newton Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu e criouse num ambiente acadêmico seu pai e seu avô materno eram professores universitários Desde cedo manifestou grande interesse pelo estudo Passava longas horas na biblioteca do pai e aos 12 anos de idade já lia correntemente o Latim e impressionava por sua vasta erudição Leibniz era dotado de extraordinária versatilidade Inicialmente estudou direito e humanidades doutorandose em Filosofia aos 21 anos Logo em seguida entrou para o serviço diplomático e em 1672 seguiu em missão para Paris onde viveu durante quatro anos até 1676 Foi esse um período muito fértil de sua vida intelec tual durante o qual se dedicou seriamente ao estudo da Matemática e concebeu sua própria versão do Cálculo Em 1776 retornou à Alemanha onde se tornou bi bliotecário e conselheiro real em Hanover Leibniz foi um gênio universal Sua obra toca praticamente todos os campos do conhecimento dominando a vida intelectual e exercendo influência marcante no pensamento filosófico de seu tempo e a partir de então Quando em Paris dedi couse à construção de uma máquina de calcular observando que não é digno e próprio que o intelecto se ocupe com trabalho de cálculo que pode ser efetuado por máquinas Durante toda sua vida se empenhou na procura de uma linguagem ou lógica simbólica que pudesse padronizar e mecanizar os cálculos numéricos e os processos do raciocínio suscetíveis de tal mecanização O que hoje em dia se passa na Informática com a utilização da lógica simbólica e linguagens formais é em certo sentido uma concretização das antevisões de Leibniz E foi a feliz escolha da notação apropriada o fator mais decisivo do sucesso de seu Cálculo sobre o de Newton Fonte Ávila 2006 216 eu recomendo O Cálculo Diferencial e Integral de Newton e Leibniz Autor Angélica Raiz Calábria e Sabrina Helena Bonfim Editora Livraria da Física Sinopse Isaac Newton 16431727 e Gottfried Wilhelm von Leib niz 16461716 ambos contemporâneos da última metade do sé culo XVII protagonizaram umas das invenções mais importantes da Matemática no século seguinte o Cálculo Diferencial e Inte gral Independentemente desenvolveram conceitos gerais para Newton a fluxão e fluente para Leibniz a diferencial e integral Estes conceitos foram relacionados com os dois problemas básicos do cálculo extrema e área Eles desenvolveram notações e algoritmos que permitiram o uso fácil desses conceitos além de en tender e aplicar a relação inversa dos dois conceitos usandoos na solução de muitos problemas difíceis e previamente insolúveis A proposta deste livro sob o ponto de vista da História da Matemática é apresentar uma versão da biografia destes matemáticos seguidas de uma discussão de seus trabalhos no tocante à invenção e ao desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral de Newton e Leibniz mesclada por atividades que levem o leitor a uma reflexão acerca do as sunto livro 217 eu recomendo Estrelas além do tempo Ano 2016 Sinopse Por meio dos cálculos e das ciências exatas um grupo de mulheres matemáticas negras desafiou o preconceito arraiga do na sociedade norteamericana na década de 60 O filme conta a história de Katherine Johnson Dorothy Vaughn e Mary Jackson que fizeram parte da Agência Espacial Norte Americana Nasa A função exercida por cada uma delas em um ambiente marcado pela segregação racial causa reflexão em uma sociedade que ainda sofre resquí cios de racismo e machismo filme No vídeo O mundo em movimento Cálculo Diferencial e Integral você poderá entender um pouco mais sobre questões que motivaram importantes matemáti cos a desenvolverem o que conhecemos hoje como Cálculo Diferencial e Integral httpswwwyoutubecomwatchvq9ywLsY36dg conectese 218 conclusão geral conclusão geral 218 conclusão geral conclusão geral Prezadoa acadêmicoa encerramos este livro referente à disciplina de Aná lise Matemática com a expectativa de que os conhecimentos aqui tratados possam contribuir para sua formação profissional Nesse contexto preocupamonos em apresentar os conceitos básicos da Análise Matemática Eles servirão como alicerce para os saberes profissionais que os futuros professores de Matemática trabalharão Esta disciplina constitui um dos pilares do curso de Matemática e objetiva apresentar aos futuros matemáticos os conceitos e métodos próprios da Mate mática Avançada além de outros estudos mais gerais No decorrer do livro as unidades apresentadas Noções Preliminares Nú meros Reais Sequências e Séries Limite e Continuidade Derivadas Integrais discutiram temas já estudados nas disciplinas de Cálculo Os conhecimentos advindos dessa disciplina foram essenciais para a melhor compreensão das unidades do livro Análise Matemática Adotouse no entanto uma nova abor dagem ao tratar desses assuntos imputando mais formalismo e abstração aos conhecimentos apresentados durante sua formação acadêmica Esperamos que possam contribuir para reflexão de questões da prática pedagógica Gostaríamos de salientar que os assuntos abordados neste livro não foram esgotados mas apresentam uma introdução detalhada dos principais tópicos da Análise Matemática servindo assim como alicerce para outros estudos na linha de pesquisa da Matemática Pura e Aplicada Nesse sentido este material constituise um rico referencial de apoio que deverá ser consultado sempre que necessário Despedimonos com votos de que esta base conceitual aqui apresenta da seja ampliada muitas vezes e que os frutos desse trabalho sejam bastante prósperos referências 219 ÁVILA G Análise Matemática para Licenciatura 3 ed São Paulo Edgard Blücher 2006 ÁVILA G S S Cálculo das funções de uma variável v 1 7 ed Rio de Janeiro LTC 2003 CANTOR G Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen Journal für die Reine und Angewandte Mathematik n 77 p 258262 1874 LIMA E L Curso de Análise v 1 11 ed Rio de Janeiro IMPA 2004a LIMA E L Análise Real v 1 7 ed Rio de Janeiro IMPA 2004b LIMA E L CARVALHO P C P WAGNER W MORGADO A C M A Matemática do Ensino Médio v 1 11 ed Rio de Janeiro SBM 2016 MILIES C P Números uma Introdução à Matemática 3 ed São Paulo USP 2003 MUNIZ NETO A C Fundamentos de Cálculo 1 ed Rio de Janeiro IMPA 2015 Coleção Profmat