Definicoes Formais e Demonstracao da Regra de LHospital em Analise Real

1Definir FORMALMENTE os conceitos a seguir aPonto de Acumulação bLimite em um ponto cDerivada em um ponto 2 Demonstrar FORMALMENTE a Regra de LHospital apresentada 1a Definição formal de ponto de acumulação Um ponto é um ponto de acumulação do conjunto se para todo 𝑎 ℝ 𝑋 ℝ ε 0 temse 𝑋 𝑎𝑎 ε 𝑎 ε Ø 1b Limite em um ponto Sejam uma função e um ponto de acumulação de 𝑋 ℝ 𝑓 𝑥ℝ 𝑎 𝑋 Dizemos que é limite de quando tende para e denotamos por 𝐿 ℝ 𝑓𝑥 𝑥 𝑎 𝑥𝑎 lim 𝑓𝑥 𝐿 Quando para todo ε 0 existe um número δ 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑒𝑚 𝑋 𝑐𝑜𝑚 0 𝑥 𝑎 δ 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝐿 ε Definindo apenas em símbolos temos 𝑥𝑎 lim 𝑓𝑥 𝐿 ε 0 δ 0 0 𝑥 𝑎 δ 𝑓 𝑥 𝐿 ε 1c derivada em um ponto Sejam uma função e um ponto de acumulação de O 𝑋 ℝ 𝑓 𝑥ℝ 𝑎 𝑋 limite que denotamos por 𝑓 𝑎 dado por 𝑥𝑎 lim 𝑓𝑥𝑓𝑎 𝑥𝑎 ℎ0 lim 𝑓𝑎ℎ𝑓𝑎 ℎ Caso exista é chamado de derivada da função no ponto 𝑓 𝑎 2 Demonstrar FORMALMENTE a Regra de LHospital apresentada Essa regra em sua forma mais simples se refere ao cálculo de um limite da forma no caso em que tanto quanto possuem derivadas no ponto e tal 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑔 𝑎 que 𝑓 𝑥 𝑓 𝑎 0 𝑔 𝑎 𝑔 𝑥 Vamos começar com um resultado que usa essencialmente o conceito de derivada Teorema 𝑆𝑒𝑗𝑎𝑚 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 ℝ 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑏 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑎 𝑔 𝑎 0 𝑒 𝑔 𝑥 𝑆𝑒 𝑓 𝑒 𝑔 𝑓𝑜𝑟𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑒 𝑠𝑒 𝑔 𝑎 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑓 𝑎 𝑔 𝑎 𝑖𝑠𝑡𝑜 é 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑎 𝑔 𝑎 Demonstração Escrevemos o quociente relembrando que 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑎 𝑔 𝑎 0 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑎 𝑔 𝑥 𝑔 𝑎 𝑓 𝑥 𝑓 𝑎 𝑥𝑎 𝑔𝑥𝑔𝑎 𝑥𝑎 Considerando que 𝑓 𝑎 𝑓 𝑥 𝑓 𝑎 𝑥𝑎 0 𝑒 𝑔 𝑎 𝑔 𝑥 𝑔 𝑎 𝑥𝑎 0 e que o limite dos quocientes é o quociente dos limites obtemos que 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑎 𝑥𝑎 𝑔 𝑥 𝑔 𝑎 𝑥𝑎 𝑓 𝑎 𝑔 𝑎 O que prova a regra de Lhospital Análise Real Questão 1 a Ponto de Acumulação Um número a R é dito ponto de acumulação de um conjunto X R se para todo ϵ 0 temse a ϵ a ϵ X a b Limite em um ponto Sejam X R f X R uma função e a R um ponto de acumula ção de X Dizemos que o número real L é o limite de fx quando x tende a a e denotamos por lim xa fx L se para todo ϵ 0 existe δ 0 tal que para todo x X se 0 x a δ então fx L ϵ c Derivada em um ponto Sejam X R f X R uma função e a X tal que a é um ponto de acumulação de X Dizemos que f é derivável no ponto a quando existe o limite f a lim xa fx fa x a Questão 2 Regra de LHopital Sejam f e g duas funções contínuas em um intervalo I e deriváveis no interior de I tais que g x 0 para todo x no interior de I Seja a I e suponhamos que fa ga 0 e que existe limxa fx gx finito ou infinito Então existe limxa fx gxe mais ainda lim xa fx gx lim xa f x gx Demonstração Seja a I tal que fa ga 0 então fx gx fx fa gx ga fx fax a gx gax a fxfa xa gxga xa 1 Logo lim xa fx gx lim xa fxfa xa gxga xa limxa fxfa xa limxa gxga xa lim xa f a ga Portanto lim xa fx gx lim xa f x gx 2