Sequências-e-Séries-Numéricas-Termo-Geral-Monotonicidade-Convergência-e-Regra-de-LHospital

Desde o Ensino Médio as sequências estão presentes nas aulas de matemática Lá somos apresentados às Progressões Aritméticas e Geométricas Aqui durante a graduação revemos esses conceitos nas disciplinas de Introdução ao Cálculo e depois mais formalmente em Cálculo Diferencial e Integral III Na disciplina de Análise Matemática temos essas mesmas sequências mas vistas de maneira mais aprofundada Além disso o conceito de série também é apresentado Sobre as sequências e séries considere a seguinte sequência numérica xn 14 116 164 1256 a Calcule o termo geral da sequência xn e mostre que é uma sequência monótona decrescente b Considere a série yn dada por n1 até yn tal que yn 14 4n Essa série é convergente ou divergente Justifique sua resposta ATENÇÃO Todas os cálculos devem ser realizados no TEMPLATE word Para isso utilize o EQUATION que é a ferramenta inserida no próprio word ou outra ferramenta disponível Atividades realizadas à mão terão decréscimos na nota Muitos consideram a disciplina de Análise Matemática dentro do curso de Licenciatura em Matemática como um complemento das disciplinas de Cálculo Diferencial e integral mas precisamente o Cálculo I A diferença é que precisamos justificar todos os conceitos definidos na disciplina de Cálculo como limites e derivadas além de novas definições necessárias Um exemplo dessas novas definições é o de ponto de acumulação Mas onde ele é importante Para podermos definir Limites Novamente eu indago por que precisamos definir limites Para podermos definir Derivadas Daí a Análise Matemática dá suas voltas Vocês viram em Cálculo I que existe uma propriedade de derivadas que ajuda a resolver limites A regra de LHospital Essa regra em sua forma mais simples se refere ao cálculo de um limite da forma limxa fxgx no caso em que tanto f quanto g possuem derivadas no ponto a e tal que limxa fx fa 0 ga limxa gx Mas será possível provar a Regra de LHospital Para esse MAPA você precisará realizar as seguintes tarefas 1 Definir FORMALMENTE os conceitos a seguir a Ponto de Acumulação b Limite em um ponto c Derivada em um ponto 2 Demonstrar FORMALMENTE a Regra de LHospital apresentada Esta atividade além de ajudálos a entender uma demonstração também tem como objetivo praticar a escrita de símbolos matemáticos no WORD Vocês como futuros professores eventualmente precisarão produzir material nesse formato Orientações para o MAPA 1º passo Pesquise em algum material as definições pedidas assim como a Regra de LHospital 2º passo Você deve DIGITAR as definições assim como a demonstração Utilize as ferramentas do WORD como Equation fica localizado na aba inserir do lado direito ou através do comando Alt Atividades enviadas realizadas à mão terão decréscimo na nota 3º passo Leia novamente o que você escreveu e revise os conceitos e símbolos 4º passo Realize uma cuidadosa correção ortográfica em seu texto e faça a atividade no template modelo disponibilizado no Material da Disciplina 5º passo Anexe o arquivo na Atividade clicando sobre o local especificado caso tenha dúvidas em como enviar o arquivo no STUDEO entre em contato com a mediação 6º passo Após anexar o trabalho e se certificar que se trata do arquivo correto clique no botão Responder e posteriormente em Finalizar Questionário após finalizar o questionário não será possível reenviar a atividade ou realizar qualquer modificação no arquivo enviado Parte 1 a Perceba que o primeiro termo da sequência é 1 4 e cada termo seguinte é igual ao anterior multiplicado por 1 4 logo é uma progressão geométrica com razão 1 4 Logo o nésimo termo é xn1 4 1 4 n1 xn 1 4 n E vamos mostrar por indução que xn é monótona decrescente Base da indução De fato x1 x2 pois 1 4 1 16 Passo indutivo E supondo que xn1 xn então xn1 xn 1 4 n1 1 4 n 1 4 1 4 n1 1 4 1 4 n 1 4 n 1 4 n1 xnxn1 Portanto xnxn1 para todo n número natural b Primeiro sendo xn a sequência do item a então para todo n temos xn yn pois xn yn 1 4 n 1 44 n 44 n4 n40 Também n1 xn converge pois é a soma infinita de uma progressão geométrica com razão de módulo menor que 1 particularmente a razão é 1 4 Assim pelo critério da comparação como xn yn para todo n e n1 xn converge então n1 yn converge Parte 2 1 a Seja um conjunto X ℝ Um número aℝ é chamado ponto de acumulação do conjunto X se para todo ε0 o conjunto aε aεXa Ø O conjunto dos pontos de acumulação de X é denotado de X b Seja função f Xℝ X ℝ e a X Dizemos que um número real L é o limite de f x quando x tende para a quando para todo ε0 existe δ 0 tal que se 0xaδ x X então f xLε E escrevemos lim x a f xL c Dada uma função f Xℝ X ℝ e a X X Dizemos que f é derivável em a quando existe o limite lim x a f xf a xa E em caso positivo dizemos que a derivada de f em a é f a lim xa f xf a xa 2 LHospital Sejam f e g funções deriváveis no ponto a e lim x a f xlim x a gx0 e ga0 Então lim x a f x gx f a ga Demonstração Veja que lim x a f x gx lim x a f x xa gx xa lim x a f x xa lim x a gx xa f a g a