Responder Duas Questões sobre o Teorema de Valor Intermediário

MAPA MAT ANÁLISE MATEMÁTICA Data Final 13092024 2000 Horário de Brasília Enunciado Os teoremas da matemática são fundamentais por várias razões que abrangem desde a construção do conhecimento matemático até suas aplicações práticas em diversas áreas Aqui estão algumas das principais razões que destacam a importância dos teoremas na matemática 1 Fundamentação e Estruturação do Conhecimento Os teoremas fornecem a base lógica sobre a qual toda a matemática é construída Eles estabelecem verdades universais que servem como alicerces para o desenvolvimento de teorias e a descoberta de novos resultados 2 Validação de Conjeturas Os teoremas ajudam a transformar conjeturas que são suposições baseadas em observações em fatos matemáticos rigorosamente comprovados 3 Desenvolvimento de Técnicas e Ferramentas A demonstração de teoremas frequentemente leva ao desenvolvimento de novas técnicas e ferramentas matemáticas 4 Interconexão de Áreas Matemáticas Os teoremas frequentemente revelam conexões profundas entre diferentes áreas da matemática 5 Aplicações Práticas Muitos teoremas matemáticos têm aplicações práticas em ciências engenharia economia e outras disciplinas O Teorema de Fourier por exemplo é fundamental no processamento de sinais análise de ondas e compressão de dados 6 Desenvolvimento do Pensamento Crítico Estudar e demonstrar teoremas desenvolve habilidades de pensamento crítico e lógico A demonstração de teoremas requer uma compreensão profunda dos conceitos envolvidos bem como a capacidade de construir argumentos rigorosos e coerentes 8 Progresso Científico e Tecnológico Os teoremas matemáticos frequentemente impulsionam o progresso científico e tecnológico A teoria dos números por exemplo tem aplicações na criptografia que é essencial para a segurança das comunicações digitais Em resumo os teoremas são a espinha dorsal da matemática fornecendo uma base sólida e confiável sobre a qual o conhecimento matemático é construído interligando diferentes áreas do saber e impulsionando avanços científicos e tecnológicos Dentre os teoremas estudados na disciplina o Teorema do Valor Intermediário se destaca O Teorema do Valor Intermediário também conhecido por TVI é um dos resultados fundamentais do cálculo diferencial com profundas implicações na análise matemática Esse teorema afirma que se uma função contínua f está definida em um intervalo fechado ab e fa e fb possuem valores distintos Então para qualquer valor k entre fa e fb existe pelo menos um ponto c no intervalo ab tal que fck Considerando as informações e o enunciado do Teorema do Valor Intermediário responda às duas questões a seguir 1 Demonstre de maneira formal o Teorema do Valor Intermediário para funções reais de uma variável real 2 Resolva a seguinte situaçãoproblema O queniano Eliud Kipchoge se tornou o primeiro atleta a correr uma maratona em menos de duas horas O campeão olímpico e recordista mundial marcou o tempo de 1 hora 59 minutos e 40 segundos neste sábado em evento preparado especialmente para a tentativa em Viena na Áustria Kipchoge foi apoiado por 36 outros corredores que o acompanharam em grupos alternados Fonte httpsvejaabrilcombresporteeliudkipchogesetorna primeiroacorrerumamaratonaemenosde2horas Acesso em 1 ago 2024 Sabendo que uma maratona possui um percurso de 42195 m prove que em pelo menos dois momentos distintos da corrida a velocidade instantânea de Eliud era de 5 metros por segundo ATENÇÃO 1º Passo Organize suas ideias a partir do tema proposto 2º Passo Faça uma pesquisa ampla sobre os conceitos citados Sua pesquisa pode iniciar no nosso próprio livro didático 3º Passo Todas os enunciados demonstrações e cálculos devem ser realizados no próprio arquivo Word Para isso utilize o EQUATION que é a ferramenta inserida no próprio Word ou outra ferramenta disponível NÃO SERÃO ACEITOS TRABALHOS FEITOS À MÃO E INSERIDOS NO ARQUIVO 4º Passo Leia novamente o que você escreveu verifique inconsistências Tome muito cuidado com a formalidade matemática necessária 5º Passo Realize uma cuidadosa correção ortográfica em seu texto e faça a atividade no template modelo disponibilizado no Material da Disciplina 6º Passo REFERENCIE o material utilizado em sua pesquisa conforme as normas da ABNT 1 Teorema Seja f a b R uma função contínua no intervalo fechado ab e y um número real entre f a e f b Então existe um número real c no intervalo ab tal que f cy Demonstração Caso 1 f af b Seja y um número real tal que f a yf b Considere o conjunto Sx a b f x y No caso a S já que f a y Assim S é um conjunto não vazio e limitado superiormente por b Pelo axioma do supremo S possui um supremo que pode ser denotado por c Assim temse a afirmação ac b que deve ser provada Prova Como a S e c é o supremo de S temos ac Como c é o supremo de S para qualquer 0 existe um x S tal que cx c Como x S podese afirmar que f x y Como f é contínua em c temos lim x c f xf c Assim para qualquer 0 existe um 0 tal que xc implica f xf c Escolhese por exemplo yf c Para x tal que cxc temos f xf c yf c Assim f x y para cxc Como cxc implica x S concluise que c b Devese agora provar a afirmação f cy Suponhase por absurdo que f c y Como f é contínua em c para qualquer 0 existe um 0 tal que xc implica f xf c Escolhese agora yf c 2 Para x tal que cxc temos f xf c yf c 2 Logo f x f c yf c 2 f c y 2 y Como cxc implica x S concluise que c não é o supremo de S o que indica uma contradição Assim f c y Suponhase por absurdo que f c y Como f é contínua em c para qualquer valor 0 existe um 0 tal que xc implica f xf c Escolhese agora f c y 2 Para x tal que cxc temos f xf c f c y 2 Logo f x f c f c y 2 f c y 2 y Como cxc isso implica x S de onde se conclui que c não é o supremo de S o que é uma contradição Portanto concluise que f c y Caso 2 f af b Por analogia definese Sx a b f x y ao que para as escolhas definidas yf c yf c 2 e f c y 2 o que conduz a f c y Para que ambos os casos sejam atendidos é requerido assim que f cy Em síntese para qualquer função contínua f em um intervalo fechado ab e qualquer número real y entre f a e f b existe um número real c no intervalo ab tal que f cy 2 Utilizase o Teorema do Valor Intermediário para provar que Eliud Kipchoge atingiu a velocidade de 5 ms em pelo menos dois momentos distintos da corrida Seja vt a função que representa a velocidade instantânea de Eliud Kipchoge em função do tempo t Definemse as condições do Teorema do Valor Intermediário Continuidade A função vt é contínua no intervalo de tempo da corrida pois a velocidade de um corredor varia de forma suave Valores nos Extremos no início da corrida t 0 a velocidade de Eliud era 0 ms No final da corrida a velocidade de Eliud era de 42195 7180 587m s Aplicando o Teorema do Valor Intermediário como vt é contínua e 5 ms está entre 0 ms e 587 ms o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um instante t1 durante a corrida em que vt 15m s No segundo instante considerando que Eliud Kipchoge alcançou a velocidade de 5 ms em pelo menos um momento ele necessariamente precisa reduzir sua velocidade para cruzar a linha de chegada Logo há outro instante t2 após t1 t 2t1 em que sua velocidade é menor que 5 ms Novamente pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um instante t3 entre t1 e t2 em que vt 35m s Assim pelo Teorema do Valor Intermediário em pelo menos dois momentos distintos da corrida a velocidade instantânea de Eliud Kipchoge era de 5 metros por segundo No caso o Teorema do Valor Intermediário assegura a existência de pelo menos dois momentos com a velocidade de 5 ms sendo possível que o corredor tenha atingido essa velocidade diversas vezes durante a prova