Distribuição Normal em Econometria II

Distribuição normal Disciplina Econometria II Profa Dra Ana Lucia Junqueira Vimos que A função densidade de probabilidade fx Propriedades Essa função descreve as probabilidades associadas a uma variável aleatória Como é não negativa e ⁿ⁰ fxdx 1 então 0 Pa X b 1 Ela é zero para valores de x que não podem ocorrer Considera igual a zero para valores não especificados A fx é usada para calcular uma área Essa área representa a probabilidade de X estar no intervalo a b fx função densidade de probabilidade A distribuição normal Distribuição gaussiana A distribuição normal Essa distribuição de probabilidade é conhecida como normal ou gaussiana e sua função densidade de probabilidade é dada por fx 12πσ² exμ²2σ² Em que μ é a média e σ é o desvio padrão Se a variável x tem distribuição normal isto é é normalmente distribuída costumase simbolizar essa característica por x Nμ σ Essa expressão deve ser lida da seguinte forma x segue uma distribuição normal com média μ e desvio padrão σ DISTRIBUIÇÃO NORMAL A curva normal é um tipo de curva simétrica Formato de sino Unimodal sendo seu ponto de frequência máxima situado no meio da distribuição Média mediana e moda coincidem A área sob a curva é igual a 1 Veja o exemplo Observando o peso em kg de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população foi construído o histograma a seguir A análise do histograma indica que a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70 kg a maioria dos valores 88 encontrase no intervalo 5585 existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48 kg 12 e acima de 92 kg 1 Consideremos a variável aleatória X peso de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população em kg Como se distribuem as probabilidades associadas aos valores da variável aleatória X isto é qual é a distribuição de probabilidades de X A curva continua da figura denominase curva Normal ou curva de Gauss Devido às limitações da precisão dos instrumentos de medida a rigor todas as variáveis numéricas poderiam ser consideradas discretas na prática Entretanto é bastante útil realizar uma simplificação aqui e considerar uma situação teórica em que os instrumentos de medida possuem precisão ilimitada Neste caso vamos considerar que variáveis numéricas como tempo peso altura etc podem assumir qualquer valor real dentro de um dado intervalo A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois muitos fenômenos aleatórios comportamse de forma próxima a essa distribuição Exemplos 1 altura 2 pressão sanguínea 3 peso Atenção Nem toda distribuição de variável continua é normal Vamos então agora verificar que para obter probabilidades e distribuições de probabilidades para variáveis aleatórias contínuas será preciso introduzir os conceitos de densidade de probabilidade e integral de uma função Para achar a área sob a curva normal devemos conhecer dois valores numéricos a média μ e o desvio padrão σ A Figura a seguir mostra áreas importantes Entretanto Quando μ e σ são desconhecidos caso mais comum estes valores serão estimados por ȳ e s respectivamente a partir da amostra em que ȳ 1n Σi1n xi e s 1n1 Σi1n xiȳ² Para cada valor de μ eou σ temos uma curva de distribuição de probabilidade Porém para se calcular áreas específicas fazse uso de uma distribuição particular chamada distribuição normal padronizada Standard ou reduzida que é a distribuição normal com μ 0 e σ 1 Para obter tal distribuição isto é quando se tem uma variável x com distribuição normal com média μ diferente de 0 zero eou desvio σ padrão diferente de 1 um devemos reduzila a uma variável z efetuando o seguinte cálculo Z xμσ Assim a distribuição passa a ter média μ 0 e desvio padrão σ 1 Pelo fato da distribuição ser simétrica em relação à média μ 0 a área à direita é igual a área à esquerda de μ Por ser uma distribuição muito usada existem tabelas a qual encontramos a resolução de suas integrais Assim a tabela fornece áreas acima de valores não negativos que vão desde 000 até 499 Veja o gráfico da curva Normal padronizada na Figura abaixo A distribuição normal A VA X tem distribuição normal com parâmetros μ e σ² se sua função densidade de probabilidade é dada por fx 1σ2π e12xμσ² x Pode ser mostrado que 1 μ é o valor esperado média de X μ 2 σ² é a variância de X σ² 0 Notação X Nμ σ² Para cada par de parâmetros μ e σ há uma curva diferente de fx Há uma família de distribuições normais Propriedades de X Nμσ² EX μ média ou valor esperado VarX σ² e portanto DPX σ fx 0 quando x x μ é ponto de máximo de fx μ σ e μ σ são pontos de inflexão de fx a curva Normal é simétrica em torno da média μ Calcular a área sob a curva para Z maior que 275 A área sob a curva normal para Z maior do que 275 é dada por PZ 275 275 12π expx²2 1 09970 0003 ou seja a probabilidade de Z ser maior do que 275 é 03 A distribuição normal depende dos parâmetros μ e σ² Influência de σ² na curva Normal Nμ 30 σ² 4 06827 Nμ 30 σ² 4 09545 Nμ 30 σ² 4 09973 Nμ 100 σ² 15 06827 Nμ 100 σ² 15 09545 Nμ 100 σ² 15 09973 Se X Nµ σ² definimos z X µ σ EZ 0 VarZ 1 Z N0 1 Normal Padrónizada Cálculo de probabilidades Pa X b Área sob a curva e acima do eixo horizontal x entre a e b A va Z N01 denominase normal padrão ou reduzida Portanto Pa X b P fraca musigma fracX musigma fracb musigma P fraca musigma Z fracb musigma Dada a va Z N01 podemos obter a va X Nmusigma2 através da transformação inversa X mu Z sigma Para variáveis aleatórias contínuas as probabilidades são representadas pelas áreas sob a curva A área total sob a curva é 1 A área em vermelho é igual a PX 1 A área em azul é igual a P1 X 0 Áreas são obtidas em tabelas ou calculadas em computador Uso da tabela normal padrão Distribuição Normal Valores de P Z z Az Exemplo Seja Z N0 1 calcular a PZ 032 b P0 Z 171 c P132 Z 179 P132 Z 179 PZ 179 PZ 132 A179 A132 09633 09066 00567 d PZ 15 PZ 15 1 PZ 15 1 A15 1 09332 00668 Como encontrar o valor z da distribuição N01 tal que i PZ z 0975 Distribuição Normal Valores de PZ z Az Segunda decimal de z Como encontrar o valor z da distribuição N01 tal que i PZ z 0975 Exemplo Uma empresa fabrica termômetros que devem acusar a leitura de 0 C no ponto de congelamento da água Testes feitos em uma grande amostra desses termômetros revelaram que alguns acusavam valores inferiores a 0 C e alguns acusavam valores superiores Supondo que a leitura média seja 0C e que o desviopadrão das leituras seja 100 C qual a probabilidade de que no ponto de congelamento um termômetro escolhido aleatoriamente marque entre 0 e 158 C Admita que a frequência de erros se assemelhe a uma distribuição normal A distribuição de probabilidade das leituras é uma normal padronizada porque as leituras têm µ 0 e σ 1 A área da região sombreada delimitada pela média 0 e pelo número positivo z pode ser lida na Tabela A2 Portanto a probabilidade de se escolher aleatoriamente um termômetro com erro entre 0 e 158 C é 4429 Outra maneira de interpretar este resultado é concluir que 4429 dos termômetros terão erros entre 0 e 158 C Com os termômetros do exemplo anterior determine a probabilidade de se selecionar aleatoriamente um termômetro que acuse no ponto de congelamento da água uma leitura entre 243 C e 0 C Estamos interessados na região sombreadada da Figura a mas a Tabela A2 se aplica apenas a regiões à direita da média 0 como a da Figura b Podemos ver que ambas as áreas são idênticas porque a curva de densidade é simétrica Portanto a probabilidade de se escolher aleatoriamente um termômetro com erro entre 243 C e 0 C é 4925 Em outras palavras 4925 dos termômetros terão erros entre 243 C e 0 C Mais uma vez faremos uma escolha aleatória da mesma amostra de termômetros Qual a probabilidade de que o termômetro escolhido acuse no ponto de congelamento da água uma leitura superior a 127 C A probabilidade de escolher um termômetro que acuse leitura superior a 127 C corresponde à área sombreada da figura Se a área total sob a curva da densidade é igual a 1 a área à direita de zero vale metade isto é 05 Assim podemos calcular facilmente a área sombreada Podemos concluir que há uma probabilidade de 1020 de escolher aleatoriamente um termômetro com leitura superior a 127 C Podemos dizer ainda que em um grande lote de termômetros escolhidos aleatoriamente e testados 1020 deles acusarão leitura superior a 127 C De novo faremos uma escolha aleatória da mesma amostra de termômetros Qual a probabilidade de que o termômetro escolhido acuse no ponto de congelamento da água uma leitura entre 120 e 230 C A probabilidade de escolher um termômetro que acuse leitura entre 120 e 230 C corresponde à área ombreada da figura É fácil perceber que podemos calcular esta área subtraindose a área de 0 até o maior valor 230 da área de 0 até o menor valor 120 que são lidas na Tabela A2 Distribuição Normal Padronizada Dos exemplos anteriores podemos expressar as probabilidades calculadas com a notação seguinte P a z b denota a probabilidade de o valor de z estar entre a e b P z a denota a probabilidade de o valor de z ser maior do que a P z a denota a probabilidade de o valor de z ser menor do que a As figuras abaixo ajudam na interpretação das expressões mais comuns no cálculo de probabilidades maior do que x pelo menos x mais do que x não menos do que x menos do que x no máximo x não mais do que x não maior do que x entre x1 e x2 TABELA NORMAL PADRÃO Material didático adicional PZ z Mais exemplos Distribuição normal padrão Exemplo 1 Dada uma distribuição normal padrão encontre a área da curva que a encontrase a direita de Z 184 b está entre Z 197 e Z 086 Figura 7 Área do exemplo 1 Solução Dada uma distribuição normal padrão encontre a área da curva que a encontrase a direita de Z 184 PZ 184 1 09671 PZ 184 00329 Dada uma distribuição normal padrão encontre a área da curva que b está entre Z 197 e Z 086 19756 00244 Exemplo 2 Dada uma distribuição normal padrão encontre o valor de k de forma que a PZ k 03015 e b Pk Z 018 04197 Exemplo 2 Dada uma distribuição normal padrão encontre o valor de k de forma que a PZ k 03015 e 1 0301506985 Para a esquerda a área será 06985 Buscando na Tabela Exemplo 2 Dada uma distribuição normal padrão encontre o valor de k de forma que b Pk Z 018 04197 A área de 018 é 105714 04286 Então subtraindo 042860419700089 Para poder utilizar a tabela novamente no lado invertido 100089 09911 Exemplo 2 b Pk Z 018 04197 A Para poder utilizar a tabela novamente no lado invertido 100089 09911 que informa k237 Exemplo 3 Qual a probabilidade de se escolher de forma aleatória numa só tentativa uma pessoa que tenha renda anual de US 4000 a US 7000 morador de uma certa cidade sabendo que a renda média desta cidade é US 5000 e o desvio padrão é de US 1500 Sabese que a renda populacional possui uma distribuição normal Seja a variável X renda anual μ 5000 e σ 1500 Pedese P4000 X 7000 Fazendo a transformação Nμ σ² para Z01 Temos que Z Xμ σ P40005000 1500 Z 70005000 1500 P067 Z 133 PZ 133 09082 P0 Z 133 09082 05 04082 PZ 067 02514 P067 Z 0 05 02514 02486 Portanto P067 Z 133 04082 02486 06568 6568 Por hoje é só Revejam os conceitos aqui trabalhados Principalmente os exemplos Obrigada pela atenção