Testes de Hipóteses em Econometria

TESTES DE HIPÓTESES Disciplina Econometria II Profa Dra Ana Lucia Junqueira Do que se trata Um dos problemas a serem resolvidos pela Inferência Estatística é o de testar uma hipótese Isto é feita determinada afirmação sobre uma população usualmente sobre um parâmetro dessa desejamos saber se os resultados experimentais provenientes de uma amostra contrariam ou não tal afirmação Muitas vezes essa afirmação sobre a população é derivada de teorias desenvolvidas no campo substantivo do conhecimento A adequação ou não dessa teoria ao universo real pode ser verificada ou refutada pela amostra O objetivo do teste estatístico de hipóteses é fornecer uma metodologia que nos permita verificar se os dados amostrais trazem evidências que apoiem ou não uma hipótese estatística formulada Nesta webaula vamos falar do procedimento básico de teste de hipótese sobre um parâmetro de uma população A ideia central desse procedimento é a de supor verdadeira a hipótese em questão e verificar se a amostra observada é verossímil nessas condições Vejamos um exemplo Imagine que o dono de duas farmácias mediu durante 15 dias o tempo de espera do cliente na fila do caixa Ao calcular o tempo médio os valores obtidos foram 5 minutos na loja A e 35 minutos na loja B Podemos afirmar que o tempo médio de espera na loja B é menor Para respondermos a pergunta podemos construir duas hipóteses uma hipótese nula H0 em que o tempo médio de espera é significativamente igual nas duas lojas E uma hipótese alternativa Ha em que existe diferença significativa entre o tempo médio da loja A e loja B A partir das hipóteses formuladas temos a possibilidade de quatro ocorrências aceitando ou rejeitando uma das hipóteses como mostrado a seguir Vejamos um exemplo Ou seja se a hipótese nula for verdadeira e a rejeitarmos estaremos cometendo um equívoco esse erro é chamado de erro tipo I O correto seria aceitar essa hipótese Por outro lado se a hipótese alternativa for verdadeira e rejeitarmos H0 estaremos tomando uma decisão correta se não rejeitássemos estaríamos cometendo o erro tipo II COMO TOMAR A DECISÃO CORRETA Em um teste de hipóteses Como tomar essa decisão Para isso é importante definir a variável pvalor Também chamada de nível descritivo ou probabilidade de significância é a probabilidade de se obter uma estatística de teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra Podemos dizer que quando o valor alvo está próximo do que seria a variação natural do processo o pvalor é grande e aceitase H0 e rejeitase Ha A partir de qual valor podese dizer que pvalor é muito pequeno e portanto podemos rejeitar a hipótese nula e aceitar a hipótese alternativa Na área comercial esse valor é chamado de α e é usual de 005 ou seja 5 Em outras palavras é de no máximo 5 o risco de rejeitar H0 quando H0 é verdadeira É importante ressaltar que o teste de hipótese não garante total certeza de estarmos tomando a decisão correta porém trabalhando com 95 de confiabilidade a chance de estarmos cometendo um dos erros é muito baixa Julgamento no tribunal Testes de hipóteses Hipóteses estatística Lógica dos Testes de Hipóteses Lógica dos Testes de Hipóteses Exemplo Para verificar se uma nova droga é eficaz no tratamento da pressão alta a pressão média de um grupo de pacientes submetidos a esta droga amostra é comparada com um valor que é considerado normal valor padrão Uma população Uma amostra Uma estimativa x do parâmetro de interesse μ Um valor conhecido e comprovado μ₀ H₀ μ μ₀ H₁ μ μ₀ Exemplo Para verificar se uma nova droga é eficaz no tratamento da pressão alta a pressão média de um grupo de pacientes submetidos a esta droga amostra é comparada com um valor que é considerado normal valor padrão Uma população Uma amostra Uma estimativa x do parâmetro de interesse μ Um valor conhecido e comprovado μ₀ H₀ μ μ₀ H₁ μ μ₀ μ μ₀ μ μ₀ Escolher uma das três Bilateral Unilateral direita Unilateral esquerda Exemplo Para verificar entre métodos de ensino qual dá melhor desempenho quanto ao aprendizado dos alunos comparamos as notas dos alunos de duas turmas duas amostras cada uma submetida a um método de ensino População 1 Amostra 1 Estimativa de μ₁ x₁ População 2 Amostra 2 Estimativa de μ₂ x₂ Exemplo Para verificar entre métodos de ensino qual dá melhor desempenho quanto ao aprendizado dos alunos comparamos as notas dos alunos de duas turmas duas amostras cada uma submetida a um método de ensino População 1 Amostra 1 Estimativa de μ₁ x₁ População 2 Amostra 2 Estimativa de μ₂ x₂ H₀ μ₁ μ₂ H₁ μ₁ μ₂ μ₁ μ₂ μ₁ μ₂ Escolher uma das três Bilateral Unilateral direita Unilateral esquerda Exemplo 1 Teste unilateral Problema científico Um novo medicamento é eficaz no controle da pressão arterial População C hipertensos com uso do medicamento μC População S hipertensos sem uso do medicamento μS Variável em estudo X pressão arterial Hipóteses estatísticas H₀ μC μS Hₐ μC μS Unilateral Exemplo 1 Teste unilateral Problema científico Um novo medicamento é eficaz no controle da pressão arterial População C hipertensos com uso do medicamento μC População S hipertensos sem uso do medicamento μS Variável em estudo X pressão arterial Hipóteses estatísticas H₀ μC μS Hₐ μC μS Unilateral Quando temos motivos suficientes para supor que uma das médias será maior que a outra podemos formular uma hipótese alternativa unilateral mais específica Exemplo 2 Teste bilateral Problema científico O método de ensino A é melhor que o método de ensino B População A alunos ensinados pelo método A μA População B alunos ensinados pelo método B μB Variável em estudo X notas dos alunos Hipóteses estatísticas H₀ μA μB Hₐ μA μB Bilateral Quando não temos motivos suficientes para supor que uma das médias será maior que a outra formulamos uma hipótese alternativa bilateral mais genérica Objetivo verificar a hipótese Podemos verificar a hipótese de duas formas avaliar as populações inteiras todos os alunos ensinado pelos dois métodos ou todas os hipertensos com e sem uso do medicamento e comparar suas médias avaliar amostras retiradas das populações e utilizar um teste estatístico que compara as médias das amostras Devemos considerar seria impossível avaliar todos os alunos ou todos os hipertensos o processo de amostragem pode fornecer precisão suficiente Será muito mais econômico e menos trabalhoso utilizar amostras das populações Erros de conclusão Exemplo Suponha que um grupo econômico queira financiar a campanha do candidato X se esse tiver condições de se eleger no primeiro turno O grupo econômico deve financiar a campanha do candidato X Hipótese O candidato se elege no primeiro turno Decisão Investir na campanha Não investir na campanha Hipótese Verdadeira Decisão correta Investe e ganha Erro 1 Não investe e se elege Hipótese Falsa Erro 2 Investe e perde Decisão correta Não investe e não ganha Erros de conclusão H0 réu inocente HA réu culpado Réu Decisão do juiz Não condenar Condenar Inocente Acerto Erro 1 Culpado Erro 2 Acerto Erros de conclusão H0 réu inocente HA réu culpado Rêu Não condenar Condenar Inocente Acerto Erro 1 Culpado Erro 2 Acerto H0 H0 μA μB HA μA μB Decisão Não rejeitar Rejeitar Verdadeira Acerto Erro Tipo I Falsa Erro Tipo II Acerto α Erro Tipo I Declarar diferença quando ela não existe β Erro Tipo II Não declarar diferença quando ela existe Importante As duas taxas de erro α e β estão relacionadas negativamente de modo que a redução de α implica no aumento de β e viceversa O único meio de reduzir ambos os tipos de erro é aumentando o tamanho da amostra o que nem sempre é viável Em geral a preocupação está voltada para o erro tipo I α nível de significância pois na maioria dos casos ele é considerado o mais grave REALIDADE DECISÃO Aceitar H0 Rejeitar H0 H0 é verdadeira Decisão correta 1 α PAceitar H0 H0 é V PH0 H Erro do Tipo I α PRejeitar H0 H0 é V Nível de significância do teste PH1 H0 H0 é falsa Erro do Tipo II β PAceitar H0 H0 é falsa PAceitar H0 H1 é V PH1 H1 Passos para construção de um teste de hipóteses 1 Definir as hipóteses estatísticas 2 Fixar a taxa de erro aceitável α nível de significância 3 Escolher a estatística para testar a hipótese e verificar as pressuposições para o seu uso 4 Usar as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste 5 Decidir sobre a hipótese testada e concluir Inferência Estatística Testes de Hipóteses Introdução hipóteses e erros de conclusão Testes de hipóteses para uma e duas médias Testes de hipóteses para uma e duas variâncias Testes de hipóteses para uma e duas proporções Passos para construção de um teste de hipóteses 1 Definir as hipóteses estatísticas 2 Fixar a taxa de erro aceitável α nível de significância 3 Escolher a estatística para testar a hipótese e verificar as pressuposições para o seu uso 4 Usar as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste 5 Decidir sobre a hipótese testada e concluir Situações comuns em testes de hipóteses a respeito de μ 1 Comparação de uma média μ com um valor padrão μ0 σ2 conhecida ou n 30 σ2 desconhecida e n 30 2 Comparação entre duas médias μ1 e μ2 Duas amostras independentes σ1² e σ2² conhecidas σ1² e σ2² desconhecidas mas iguais σ1² e σ2² desconhecidas mas diferentes Duas amostras dependentes pareadas 1Comparação de uma média μ com um valor padrão μ0 Pressuposição A variável em estudo tem distribuição normal e variância σ² conhecida ou n 30 Hipótese sob verificação H0 μ μ0 Estatística do teste Z Xμ0 σ n N01 Valor que deve ser calculado na amostra 1Comparação de uma média μ com um valor padrão μ0 Pressuposição A variável em estudo tem distribuição normal e variância σ² desconhecida e n 30 Hipótese sob verificação H0 μ μ0 Estatística do teste T Xμ0 S n tν onde ν n 1 Valor que deve ser calculado na amostra Critério de decisão Teste bilateral H0 μ μ0 HA μ μ0 T Xμ0 S n HA bilateral supõe que a diferença X μ0 é negativa ou positiva Mas quão grande será essa diferença para ser considerada significativa H0 μ μ0 H0 μ μ0 H0 μ μ0 Critério de decisão Teste unilateral Critério de decisão Teste unilateral Exemplo Um processo deveria produzir bancadas com 085 m de altura O engenheiro desconfia que as bancadas que estão sendo produzidas são diferentes que o especificado Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou média de 087 e desvio padrão de 0010 Sabendose que os dados seguem a distribuição normal teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância α005 Exemplo Um processo deveria produzir bancadas com 085 m de altura O engenheiro desconfia que as bancadas que estão sendo produzidas são diferentes que o especificado Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou média de 087 e desvio padrão de 0010 Sabendose que os dados seguem a distribuição normal teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância α005 Solução 1 H0 µ 085 2 α005 HA µ 085 4 tc 087 085 566 00108 3 Pressuposição A variável em estudo tem distribuição normal 5 Conclusão Ao nível de 5 de significância concluise que as bancadas que estão sendo produzidas devem ter altura diferente do especificado maiores que 085m Exemplo A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está preocupada com o tempo perdido em acidentes de trabalho cuja média nos últimos tempos tem sido da ordem de 60 horashomem por ano com desvio padrão de 20 horashomem segundo a distribuição normal Tentouse um programa de prevenção de acidentes e após o mesmo tomouse uma amostra de 9 indústrias e mediuse o número de horashomem perdidas por acidente que foi de 50 horas Você diria ao nível de 5 que há evidência de melhora Exemplo A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está preocupada com o tempo perdido em acidentes de trabalho cuja média nos últimos tempos tem sido da ordem de 60 horashomem por ano com desvio padrão de 20 horashomem segundo a distribuição normal Tentouse um programa de prevenção de acidentes e após o mesmo tomouse uma amostra de 9 indústrias e mediuse o número de horashomem perdidas por acidente que foi de 50 horas Você diria ao nível de 5 que há evidência de melhora Solução As hipóteses a serem testadas são H0 µ 60 horahomens HA µ 60 horahomens 2 α005 Solução z Xμ0 σn 5060 209 150 Isto quer dizer que a diferença apresentada na amostra não é suficientemente grande para provar que a campanha de prevenção deu resultado Então a conclusão é Não é possível ao nível de 5 de significância afirmar que a campanha deu resultado Exemplo O tempo médio por operário para executar uma tarefa tem sido 100 minutos segundo a distribuição normal Introduziuse uma modificação para diminuir este tempo e após certo período sorteouse uma amostra de 16 operários medindose o tempo de execução gasto por cada um O tempo médio da amostra foi 91 minutos com desvio padrão de 12 minutos Este resultado evidencia uma melhora no tempo gasto para realizar a tarefa Apresente as conclusões ao nível de 5 de significância Exemplo O tempo médio por operário para executar uma tarefa tem sido 100 minutos segundo a distribuição normal Introduziuse uma modificação para diminuir este tempo e após certo período sorteouse uma amostra de 16 operários medindose o tempo de execução gasto por cada um O tempo médio da amostra foi 91 minutos com desvio padrão de 12 minutos Este resultado evidencia uma melhora no tempo gasto para realizar a tarefa Apresente as conclusões ao nível de 5 de significância Solução H0 μ 100 HA μ 100 T Xμ0 sn 91100 1216 3 Exemplo O tempo médio por operário para executar uma tarefa tem sido 100 minutos segundo a distribuição normal Introduziuse uma modificação para diminuir este tempo e após certo período sorteouse uma amostra de 16 operários medindose o tempo de execução gasto por cada um O tempo médio da amostra foi 91 minutos com desvio padrão de 12 minutos Este resultado evidencia uma melhora no tempo gasto para realizar a tarefa Apresente as conclusões ao nível de 5 de significância Solução H₀ μ 100 H₁ μ 100 α005 vn115 T xμ₀sn 3 Rejeitase H₀ ao nível de 5 de significância e podese concluir que a modificação deve ter diminuído o tempo de execução da tarefa Outro critério de decisão Valor p Probabilidade de que seja obtido um valor de T mais extremo que o valor observado dado que H₀ é verdadeira Como tomar a decisão a respeito de H₀ Se o valor p for maior ou igual a α não rejeitamos a hipótese nula pois tc está em uma região de alta probabilidade Se p α Não rejeitamos a hipótese de nulidade Como tomar a decisão a respeito de H₀ Se o valor p for menor que α rejeitamos a hipótese nula pois tc está em uma região de baixa probabilidade Se p α Rejeitamos a hipótese de nulidade Exempl programa de prevenção de acidentes H₀ μ 60 horahomens Hₐ μ 60 horahomens z X μ₀ σ n 50 60 20 9 150 α 005 p 00668 Não é possível ao nível de 5 de significância afirmar que a campanha deu resultado Tabela I Área sob a curva normal padrão de 0 a z P0 Z z Utilizando o Excel para obter o valor p zc 15 α 005 unilateral Exercício O tempo médio por operário para executar uma tarefa tem sido 100 minutos segundo a distribuição normal Introduziuse uma modificação para diminuir este tempo e após certo período sorteouse uma amostra de 16 operários medindose o tempo de execução gasto por cada um O tempo médio da amostra foi 91 minutos com desvio padrão de 12 minutos Este resultado evidencia uma melhoria no tempo gasto para realizar a tarefa Apresente as conclusões ao nível de 5 de significância Graus de Liberdade v Nível de Significância α Limites unilaterais P t tα Exercício O tempo médio por operário para executar uma tarefa tem sido 100 minutos segundo a distribuição normal Introduziuse uma modificação para diminuir este tempo e após certo período sorteouse uma amostra de 16 operários medindose o tempo de execução gasto por cada um O tempo médio da amostra foi 91 minutos com desvio padrão de 12 minutos Este resultado evidencia uma melhora no tempo gasto para realizar a tarefa Apresente as conclusões ao nível de 5 de significância Solução H₀ μ 100 H₁ μ 100 tc 911001216 3 Rejeitase H₀ ao nível de 5 de significância e podese concluir que a modificação deve ter diminuído o tempo de execução da tarefa Utilizando o Excel para obter o valor p tc 3 α 005 unilateral v n1 15 Argumentos da função DISTT X 3 Grausliberdade 15 Caudas 1 Retorna a distribuição t de Student Resultado da fórmula 000486369 2 Comparação entre duas médias μ₁ e μ₂ Pressuposições A variável em estudo tem distribuição normal As variâncias σ₁² e σ₂² são conhecidas As amostras retiradas das populações são independentes Hipótese sob verificação H₀ μ₁ μ₂ 2 Comparação entre duas médias μ1 e μ2 Exemplo Um fabricante produz dois tipos de pneus Para o pneu do tipo A o desvio padrão da durabilidade é de 2500 km e para o pneu do tipo B é de 3000 km seguindo a distribuição normal Uma empresa de táxis testou 50 pneus do tipo A e 40 do tipo B obtendo 24000 km de média para o tipo A e 26000 para o tipo B Adotando α 4 testar a hipótese de que a duração média dos dois tipos é a mesma Exemplo Um fabricante produz dois tipos de pneus Para o pneu do tipo A o desvio padrão da durabilidade é de 2500 km e para o pneu do tipo B é de 3000 km segundo a distribuição normal Uma empresa de táxis testou 50 pneus do tipo A e 40 do tipo B obtendo 24000 km de média para o tipo A e 26000 para o tipo B Adotando α 4 testar a hipótese de que a duração média dos dois tipos é a mesma Exemplo Um fabricante produz dois tipos de pneus Para o pneu do tipo A o desvio padrão da durabilidade é de 2500 km e para o pneu do tipo B é de 3000 km segundo a distribuição normal Uma empresa de táxis testou 50 pneus do tipo A e 40 do tipo B obtendo 24000 km de média para o tipo A e 26000 para o tipo B Adotando α 4 testar a hipótese de que a duração média dos dois tipos é a mesma Solução As hipóteses são 1 H0 µA µB HA µA µB 2 α 4 5 Portanto rejeitase a hipótese de igualdade entre as durações médias dos dois tipos de pneus Com base nestas amostras podese afirmar ao nível de 4 de significância que os dois tipos de pneus diferem quanto a durabilidade média sendo o tipo B melhor que o tipo A Conclusão Como a significância do resultado 007 é menor que a significância do teste 4 é possível rejeitar a hipótese nula 2 Comparação entre duas médias µ1 e µ2 Pressuposições A variável em estudo tem distribuição normal As variâncias σ1² e σ2² são desconhecidas mas supostas iguais As amostras retiradas das populações são independentes Hipótese sob verificação H0 µ1 µ2 2 Comparação entre duas médias μ₁ e μ₂ Pressuposições A variável em estudo tem distribuição normal As variâncias σ₁² e σ₂² são desconhecidas mas supostas iguais As amostras retiradas das populações são independentes Hipótese sob verificação H₀ μ₁ μ₂ Estatística do teste T X₁ X₂ 1n₁ 1n₂S² tν onde ν n₁ 1 n₂ 1 S² S₁²n₁1 S₂²n₂1 n₁1n₂1 Valor que deve ser calculado na amostra Exemplo Dez cobaias adultas criadas em laboratório foram separadas aleatoriamente em dois grupos um foi tratado com ração normalmente usada no laboratório padrão e o outro grupo foi submetido a uma nova ração experimental As cobaias foram pesadas no início e no final do período de duração do experimento Os ganhos de peso em gramas observados foram os seguintes Ração experimental 220 200 210 220 210 Ração padrão 200 180 190 190 180 Utilize um teste de hipótese ao nível α 001 para verificar se as duas rações diferem entre si quanto ao ganho de peso Experimental x₁ 212 s₁² 70 n₁ 5 Padrão x₂ 188 s₂² 70 n₂ 5 Pressuposições variável ganho de peso com distribuição normal amostras independentes e supõese que σ₁² σ₂² S² S₁²n₁1 S₂²n₂1 n₁1 n₂1 tₐ 212 188 15 1570 454 α 001 e ν n₁1 n₂1 8 Pressuposições variável ganho de peso com distribuição normal amostras independentes e supõese que σ1² σ2² s² 70x5170x51515170 tc 212188 454 151570 α001 e vn11n218 H0 é rejeitada Conclusão ao nível de 1 concluise que a razão experimental deve dar maior ganho de peso que a razão padrão Utilizando o Excel para obter o valor p tc 454 α 001 v n11n21 8 DISTT X 454 Grausliberdade 8 Caudas 2 Resultado da fórmula 00001899194 Conclusão Como a significância do resultado 019 é menor que a significância do teste 1 é possível rejeitar a hipótese nula Exercício Um engenheiro desconfia que a qualidade de um material pode depender da matériaprima utilizada Há dois fornecedores de matériaprima sendo usados Testes com 10 observações de cada fornecedor indicaram x1 39 x2 43 s1 7 s2 9 Use um nível de significância α 005 e teste a hipótese do engenheiro Obs Considere que as duas variâncias populacionais iguais tc 111 t002518 2101 Comparação entre duas médias μ₁ e μ₂ Pressuposições A variável em estudo tem distribuição normal As variâncias σ₁² e σ₂² são desconhecidas e desiguais As amostras retiradas das populações são independentes Hipótese sob verificação H₀ μ₁ μ₂ Comparação entre duas médias μ₁ e μ₂ Pressuposições A variável em estudo tem distribuição normal As variâncias σ₁² e σ₂² são desconhecidas e desiguais As amostras retiradas das populações são independentes Hipótese sob verificação H₀ μ₁ μ₂ Estatística do teste T X₁ X₂ S²₁n₁ S²₂n₂ tₕ onde ν S²₁n₁ S²₂n₂² S²₁n₁² S²₂n₂² n₁1 n₂1 Valor que deve ser calculado na amostra Exemplo As resistências de dois tipos de concreto que segue o modelo normal foram medidas mostrando os resultados da tabela Fixado um nível de significância de 10 existe evidências de que o concreto do tipo X seja mais resistente do que o concreto do tipo Y H₀ μₓ μᵧ Hₐ μₓ μᵧ α 010 T X₁ X₂ 556 530 S²₁n₁ S²₂n₂ 173² 5 25² 5 131 Exemplo As resistências de dois tipos de concreto que segue o modelo normal foram medidas mostrando os resultados da tabela Fixado um nível de significância de 10 existem evidências de que o concreto do tipo X seja mais resistente do que o concreto do tipo Y H₀ μₓ μᵧ Hₐ μₓ μᵧ α 010 T X₁ X₂ 556 530 131 Com estas amostras ao nível de 10 de significância não é possível afirmar que o concreto do tipo X seja mais resistente do que o concreto do tipo Y Utilizando o Excel para obter o valor p tₜ 131 α 010 bilateral ν 5 Conclusão Como a significância do resultado 2471 é maior que a significância do teste 10 não é possível rejeitar a hipótese nula α 005 No teste unilateral o valor t crítico é menor porque a área a sua direita deve corresponder a todo α Assim esta área é o dobro da área à direita do valor t crítico do teste bilateral Como consequência um valor t não rejeitado no teste bilateral pode ser rejeitado no teste unilateral Portanto o teste unilateral é mais poderoso que o teste bilateral Os intervalos de confiança e os testes de hipóteses bilaterais são procedimentos estatísticos relacionados Intervalo de confiança para uma média μ IC μ 1α ŷ tα2 Sn Estatística T para comparação de média μ com valor padrão μ0 T Xμ0Sn Valor crítico tα2 Exemplo Um novo funcionário foi contratado para gerir os estoques da empresa Ele recebeu a informação de que a quantidade semanal vendida de determinado produto é de 96kg Para testar a veracidade da informação tomou uma amostra aleatória de 30 semanas e verificou que a venda média do produto foi de 93kg com desvio padrão de 32kg Considerando que a variável em estudo segue a distribuição normal a Verifique utilizando teste de hipóteses ao nível de 5 de significância se a informação recebida pelo funcionário é verdadeira b Verifique se a informação é verdadeira utilizando intervalo de confiança ao nível de 95 c Houve coerência entre os resultados do teste de hipóteses e do intervalo de confiança a Teste de Hipótese Por fim A intenção foi apresentar possibilidades de testes de hipóteses acerca da média amostral Vocês podem conferir em mais detalhes no vídeo no link a seguir httpsyoutubenlHGE94yrjA Temos também testes de hipóteses acerca da variância que vocês podem consultar no link a seguir httpsyoutubeeqx0p3UqULQ