Estimativas de Parâmetros e Intervalos de Confiança em Econometria

Estimativas de parâmetros e intervalos de confiança Disciplina Econometria II Profa Dra Ana Lucia Junqueira O que são parâmetros e estimativas de parâmetros Quando você quer determinar informações sobre uma característica específica da população por exemplo a média normalmente você extrai uma amostra aleatória daquela população porque é inviável medir toda a população Usando esse exemplo você calcula a característica da amostra correspondente que é usada para resumir as informações sobre a característica desconhecida da população A característica de interesse da população é chamada de parâmetro e a característica da amostra correspondente é a estatística da amostra ou parâmetro de estimativa Como a estatística é um resumo das informações sobre um parâmetro obtido a partir da amostra o valor de uma estatística depende da amostra particular que foi extraída da população Os seus valores mudam aleatoriamente a partir de uma amostra aleatória para a seguinte por conseguinte uma estatística é uma quantidade aleatória variável A distribuição de probabilidade desta variável aleatória é chamada distribuição amostral A distribuição amostral de uma amostra estatística é importante porque nos permite tirar conclusões sobre o parâmetro de população correspondente com base em uma amostra aleatória Por exemplo Quando extraímos uma amostra aleatória de uma população distribuída normalmente a média da amostra é uma estatística O valor da média da amostra com base na amostra em questão é uma estimativa da média da população Este valor estimado irá mudar aleatoriamente se uma amostra diferente for extraída da mesma população normal A distribuição de probabilidade que descreve essas mudanças é a distribuição amostral da média da amostra A distribuição amostral de uma estatística especifica todos os possíveis valores de uma estatística e a frequência com que algum intervalo de valores da estatística ocorre No caso em que a população de origem for normal a distribuição de amostragem da média da amostra também é normal Sobre parâmetros Observação Por exemplo O teorema central do limite é um teorema fundamental de probabilidade e estatísticas O teorema descreve a distribuição da média de uma amostra aleatória de uma população com variância finita Quando o tamanho amostral é suficientemente grande a distribuição da média é uma distribuição aproximadamente normal O teorema aplicase independentemente da forma da distribuição da população Muitos procedimentos estatísticos comuns requerem que os dados sejam aproximadamente normais O teorema central do limite permite a aplicação destes procedimentos úteis a populações que são fortemente nãonormais Quão grande o tamanho amostral deve ser depende da forma da distribuição original Se a distribuição da população for simétrica um tamanho amostral de 5 poderia render uma boa aproximação Se a distribuição da população for fortemente assimétrica será necessária uma amostra maior Por exemplo a distribuição da média pode ser aproximadamente normal se o tamanho amostral for maior do que 50 Estimação de parâmetros Os parâmetros são medidas descritivas de toda uma população Contudo seus valores são normalmente desconhecidos porque é inviável medir uma população inteira Por causa disso é possível extrair uma amostra aleatória da população para obter estimativas de parâmetros Um dos objetivos das análises estatísticas é a obtenção das estimativas dos parâmetros da população juntamente com a quantidade de erro associada a essas estimativas Essas estimativas também são conhecidas como estatísticas de amostra Existem diversos tipos de estimativas de parâmetros As estimativas pontuais são o valor único e mais provável de um parâmetro Por exemplo a estimativa pontual da média da população o parâmetro é a média da amostra a estimativa do parâmetro Intervalos de confiança são uma faixa de valores que provavelmente contém o parâmetro da população Para um exemplo de estimativas de parâmetros suponha que você trabalha para um fabricante de velas de ignição que está estudando um problema na folga de sua vela de ignição Seria muito caro para medir cada vela de ignição fabricada Em vez disso você faz uma amostragem aleatória de 100 velas de ignição e mede a folga em milímetros A média da amostra é 92 Esta é a estimativa pontual para a média da população μ Mas você também pode criar um intervalo de confiança de 95 para μ que é 88 96 Isso significa que você pode ter 95 de certeza de que o verdadeiro valor da folga média para todas as velas de ignição é entre 88 e 96 Estimação por ponto É o processo através do qual obtemos um único ponto ou seja um único valor para estimar o parâmetro Exemplo Amostra 1 3 2 x xᵢ n 132 3 2 estimativa por ponto de μ s² xᵢ x² n1 12² 32² 22² 31 1 estimativa por ponto de σ² Estimação por intervalo É um processo que permite obter os limites de um intervalo onde com uma determinada probabilidade nível de confiança podemos esperar contenham o verdadeiro valor do parâmetro As estimativas por intervalo são preferíveis àquelas por ponto porque indicam a precisão estabelecendo limites que com uma determinada probabilidade devem conter o parâmetro Estimicação por intervalo Intervalo de confiança para a média Intervalo de confiança para a média Intervalo de confiança para a média Exemplo Exemplo Exemplo Uma amostra de 100 funcionários de uma grande empresa apresentou nota média de 655 pontos e desvio padrão de 48 pontos para a satisfação com o salário Obtenha o intervalo de confiança ao nível de 95 para a verdadeira nota média de satisfação com o salário e conclua Variável em estudo X nota de satisfação com salário Pressuposição A variável em estudo tem distribuição normal e n30 Estimativas x 655 s 48 n 100 empregados IC μ 1α x zα2 σn IC μ 095 655 196 48100 IC μ 095 655 0941 Limite inferior 655 0941 6456 Limite superior 655 0941 6644 P6456 μ 6644 095 Em geral não conhecemos o parâmetro σ Por isso usamos uma estimativa desse parâmetro que é o s desvio padrão obtido de uma amostra Em muitas situações quando a amostra é grande n 30 a estimativa é considerada suficientemente próxima do parâmetro Duas pressuposições para a utilização desta metodologia 1 A variável em estudo tem distribuição normal X N μ σ² 2 Conhecemos o valor de σ ou σ ou o tamanho da amostra é suficientemente grande para obtenção de uma estimativa aproximada da variação populacional σ n 30 1 Intervalo de confiança para a média de uma população μ Situação 2 Quando não conhecemos o valor de σ ou n 30 PXtα2 Sn μ X tα2 Sn 1α IC μ 1α X tα2 Sn onde tα2 é o valor da estatística T que delimita a área α2 Este valor é encontrado na tabela da distribuição t de Student a partir dos valores de v e de α Pressuposição A variável em estudo tem distribuição normal X N μσ² Se não conhecemos o parâmetro σ Exemplo Através da seguinte amostra de tamanho 15 procurase estimar a verdadeira potência média de aparelhos eletrônicos de alta sensibilidade medida em microwatts utilizando um intervalo de confiança de 95 267 258 240 249 264 259 244 217 241 259 273 269 273 248 236 Resolução Variável em estudo X potência de aparelhos eletrônicos microwatts Pressuposição A variável em estudo tem distribuição normal IC μ 1α X tα2 Sn Exemplo Graus de Liberdade v 1 1000 3078 6314 12706 25542 31821 63657 127320 2 0816 1886 2920 4303 6205 6965 9925 14089 3 0715 1638 2353 3183 4177 4541 5841 7453 4 0741 1533 2132 2776 3495 3747 4604 5598 5 0727 1476 2015 2571 3163 3365 4032 4773 6 0718 1440 1943 2447 2969 3143 3707 4317 7 0711 1415 1895 2365 2841 2998 3500 4029 8 0706 1397 1860 2306 2752 2896 3355 3833 9 0703 1383 1833 2262 2685 2821 3250 3690 10 0700 1372 1813 2228 2634 2764 3169 3581 11 0697 1363 1796 2201 2503 2718 3108 3497 12 0695 1356 1782 2179 2560 2681 3055 3428 13 0694 1350 1771 2160 2533 2650 3012 3373 14 0692 1345 1761 2145 2510 2624 2977 3326 15 0691 1341 1753 2132 2490 2602 2947 3286 16 0690 1337 1746 2120 2473 2583 2921 3252 17 0689 1333 1740 2110 2458 2567 2898 3223 Exemplos Intervalo de confiança para diferença entre médias Exemplo Dez cobaias adultas criadas em laboratório foram separadas aleatoriamente em dois grupos um foi tratado com ração normalmente usada no laboratório padrão e o outro grupo foi submetido a uma nova ração experimental As cobaias foram pesadas no início e no final do período de duração do experimento Os ganhos de peso em gramas observados foram os seguintes Raça experimental 220 200 210 220 210 Raça padrão 200 180 190 190 180 Construa o intervalo de confiança ao nível de 99 para a diferença entre as médias das duas populações Intervalo de confiança para diferença entre médias Resolução Variável em estudo X ganho de peso g Pressuposições 1 A variável em estudo tem distribuição normal 2 As variâncias das populações são iguais σ 1² σ 2² σ² 3 As amostras retiradas das populações são independentes Estimativas Experimental Padrão x 1 212 x 2 188 s 1² 70 s 2² 70 n 1 5 n 2 5 s² 70 5 1 70 5 1 5 1 5 1 70 IC μ 1 μ 2 1 α X 1 X 2 t α 2 1 n 1 1 n 2 s² Exemplo Intervalo de confiança para variância Intervalo de confiança para variância Intervalo de confiança para variância Exemplo Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto é controlar sua variabilidade Uma máquina de encher pacotes de café está regulada para enchelos conforme uma distribuição normal com média de 500g Colheuse uma amostra de 16 pacotes e observouse uma variância de 169g² Com esse resultado encontrar o intervalo de confiança de 95 para σ² Graus de Liberdade v Nível de Significância α Esquerda q 0005 001 0025 005 01 01 005 001 0005 Direita q Os intervalos de confiança para média tem as formas x zα2 σn x tα2 sn A semiamplitude do intervalo de confiança que é a precisão da estimação é dada por d zα2 σn d tα2 sn O grau de precisão é utilizado para estabelecer a semiamplitude desejada para o intervalo de confiança e é comum que ele seja expresso em percentual Tomando d γx com γ entre 0 e 1 estabelecemos o grau de precisão como uma porcentagem da média Por exemplo tomar γ 010 significa que pretendemos obter um tamanho de amostra n tal que no intervalo de confiança para μ tenhamos uma semiamplitude máxima que corresponda a 10 do valor da média amostral Então d será a magnitude na unidade de medida que a variável em estudo é medida dessa semiamplitude máxima desejada Da expressão isolando n temos Exemplo Qual o tamanho da amostra necessário para estimar a média populacional de uma característica dimensional de um processo com 95 de confiança e precisão de 05 cm Sem conhecimento da Variabilidade populacional estimase o desvio padrão populacional através de uma amostra piloto Solução α 005 t002519 2093 d 05 cm Logo é necessária uma amostra de pelos menos 106 observações devendo ser coletadas mais 86 Exemplo O fornecedor alega que entrega 10 de produtos defeituosos Qual o tamanho de amostra suficiente para estimar a proporção de produtos defeituosos entregues por este fornecedor com precisão de 003 e 95 de confiança Solução α 005 Z0025 196 p 010 d 003 Logo é necessária uma amostra de 385 produtos Exercícios 1 Um analista do departamento de pessoal deseja estimar o número médio de horas de treinamento anual para os capatazes de uma divisão da companhia com um erro de 30 horas e com 90 de confiança Baseado em dados de outras divisões ele estima o desvio padrão das horas de treinamento em σ 200 horas Qual o tamanho mínimo necessário da amostra R n 121 2 Um comprador potencial deseja estimar o valor médio das compras por cliente em uma loja de brinquedos em um aeroporto Com base em uma amostra piloto de 40 vendas o desvio padrão dos valores de vendas foi estimado em s 080 Qual o tamanho mínimo que deveria ter uma amostra se ele deseja estimar a média das vendas dentro de 025 com confiança de 99 R n 75 Para finalizar Vimos que para cada tipo de estimativa de parâmetros temos uma tabela específica pois os parâmetros dependem dela O objetivo aqui era dar uma noção do que são os parâmetros e como podemos estimar parâmetros e intervalos de confiança A partir disso podemos ver alguns testes de hipóteses