Exercícios Resolvidos Subespaços Vetoriais e Espaços Euclidianos R²

PERGUNTA 2 Seja E R² espaço vetorial sobre R com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar Das alternativas a seguir assinale a única que representa um subespaço vetorial de E a W xy R² y 0 b W xy R² x 0 c W xy R² y x 2 d W xy R² y 2x e W xy R² y 2 PERGUNTA 3 Assinale a alternativa falsa a Todo espaço vetorial E tem como elemento o vetor nulo 0 b Todo espaço vetorial E admite pelo menos dois subespaços triviais ele próprio e o conjunto formado somente pelo vetor nulo c O conjuntosolução de sistemas lineares Axb é um subespaço vetorial de Rⁿ para algum n 0 d Retas e planos do R³ que passam pela origem são subespaços vetoriais de R³ e Para que um subconjunto W não vazio de um espaço vetorial E seja um subespaço vetorial de E basta que W tenha a propriedade de fechamento para as operações de adição e multiplicação por escalar de E Vimos que os espaços euclidianos Rⁿ são espaços vetoriais sobre R Em particular o próprio conjunto de números reais R é um espaço vetorial sobre si mesmo com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar escalar real o que significa neste caso específico as operações usuais de adição e multiplicação de números reais Vimos também que alguns subconjuntos de um espaço vetorial herdam essa estrutura sendo assim considerados subespaços vetoriais Considere Q o conjunto dos números racionais Q R e escolha a alternativa certa a Q é subespaço vetorial de R pois como subconjunto herda as operações usuais de R b Q não é subespaço vetorial de R pois nem sempre a soma de dois números racionais é um número racional c Q não é subespaço vetorial de R pois nem sempre a multiplicação de dois números racionais é um número racional d Q não é subespaço vetorial de R pois nem todos os números racionais têm seu inverso multiplicativo e Q não é subespaço vetorial de R pois pode existir um escalar real que multiplicado por um número racional resulta em um número irracional Pergunta 1 a Falso Q não é subespaço de R b Falso pois a soma de racionais é racional c Falso pois a multiplicação de racionais é racional d Falso todo racional não nulo tem inverso multiplicativo e Verdadeiro raiz quadrada de 2 é real multiplicada por qualquer racional tem resultado não racional Pergunta 2 a Não é pois 11 está em W mas 11111 não está em W pois 1 0 b Não é pois 10 está em W mas 110 10 não está em W pois 1 0 c Não é pois 00 não está em W já que 0 0 2 d É pois x1y1 x2y2 estão em W x1x2 y1y2 está em W pois 2x1x2 2x1 2x2 y1 y2 E xy está em W e λ está em R λx λ y está em W pois 2λx λ 2x λ y e Não é pois 00 está em W já que 0 2 Pergunta 3 a Verdadeiro é uma propriedade b Verdadeiro c Falso o conjunto pode ser só um ponto d Verdadeiro e Verdadeiro isso junto ao fato que E é espaço vetorial faz W herdar as propriedades