Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear II: Transformações Lineares e Espaços Vetoriais

Sobre T V V operador linear não nulo tal que T2 T onde NT RT 0 e NT RT V Sendo codim NT k e dim RT k considere os seguintes fatos a dimV 2 b dimNT dimRT c dimV dimNT dimRT 2 d dimNT 4 e dimRT 2 Então qual afirmação a seguir está correta A Apenas a e c são verdadeiras B As afirmações I II e V são verdadeiras C Apenas a afirmação I é falsa D A afirmação III não é falsa E Apenas a afirmação IV não é verdadeira Sei que para transformar um espaço vetorial de um campo real para o complexo cada vetor deve ser interpretado como vetores de pares de números reais e devese considerar a multiplicação por complexos Dado R2 como subespaço vetorial de R3 a O subespaço vetor V de R3 definido pelos todos os vetores da forma x y 0 com x y R corresponde a C2 definido por pares de complexos com terceira coordenada igual a zero b O conjunto V z z 0 C3 z C não é subespaço vetorial de C3 c Subespaço V definido por z C3 z z1 z2 z3 z1 z2 z3 0 tem dimensão 4 como espaço vetorial sobre R d O resultado da afirmação c deve permanecer igual mudandose o campo R para C Qual das alternativas abaixo está correta A V V V e V V B V V e F V C F V V V V D V V e V V E V V V V V V Seja K um corpo campo e seja E um espaço vetorial de dimensão finita sobre K Seja B e1 en ei E para todo i n 1 uma base para E Sejam P E E K a forma bilinear tal que Pei ej 0 se i j e Pei ei 1 Considere matrizes M1 e M2 tal que M1 pij e M2 qij Matn n K representando as formas bilineares P1 e P2 respectivamente Seja S pij qij a matriz que representa a forma bilinear P P1 P2 Qual das alternativas abaixo é correta A Apenas III é falsa B Apenas II e III são verdadeiras C Apenas III não é verdadeira D Apenas I não é falsa E Apenas as afirmações I e III são verdadeiras ÁLGEBRA LINEAR II 1640 Seja T R³ R³ uma transformação linear definida por Tx y z x y 2x y 3z x 2y 3z Se ImT e NT denominam respectivamente a imagem e o núcleo de T assinale a alternativa correta A T é injetora B 111 é base do núcleo de T C 100 010 001 é base da imagem de T D T é sobrejetora E T100 T010 T001 é base da imagem de T ÁLGEBRA LINEAR II 1640 Seja T R3 um espaço vetor e T r3 em a transformação linear dada pela regra Txyz x y 2x y 3z x 2y 3z As imagens de 1 0 0 0 1 0 e 0 0 1 são respectivamente a 111 b 211 c 032 d T é sobrejetora e A dimensão da imagem de T é 4 Assinale a alternativa correta A Apenas a afirmativa 1 é verdadeira B Apenas as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras C Apenas as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras D Apenas a afirmativa 1 é verdadeira E Nenhuma afirmativa é verdadeira