Cálculo de Funções de Várias Variáveis

Autora Profa Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa Colaboradores Prof Pedro José Gabriel Ferreira Prof Ricardo Scalão Tinoco Prof Olavo Ito Cálculo de Funções de Várias Variáveis Professora conteudista Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa Graduada em Matemática pela Faculdade Oswaldo Cruz e mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo PUCSP Leciona no ensino superior desde 1981 Lecionou no curso de Licenciatura em Matemática e no curso de pósgraduação lato sensu em Educação Matemática das Faculdades Oswaldo Cruz Atualmente é professora da Universidade Paulista UNIP nas modalidades presencial e a distância EaD Coautora dos livros Álgebra linear para computação Cálculo diferencial de uma variável Cálculo integral de uma variável Geometria analítica para computação Matemática Matemática complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis administração e economia Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma eou quaisquer meios eletrônico incluindo fotocópia e gravação ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP E77c Espinosas Isabel Cristina de Oliveira Navarro Cálculo de Funções de Várias Variáveis Isabel Cristina de Oliveira Navarro São Paulo Editora Sol 2020 300 p il Nota este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP Série Didática ISSN 15179230 1 Funções 2 Derivadas 3 Integral I Título CDU 51 W50425 20 Prof Dr João Carlos Di Genio Reitor Prof Fábio Romeu de Carvalho ViceReitor de Planejamento Administração e Finanças Profa Melânia Dalla Torre ViceReitora de Unidades Universitárias Prof Dr Yugo Okida ViceReitor de PósGraduação e Pesquisa Profa Dra Marília AnconaLopez ViceReitora de Graduação Unip Interativa EaD Profa Elisabete Brihy Prof Marcelo Souza Prof Dr Luiz Felipe Scabar Prof Ivan Daliberto Frugoli Material Didático EaD Comissão editorial Dra Angélica L Carlini UNIP Dra Divane Alves da Silva UNIP Dr Ivan Dias da Motta CESUMAR Dra Kátia Mosorov Alonso UFMT Dra Valéria de Carvalho UNIP Apoio Profa Cláudia Regina Baptista EaD Profa Betisa Malaman Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico Prof Alexandre Ponzetto Revisão Willians Calazans Bruno Barros Sumário Cálculo de Funções de Várias Variáveis APRESENTAÇÃO 7 INTRODUÇÃO 7 Unidade I 1 DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 9 11 Notação de derivada para funções de uma variável 9 12 Regras de derivação 9 13 Aplicações de derivadas 18 14 Ampliando seu leque de exemplos21 2 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 28 21 Conceito de funções de duas variáveis 29 22 Elementos de uma função de duas variáveis33 221 Domínio 34 222 Imagem 49 223 Gráfico 52 23 Curvas de nível ou mapa de contorno 67 24 Ampliando seu leque de exemplos73 3 DERIVADAS PARCIAIS 104 31 Limites 104 32 Derivadas parciais 106 321 Derivadas parciais pela definição 106 322 Derivadas parciais pelas regras 111 33 Derivada de funções compostas 126 34 Ampliando seu leque de exemplos134 4 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 146 41 Derivadas parciais de segunda ordem 146 42 Derivadas parciais de terceira ordem ou maiores 150 43 Ampliando seu leque de exemplos152 Unidade II 5 DERIVADAS PARCIAIS MAIS REGRAS 162 51 Regra da cadeia 162 511 Primeira regra da cadeia 162 512 Segunda regra da cadeia 168 52 Plano tangente 172 53 Ampliando seu leque de exemplos177 6 DERIVADA DIRECIONAL 182 61 Vetores no plano 182 62 Derivada direcional 187 63 Vetor gradiente191 64 Maximizando a derivada direcional 194 65 Ampliando seu leque de exemplos199 Unidade III 7 REVISÃO DE INTEGRAL 216 71 Conceito de primitiva ou antiderivada 216 72 Integral indefinida 217 721 Integrais imediatas 218 722 Integrais por substituição 221 723 Integração por partes 226 73 Integral definida 230 74 Ampliando seu leque de exemplos234 8 INTEGRAL DUPLA 245 81 Integral iterada ou repetida 246 82 Volume de um sólido 252 83 Integral dupla sobre regiões genéricas 255 831 Região tipo I 255 832 Região tipo II 258 84 Integrais duplas em coordenadas polares 262 841 Coordenadas polares 262 85 Ampliando seu leque de exemplos268 7 APRESENTAÇÃO O objetivo desta disciplina é ampliar os conceitos já estudados de cálculo diferencial e integral de uma variável baseado nas regras apresentadas no cálculo de funções de uma variável Os conceitos estudados para funções de duas variáveis podem ser expandidos para funções com mais variáveis Funções de várias variáveis estão presentes em diversas áreas por exemplo no cálculo de volume de superfícies em taxas de variação em eletricidade INTRODUÇÃO Neste livrotexto estudaremos o conceito de função de duas variáveis seu domínio imagem curvas de nível e a representação gráfica de algumas funções Para o gráfico de funções mais complexas usaremos o software Winplot Na sequência baseados na derivada de funções de uma variável estudaremos derivadas parciais utilizando as mesmas regras e suas aplicações Veremos também derivada direcional e o conceito de gradiente Aprenderemos a integral dupla baseada nas regras de integral para função de uma variável algumas aplicações e por fim estudaremos integral dupla utilizando coordenadas polares Neste livrotexto não serão feitas demonstrações Elas podem ser encontradas na bibliografia indicada 9 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Unidade I 1 DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL Iniciaremos nosso estudo revisando o conceito de derivadas para funções de uma variável Faremos isso utilizando as regras de derivação Não utilizaremos a definição para o cálculo das derivadas Esta revisão será útil no estudo de funções de duas variáveis que é o objeto deste estudo 11 Notação de derivada para funções de uma variável Para uma função y fx temos as seguintes notações para representar a derivada de f em um ponto qualquer dy dfx y fx dx dx Para indicar a derivada de f em um ponto x0 escreveremos 0 0 0 0 dfx yx fx dy dx x dx A seguir teremos as regras mais utilizadas de derivadas acompanhadas de exemplos para facilitar o entendimento 12 Regras de derivação y c y 0 c é constante Exemplos a y 10 y 0 b y b 8 Note que f é função de x então em relação a x o termo b 8 é constante logo y 0 y k x y k 10 Unidade I Exemplos a y x Nesse caso a constante que multiplica a variável x é igual a 1 assim y 1 b y 35 x Nesse caso a constante que multiplica a variável x é igual a 35 e daí teremos y 35 n n1 y c x y c n x c constante Exemplos a y x3 y 3x31 y 3x2 b y 5x4 y 5 4 x41 y 20x5 Observação Para indicar a multiplicação do número 5 pelo número negativo 4 o uso dos parênteses é obrigatório y ex y ex y c ex y c ex c é constante 11 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplos a y 2ex y 2 ex y 2ex b y 10ex y 10ex 1 y klnx y k x Exemplos a y 5 lnx 1 y 5 x 5 y x b y 10 lnx 1 y 10 x 10 y x derivada da soma e da diferença y fx gx y fx gx y fx gx y fx gx Observação Podemos generalizar essa regra para um número qualquer de parcelas Devemos calcular a derivada de cada parcela e depois efetuar a soma ou subtração dos resultados 12 Unidade I Exemplos 2 a y 2x 3x Nesse caso temos a soma de duas funções Devemos determinar a derivada de cada uma das partes conforme a regra apropriada Assim 2 21 y 2 x 3x y 2 2 x 3 1 y 4 x 3 3 2 x b y 3 x 4x 2e Nesse caso temos três funções Devemos determinar a derivada de cada uma das partes conforme a regra apropriada Assim 3 2 x 3 1 2 1 x 2 3 x y 3 x 4x 2 e y 33x 42x 2e y 9x 8x 2e derivada do produto y fx gx y fx gx fx gx ou y u v y u v u v 13 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplos a y x3 4x cos x Queremos calcular a derivada do produto das funções u x3 4x e v cos x para isso calculamos as derivadas separadamente e depois substituímos na regra do produto Calculando as derivadas temos 3 2 u x 4x u 3x 4 v cosx u senx Substituindo na regra temos 2 3 2 3 y u v u v u v y 3x 4cosx x 4x senx y 3x 4cosx x 4xsenx 2 b y 2 x 4 x x 4 Queremos calcular a derivada do produto das funções u 2x 4x2 e v x 4 para isso calcularemos as derivadas separadamente e depois substituiremos na regra do produto Calculando a derivada das funções u e v temos 2 2 1 u 2x 4x u 2 4 2 x u 2 8x v x 4 v 1 Substituindo na regra temos y uv u v u v 2 2 2 y 2x 4x x 4 2x 4x x 4 y 2 8x x 4 2x 4 x 14 Unidade I Utilizando a propriedade distributiva temos 2 y 2x 2 4 8x x 8x 4 2x 4 x 2 2 y 2x 8 8x 32x 2x 4 x 2 y 12x 28x 8 derivada do quociente 2 fx f x g x f x g x y y gx gx Exemplos x3 4 x a y x 3 Temos o quociente de duas funções u x3 4x e v x 3 Calculando as derivadas de u e v separadamente temos 3 2 u x 4x u 3x 4 v x 3 v 1 Substituindo na regra temos 2 3 2 2 u v u v 3 x 4 x 3 x 4 x 1 y x 3 v Utilizando a propriedade distributiva no numerador temos 2 2 3 2 3 x x 3x 3 4x 4 3 x 4 x y x 3 3 2 3 2 3 x 9x 4x 12 x 4 x y x 3 15 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 3 2 2 2 x 9x 12 y x 3 3 2 2 x 3 x 10 b y x 2x Temos o quociente de duas funções 3 2 2 u x 3x 10 e v x 2x Calculando as derivadas de u e v separadamente temos 3 2 2 2 u x 3x 10 u 3x 6x v x 2x v 2x 2 Substituindo na regra temos 2 2 3 2 2 2 2 u v u v 3 x 6x x 2x x 3x 10 2x 2 y x 2x v Utilizando a propriedade distributiva no numerador temos 4 3 3 2 4 3 2 2 2 3 x 6x 6x 12x 2x 4 x 6x 20x 20 y x 2x 4 3 2 2 2 x 4x 6x 20x 20 y x 2x derivada da função composta ou regra da cadeia h fy y gx e h f gx h f gx g x ou h fu u ux h f u u x Podemos também utilizar as regras de derivadas já vistas adaptadas para a função composta Vejamos a seguir alguns exemplos 16 Unidade I Exemplos a y 3x2 2x3 Para facilitar utilizaremos u 3x2 2x e a regra n n 1 y u y n u u Lembrete Essa regra é equivalente à expressão xn n xn1 vista no início deste item Ela foi adaptada para a função composta n 1 y n u u 2 3 1 2 2 2 y 3 3x 2x 3x 2x y 3 3x 2x 6x 2 b y ex32x Utilizaremos u x3 2x e a regra y eu y eu u Observação Essa regra é uma adaptação para função composta de ex ex x3 2x 3 x3 2x 2 y e x 2x y e 3x 2 1 2 2 2 c y 2x 1 ou y 2x 1 Para facilitar utilizaremos u x2 112 e a regra y un y n un1 u 17 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1 1 2 2 2 1 y 2x 1 2x 1 2 1 2 2 1 y 2x 1 4x 2 Simplificando e escrevendo na forma de fração novamente temos 2 2x y 2x 1 d y Ln5x2 3x Utilizaremos u 5x2 3x e a regra 1 y Lnu y u u Observação Essa regra é uma adaptação para função composta de 1 Lnx x 1 y u u 2 2 1 y 5x 3x 5x 3x 2 2 1 y 10x 3 5x 3x 10x 3 y 5x 3x 18 Unidade I 13 Aplicações de derivadas Exemplo de aplicação Exemplo 1 A velocidade escalar é uma taxa de variação que pode ser calculada pela derivada do espaço em função do tempo Uma bola é jogada para cima a partir do chão e sua altura em metros é dada pela função St t2 5t Determine a velocidade no instante t 1 s Figura 1 Trajetória da bola Resolução Devemos calcular a derivada de S em relação a t 2 dS Vt dt Vt t 5t Vt 2t 5 Queremos saber a velocidade no instante t 1 s Assim substituindo em Vt V1 2 1 5 V1 3 ms Exemplo 2 O número aproximado de pessoas infectadas por uma epidemia em determinada cidade é dado por Nt 100t t3 Determine a taxa de expansão da epidemia após 5 dias 19 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Resolução A taxa de expansão é dada pela derivada da função Nt 2 dN Nt dt Nt 100 3t Como queremos a taxa após 5 dias devemos calcular N5 2 N5 100 3 5 N5 100 75 N5 25 Logo a taxa de expansão da epidemia é de 25 pessoas por dia Exemplo 3 Uma bola é jogada para cima a partir do solo e sua altura é dada pela expressão St t2 10t com a altura S em metros e o tempo t em segundos Determine a A velocidade da bola no instante t b A velocidade da bola após 2 segundos Resolução a Sabemos que a velocidade é a variação do espaço pelo tempo Assim dS Vt St dt Vt 2t 10 Logo a velocidade num instante qualquer será dada pela expressão Vt 2t 10 20 Unidade I b Queremos a velocidade após 2 segundos devemos então calcular V2 isto é S2 V2 2 2 10 V2 4 10 V2 6 ms Logo a velocidade da bola após 2 segundos será de 6 ms Exemplo 4 Uma torneira lança água em um tanque Se o volume v litros de água no tanque no instante t min é dado pela função vt 4t3 2t2 determine a A vazão V num instante t b A vazão V após 2 minutos Resolução a Sabemos que vazão é a variação do volume pelo tempo Assim dv Vt vt dt Vt 12t2 4t Logo a vazão num instante qualquer será dada pela expressão Vt 12t2 4t b Queremos a vazão após 2 minutos devemos então calcular V2 V2 12 22 4 2 V2 48 8 V2 56 Lmin Logo a vazão após 2 segundos será de 56 Lmin 21 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Saiba mais Conheça mais sobre derivadas e suas aplicações STEWART J Cálculo São Paulo Pioneira Thomson Learning 2013 v 1 14 Ampliando seu leque de exemplos Exemplo 1 Calcular a derivada das funções x a y 12x 5e Para determinar a derivada da função devemos aplicar duas regras uma para 12x e outra para 5ex Assim y 12 5ex b y 2x3 5 Lnx cos x 3 1 1 y 2 3x 5 senx x 4 5 y 6x x senx c y 2 senx x Antes de calcular a derivada devemos transformar a raiz em expoente fracionário y 2 senx x12 1 1 1 2 y 2cosx x 2 1 2 1 y 2cosx x 2 22 Unidade I Podemos voltar para a notação de raiz 1 y 2cosx 2 x d y 4x3 3x4 2 cos x Nesse caso temos três funções Devemos determinar a derivada de cada uma das partes conforme a regra apropriada Assim 3 4 y 4 x 3x 2 cosx 3 1 4 1 y 43x 34x 2 senx 2 5 y 12x 12x 2senx e y 3x2 2x ex Queremos calcular a derivada do produto das funções u 3x2 2x e v ex para isso calculamos as derivadas separadamente e depois substituímos na regra do produto Calculando as derivadas temos 2 2 1 x x u 3x 2x u 3 2 x 2 u 6x 2 v e u e Substituindo na regra temos y u v u v u v y 6x 2 ex 3x2 2x ex Colocando ex em evidência temos y ex6x 2 3x2 2x y ex3x2 4x 2 23 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2 3 f y 2 senx 3 x x 6x 3 Queremos calcular a derivada do produto das funções u 2senx 3x2 e v x3 6x 3 para isso calculamos as derivadas separadamente e depois substituímos na regra do produto Calculando a derivada das funções u e v temos 2 2 1 3 2 u 2senx 3x u 2cosx 3 2 x u 2cosx 6x v x 6x 3 v 3x 6 Substituindo na regra temos 2 3 2 3 y u v u v u v y 2senx 3x x 6x 3 2senx 3x x 6x 3 3 2 2 y 2cosx 6xx 6x 3 2senx 3x 3x 6 Utilizando a propriedade distributiva temos 3 2 4 2 y 2x cosx 12xcosx 6cosx 6x senx 12senx 15x 54x 18x 2x2 4 x 5 g y 3x 4 Temos o quociente de duas funções u 2x2 4x 5 e v 3x 4 Calculando as derivadas de u e v separadamente temos 2 u 2x 4x 5 u 4x 4 v 3x 4 u 3 Substituindo na regra temos 2 2 2 2 u v u v 2x 4x 5 3x 4 2x 4x 5 3x 4 y 3x 4 v 24 Unidade I 2 2 4x 4 3x 4 2x 4x 5 3 y 3x 4 Utilizando a propriedade distributiva no numerador temos 2 2 4x 3x 4x 4 43x 44 6x 12x 15 y 3x 4 2 2 2 12 x 16x 12x 16 6x 12 x 15 y 3x 4 3 2 6 x 16x 31 y 3x 4 x 3 2 e x h y x 10 Temos o quociente de duas funções u ex x3 e v x2 10 Calculando as derivadas de u e v separadamente temos x 3 x 2 2 u e x u e 3x v x 10 v 2x Substituindo na regra temos x 3 2 x 3 2 2 2 2 u v u v e x x 10 e x x 10 y v x 10 x 2 2 x 3 2 2 e 3x x 10 e x 2x y x 10 i y 5x3 2x4 3 4 1 3 y 4 5x 2x 5x 2x 25 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 3 4 1 3 1 y 4 5x 2x 53x 2x 3 3 2 y 4 5x 2x 15x 2 j y 4 ex32x x3 2x x3 2x 3 x3 2x 2 y 4 e y 4 e x 2x y 4 e 3x 2 1 3 2 3 2 2 k y senx 5x 2x ou y senx 5x 2x 1 3 2 2 y senx 5x 2x 1 1 3 2 3 2 2 1 y cosx 5x 2x 5x 2x 2 1 3 2 2 2 1 y cosx 5x 2x 15x 4x 2 Escrevendo novamente na forma de raiz temos 2 3 2 15x 4x y cosx 2 5x 2x l y ex23x Ln2x2 5x y ex23x Ln2x2 5x x2 3x 2 2 2 1 y e x 3x 2x 5x 2x 5x 26 Unidade I x2 3x 2 1 y e 2x 3 4x 5 2x 5x Exemplo 2 Um tanque inicialmente vazio está sendo cheio No instante t minutos o volume de água no tanque é dado pela função Vt 5t3 4tlitros Determine a taxa de variação do volume de água em função do tempo no instante t 5 minutos Resolução Para determinar a taxa de variação do volume precisamos calcular a derivada da função volume Assim 3 dV Vt 5t 4t dt Vt 15t2 4 Como queremos a taxa de variação no instante t 5 min devemos determinar o valor de V5 V5 15 52 4 V5 379 Lmin Exemplo 3 Uma empresa estima que quando q unidades de determinado produto são fabricadas a receita bruta associada é dada por Rq q2 2q mil reais Para q 5 unidades determine a taxa de variação da receita Resolução A taxa de variação é a derivada da receita em relação à quantidade produzida Devemos inicialmente derivar a função receita numa quantidade qualquer e depois calcular a taxa de variação para a quantidade 5 Derivando Rq q2 2q temos Rq 2q 2 27 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Queremos a taxa de variação para q 5 substituindo na derivada temos R5 2 5 2 R5 12 mil reaisunidade Logo a taxa de variação quando q 5 é de 12 mil reaisunidade Exemplo 4 A Lei de BoyleMariotte trata de como as mudanças no volume alteram a pressão de um gás ideal e como as mudanças na pressão alteram o volume sob temperatura constante Assim sob temperatura constante teremos que o produto da pressão pelo volume de um gás é constante isto é P V c Baseado nisso determine a taxa de variação do volume litros em relação à pressão atm para um gás ideal em temperatura constante tal que P V 20 quando P 15 atm Resolução Para determinar a taxa de variação do volume em relação à pressão devemos calcular a derivada do volume Inicialmente devemos reescrever a expressão isolando V 20 PV 20 V P Modificando a expressão para facilitar a derivada temos 1 20 V V 20P P Derivando V em relação a P 2 dV 20 1P dP 2 dV 20 dP P 28 Unidade I Queremos a taxa de variação quando P 15 atm Substituindo na derivada vem 2 dV 20 dP 15 dV 889 Latm dP Logo a taxa de variação do volume será 889 Latm 2 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Veremos inicialmente algumas situações simples que geram funções de várias variáveis Exemplo 1 Considere um retângulo de lados x e y y x Figura 2 Retângulo A função que determina a área desse retângulo será uma função de duas variáveis A Axy x y Exemplo 2 Considere um cilindro com raio r e altura h h r Figura 3 Cilindro 29 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A função que determina o volume do cilindro será uma função de duas variáveis V Vrh 2 V V rh r h π No próximo exemplo veremos uma situação que gera uma função de três variáveis Exemplo 3 Considere um paralelepípedo de lados a b e c c b a Figura 4 Paralelepípedo A função que determina o volume do paralelepípedo será uma função de três variáveis V V abc a b c Observação Estudaremos funções de duas variáveis porém os conceitos que serão vistos poderão ser estendidos a funções de várias variáveis Com exceção do gráfico das funções que só é representado graficamente para duas variáveis 21 Conceito de funções de duas variáveis Sabemos que a definição de função de uma variável é uma relação de A em B que satisfaz a condição todo elemento de A tem um único correspondente em B Para definir uma função de duas variáveis precisaremos de uma região D D subconjunto do plano que denominaremos IR2 lêse erre 2 e de uma relação que associa os elementos de D a um número real 30 Unidade I Temos então f D IR xy z fxy O conjunto D é o domínio da função z fxy e IR é o conjunto de chegada ou contradomínio Observação A notação IR2 ou IRxIR indica o conjunto dos pares ordenados de números reais e representa o plano Na figura a seguir podemos ver a representação do domínio do contradomínio e da imagem de um ponto pela função de duas variáveis f D IR z x y y0 x0y0 fx0y0 D x0 z0 Figura 5 Domínio e imagem de f Note que o domínio D está representado no plano x0y e a imagem está no eixo z Os três eixos são perpendiculares entre si isto é o ângulo entre eles é de 90º As retas auxiliares tracejadas utilizadas para localizar o ponto x0 y0 e o ponto fx0 y0 serão sempre paralelas aos eixos Exemplo de aplicação Exemplo 1 As expressões a seguir representam funções de duas variáveis Determine o valor da função no ponto indicado isto é a imagem do ponto pela função a fxy 2x2 y 3 P12 31 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Resolução Para determinar a imagem do ponto P substituiremos na expressão da função x por 1 e y por 2 Assim teremos 2 f12 21 2 3 f12 2 2 3 f12 1 Representando graficamente o ponto P e sua imagem temos a figura a seguir z x y 2 12 f12 1 1 Figura 6 Representação do ponto P b fxy cosx y P0 π Resolução Para determinar a imagem do ponto P substituiremos na expressão da função x por 0 e y por π Assim teremos f0 cos0 π π f0 cos 1 π π 32 Unidade I No ciclo trigonométrico vimos que o eixo dos cossenos é representado no eixo x com valores 1 cos x 1 Observando o ciclo trigonométrico notamos que cos π 1 2 c fxy x y P 10 e Q12 Resolução Inicialmente devemos determinar a imagem do ponto P10 substituindo na expressão da função x por 1 e y por 0 Assim teremos 2 f 10 1 0 IR Não é possível calcular f10 O ponto P10 não é ponto do domínio de f isto é 10 D Calculando agora a imagem de Q12 substituímos x por 1 e y por 2 2 f12 1 2 f12 5 Observação É necessário saber o domínio da função para que se saiba para quais pontos é possível calcular o valor da função no ponto 2 d frh r h P25 π Resolução Para determinar a imagem do ponto P25 vamos substituir na expressão da função r por 2 e h por 5 Assim teremos 2 frh 2 5 π frh 20 π 33 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo 2 O volume de um recipiente cilíndrico é uma função de duas variáveis raio r e altura h Determine o volume de uma caixa dágua cilíndrica que tem diâmetro de 4 metros e altura de 15 metros Resolução Sabemos que o volume de um cilindro é dado pela função Vrh π r2 h Segundo o enunciado o diâmetro é de 4 m logo o raio será r 2 m Substituindo na expressão do volume vem V215 π 22 15 V215 60π m3 Exemplo 3 Um comerciante está colocando em promoção dois produtos A e B O produto A terá preço de venda de R 6000 a unidade e o produto B terá preço de venda de R 5500 a unidade Escreva a expressão que indica a receita obtida com a venda dos produtos A e B Resolução Sejam x e y as quantidades vendidas dos produtos A e B respectivamente A receita obtida com a venda dos produtos será dada pela expressão Rxy 60x 55y 22 Elementos de uma função de duas variáveis Como vimos uma função de duas variáveis é definida de pontos do plano IR2 em valores reais IR Conforme a expressão da nossa função esses conjuntos podem ser limitados isto é nem sempre poderemos calcular a função para qualquer par ordenado do IR2 e nem sempre encontraremos como resultado da nossa função qualquer valor real Outro elemento importante quando estudamos funções são seus gráficos Estudaremos a seguir os conjuntos domínio e imagem e a partir deles o gráfico da função de duas variáveis 34 Unidade I 221 Domínio Os pontos do domínio serão os valores para x e y de modo que seja possível calcular fxy Lembrete Assim como para funções de uma variável utilizaremos as notações Df ou D para indicar o conjunto domínio da função Para algumas funções será necessário restringir os pares ordenados pontos do IR2 Assim teremos D IR2 isto é o domínio é subconjunto do IR2 Nesse caso nem todo par ordenado fará parte do domínio da função O conjunto D deverá ser o maior conjunto possível para os valores de x e y Devese observar a função e verificar se há alguma restrição para o cálculo de fxy A seguir veremos alguns dos itens mais comuns encontrados nas expressões de fxy A expressão tem denominador nesse caso devemos excluir os valores que zeram o denominador A expressão tem raiz quadrada ou de índice par no conjunto dos reais não existe raiz quadrada ou de índice par de números negativos assim os valores dentro da raiz devem ser maiores ou iguais a zero A expressão tem logaritmo logab nesse caso devemos lembrar que a base a deve ser maior que zero e diferente de 1 isto é a 0 e a 1 E ainda o logaritmando b deve ser maior do que zero isto é b 0 Para funções de duas variáveis além de sabermos o conjunto domínio de f será útil também o gráfico do domínio Veremos a seguir exemplos de cálculo do domínio de algumas funções e seus respectivos gráficos Exemplo de aplicação Exemplo 1 Determinar o domínio da função e sua representação gráfica 1 fxy x 3y 35 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Resolução Observando a expressão de fxy notamos que tem um denominador Assim teremos então restrição para o domínio o denominador deve ser diferente de zero Assim devemos ter x 3y 0 Logo o conjunto domínio será dado por 2 D xy IR x 3y 0 Podemos escrever também na forma 2 Df xy IR x 3y Observação Ambas as formas de escrever o conjunto domínio podem ser usadas Elas representam o mesmo conjunto de pares ordenados Para representar graficamente o domínio iniciamos estudando a restrição com a igualdade Isso nos dará o contorno da região e a seguir devemos verificar a região que satisfaz a condição de D Nesse caso a condição do domínio é x 3y 0 Assim devemos representar graficamente x 3y 0 Notamos que é a equação de uma reta e daí para seu gráfico serão necessários apenas dois pontos Escolheremos dois valores para x por exemplo x 0 e x 3 e calcularemos os valores de y Assim x 0 0 3y 0 3y 0 y 0 x 3 3 3y 0 3y 3 y 1 Podemos representar numa tabela Tabela 1 x y xy 0 0 00 3 1 31 36 Unidade I Representando os pontos encontrados no plano 0xy temos inicialmente uma reta que representaremos tracejada y 1 0 3 x Figura 7 Reta x y 3 Para estabelecer a região que representará o domínio de f vamos escolher dois pontos do plano sendo cada um deles em um dos dois semiplanos determinados pela reta e verificar se os pontos satisfazem as condições estabelecidas em D Por exemplo podemos escolher A01 ponto acima da reta e B20 ponto abaixo da reta Substituindo na condição do domínio temos Ponto A01 Condição do domínio x 3y 0 Substituindo as coordenadas do ponto A 0 3 1 0 3 0 V Logo A01 D Ponto B20 Condição do domínio x 3y 0 37 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Substituindo as coordenadas do ponto B 2 3 0 0 2 0 V Logo B20 D Observação Podemos escolher quaisquer dois pontos do plano Daremos preferência por escolher pontos nos eixos por terem um dos valores iguais a zero e serem facilmente localizados no plano Notamos que tanto os pontos acima da reta quanto os pontos abaixo da reta pertencem ao domínio de f Excluímos então somente os pontos da reta x 3y 0 Representando graficamente o domínio de f temos a região D todos os pontos do plano exceto os pontos da reta y 1 0 3 B D A x Figura 8 Domínio de 1 fxy x 3y 38 Unidade I Exemplo 2 Determinar o domínio da função e sua representação gráfica 1 fxy x y Resolução Nesse caso notamos que a função apresenta duas restrições para o domínio o denominador que deve ser diferente de zero e raiz quadrada que só pode ser calculada para valores maiores ou iguais a zero Assim devemos ter x y 0 e x y 0 isto é x y 0 Logo o conjunto domínio será dado por 2 D xy IR x y 0 Para representar graficamente o domínio iniciamos estudando a restrição com a igualdade Isso nos dará o contorno da região e a seguir devemos verificar a região que satisfaz a condição de D Nesse caso a condição do domínio é x y 0 Assim devemos representar graficamente x y 0 Notamos que é a equação de uma reta e daí para seu gráfico serão necessários apenas dois pontos Escolheremos dois valores para x por exemplo x 0 e x 1 e calcularemos os valores de y Assim x 0 0 y 0 y 0 x 1 1 y 0 y 1 Podemos representar numa tabela Tabela 2 x y xy 0 0 00 1 1 11 Representando os pontos encontrados no plano 0xy temos inicialmente uma reta que representaremos tracejada 39 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1 x 0 y 1 Figura 9 Gráfico de x y 0 Para estabelecer a região que representará o domínio de f escolheremos dois pontos do plano sendo cada um deles em um dos dois semiplanos determinados pela reta e verificaremos se os pontos satisfazem as condições estabelecidas em D Por exemplo podemos escolher A01 ponto acima da reta e B01 ponto abaixo da reta Substituindo na condição do domínio temos Ponto A01 Condição do domínio x y 0 Substituindo as coordenadas do ponto A 0 1 0 1 0 V Logo A01 D Ponto B01 Condição do domínio x y 0 Substituindo as coordenadas do ponto B 0 1 0 1 0 F Logo B01 D 40 Unidade I Notamos que os pontos acima da reta pertencem ao domínio de f Já os pontos do semiplano onde está o ponto B não pertencem ao domínio de f Representando graficamente o domínio de f temos a região D 1 x D A B y 0 1 1 Figura 10 Domínio de 1 fxy x y Observe que a reta não pertence ao domínio de f pois a condição é x y 0 isto é não inclui x y 0 reta Exemplo 3 Determinar o domínio da função e sua representação gráfica 2 fxy y 4x Resolução Nesse caso notamos que a função apresenta uma restrição para o domínio raiz quadrada que só pode ser calculada para valores maiores ou iguais a zero Assim devemos ter y 4x2 0 Logo o conjunto domínio será dado por 2 2 D xy IR y 4x 0 Podemos escrever de outra forma o conjunto domínio de f D xy IR2y 4x2 41 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Para representar graficamente o domínio iniciamos estudando a restrição com a igualdade Isso nos dará o contorno da região e a seguir devemos verificar a região que satisfaz a condição de D Nesse caso a condição do domínio é y 4x2 Assim devemos representar graficamente y 4x2 Notamos que é a equação de uma parábola Lembrete Já vimos que para fazer o gráfico de uma parábola podemos fazer uma tabela de pontos ou então determinar os cortes em x e em y e determinar as coordenadas do vértice Nesse caso como b 0 e c 0 determinaremos o vértice e utilizando o fato de que a parábola é simétrica em relação à reta vertical que passa pelo x do vértice utilizaremos também a tabela de pontos Calculando as coordenadas do vértice temos 2 b 0 0 4 4 0 V 00 2a 4a 2 4 4 4 Escolheremos dois valores para x simétricos em relação ao x do vértice Por exemplo x 1 e x 1 e calcularemos os valores de y Assim Para x 1 temos y 412 y 4 Para x 1 temos y 4 12 y 4 Podemos representar numa tabela Tabela 3 x y 4x2 xy 1 412 4 14 0 0 00 1 412 4 11 Representando os pontos encontrados no plano 0XY temos inicialmente uma parábola que representaremos tracejada 42 Unidade I y 1 1 0 x Figura 11 Gráfico de y 4x2 Para estabelecer a região que representará o domínio de f escolheremos dois pontos do plano sendo um deles no interior da parábola e outro na região externa e verificaremos se satisfazem a condição estabelecida em D Por exemplo podemos escolher A10 ponto na região externa da parábola e B02 ponto na região interna Substituindo na condição do domínio temos Ponto A10 Condição do domínio y 4x2 Substituindo as coordenadas do ponto A 0 4 12 0 4 F Logo A10 D Ponto B02 Condição do domínio y 4x2 Substituindo as coordenadas do ponto B 2 4 02 2 0 V Logo B02 D 43 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Notamos que os pontos da região interna da parábola pertencem ao domínio de f Já os pontos da região externa onde está o ponto A não pertencem ao domínio de f Representando graficamente o domínio de f temos a região D y 1 1 0 D B 2 A x Figura 12 Domínio de 2 fxy y 4x Note que nesse caso o contorno da região também pertence ao domínio pois a condição y 4x2 inclui os pontos onde y 4x2 parábola No gráfico a parábola deve ser desenhada com linha contínua Exemplo 4 Determinar o domínio da função e sua representação gráfica 2 2 3x fxy x y Resolução Nesse caso notamos que a função apresenta uma restrição para o domínio o denominador que deve ser diferente de zero Assim devemos ter x2 y2 0 Logo o conjunto domínio será dado por 2 2 2 D xy IR x y 0 Para representar graficamente o domínio iniciamos estudando a restrição com a igualdade Isso nos dará o contorno da região e a seguir devemos verificar a região que satisfaz a condição de D 44 Unidade I Nesse caso a condição do domínio é x2 y2 0 Assim devemos representar graficamente x2 y2 0 Observação Da matemática básica sabemos que a soma de dois números positivos só será igual a zero quando ambos forem iguais a zero Assim x2 y2 0 se e somente se x y 0 o que representa o ponto 00 Concluímos então que no domínio só devemos excluir o ponto 00 do plano IR2 Representando graficamente o conjunto D temos todos os pontos do plano exceto 00 y D 0 x Figura 13 Domínio de 2 2 3x fxy x y Exemplo 5 Determinar o domínio da função e sua representação gráfica 2 2 fxy 64 x y Resolução Nesse caso notamos que a função tem uma restrição para o domínio raiz quadrada que só pode ser calculada para valores maiores ou iguais a zero Assim devemos ter 64 x2 y2 0 Logo o conjunto domínio será dado por 2 2 2 D xy IR 64 x y 0 45 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Podemos escrever também 2 2 2 D xy IR x y 64 Para representar graficamente o domínio iniciamos estudando a restrição com a igualdade Isso nos dará o contorno da região e a seguir devemos verificar a região que satisfaz a condição de D Nesse caso a condição do domínio é x2 y2 64 Assim devemos representar graficamente x2 y2 64 Notamos que é a equação de uma circunferência de centro 00 e raio r 64 8 Observação Sabemos que 64 tem dois resultados possíveis 8 mas como se trata de medida só nos interessa o resultado positivo Representando a circunferência de centro 00 e raio 8 no plano 0xy temos y 0 8 x Figura 14 Gráfico de x2 y2 64 O gráfico da circunferência deve ser tracejado Para estabelecer a região que representará o domínio de f vamos escolher dois pontos do plano sendo um deles no interior da circunferência e o outro na região exterior e verificar se os pontos satisfazem as condições estabelecidas em D Por exemplo podemos escolher A00 na região interna e B90 na região externa Substituindo na condição do domínio temos Ponto A00 Condição do domínio x2 y2 64 46 Unidade I Substituindo as coordenadas do ponto A 2 2 0 6 0 4 0 64 V Logo A00 D Ponto B90 Condição do domínio x2 y2 64 Substituindo as coordenadas do ponto B 2 2 9 6 0 4 81 64 F Logo B90 D Notamos que os pontos na região interna onde está o ponto A pertencem ao domínio de f Já os pontos na região externa onde está o ponto B não pertencem ao domínio de f Representando graficamente o domínio de f temos a região D y 0 A B D 8 9 x Figura 15 Domínio de x2 y2 64 Observe que o contorno da região fará parte do domínio de f pois a condição é x2 y2 64 isto é inclui x2 y2 64 circunferência Exemplo 6 Determinar o domínio da função e sua representação gráfica 47 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2 2 x y fxy Ln 1 4 25 Resolução Lembrete Sabemos que a condição de existência para logab é que o logaritmando b deve ser maior que zero isto é b 0 Nesse caso teremos a restrição do logaritmo isto é logaritmando maior que zero Assim devemos ter 2 2 x y 1 0 4 25 Logo o conjunto domínio será dado por 2 2 2 x y D xy IR 1 0 4 25 Podemos escrever também 2 2 2 x y D xy IR 1 4 25 Para representar graficamente o domínio iniciamos estudando a restrição com a igualdade Isso nos dará o contorno da região e a seguir devemos verificar a região que satisfaz a condição de D Nesse caso a condição do domínio é 2 2 x y 1 4 25 Assim devemos representar graficamente 2 2 x y 1 4 25 Notamos que é a equação de uma elipse com a 2 e b 5 Representando a elipse no plano 0xy temos 48 Unidade I 5 y 0 2 x Figura 16 Gráfico de 2 2 x y 1 4 25 O gráfico da elipse deve ser feito tracejado Uma elipse determina duas regiões uma interna e outra externa escolhendo dois pontos A00 região interna e B30 região externa Ponto A00 Condição do domínio 2 2 x y 1 4 25 Substituindo as coordenadas do ponto A 2 2 1 4 0 0 25 0 0 1 0 1 V Logo A00 D Ponto B30 Condição do domínio 2 2 x y 1 4 25 Substituindo as coordenadas do ponto B 2 2 1 4 3 0 25 49 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 9 0 1 4 9 1 F 4 Logo B30 D Assim a região do domínio será a interna à elipse Note que a condição 2 2 x y 1 4 25 não inclui o contorno Assim a elipse deve continuar tracejada Representando graficamente o domínio de f temos a região D y 5 0 A B D 2 3 x Figura 17 Domínio de 2 2 x y 1 4 25 Saiba mais Conheça mais sobre elipses ELIPSE Só Matemática 2019 Disponível em httpswwwsomatematica combremedioconicasconicas1php Acesso em 17 set 2019 222 Imagem Seja f D IR usaremos notação Imf para indicar a imagem da função fxy O conjunto Imf é um subconjunto de IR isto é Imf IR A imagem de f será formada pelos valores reais que são imagem de algum xy do domínio de f 50 Unidade I Assim temos Imf z IR xy D com fxy z Lembrete O símbolo indica existência Assim lemos a expressão xy D como existe um par xy que pertence ao domínio de f Exemplo de aplicação Exemplo 1 Determinar a imagem da função 1 fxy x 3y Resolução Observando a função notamos que não teremos fxy 0 Assim Imf z IR z 0 Podemos escrever também Imf IR 0 Exemplo 2 Determinar a imagem da função 1 fxy x y Resolução Observando a expressão da função fxy notamos que o denominador será sempre maior que zero Assim z fxy 0 Logo Imf z IR z 0 51 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo 3 Determinar a imagem da função 2 fxy y 4x Resolução Observando a expressão de fxy notamos que é uma raiz positiva o sinal antes da raiz é positivo Assim f será sempre maior ou igual a zero isto é z fxy 0 ou simplesmente z 0 Logo Imf z IR z 0 Observação Se 2 z y 4x teríamos uma raiz negativa e daí z 0 Exemplo 4 Determinar a imagem da função 2 2 3x fxy x y Resolução Observando a expressão de fxy notamos que o numerador 3x pode assumir qualquer valor real já o denominador x2 y2 será sempre maior que zero Assim 2 2 3x z x y poderá assumir qualquer valor real Logo Imf IR Lembrete A expressão x2 y2 é maior ou igual a zero porém por estar no denominador da função não poderá ser igual a zero Exemplo 5 Determinar a imagem da função 2 2 fxy 64 x y 52 Unidade I Resolução Observando a expressão de fxy notamos que o sinal antes da raiz é positivo logo z 0 Mas a raiz só existe para x2 y2 64 Assim z também ficará limitado pelo maior valor que poderemos encontrar na raiz O maior valor possível para a raiz será encontrado quando x y 0 Assim teremos z 64 e daí teremos 8 z 8 A intersecção das duas condições será 0 z 8 Imf z IR 0 z 8 223 Gráfico O gráfico G de uma função de duas variáveis será uma superfície no espaço IR3 Devemos trabalhar com três eixos coordenados perpendiculares dois a dois conforme a figura a seguir z G y D x Figura 18 Superfície G Nem sempre é prático fazer o gráfico de uma superfície Muitas vezes serão feitos com o auxílio de softwares gráficos Para a construção do gráfico de uma função de duas variáveis precisaremos determinar o domínio e a imagem da função 53 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS cortes nos eixos x y e z fazendo duas das coordenadas iguais a zero e determinando o valor da terceira cortes nos planos fazendo uma coordenada igual a zero e determinando a equação da curva de intersecção com o plano A seguir veremos o gráfico de algumas funções Exemplo de aplicação Exemplo 1 Construir o gráfico da função fx y x y 2 isto é z x y 2 Resolução Para a construção do gráfico da função seguiremos as etapas sugeridas anteriormente 1 Determinando o domínio e a imagem Observando a função notamos que não há restrições Assim D IR A função pode assumir qualquer valor Então Im f IR 2 Determinando os cortes nos eixos Eixo x o corte em x ocorre quando y z 0 Substituindo na expressão de z z x y 2 0 2 0 x x 2 O ponto de corte no eixo x será em A200 Eixo y o corte em y ocorre quando x z 0 Substituindo na expressão de z z x y 2 54 Unidade I 0 y 2 0 y 2 O ponto de corte no eixo y será em B020 Eixo z o corte em z ocorre quando x y 0 Substituindo na expressão de z z x y 2 z 2 0 0 z 2 O ponto de corte no eixo z será em C002 Já temos dois pontos da curva de corte com os planos Falta determinar o tipo de curva que ligará esses pontos 3 Determinando os cortes nos planos Plano 0xy o corte no plano 0xy ocorre quando z 0 Substituindo na expressão de z z x y 2 0 x y 2 y x 2 equação de reta Assim os pontos A e B serão unidos por uma reta Plano 0xz o corte no plano 0xz ocorre quando y 0 Substituindo na expressão de z z x y 2 z 2 0 x 55 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS z x 2 equação de reta Assim os pontos A e C serão unidos por uma reta Plano 0yz o corte no plano 0yz ocorre quando x 0 Substituindo na expressão de z z x y 2 0 z y 2 z y 2 equação de reta Assim os pontos B e C serão unidos por uma reta Lembrete Na representação no IR3 só visualizaremos a região em que x y e z são maiores ou iguais a zero Substituindo os dados encontrados nos eixos temos a representação gráfica de z x y 2 z C A B 0 20 0 02 2 00 y x Figura 19 Plano z x y 2 O gráfico da função fx y x y 2 é um plano Exemplo 2 Construir o gráfico da função fx y 5 isto é z 5 56 Unidade I Resolução Para a construção do gráfico da função seguiremos as etapas sugeridas anteriormente 1 Determinando o domínio e a imagem Observando a função notamos que não há restrições Assim D IR A função só pode assumir o valor 5 Então Im f 5 2 Determinando os cortes nos eixos Eixo x o corte em x ocorre quando y z 0 Não corta o eixo x pois z 0 Eixo y o corte em y ocorre quando x z 0 Não corta o eixo y pois z 0 Eixo z o corte em z ocorre quando x y 0 z 5 O ponto de corte no eixo z será em A005 3 Determinando os cortes nos planos Plano 0xy o corte no plano 0xy ocorre quando z 0 Não corta o plano 0xy pois z 0 Plano 0xz o corte no plano 0xz ocorre quando y 0 Substituindo na expressão de z z 5 para qualquer x O corte no plano 0xz é a reta z 5 reta paralela ao eixo x 57 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Tabela 4 x z 5 x z 0 5 05 1 5 15 Plano 0yz o corte no plano 0yz ocorre quando x 0 Substituindo na expressão de z z 5 para qualquer y O corte no plano 0yz é a reta z 5 reta paralela ao eixo y Tabela 5 y z 5 y z 0 5 05 1 5 15 Substituindo os dados encontrados nos eixos temos a representação gráfica de z 5 z y x 1 0 5 0 0 5 Corte Oxz Corte Oyz 0 1 5 Figura 20 Gráfico de z 5 O gráfico da função z 5 é um plano paralelo ao plano 0xy Exemplo 3 Construir o gráfico da função 2 2 fxy x y 16 isto é z2 x2 y2 16 com z 0 58 Unidade I Resolução Para a construção do gráfico da função seguiremos as etapas sugeridas 1 Determinando o domínio e a imagem Observando a função notamos que há uma raiz quadrada Assim 2 2 2 D xy IR x y 16 0 Notamos pela expressão da função que z 0 e z é limitado pelo maior valor possível de 2 2 x y 16 O maior valor de 2 2 z x y 16 ocorre quando x y 0 isto é quando z 16 Logo 0 z 4 Imf z IR 0 z 4 2 Determinando os cortes nos eixos Eixo x o corte em x ocorre quando y z 0 Substituindo na expressão de z z2 x2 y2 16 2 2 2 x 16 0 0 x2 16 x 4 Os pontos de corte no eixo x serão em A1 400 e A2 400 Eixo y o corte em y ocorre quando x z 0 Substituindo na expressão de z z2 x2 y2 16 2 2 2 6 0 1 0 y 59 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS y2 16 y 4 Os pontos de corte no eixo y serão em B1 020 e B2 020 Eixo z o corte em z ocorre quando x y 0 Substituindo na expressão de z z2 x2 y2 16 2 2 2 6 0 z 1 0 z2 16 z 4 Sabemos que z 0 Logo só utilizaremos o valor z 4 O ponto de corte no eixo z será em C004 Observação Já temos dois pontos da curva de corte com os planos Falta determinar que tipo de curva ligará os pontos 3 Determinando os cortes nos planos Plano 0xy o corte no plano 0xy ocorre quando z 0 Substituindo na expressão de z z2 x2 y2 16 2 2 2 x 16 0 y x2 y2 16 circunferência de centro 00 e raio r 4 Assim os pontos de corte nos eixos x e y serão unidos por uma circunferência 60 Unidade I Plano 0xz o corte no plano 0xz ocorre quando y 0 Substituindo na expressão de z z2 x2 y2 16 z2 x2 02 16 x2 y2 16 circunferência de centro 00 e raio r 4 Assim os pontos de corte nos eixos x e z serão unidos por uma circunferência Plano 0yz o corte no plano 0yz ocorre quando x 0 Substituindo na expressão de z z2 x2 y2 16 z2 02 y2 16 x2 y2 16 circunferência de centro 00 e raio r 4 Assim os pontos de corte nos eixos y e z serão unidos por uma circunferência Substituindo os dados encontrados nos eixos temos a representação gráfica dos cortes da função 2 2 z x y 16 z y Corte 0yz Corte 0xz 0 0 4 0 4 0 4 0 0 Corte 0xy x Figura 21 Cortes da função 2 2 z x y 16 61 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A imagem está entre 0 e 4 Logo o gráfico será uma semiesfera de raio 4 Na figura a seguir temos a representação final do gráfico de 2 2 z x y 16 y 0 0 4 0 4 0 4 0 0 x z Figura 22 Gráfico de 2 2 z x y 16 O gráfico da função 2 2 z x y 16 é uma semiesfera Exemplo 4 Construir o gráfico da função fxy x2 y2 isto é z x2 y2 Resolução Para a construção do gráfico da função seguiremos as etapas sugeridas 1 Determinando o domínio e a imagem Observando a função notamos que não há restrições Logo D IR2 Notamos pela expressão da função que z 0 Imf z IR z 0 2 Determinando os cortes nos eixos Eixo x o corte em x ocorre quando y z 0 62 Unidade I Substituindo na expressão de z z x2 y2 2 2 0 0 x x2 0 x 0 O ponto de corte no eixo x será em A000 Eixo y o corte em y ocorre quando x z 0 Substituindo na expressão de z z x2 y2 2 2 0 y 0 y2 0 y 0 O ponto de corte no eixo x será em B000 Eixo z o corte em z ocorre quando x y 0 Substituindo na expressão de z z x2 y2 2 2 z 0 0 z 0 O ponto de corte no eixo z será em C 000 3 Determinando os cortes nos planos Plano 0xy o corte no plano 0xy ocorre quando z 0 63 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Substituindo na expressão de z 2 2 0 x y x2 y2 0 ponto 000 Plano 0xz o corte no plano 0xz ocorre quando y 0 Substituindo na expressão de z 2 2 z 0 x z x2 parábola com concavidade para cima precisamos de mais dois pontos Tabela 6 x z x2 x z 1 12 1 11 1 12 1 11 Plano 0yz o corte no plano 0yz ocorre quando x 0 Substituindo na expressão de z 2 2 z y 0 z y2 parábola com concavidade para cima precisamos de mais dois pontos Tabela 7 y z y2 y z 1 12 1 11 1 12 1 11 Substituindo os dados encontrados nos eixos temos a representação gráfica dos cortes da função fxy x2 y2 64 Unidade I z y Corte 0yz Corte 0xz x Figura 23 Gráfico de fxy x2 y2 O gráfico da função é um paraboloide Veremos a seguir alguns gráficos gerados por computador utilizando o software Winplot Um software livre gratuito e autoexecutável isto é não necessita de instalação em seu disco rígido Basta baixar e executar O Winplot gera gráficos em 2D e 3D a partir de expressões matemáticas Exemplo de aplicação Exemplo 1 Esboçar o gráfico da função fxy senx seny utilizando o Winplot Resolução Para podermos gerar o gráfico da função precisaremos escolher 3dim equação explícita e digitar a expressão z sinx siny Teremos como devolutiva a figura a seguir 65 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS z y Figura 24 Gráfico de z senx seny gerado no Winplot Exemplo 2 Esboçar o gráfico da função 2 2 2 2 senx y z x y utilizando o Winplot Resolução Para podermos gerar o gráfico da função precisaremos escolher 3dim equação explícita e digitar a expressão z sinxx yy xx yy Teremos como devolutiva a figura a seguir z y x Figura 25 Gráfico de 2 2 2 2 senx y z x y gerado no Winplot Exemplo 3 Esboçar o gráfico da função z y2 utilizando o Winplot Resolução Para podermos gerar o gráfico da função precisaremos escolher 3dim equação explícita e digitar a expressão z yy Teremos como devolutiva a figura a seguir 66 Unidade I z y x Figura 26 Gráfico de z yy gerado no Winplot Exemplo 4 Esboçar o gráfico da função fxy xy utilizando o Winplot Resolução Para podermos gerar o gráfico da função precisaremos escolher 3dim equação explícita e digitar a expressão absxy Teremos como devolutiva a figura a seguir y x Figura 27 Gráfico de z xy gerado no Winplot 67 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 23 Curvas de nível ou mapa de contorno São as curvas obtidas quando cortamos o gráfico da função por planos paralelos ao plano 0xy Para obter as curvas de nível de uma função fixamos alguns valores no eixo z isto é fazemos z c Para algumas funções visualizar o gráfico da função pode não ser uma tarefa simples Com as curvas de nível podemos ter uma ideia de como é o gráfico da função Curvas de nível são utilizadas em mapas topográficos de regiões montanhosas Nesse caso teremos que numa curva de nível a altitude em relação ao nível do mar é constante Outro exemplo são as curvas isotérmicas que ligam regiões com mesma temperatura A seguir veremos alguns exemplos de curvas de nível para funções matemáticas Exemplo de aplicação Exemplo 1 Representar as curvas de nível da função fxy x y 2 para c 012 Resolução Devemos substituir z por cada um dos valores dados de c e representar graficamente cada caso no mesmo sistema de eixos c 0 Substituindo em z x y 2 0 x y 2 x y 2 0 y x 2 equação de reta Para representar graficamente a reta precisamos de dois pontos Assim escolhendo x 0 e x 2 teremos Tabela 8 x y x 2 x y 0 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 68 Unidade I c 1 Substituindo em z x y 2 1 x y 2 x y 2 1 y x 1 equação de reta Para representar graficamente a reta precisamos de dois pontos Assim escolhendo x 0 e x 1 teremos Tabela 9 x y x 1 x y 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 c 2 Substituindo em z x y 2 2 x y 2 x y 2 2 y x equação de reta Para representar graficamente a reta precisamos de dois pontos Assim escolhendo x 0 e x 1 teremos Tabela 10 x y x x y 0 0 0 0 1 1 1 1 Na figura a seguir temos a representação das três retas no mesmo sistema de eixos 69 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1 4 2 3 3 2 4 1 1 3 4 y x c 0 c 1 c 2 2 2 3 1 Figura 28 Curvas de nível z x y 2 Exemplo 2 Representar as curvas de nível da função 2 2 fxy x y 16 para c 024 Resolução Devemos substituir z por cada um dos valores dados de c e representar graficamente cada caso no mesmo sistema de eixos Inicialmente vamos reescrever a expressão trocando fxy por z e elevando ao quadrado os dois lados Assim teremos 2 2 2 2 z x y 16 Podemos escrever z2 x2 y2 16 x2 y2 z2 16 c 0 Substituindo em x2 y2 z2 16 70 Unidade I x2 y2 02 16 x2 y2 16 equação de circunferência de centro 00 e raio r 4 c 2 Substituindo em x2 y2 z2 16 x2 y2 22 16 x2 y2 12 equação de circunferência de centro 00 e raio r 12 34 c 4 Substituindo em x2 y2 z2 16 x2 y2 42 16 x2 y2 0 ponto 00 Na figura a seguir temos a representação das curvas de nível no mesmo sistema de eixos 1 4 2 3 3 2 4 1 1 3 4 y x 2 2 3 4 1 c 0 c 4 c 2 Figura 29 Curvas de nível 2 2 fxy x y 16 Podemos visualizar também as curvas de nível no gráfico da função 71 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS y z x Figura 30 Gráfico de 2 2 z x y 16 Exemplo 3 Representar as curvas de nível da função fxy x2 y2 para c 0149 Resolução Devemos substituir z por cada um dos valores dados de c e representar graficamente cada caso no mesmo sistema de eixos Inicialmente vamos reescrever a expressão trocando fxy por z Assim teremos z x2 y2 c 0 Substituindo em z x2 y2 2 2 0 x y x2 y2 0 ponto 00 c 1 72 Unidade I Substituindo em z x2 y2 2 2 1 x y x2 y2 1 circunferência de centro 00 e raio r 1 c 4 Substituindo em z x2 y2 2 2 4 x y x2 y2 4 circunferência de centro 00 e raio r 2 c 9 Substituindo em z x2 y2 2 2 9 x y x2 y2 9 circunferência de centro 00 e raio r 3 Na figura a seguir temos a representação das curvas de nível no mesmo sistema de eixos 1 4 2 3 3 2 4 1 1 3 4 y x 2 2 3 4 1 c 4 c 1 c 0 c 9 Figura 31 Curvas de nível z x2 y2 73 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Observação Nos exemplos 2 e 3 notamos que embora os gráficos das curvas de nível pareçam iguais quando colocamos no eixo z representam superfícies distintas 24 Ampliando seu leque de exemplos Exemplo 1 Determinar o domínio da função e sua representação gráfica 2 1 fxy y x Resolução Nesse caso notamos que a função tem duas restrições para o domínio raiz quadrada que só pode ser calculada para valores maiores ou iguais a zero e o denominador que deve ser diferente de zero Assim teremos y x2 0 Logo o conjunto domínio será dado por 2 2 D xy IR y x 0 Podemos escrever de outra forma o conjunto domínio de f 2 2 D xy IR y x Para representar graficamente o domínio iniciamos estudando a restrição com a igualdade Isso nos dará o contorno da região e a seguir verificaremos a região que satisfaz a condição de D Nesse caso a condição do domínio é y x2 Assim devemos representar graficamente y x2 Notamos que é a equação de uma parábola 74 Unidade I Lembrete Já vimos que para fazer o gráfico de uma parábola podemos fazer uma tabela de pontos ou então determinar os cortes em x e em y e determinar as coordenadas do vértice Nesse caso como b 0 e c 0 determinaremos o vértice e utilizando o fato de que a parábola é simétrica em relação à reta vertical que passa pelo x do vértice utilizaremos também a tabela de pontos Calculando as coordenadas do vértice temos 2 b 0 0 4 1 0 V 00 2a 4a 2 4 Escolheremos dois valores para x simétricos em relação ao x do vértice Por exemplo x 1 e x 1 e calcularemos os valores de y Assim x 1 temos y 12 y 1 x 1 temos y 12 y 1 Podemos representar numa tabela Tabela 11 x y x2 xy 1 12 1 11 0 0 00 1 12 1 1 1 Representando os pontos encontrados no plano 0xy temos inicialmente uma parábola que representaremos tracejada y 1 1 0 x Figura 32 Gráfico de y x2 75 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Para estabelecer a região que representará o domínio de f vamos escolher dois pontos do plano sendo um deles no interior da parábola e outro na região externa e verificar se satisfazem a condição estabelecida em D Por exemplo podemos escolher A10 ponto na externa da parábola e B02 ponto na região interna Substituindo na condição do domínio temos Ponto A10 Condição do domínio y x2 Substituindo as coordenadas do ponto A 0 12 0 1 F Logo A10 D Ponto B02 Condição do domínio y x2 Substituindo as coordenadas do ponto B 2 02 2 0 V Logo B02 D Notamos que os pontos da região interna da parábola pertencem ao domínio de f Já os pontos da região externa onde está o ponto A não pertencem ao domínio de f Representando graficamente o domínio de f temos a região D 76 Unidade I y 1 1 0 D B A x Figura 33 Domínio de 2 1 fxy y x Note que nesse caso o contorno da região não pertence ao domínio pois a condição y x2 não inclui os pontos onde y x2 parábola No gráfico a parábola deve ser desenhada com linha tracejada Exemplo 2 Determinar o domínio da função 1 fxy x y e sua representação gráfica Resolução Observando a expressão de fxy notamos que há uma raiz quadrada no denominador Assim teremos restrição para o domínio x y 0 Logo 2 D xy IR x y 0 Podemos escrever também na forma 2 D xy IR x y 0 Para representar graficamente o domínio iniciamos estudando a restrição com a igualdade Isso nos dará o contorno da região e a seguir devemos verificar a região que satisfaz a condição de D Nesse caso a condição do domínio é x y 0 Assim devemos representar graficamente x y 0 isto é y x Notamos que é a equação de uma reta e daí para seu gráfico serão necessários apenas dois pontos 77 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Escolheremos dois valores para x por exemplo x 0 e x 1 e calcularemos os valores de y Assim x 0 y 0 x 1 y 1 Podemos representar numa tabela Tabela 12 x y x xy 0 0 00 1 1 11 Representando os pontos encontrados no plano 0xy temos inicialmente uma reta que representaremos tracejada y 1 0 1 x Figura 34 Gráfico de y x Para estabelecer a região que representará o domínio de f vamos escolher dois pontos do plano sendo cada um deles em um dos dois semiplanos determinados pela reta e verificar se os pontos satisfazem as condições estabelecidas em D Por exemplo podemos escolher A10 ponto na região abaixo da reta e B01 ponto na região acima da reta Substituindo na condição do domínio temos Ponto A10 Condição do domínio x y Substituindo as coordenadas do ponto A 78 Unidade I 1 0 V Logo A10 D Ponto B01 Condição do domínio x y Substituindo as coordenadas do ponto B 0 1 F Logo B01 D Observação Podemos escolher quaisquer dois pontos do plano Daremos preferência por escolher pontos dos eixos por terem um dos valores iguais a zero e serem facilmente localizados no plano Notamos que os pontos acima da reta não pertencem ao domínio e os pontos abaixo da reta pertencem ao domínio de f Representando graficamente o domínio de f temos a região D na figura a seguir y 1 0 1 A D B x Figura 35 Domínio de 1 fxy x y 79 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo 3 Determinar o domínio da função e sua representação gráfica 2 2 fxy 25 x y Resolução Nesse caso notamos que a função tem uma restrição para o domínio raiz quadrada que só pode ser calculada para valores maiores ou iguais a zero Assim devemos ter 2 2 25 x y 0 Logo o conjunto domínio será dado por 2 2 2 D xy IR 25 x y 0 Podemos escrever também 2 2 2 D xy IR x y 25 Para representar graficamente o domínio iniciamos estudando a restrição com a igualdade Isso nos dará o contorno da região e a seguir devemos verificar a região que satisfaz a condição de D Nesse caso a condição do domínio é x2 y2 25 Assim devemos representar graficamente x2 y2 25 Notamos que é a equação de uma circunferência de centro 00 e raio r 25 5 Observação Sabemos que 25 tem dois resultados possíveis 5 mas como se trata de medida só nos interessa o resultado positivo Representando a circunferência de centro 00 e raio 5 no plano 0xy temos 80 Unidade I y 0 5 x Figura 36 Gráfico de x2 y2 25 O gráfico da circunferência deve ser tracejado Para estabelecer a região que representará o domínio de f vamos escolher dois pontos do plano sendo um deles no interior da circunferência e o outro na região exterior e verificar se os pontos satisfazem as condições estabelecidas em D Por exemplo podemos escolher A00 na região interna e B60 na região externa Substituindo na condição do domínio temos Ponto A00 Condição do domínio x2 y2 25 Substituindo as coordenadas do ponto A 2 2 0 2 0 5 0 25 F Logo A00 D Ponto B60 Condição do domínio x2 y2 25 Substituindo as coordenadas do ponto B 2 2 6 2 0 5 36 25 V 81 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Logo B60 D Notamos que os pontos na região interna onde está o ponto A não pertencem ao domínio de f Já os pontos na região externa onde está o ponto B pertencem ao domínio de f Representando graficamente o domínio de f temos a região D y 0 B 5 6 D A x Figura 37 Domínio de 2 2 fxy 25 x y Observe que o contorno da região fará parte do domínio de f pois a condição é x2 y2 25 isto é inclui x2 y2 25 circunferência Exemplo 4 Determinar o domínio da função e sua representação gráfica 2 2 fxy Ln x y 36 Resolução Lembrete Sabemos que a condição de existência para logab é que o logaritmando b deve ser maior que zero isto é b 0 Nesse caso teremos a restrição do logaritmo isto é logaritmando maior que zero Assim devemos ter x2 y2 36 0 Logo o conjunto domínio será dado por 2 2 2 D xy IR x y 36 0 82 Unidade I Podemos escrever também 2 2 2 D xy IR x y 36 Para representar graficamente o domínio iniciamos estudando a restrição com a igualdade Isso nos dará o contorno da região e a seguir devemos verificar a região que satisfaz a condição de D Nesse caso a condição do domínio é x2 y2 36 Assim devemos representar graficamente x2 y2 36 Notamos que é a equação de uma circunferência de centro 00 e raio r 6 Representando no plano 0xy temos 6 y 0 6 x Figura 38 Gráfico de x2 y2 36 O gráfico da circunferência deve ser feito tracejado São determinadas duas regiões uma interna e outra externa escolhendo dois pontos A00 região interna e B70 região externa Ponto A00 Condição do domínio x2 y2 36 Substituindo as coordenadas do ponto A 2 2 0 3 0 6 0 36 V Logo A00 D 83 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Ponto B70 Condição do domínio x2 y2 36 Substituindo as coordenadas do ponto B 2 2 7 3 0 6 49 36 F Logo B70 D Notamos que os pontos na região interna onde está o ponto A pertencem ao domínio de f Já os pontos na região externa onde está o ponto B não pertencem ao domínio de f Assim a região do domínio será a interna Note que a condição x2 y2 36 não inclui o contorno portanto a circunferência deve continuar tracejada Representando graficamente o domínio de f temos a região D 6 y 0 B 6 7 D A x Figura 39 Gráfico de fxy Lnx2 y2 36 Exemplo 5 Construir o gráfico da função fxy 1 x2 Resolução Para a construção do gráfico da função seguiremos as etapas sugeridas 1 Determinando o domínio e a imagem Observando a função notamos que não há restrições Logo 84 Unidade I D xy IR2 Notamos pela expressão da função que o menor valor de z é obtido para x 0 assim teremos z 1 Imf z IR z 1 2 Determinando os cortes nos eixos Eixo x o corte em x ocorre quando y z 0 Como z 1 não corta o eixo x Eixo y o corte em y ocorre quando x z 0 Como z 1 não corta o eixo y Eixo z o corte em z ocorre quando x y 0 Substituindo na expressão de z z 1 0 z 1 O ponto de corte no eixo z será em C001 3 Determinando os cortes nos planos Plano 0xy o corte no plano 0xy ocorre quando z 0 Como z 1 não corta o plano 0xy Plano 0xz o corte no plano 0xz ocorre quando y 0 Para y 0 teremos z 1 x2 Assim o corte no plano 0xz será uma parábola com concavidade para cima vértice em 01 Precisamos ainda de mais dois pontos para fazer o gráfico Tabela 13 x z 1 x2 x z 1 1 12 2 12 0 1 02 1 01 1 1 12 2 12 85 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Plano 0yz o corte no plano 0yz ocorre quando x 0 Substituindo na expressão de z 2 z 1 0 z 1 equação de reta paralela ao eixo y Substituindo os dados encontrados nos eixos temos a representação gráfica dos cortes da função fxy 1 x2 x z Corte 0xy Corte 0yz y 1 1 0 2 0 0 1 Figura 40 Gráfico de fxy 1 x2 Na figura a seguir temos o gráfico da função feito no Winplot que nos fornece uma imagem melhor da superfície x y z Figura 41 Gráfico de fxy 1 x2 gerado no Winplot 86 Unidade I Exemplo 6 Construir o gráfico da função fxy x 4y 8 isto é z x 4y 8 Resolução Para a construção do gráfico da função seguiremos as etapas sugeridas anteriormente 1 Determinando o domínio e a imagem Observando a função notamos que não há restrições Assim D IR2 A função pode assumir qualquer valor Então Im f IR 2 Determinando os cortes nos eixos Eixo x o corte em x ocorre quando y z 0 Substituindo na expressão de z z x 4y 8 x 4 0 8 0 x 8 O ponto de corte no eixo x será em A800 Eixo y o corte em y ocorre quando x z 0 Substituindo na expressão de z z x 4y 8 4 y 0 8 0 4y 8 y 2 O ponto de corte no eixo y será em B020 Eixo z o corte em z ocorre quando x y 0 87 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Substituindo na expressão de z z x 4y 8 z 4 0 8 0 z 8 O ponto de corte no eixo z será em C008 Observação Já temos dois pontos da curva de corte com os planos Falta determinar que tipo de curva ligará os pontos 3 Determinando os cortes nos planos Plano 0xy o corte no plano 0xy ocorre quando z 0 Substituindo na expressão de z z x 4y 8 x 4y 8 0 x 4y 8 0 equação de reta pelos pontos A e B já determinados Plano 0xz o corte no plano 0xz ocorre quando y 0 Substituindo na expressão de z z x 4y 8 z x 4 0 8 z x 8 equação de reta pelos pontos A e C já determinados Plano 0yz o corte no plano 0yz ocorre quando x 0 Substituindo na expressão de z z x 4y 8 88 Unidade I z y 0 4 8 z 4y 8 equação de reta pelos pontos B e C já determinados Lembrete Na representação no IR3 só visualizaremos a região onde x y e z são maiores ou iguais a zero Substituindo os dados encontrados nos eixos temos a representação gráfica de z x 4y 8 z C A B 0 2 0 0 0 8 8 0 0 y x Figura 42 Plano z x 4y 8 Exemplo 7 Construir o gráfico da função 2 2 z x y Resolução Para a construção do gráfico da função seguiremos as etapas sugeridas anteriormente 1 Determinando o domínio e a imagem Observando a função notamos que há uma raiz quadrada que só pode ser calculada para valores maiores ou iguais a zero mas x2 y2 0 para quaisquer valores de x e y Assim D IR2 Pela expressão da função teremos z 0 Assim Imf z IR z 0 89 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2 Determinando os cortes nos eixos Eixo x o corte em x ocorre quando y z 0 Substituindo na expressão de z 2 2 z x y 2 2 0 0 x x 0 O ponto de corte no eixo x será em A000 Eixo y o corte em y ocorre quando x z 0 Substituindo na expressão de z 2 2 z x y 2 2 0 y 0 y 0 O ponto de corte no eixo x será em B000 Eixo z o corte em z ocorre quando x y 0 Substituindo na expressão de z 2 2 z x y 2 2 z 0 0 z 0 O ponto de corte no eixo x será em C000 90 Unidade I 3 Determinando os cortes nos planos Plano 0xy o corte no plano 0xy ocorre quando z 0 Substituindo na expressão de z 2 2 z x y 2 2 0 x y x2 y2 0 isso só é possível se x y 0 Assim o corte no plano 0xy será no ponto 000 Plano 0xz o corte no plano 0xz ocorre quando y 0 Substituindo na expressão de z 2 2 z x y 2 2 z 0 x 2 z x z x temos duas equações de reta z x e z x pelo ponto A já determinado Lembrete Para determinarmos uma reta precisamos de dois pontos Devemos escolher um valor de x e determinar o valor de y Na tabela a seguir temos esses pontos para reta z x Tabela 14 x z x x z 0 0 00 1 1 11 91 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Devemos escolher um valor de x e determinar o valor de y Na tabela a seguir temos esses pontos para reta z x Tabela 15 x z x x z 0 0 00 1 1 11 Plano 0yz o corte no plano 0yz ocorre quando x 0 Substituindo na expressão de z 2 2 z x y 2 2 z y 0 2 z y z y temos duas equações de reta z y e z y pelo ponto A já determinado Devemos escolher um valor de x e determinar o valor de y Na tabela a seguir temos esses pontos para reta z y Tabela 16 y z y y z 0 0 00 1 1 11 Devemos escolher um valor de x e determinar o valor de y Na tabela a seguir temos esses pontos para reta z y Tabela 17 y z y y z 0 0 00 1 1 11 Substituindo os valores encontrados no sistema 0xyz vamos obter a representação gráfica da superfície 2 2 z x y A seguir temos a representação feita no Winplot 92 Unidade I x y Figura 43 Gráfico de 2 2 z x y gerado no Winplot Exemplo 8 Construir o gráfico da função 2 2 fxy x y 25 isto é z2 x2 y2 25 com z 0 Resolução Para a construção do gráfico da função seguiremos as etapas sugeridas 1 Determinando o domínio e a imagem Observando a função notamos que há uma raiz quadrada Assim 2 2 2 D xy IR x y 25 0 Notamos pela expressão da função que z 0 e z é limitado pelo maior valor possível de 2 2 x y 25 O maior valor de 2 2 z x y 25 ocorre quando x y 0 isto é quando z 25 Logo 0 z 5 2 Determinando os cortes nos eixos Eixo x o corte em x ocorre quando y z 0 Substituindo na expressão de z z2 x2 y2 25 02 x2 02 25 93 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS x2 25 x 5 Os cortes no eixo x serão em A1 500 e A2 500 Eixo y o corte em y ocorre quando x z 0 Substituindo na expressão de z z2 x2 y2 25 02 x2 y2 25 y2 25 y 5 Corta o eixo y em B1 050 e B2 050 Eixo z o corte em z ocorre quando x y 0 Substituindo na expressão de z z2 x2 y2 25 2 2 2 5 0 z 2 0 z2 25 z 5 Sabemos que z 0 Logo só utilizaremos o valor z 5 O ponto de corte no eixo z será em C005 Observação Já temos dois pontos da curva de corte com os planos Falta determinar que tipo de curva ligará os pontos 94 Unidade I 3 Determinando os cortes nos planos Plano 0xy o corte no plano 0xy ocorre quando z 0 Substituindo na expressão de z z2 x2 y2 25 02 x2 y2 25 x2 y2 25 circunferência de centro 00 e raio r 5 Assim os pontos de corte nos eixos x e y serão unidos por uma circunferência Plano 0xz o corte no plano 0xz ocorre quando y 0 Substituindo na expressão de z z2 x2 y2 25 2 2 2 z x 25 0 x2 z2 25 circunferência de centro 00 e raio r 5 Assim os pontos de corte nos eixos x e z serão unidos por uma circunferência Plano 0yz o corte no plano 0yz ocorre quando x 0 Substituindo na expressão de z z2 x2 y2 25 z2 02 y2 25 z2 y2 25 circunferência de centro 00 e raio r 5 Assim os pontos de corte nos eixos y e z serão unidos por uma circunferência Substituindo os dados encontrados nos eixos temos a representação gráfica dos cortes da função 2 2 z x y 25 95 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS z y Corte 0yz Corte 0xz 0 0 5 0 5 0 5 0 0 Corte 0xy x Figura 44 Cortes da função 2 2 z x y 25 A imagem está entre 0 e 5 Logo o gráfico será uma semiesfera de raio 5 Na figura a seguir temos a representação final do gráfico de 2 2 z x y 25 feita no Winplot z x y Figura 45 Gráfico da função 2 2 z x y 25 gerado no Winplot Exemplo 9 Desenhar as curvas de nível da função 2 1 z y x para 1 c 21 2 Resolução Devemos substituir z por cada um dos valores dados de c e representar graficamente cada caso no mesmo sistema de eixos 0xy 96 Unidade I Devemos arrumar a expressão para facilitar os cálculos elevando ambos os lados ao quadrado 2 2 2 1 z y x 2 2 1 z y x Podemos escrever então 2 2 1 y x z Substituindo os valores de c em 2 2 1 y x z teremos c 12 2 2 1 1 y x 2 2 1 y x 1 4 y x2 4 Sabemos que y x2 4 parábola com concavidade para cima com vértice 04 não corta o eixo x c 1 Substituindo em 2 2 1 y x z 2 2 y 1 1 x y x2 1 y x2 1 parábola com concavidade para cima com vértice 01 não corta o eixo x 97 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS c 2 Substituindo em 2 2 1 y x z 2 2 y 2 1 x 2 1 y x 4 2 1 y x 4 parábola com concavidade para cima com vértice 1 04 não corta o eixo x Na figura a seguir temos a representação das curvas de nível no mesmo sistema de eixos 1 4 2 3 3 2 4 1 1 3 4 y x c 12 c 1 c 2 2 2 3 1 Figura 46 Curvas de nível 2 1 z y x Exemplo 10 Desenhar as curvas de nível da função fxy Lnx2 y2 36 para c 1 0 2 Ln36 Resolução Devemos substituir z por cada um dos valores dados de c e representar graficamente cada caso no mesmo sistema de eixos 0xy Reescrevendo a expressão temos z Lnx2 y2 36 98 Unidade I Substituindo os valores de c teremos c 1 Substituindo em z Lnx2 y2 36 1 Lnx2 y2 36 Pelas propriedades de logaritmo e1 eLnx2 y2 36 x2 y2 36 e1 x2 y2 36 e1 x2 y2 36 037 x2 y2 3536 equação de circunferência centro 00 e raio r 3536 597 c 2 z Lnx2 y2 36 2 Lnx2 y2 36 Pelas propriedades de logaritmo e2 eLnx2 y2 36 x2 y2 36 e2 x2 y2 36 e2 x2 y2 36 739 x2 y2 2861 equação de circunferência centro 00 e raio r 2861 534 c 3 z Lnx2 y2 36 3 Lnx2 y2 36 99 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Pelas propriedades de logaritmo e3 eLnx2 y2 36 x2 y2 36 e3 x2 y2 36 e3 x2 y2 36 2061 x2 y2 1591 equação de circunferência centro 00 e raio r 1591 399 c Ln36 Substituindo em z Lnx2 y2 36 Ln36 Lnx2 y2 36 Pelas propriedades de logaritmo x2 y2 36 36 x2 y2 0 ponto 00 Na figura a seguir temos a representação das curvas de nível no mesmo sistema de eixos 7 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 7 y x c 1 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 1 7 c 2 c 3 c Ln36 Figura 47 Curvas de nível fxy Lnx2 y2 36 100 Unidade I Exemplo 11 Desenhar as curvas de nível da função fxy 1 x2 para c 1 2 5 Resolução Devemos substituir z por cada um dos valores dados de c e representar graficamente cada caso no mesmo sistema de eixos 0xy Reescrevendo a expressão temos z 1 x2 Assim c 1 Substituindo em z 1 x2 2 1 1 x x2 0 x 0 equação de reta paralela ao eixo y em x 0 c 2 Substituindo em z 1 x2 2 2 1 x x2 1 x 1 equação de reta paralela ao eixo y em x 1 e em x 1 c 5 Substituindo em z 1 x2 2 5 1 x x2 4 101 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS x 2 equação de reta paralela ao eixo y em x 2 e em x 2 Na figura a seguir temos a representação das curvas de nível no mesmo sistema de eixos As curvas de nível são retas paralelas ao eixo y 1 4 2 3 3 2 4 1 1 3 4 y x c 1 c 2 c 2 c 5 c 5 2 2 3 1 Figura 48 Curvas de nível z 1 x2 Exemplo 12 Desenhar as curvas de nível da função z x 4y 8 para c 2 0 2 Resolução Devemos substituir z por cada um dos valores dados de c e representar graficamente cada caso no mesmo sistema de eixos 0xy Substituindo os valores de c teremos c 2 Substituindo em z x 4y 8 y 2 x 4 8 x 4y 10 equação de reta Para determinar a reta precisamos de dois pontos Por conveniência vamos utilizar os cortes nos eixos x e y isto é onde y 0 e onde x 0 102 Unidade I Tabela 18 x y xy 0 25 0 25 10 0 10 0 c 0 Substituindo em z x 4y 8 0 x 4y 8 x 4y 8 equação de reta Tabela 19 x y xy 0 2 0 2 8 0 8 0 c 2 Substituindo em z x 4y 8 2 x 4y 8 x 4y 6 equação de reta Tabela 20 x y xy 0 15 0 15 6 0 6 0 Na figura a seguir temos a representação das curvas de nível no mesmo sistema de eixos As curvas de nível são retas paralelas 103 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1 4 2 3 3 2 4 1 1 3 4 y x c 0 c 2 c 2 2 2 3 1 Figura 49 Curvas de nível z x 4y 8 gerado no Winplot Exemplo 13 Desenhar as curvas de nível da função 2 2 z x y para c 024 Resolução Devemos substituir z por cada um dos valores dados de c e representar graficamente cada caso no mesmo sistema de eixos 0xy Substituindo os valores de c teremos c 0 Substituindo em 2 2 z x y 2 2 0 x y x2 y2 0 ponto 00 c 2 Substituindo em 2 2 z x y 2 2 2 x y 104 Unidade I x2 y2 4 equação de circunferência de centro 00 e raio r 2 c 4 Substituindo em 2 2 z x y 2 2 4 x y x2 y2 16 equação de circunferência de centro 00 e raio r 4 Na figura a seguir temos a representação das curvas de nível no mesmo sistema de eixos 1 4 2 3 3 2 4 1 1 3 4 y x 2 2 3 4 1 c 4 c 2 c 0 Figura 50 Curvas de nível 2 2 z x y 3 DERIVADAS PARCIAIS Para definir derivadas para funções de duas variáveis necessitamos da noção de limites para essas funções Não utilizaremos a definição formal e sim a noção intuitiva de limites 31 Limites Para funções de uma variável temos a notação x a Lim fx L para indicar que fx se aproxima de L quando x tende para a pela direita e pela esquerda 105 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS L y a x Figura 51 x a Lim fx L Para funções de duas variáveis usaremos a notação xy ab Lim fxy L para indicar que o limite da função fxy tende para L quando xy tende para ab Para estudar o comportamento da função para valores próximos de ab analisaremos os valores de fxy em torno do ponto por vários caminhos contidos no domínio da função Na tabela a seguir estudaremos o comportamento da função fxy x2 y2 para pontos próximos de 00 isto é queremos saber o valor de xy 11 Lim fxy Tabela 21 x y 08 09 099 1 101 11 12 08 0 017 034 036 038 057 08 09 017 0 017 019 021 04 063 099 034 017 0 002 004 023 046 1 036 019 002 0 002 021 044 101 038 021 004 002 0 019 042 11 057 04 023 021 019 0 023 12 08 063 046 044 042 023 0 Observando os valores na tabela notamos que para valores próximos de 11 temos fxy se aproximando de 0 Assim podemos dizer que xy 11 Lim fxy 0 Assim como para funções de uma variável definimos o conceito de continuidade utilizando limites Para funções de uma variável temos 106 Unidade I x a f é contínua em a Lim fx fa e f é contínua em seu domínio D se for contínua em todos os pontos de D Para funções de duas variáveis temos xy ab f é contínua em ab Lim fxy fab Exemplos 1 A função 2 2 fxy 3x y 5xy xy é uma função polinomial e seu domínio é D IR2 Essa função é contínua em todo seu domínio isto é é contínua no IR2 2 A função 2xy fxy x y é uma função racional e seu domínio é 2 D xy IR x y 0 Essa função é contínua em todo seu domínio isto é é contínua em qualquer ponto xy desde que x y 0 Saiba mais Conheça mais sobre limites de funções de duas variáveis HOFFMANN L D BRADLEY G L Cálculo um curso moderno e suas aplicações Rio Janeiro LTC 2016 32 Derivadas parciais 321 Derivadas parciais pela definição Para funções de duas variáveis utilizaremos as notações x f f x para indicar a derivada parcial de f em relação à variável x 107 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS y f f y para indicar a derivada parcial de f em relação à variável y Utilizamos para indicar a derivada parcial o símbolo d arredondado pronunciado como del ou parcial para diferenciar da notação d de derivada para uma variável Não se pode utilizar as notações df fx ou dx para funções de duas ou mais variáveis pois elas se referem a funções de uma variável Lembrete Para funções de uma variável definimos derivada como o limite h 0 fx h fx fx Lim h Para funções de duas variáveis utilizaremos limites semelhantes x h 0 fxhyfxy f xy Lim h e y h 0 fxyhfxy f xy Lim h Exemplo de aplicação Exemplos Calcular pela definição as derivadas parciais das funções a fxy xy 3x b fxy x2 y2 Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x pela definição utilizaremos o limite x h 0 fx hyfxy f xy Lim h Inicialmente faremos o cálculo de fxh y Para isso substituiremos x por xh na expressão de fxy fx hy x hy 3x h 108 Unidade I fx hy xy hy 3x 3h Substituindo no limite teremos x h 0 xy hy 3x 3h xy 3x f xy Lim h Utilizando a propriedade distributiva x h 0 xy hy 3x 3h xy 3x f xy Lim h Simplificando a expressão x h 0 hy 3h f xy Lim h Colocando h em evidência e simplificando x h 0 h 0 hy 3 f xy Lim Lim y 3 y 3 h Logo fxxy y 3 Para calcular a derivada parcial em relação a y pela definição utilizaremos o limite y h 0 fxy hfxy f xy Lim h Inicialmente faremos o cálculo de fx yh Para isso substituiremos y por yh na expressão de fxy fxy h x y h 3x fx hy xy xh 3x Substituindo no limite teremos y h 0 xy xh 3x xy 3x f xy Lim h 109 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Utilizando a propriedade distributiva y h 0 xy xh 3x xy 3x f xy Lim h Simplificando a expressão y h 0 xh f xy Lim h y h 0 f xy Lim x x Logo fyxy x b Para calcular a derivada parcial em relação a x pela definição utilizaremos o limite x h 0 fx hyfxy f xy Lim h Inicialmente faremos o cálculo de fxh y Para isso substituiremos x por xh na expressão de fxy 2 2 fx hy x h y 2 2 2 fx hy x 2xh h y Substituindo no limite teremos 2 2 2 2 2 x h 0 x 2xh h y x y f xy Lim h Utilizando a propriedade distributiva 2 2 2 2 2 x h 0 x 2xh h y x y f xy Lim h 110 Unidade I Simplificando a expressão 2 x h 0 2xh h f xy Lim h Colocando h em evidência e simplificando x h 0 h 0 h2x h f xy Lim Lim 2x h 2x h Logo fxxy 2x Para calcular a derivada parcial em relação a y pela definição utilizaremos o limite y h 0 fxy hfxy f xy Lim h Inicialmente faremos o cálculo de fx yh Para isso substituiremos y por yh na expressão de fxy 2 2 fxy h x y h 2 2 2 fxy h x y 2yh h Substituindo no limite teremos 2 2 2 2 2 y h 0 x y 2yh h x y f xy Lim h Utilizando a propriedade distributiva 2 2 2 2 2 y h 0 x y 2yh h x y f xy Lim h 111 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Simplificando a expressão 2 y h 0 2yh h f xy Lim h Colocando h em evidência e simplificando y h 0 h 0 h2y h f xy Lim Lim 2y h 2y h Logo fyxy 2y 322 Derivadas parciais pelas regras Para funções de duas variáveis derivamos a função em relação a x e a y utilizando as mesmas regras das funções de uma variável bastando para isso considerar a outra variável como constante O mesmo procedimento se aplica a funções com mais variáveis Faremos derivadas parciais em relação a cada uma delas bastando considerar as demais como constantes Faremos a seguir derivadas parciais utilizando as regras já estudadas para função de uma variável Exemplo de aplicação Exemplo 1 Dada a função fxy x3y determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante 112 Unidade I Lembrete A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função A derivada de fxy x3y é a derivada de x3 em relação a x multiplicada pela constante y Assim teremos 3 1 f 3x y x 2 f 3x y x b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de fxy x3y é a derivada de y em relação a y multiplicada pela constante x3 Assim teremos 3 f x 1 y 3 f x y Exemplo 2 Dada a função fxy x3 y determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante 113 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Lembrete Para derivar uma função com várias parcelas devemos calcular a derivada de cada parcela utilizando a regra apropriada para cada uma A derivada de fxy x3 y é a derivada de x3 em relação a x somada com a derivada de y em relação a x Assim teremos 3 1 f 3x 0 x 2 f 3x x Observação Nesse caso y é constante e não está multiplicando a variável x Assim sua derivada é igual a zero b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de fxy x3 y é a derivada da constante x3 em relação a y mais a derivada de y em relação a y Assim teremos f 0 1 y f 1 y Exemplo 3 Dada a função 3 fxy x y 4x 3y determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y 114 Unidade I Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante Lembrete Para derivar uma função com várias parcelas devemos calcular a derivada de cada parcela utilizando a regra apropriada para cada uma A derivada de fxy x3y 4x 3y em relação a x é a derivada de x3y em relação a x somada com a derivada de 4x em relação a x somada com a derivada de 3y em relação a x Assim teremos 3 1 f 3x y 4 0 x 2 f 3x y 4 x Observação Nesse caso 3y é constante e não está multiplicada pela variável x Assim sua derivada é igual a zero b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de fxy x3y 4x 3y em relação a y é a derivada de x3y em relação a y somada com a derivada de 4x em relação a y somada com a derivada de 3y em relação a y Assim 3 f x 1 0 31 y 3 f x 3 y 115 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo 4 Dada a função fxy y3 Lnx determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante A derivada de fxy y3 Lnx em relação a x é calculada fazendose a constante y3 vezes a derivada da função Lnx em relação a x Assim teremos 3 f y 1 x x 3 f y x x b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de fxy y3 Lnx em relação a y é calculada fazendose a derivada de y3 em relação a y vezes a constante Lnx Assim teremos 3 1 f 3y Lnx y 2 f 3y Lnx y 116 Unidade I Exemplo 5 Dada a função fxy 4y ex determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante A derivada de fxy 4y ex em relação a x é calculada fazendose a constante 4y vezes a derivada da função ex em relação a x Assim teremos x f 4ye x b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de fxy 4y ex em relação a y é calculada fazendose a derivada de 4y em relação a y vezes a constante ex Assim teremos x f 4 e y Exemplo 6 Dada a função fxy 2x y cosx determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y 117 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante A derivada de fxy 2x y cosx em relação a x é calculada utilizandose a regra do produto pois temos x nas duas partes da função Lembrete Sabemos que para derivar o produto de duas funções devemos derivar a primeira função e multiplicar pela segunda função depois somar com a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função Note que essa regra deve ser adaptada para derivadas parciais Assim na regra do produto quando falamos derivada da função devese fazer a derivada parcial ora em relação a x ora em relação a y A regra do produto para a função fxy u v em relação a x passa a ser escrita como f u v v u x x x Podemos fazer as derivadas separadamente e depois substituir na regra do produto Esse procedimento é conveniente quando estamos iniciando o estudo de derivadas parciais Inicialmente temos u 2x y e v cosx Assim u 2 v senx x x Substituindo as derivadas parciais na regra do produto teremos f u v v u x x x f 2cosx 2x y senx x f 2cosx 2x y senx x b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante 118 Unidade I A derivada de fxy 2x y cosx em relação a y é calculada fazendose a constante cosx vezes a derivada de 2x y em relação a y Assim teremos f 1cosx y Observação Para derivar uma função dada por um produto devemos observar se é uma constante vezes função ou função vezes função Nesse caso a variável aparece nas duas partes e devemos utilizar a regra do produto Exemplo 7 Dada a função 3 2 2x y fxy y 2y determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante A derivada de 3 2 2x y fxy y 2y em relação a x é calculada com a regra da função multiplicada por constante pois não temos x no denominador Rescrevendo a função temos 3 2 1 fxy 2x y y 2y 2 f 1 2 x y 2y ou 119 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2 f 2 x y 2y b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de 3 2 2x y fxy y 2y em relação a y é calculada utilizando a regra do quociente pois temos y tanto no numerador quanto no denominador Lembrete Sabemos que para derivar o quociente de duas funções devemos derivar a primeira função e multiplicar pela segunda função depois subtrair a multiplicação da primeira pela derivada da segunda função e dividir tudo pelo quadrado da segunda função Note que essa regra deve ser adaptada para derivadas parciais Assim na regra do quociente quando falamos derivada da função deveremos fazer a derivada parcial ora em relação a x ora em relação a y A regra do quociente em relação a y para a função u fxy v passa a ser escrita como 2 u v v u f y y y v Podemos fazer as derivadas separadamente e depois substituir na regra do produto Esse procedimento é conveniente quando estamos iniciando o estudo de derivadas parciais Inicialmente temos u 2x y3 e v y2 2y Assim 2 u 3y v 2y 2 y y Substituindo as derivadas parciais na regra do quociente teremos 2 u v v u f y y y v 120 Unidade I 2 2 3 2 2 f 3y y 2y 2x y 2y 2 y y 2y Aplicando a propriedade distributiva 4 3 4 3 2 2 f 3y 6y 4xy 4x 2y 2y y y 2y 4 3 4 3 2 2 f 3y 6y 4xy 4x 2y 2y y y 2y 4 3 2 2 f y 4y 4xy 4x y y 2y Exemplo 8 Dada a função x 2 2 ye fxy x y determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante A derivada de x 2 2 ye fxy x y em relação a x deverá ser calculada com a regra do quociente pois temos x tanto no numerador quanto no denominador A regra do quociente em relação a x para a função u fxy v passa a ser escrita como 2 u v v u f x x x v Faremos as derivadas separadamente e depois substituiremos na regra do produto 121 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Inicialmente temos u y ex e v x2 y2 Assim x u ye v 2x 0 2x x x Substituindo as derivadas parciais na regra do quociente teremos 2 u v v u f x x x v x 2 2 x 2 2 2 f ye x y ye 2x x x y Colocando yex em evidência x 2 2 2 2 2 f ye x y 2x x x y b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de x 2 2 ye fxy x y em relação a y é calculada utilizando a regra do quociente pois temos y tanto no numerador quanto no denominador A regra do quociente em relação a y para a função u fxy v passa a ser escrita como 2 u v v u f y y y v Faremos as derivadas separadamente e depois substituiremos na regra do produto Inicialmente temos u y ex e v x2 y2 Assim x x u v 1e e 0 2y 2y y y Substituindo as derivadas parciais na regra do quociente teremos 122 Unidade I 2 u v v u f x x x v x 2 2 x 2 2 2 f e x y ye 2y x x y Colocando ex em evidência x 2 2 2 2 2 2 f e x y 2y x x y x 2 2 2 2 2 f e x y x x y Exemplo 9 Dada a função 2 3 2y fxy x y 3x determine a fx derivada parcial de f em relação a x b fy derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x fx consideraremos y constante Para derivar 2 3 2y fxy x y 3x em relação a x usaremos nas duas parcelas a regra de constante multiplicando a função cuja derivada será constante vezes a derivada da função em relação a x Inicialmente reescreveremos a função de forma mais prática para fazer a derivada 2 3 1 2y fxy x y x 3 Assim teremos 3 2 x 2y f 2xy 1x 3 123 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 3 x 2 2y f 2xy 3x b Para calcular a derivada parcial em relação a y fy consideraremos x constante Para derivar 2 3 2y fxy x y 3x em relação a y usaremos nas duas parcelas a regra de constante multiplicando a função cuja derivada será constante vezes a derivada da função em relação a y Inicialmente reescreveremos a função de forma mais prática para fazer a derivada 2 3 2 fxy x y 3x y Assim teremos 2 3 1 y 2 f x 3y 1 3x 2 2 y 2 f 3x y 3x Exemplo 10 Dada a função de três variáveis 2 2 fxy x y 2yz z determine suas derivadas parciais Resolução Como temos uma função com três variáveis devemos calcular as derivadas parciais em relação a x y e z Derivamos da mesma forma que fizemos para duas variáveis isto é uma variável de cada vez Assim em relação a x teremos y e z constantes Daí xf 2xy Em relação a y teremos x e z constantes 2 yf x 2z 124 Unidade I Em relação a z teremos x e y constantes zf 2y 2z Exemplo 11 Em físicoquímica no estudo do comportamento dos gases perfeitos encontramos a equação de Clapeyron PV n R T sendo P pressão em atm mmHg ou kPa V volume em litros ou m3 n número de mol R constante geral dos gases dependendo da unidade de pressão temos em atm vale 0082 em mmHg vale 623 e em kPa vale 831 T temperatura a que o gás é submetido sempre em Kelvin Observação Se a temperatura for dada em graus Celsius para transformála em Kelvin devemos somar 273 ao valor da temperatura dada Determine a taxa de variação da pressão P em kPa quilopascal em relação à temperatura T em K Kelvin de 1 mol de um gás ideal que obedece à equação PV 831 T quando o volume do gás for de 500 litros e a temperatura de T 700k Resolução Queremos determinar a taxa de variação da pressão em relação à temperatura isto é a derivada parcial da pressão Precisamos inicialmente isolar P na equação PV 831 T 831 T PTV V isto é a pressão é função de duas variáveis T e V Derivando o volume em relação à temperatura temos 125 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS P 831 T V P 831 T 700500 500 2 P700500 001662 1662 10 KPa K T Exemplo 12 A Lei de Ohm relaciona grandezas elétricas tensão corrente e resistência Georg Ohm elaborou sua teoria baseado em experiências em que notou que as tensões e as correntes tinham uma razão constante chamada de resistência elétrica Sendo V tensão elétrica em V volt I corrente elétrica em A ampere R resistência elétrica em Ω Ohm A expressão matemática para a Lei de Ohm é V I R Baseado na Lei de Ohm determine a que taxa de variação da corrente I em relação à tensão V num circuito elétrico simples no momento em que R 100 Ω e V 4V Resolução Queremos a derivada de I em relação à tensão Inicialmente devemos isolar I na expressão da Lei de Ohm Pela Lei de Ohm temos V I R Calculando a derivada parcial em relação à tensão temos 126 Unidade I I 1 V R Substituindo R 100 Ω e V 4V I 1 V 1004 100 I 1004 001 A V V 33 Derivada de funções compostas Consideremos uma função z fv e v gx y Podemos calcular a derivada de z em relação a x e em relação a y pelas expressões z dz v x dv x z dz v y dv y Observação z é função de uma variável daí usamos a notação dz dv v é uma função de duas variáveis daí usamos a notação v e v x y Exemplo de aplicação Exemplo 1 Calcular as derivadas parciais da função z cos2x y Resolução Observando a função notamos que z é função composta sendo v 2x y temos z cosv Calculando primeiramente as derivadas parciais de v e a derivada de z temos 127 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS v 2 x v 1 y dz senv dv Derivada de z em relação a x Substituindo as derivadas calculadas nas expressões z dz v x dv x z senv 2 x isto é z 2sen2x y x Derivada de z em relação a y z dz v y dv y z senv 1 y isto é z sen2x y y Exemplo 2 Calcular as derivadas parciais da função z ex y2 Resolução Observando a função notamos que z é função composta sendo u x y2 temos z ev Calculando primeiramente as derivadas parciais de v e a derivada de z temos 2 v y x v v x2y 2xy y y 128 Unidade I 2 v xy dz e isto é dz e dv dv Derivada de z em relação a x Substituindo as derivadas calculadas nas expressões z dz v x dv x xy2 2 z e y x Derivada de z em relação a y z dz v y dv y xy2 z e 2xy y Exemplo 3 Calcular as derivadas parciais da função 2 2 x y z x e Resolução Observando a função notamos que z é função composta sendo v x y2 temos z x2 ev Na derivada de z em relação a x teremos também que utilizar a regra do produto sendo z f g com 2 v fxy x e gxy e Antes de utilizar a regra do produto calcularemos as derivadas parciais de v e de f e g 2 2 v y x v xy v 2xy y 129 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2 2 xy g dg v g y e x dv x x xy2 g dg v g 2xye y dv y y 2 f 2x x fxy x f 0 y Lembrete A regra do produto para z f g será dada por deriva f e multiplica por g soma com f multiplicada pela derivada de g Derivada de z em relação a x Substituindo as derivadas calculadas na regra do produto z f g g f x x x 2 2 xy 2 2 xy z 2xe x y e x Colocando ex y2 em evidência temos xy2 2 2 z e 2x x y x Derivada de z em relação a y Em relação a y não utilizaremos a regra do produto pois y só aparece em uma das funções Assim 2 z dg v x y dv y 130 Unidade I 2 2 2 xy 3 xy z z x 2xye 2x ye x x Exemplo 4 Calcular as derivadas parciais da função z x2 Lnx 3y Resolução Observando a função notamos que z é função composta sendo v x 3y temos z x2 Lnv Na derivada de z em relação a x teremos também que utilizar a regra do produto sendo z f g com fxy x2 e gxy Lnv Antes de utilizar a regra do produto calcularemos as derivadas parciais de v e de f e g v 1 x v 3 y g dg v g 1 g 1 1 x dv x x v x x 3y g dg v g 1 g 3 3 y dv y y v y x 3y f 2x x f 0 y Derivada de z em relação a x Substituindo as derivadas calculadas na regra do produto z f g g f x x x 131 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2 z 1 2xLnx 3y x x x 3y 2 z x 2xLnx 3y x x 3y Derivada de z em relação a y Em relação a y não utilizaremos a regra do produto pois y só aparece em uma das funções Consideraremos x constante Assim 2 z dg v x y dv y 2 2 2 z dg v z 1 z 3x x x 3 x dv y y x 3y y x 3y Exemplo 5 Calcular as derivadas parciais da função 3 2 xy 2 fxy 4x 2xy 5e 10x no ponto P12 Resolução Queremos calcular as derivadas parciais no ponto P Para isso devemos inicialmente calcular as derivadas num ponto qualquer e só depois substituir as coordenadas do ponto Observando a função notamos que uma das parcelas tem função composta Devemos utilizar a regra conveniente para cada parcela Derivando f em relação a x y constante 3 1 2 xy 2 1 xf xy 43x 21y 5ye 20x 2 2 xy xf xy 12x 2y 5ye 20x Substituindo as coordenadas do ponto P12 132 Unidade I 2 2 12 xf 12 12 1 22 52e 20 1 2 xf 12 12 8 10e 20 2 xf 12 10 e xf 12 135 Derivando f em relação a y x constante 2 1 xy yf xy 0 2x2y 5xe 0 xy yf xy 4xy 5xe Substituindo as coordenadas do ponto P12 12 yf 12 4 12 5 1e 2 xf 12 8 5e xf 12 868 Exemplo 6 Calcular as derivadas parciais da função fxy x senx 2y no ponto P 2 π π Resolução Queremos calcular as derivadas parciais no ponto P Para isso devemos inicialmente calcular as derivadas num ponto qualquer e só depois substituir as coordenadas do ponto Observando a função notamos que é uma função composta e em relação a x devemos também utilizar a regra do produto A variável x aparece nas duas parcelas Derivando f em relação a x y constante xf xy 1senx 2y xcosx 2y 133 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS xf xy senx 2y xcosx 2y Substituindo as coordenadas do ponto P 2 π π xf xy senx 2y xcosx 2y xf sen 2 cos 2 2 2 2 π π π π π π π xf 0 1 2 π π π xf 2 π π π Derivando f em relação a y x constante Nesse caso não utilizaremos a regra do produto pois y só parece em uma das parcelas yf xy xcosx 2y2 yf xy 2xcosx 2y Substituindo as coordenadas do ponto P 2 π π yf 2 cos 2 2 2 π π π π π yf 2 cos2 2 π π π π yf 2 1 2 π π π yf 2 2 π π π 134 Unidade I 34 Ampliando seu leque de exemplos Exemplo 1 Dada a função fxy 2 x y2 determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante A derivada de fxy 2 x y2 é a derivada de x em relação a x multiplicada pela constante 2y2 Assim teremos 2 f 2y 1 x 2 f 2y x b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de fxy 2 x y2 é a derivada de y2 em relação a y multiplicada pela constante 2x Assim teremos f 2x2y y f 4xy y Exemplo 2 Dada a função fxy 3 x3 2y determine 135 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante A derivada de fxy 3 x3 2y é a derivada de 3x3 em relação a x somada com a derivada de 2y em relação a x Assim teremos 3 1 f 33x 0 x 2 f 9x x b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de fxy 3 x3 2y é a derivada da constante 3x3 em relação a y mais a derivada de 2y em relação a y Assim teremos f 0 2 y f 2 y Exemplo 3 Dada a função fxy x y2 2x 5y determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y 136 Unidade I Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante A derivada de fxy x y2 2x 5y em relação a x é a derivada de xy2 em relação a x somada com a derivada de 2x em relação a x somada com a derivada de 5y em relação a x Assim teremos 2 f y 2 0 x b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de fxy x y2 2x 5y em relação a y é a derivada de xy2 em relação a y somada com a derivada de 2x em relação a y somada com a derivada de 5y em relação a y Assim f x2y 0 51 y f 2xy 5 y Exemplo 4 Dada a função fxy y3 ex determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante 137 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A derivada de fxy y3 ex em relação a x é calculada fazendose a constante y3 vezes a derivada da função ex em relação a x Assim teremos 3 x f y e x b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de fxy y3 ex em relação a y é calculada fazendose a derivada de y3 em relação a y vezes a constante ex Assim teremos 3 1 x f 3y e y 2 x f 3y e y Exemplo 5 Dada a função fxy x2 y2 cosx determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante A derivada de fxy x2 y2 cosx em relação a x é calculada utilizandose a regra do produto pois temos x nas duas partes da função Note que essa regra deve ser adaptada para derivadas parciais Assim na regra do produto quando falamos derivada da função devese fazer a derivada parcial ora em relação a x ora em relação a y 138 Unidade I A regra do produto para a função fxy u v passa a ser escrita como f u v v u x x x Podemos fazer as derivadas separadamente e depois substituir na regra do produto Esse procedimento é conveniente quando estamos iniciando o estudo de derivadas parciais Inicialmente temos u x2 y2 e v cosx Assim u 2x v senx x x Substituindo as derivadas parciais na regra do produto teremos f u v v u x x x 2 2 f 2xcosx x y senx x 2 2 f 2cosx x y senx x b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de fxy x2 y2 cosx em relação a y é calculada fazendose a constante cosx vezes a derivada de x2 y2 em relação a y Assim teremos f 2ycosx y Exemplo 6 Dada a função 2 3 2 x y fxy y xy determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y 139 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante A derivada de 2 3 2 x y fxy y xy em relação a x é calculada com a regra do quociente Temos a variável x no numerador e no denominador A regra do quociente em relação a x para a função u fxy v passa a ser escrita como 2 u v v u f x x x v Assim 2 2 3 2 2 f 2xy xy x y y x y xy 2 2 2 4 2 2 f 2xy 2x y x y y x y xy 2 2 4 2 2 f 2xy x y y x y xy b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de 2 3 2 x y fxy y xy em relação a y é calculada utilizando a regra do quociente pois temos y tanto no numerador quanto no denominador Note que essa regra deve ser adaptada para derivadas parciais Assim na regra do quociente quando falamos derivada da função devese fazer a derivada parcial ora em relação a x ora em relação a y A regra do quociente em relação a y para a função u fxy v passa a ser escrita como 2 u v v u f y y y v 140 Unidade I Podemos fazer as derivadas separadamente e depois substituir na regra do produto Esse procedimento é conveniente quando estamos iniciando o estudo de derivadas parciais Inicialmente temos 2 3 2 u x y e v y xy Assim 2 u 3y v 2y x y y Substituindo as derivadas parciais na regra do quociente teremos 2 2 2 3 2 2 f 3y y xy x y 2y x x y xy Aplicando a propriedade distributiva 4 3 2 3 4 3 2 2 f 3y 3xy 2x y x 2y xy y y xy 4 3 2 3 4 3 2 2 f 3y 3xy 2x y x 2y xy y y xy 4 3 2 3 2 2 f y 2xy 2x y x y y xy Exemplo 7 Dada a função x y 2 2 xe fxy x y determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x f x consideraremos y constante 141 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A derivada de x y 2 2 xe fxy x y em relação a x deverá ser calculada com a regra do quociente pois temos x tanto no numerador quanto no denominador A regra do quociente em relação a x para a função u fxy v passa a ser escrita como 2 u v v u f x x x v Podemos fazer as derivadas separadamente e depois substituir na regra do produto Esse procedimento é conveniente quando estamos iniciando o estudo de derivadas parciais Inicialmente temos u x exy e v x2 y2 Assim x y x y u e xe regra do produto x v 2x x Substituindo as derivadas parciais na regra do quociente teremos 2 u v v u f x x x v x y x y 2 2 x y 2 2 2 f e xe x y xe 2x x x y b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante A derivada de x y 2 2 xe fxy x y em relação a y é calculada utilizando a regra do quociente pois temos y tanto no numerador quanto no denominador A regra do quociente em relação a y para a função u fxy v passa a ser escrita como 2 u v v u f y y y v 142 Unidade I Podemos fazer as derivadas separadamente e depois substituir na regra do produto Esse procedimento é conveniente quando estamos iniciando o estudo de derivadas parciais Inicialmente temos u x exy e v x2 y2 Assim x y u v xe 0 2y 2y y y Substituindo as derivadas parciais na regra do quociente teremos 2 u v v u f y y y v x y 2 2 x y 2 2 2 f xe x y xe 2y y x y Colocando x exy em evidência x y 2 2 2 2 2 f xe x y 2y y x y Exemplo 8 Dada a função fxy x2 y3 cos2x determine a f x derivada parcial de f em relação a x b f y derivada parcial de f em relação a y Resolução a Para calcular a derivada parcial em relação a x fx consideraremos y constante Para derivar fxy x2 y3 cos2x em relação a x usaremos a regra de constante multiplicando a função cuja derivada será constante vezes a derivada da função em relação a x e derivada de função composta para a outra parcela 143 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Assim teremos 3 xf 2xy 2sen2x b Para calcular a derivada parcial em relação a y f y consideraremos x constante Para derivar fxy x2 y3 cos2x em relação a y usaremos a regra de constante multiplicando a função cuja derivada será constante vezes a derivada da função em relação a y e derivada de constante Assim teremos 2 3 1 yf x 3y 0 2 2 yf 3x y Exemplo 9 Em físicoquímica no estudo do comportamento dos gases perfeitos encontramos a equação de Clapeyron PV nRT sendo P pressão em atm mmHg ou kPa V volume em litros ou m3 n número de mol R constante geral dos gases depende da unidade de pressão em atm vale 0082 em mmHg vale 623 e em KPa vale 831 T temperatura a que o gás é submetido sempre em Kelvin Determine a taxa de variação da pressão P em atm em relação à temperatura T em K kelvin de 1 mol de um gás ideal que obedece à equação PV 0082 T quando o volume do gás for de 300 litros e a temperatura de T 600K Resolução Queremos determinar a taxa de variação da pressão em relação à temperatura isto é a derivada parcial da pressão Precisamos inicialmente isolar P na equação 144 Unidade I PV 0082 T 0082 T PTV V Derivando a pressão em relação à temperatura temos P 0082 T V P 0082 T 600300 300 P600300 0000273 T 4 P600300 273 10 atmk T Exemplo 10 A Lei de Ohm relaciona grandezas elétricas tensão corrente e resistência Sendo V tensão elétrica em V volt I corrente elétrica em A ampere R resistência elétrica em Ω Ohm A expressão matemática para a Lei de Ohm é V I R Baseado na Lei de Ohm determine a que taxa de variação da corrente I em relação à tensão V num circuito elétrico simples no momento em que R 100 Ω e V 4V Resolução Queremos a derivada de I em relação ao tempo Inicialmente devemos isolar I na expressão da Lei de Ohm e na sequência usar a regra da cadeia 145 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Pela Lei de Ohm temos V I R Calculando a derivada parcial em relação à tensão temos I 1 V R Substituindo R 100 Ω e V 4V I 1 V 1004 100 I 1004 001 A V V Exemplo 11 Baseado na Lei de Ohm determine a que taxa a corrente I está variando em relação ao tempo num circuito elétrico simples no momento em que R 100 Ω V 4V sabendo que dV 001 Vs e dR 002 s dt dt Ω Resolução Queremos a derivada de I em relação ao tempo Inicialmente devemos isolar I na expressão da Lei de Ohm e na sequência usar a regra da cadeia Pela Lei de Ohm temos V I R Derivando I em relação ao tempo dI I dV I dR I dt V dt R dt Calculando as derivadas parciais temos 146 Unidade I 2 2 I 1 V R I I V V 1R R R R Substituindo em I vem 2 dI 1 V 001 002 dt R R Como queremos a taxa de variação quando R 100 Ω V 4V vamos substituir na expressão 2 dI 1 4 1004 001 002 dt 100 100 dI 1004 000010000008 0000108 dt 4 dI 1004 108 10 As dt 4 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Determinar derivadas parciais de ordem superior é derivar novamente as derivadas parciais 41 Derivadas parciais de segunda ordem Se queremos as derivadas de segunda ordem devemos derivar novamente as derivadas de primeira ordem cada uma delas novamente em relação a x e a y Para representar as derivadas de segunda ordem utilizaremos as notações 2 x x 2 f f f ou ou x x x para indicar a derivada de segunda ordem da função f duas vezes em relação a x 2 x y f f f ou ou y x y x para indicar a derivada de segunda ordem da função f duas vezes primeiro em relação a x depois em relação a y 147 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2 y x f f f ou ou x y x y para indicar a derivada de segunda ordem da função f duas vezes primeiro em relação a y depois em relação a x 2 y y 2 f f f ou ou y y y para indicar a derivada de segunda ordem da função f duas vezes em relação a y Para calcular as derivadas de segunda ordem de uma função fxy devemos calcular inicialmente as derivadas de primeira ordem Representando as derivadas a serem calculadas temos o esquema a seguir fx y fx y fx fxx fxy fyx fyy fx f x f y 2 2 f x 2f y x 2f x y 2 2 f y Figura 52 Exemplo de aplicação Exemplo 1 Determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função 3 2 3 fxy 2 x y 3 xy Resolução Devemos calcular as derivadas de primeira ordem e posteriormente as derivadas de segunda ordem 148 Unidade I fx 6x2y2 3y3 fxx 12xy2 0 12xy2 fyx 12x2y 9y2 fxy 12x2y 9y2 fyy 4x3 18xy fy 4x3y 9xy2 Figura 53 Exemplo 2 Determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função 2 xy fxy x y 3xe Resolução Devemos calcular as derivadas de primeira ordem e posteriormente as derivadas de segunda ordem Observação Devemos utilizar a regra do produto para derivar a parcela 3xexy da função fxy em relação a x na primeira derivada pois a variável x aparece nas duas parcelas Note que nas derivadas de segunda ordem também utilizaremos a regra do produto quando necessário fx 2xy 3exy 3xyexy fx 2xy 3exy 3xyexy fxx 2y 3yexy 3yexy 3xy2exy fxx 2y 3yexy 3yexy 3xy2exy fxx 2y 6yexy 3xy2exy fyx 2x 6xexy 3x2yexy fyx 2x 6xexy 3x2yexy fxy 2x 3xexy 3xexy 3xyxexy fxy 2x 3xexy 3xexy 3x2yexy fxy 2x 6xexy 3x2yexy fyy 0 3x2xexy fyy 3x2xexy fy x2 3x2exy Figura 54 149 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Nem sempre é prático representar as derivadas de segunda ordem na forma de esquema No exemplo anterior foram necessárias a utilização da regra do produto e a simplificação das derivadas o que pode tornar o esquema confuso No próximo exemplo não utilizaremos a forma de esquema Exemplo de aplicação Exemplo 3 Determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função 2 fxy xcosx 3y Resolução Calculando a derivada de primeira ordem em relação a x 2 2 xf xy 1cosx 3y xsenx 3y2x 2 2 2 xf xy cosx 3y 2x senx 3y Derivando novamente em relação a x deveremos utilizar a regra do produto na segunda parcela pois temos a variável x duas vezes 2 2 2 2 xx f xy 2x senx 3y 4xsenx 3y 2x 2xcosx 3y 2 2 3 2 xx f xy 2xsenx 3y 4xsenx 3y 4x cosx 3y Derivando agora em relação a y temos duas derivadas de função composta e em ambos os casos y só aparece uma vez não sendo necessário utilizar a regra do produto 2 2 2 fx y 3senx 3y 2x 3cosx 3y 2 2 2 fx y 3senx 3y 6x cosx 3y Calculando a derivada de primeira ordem em relação a y notamos que é a derivada de uma constante vezes uma função composta Assim fy x 3senx2 3y 150 Unidade I Derivando novamente em relação a x deveremos utilizar a regra do produto pois temos a variável x duas vezes 2 2 fy x 3senx 3y 3x2xcosx 3y 2 2 2 fy x 3senx 3y 6x cosx 3y Derivando agora em relação a y temos uma função composta multiplicada por uma constante 2 fy y 9xcosx 3y Observação Quando a função e suas derivadas são contínuas teremos as derivadas mistas fxy e fyx iguais Note que as derivadas mistas calculadas nos exemplos anteriores são iguais 42 Derivadas parciais de terceira ordem ou maiores Podemos definir também derivadas parciais de terceira ordem ou maior Para isso basta derivar novamente em relação à variável escolhida Exemplo de aplicação Exemplo 1 Dada a função 2 2 fxy ycosx y determine a derivada parcial fxyy Resolução Queremos a derivada de terceira ordem de f em relação a x depois y e novamente em relação a y Derivando inicialmente em relação a x notamos que é derivada de constante vezes função e a função é composta Assim 2 2 xf y senx y 2x 151 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Arrumando a expressão ficamos com 2 2 xf 2xysenx y Derivando novamente agora em relação a y notamos que a variável y aparece duas vezes Assim deveremos utilizar a regra do produto 2 2 2 2 fx y 2xsenx y 2xycosx y 2y Arrumando a expressão 2 2 2 2 2 fx y 2xsenx y 4xy cosx y Falta derivar em relação a y novamente Observando a função temos duas parcelas e na segunda y aparece duas vezes Nesse caso deveremos utilizar a regra do produto 2 2 2 2 2 2 2 fx y y 2xcosx y 2y 4x2ycosx y 4xy senx y 2y Usando a propriedade distributiva 2 2 2 2 3 2 2 fx y y 4xycosx y 8xycosx y 8xy senx y Exemplo 2 Dada a função 2 3 y fxy 4x 7y e determine a derivada parcial fxyxx Resolução Queremos a derivada de quarta ordem de f em relação a x depois y novamente em relação a x e por fim em relação a x Derivando inicialmente em relação a x notamos que é derivada de constante vezes uma função composta Assim 2 3 1 y xf xy 34x 7y 4e Arrumando a expressão temos 152 Unidade I 2 2 y xf xy 124x 7y e Derivando novamente agora em relação a y notamos que a variável y aparece duas vezes Assim deveremos utilizar a regra do produto 2 2 1 y 2 2 y fx y xy 1224x 7y 14ye 124x 7y e Arrumando a expressão 2 y 2 2 y fx y xy 336y4x 7y e 124x 7y e Derivando em relação a x novamente observamos que a função tem duas parcelas e em ambas temos constante vezes função y 2 y fx y x xy 3364ye 12424x 7y e Arrumando a expressão y 2 y fx y x xy 1344ye 964x 7y e Derivando novamente em relação a x fxyxxxy 0 964ey isto é fxyxxxy 386 ey 43 Ampliando seu leque de exemplos Exemplo 1 Determinar as derivadas de segunda ordem da função fxy x2 e2x y Resolução Precisamos inicialmente determinar as derivadas de primeira ordem Em relação a x notamos que a variável x aparece nas duas partes da função Assim deveremos utilizar a regra do produto 2x y 2 2x y xf 2xe x 2e 153 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2x y 2 2x y xf 2xe 2x e Na derivada em relação a y temos y somente em uma parte da função Não precisamos então utilizar a regra do produto somente a regra para função composta 2 2x y yf x e 1 2 2x y yf x e Calculando agora as derivadas de segunda ordem temos Para derivar fx novamente em relação a x devemos utilizar a regra do produto nas duas parcelas 2x y 2x y 2x y 2 2x y fxx 2e 2xe 2 4xe 2x e 2 2x y 2x y 2x y 2 2x y fxx 2e 4xe 4xe 4x e Arrumando a expressão 2x y 2x y 2 2x y fxx 2e 8xe 4x e Agora vamos derivar fx em relação a y Nesse caso não será necessário o uso da regra do produto pois a variável y aparece somente uma vez 2x y 2 2x y fx y 2x 1e 2x e 1 2x y 2 2x y fx y 2xe 2x e Para derivar fy novamente em relação a x devemos utilizar a regra do produto pois a variável x aparece duas vezes 2x y 2 2x y fy x 2xe 2x e Agora vamos derivar fy em relação a y Nesse caso não será necessário o uso da regra do produto pois a variável y aparece somente uma vez 154 Unidade I 2 2x y fy y 2x e 1 2 2x y fy y 2x e Exemplo 2 Determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função 2 2 fxy cos2x 3y Resolução Inicialmente devemos calcular as derivadas de primeira ordem em relação a x e a y 2 2 xf 4xsen2x 3y 2 2 yf 6ysen2x 3y Calculando agora as derivadas de segunda ordem temos Para derivar fx novamente em relação a x devemos utilizar a regra do produto pois a variável x aparece duas vezes 2 2 2 2 fxx 4sen2x 3y 4xcos2x 3y 4x 2 2 2 2 2 fxx 4sen2x 3y 16x cos2x 3y Agora vamos derivar fx em relação a y Nesse caso não será necessário o uso da regra do produto pois a variável y aparece somente uma vez 2 2 fx y 4xcos2x 3y 6y 2 2 fx y 24xycos2x 3y Para derivar fy novamente em relação a x não é necessário utilizar a regra do produto pois a variável x aparece somente uma vez 2 2 fy x 6ycos2x 3y 4x 155 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2 2 fy x 24xycos2x 3y Agora vamos derivar fy em relação a y Nesse caso será necessário o uso da regra do produto pois a variável y aparece duas vezes 2 2 2 2 fy y 6sen2x 3y 6ycos2x 3y 6y 2 2 2 2 2 fy y 6sen2x 3y 36y cos2x 3y Exemplo 3 Para a função fxy Ln2x 6y determine as derivadas a fxxy b fxyy Resolução a Para a derivada fxxy devemos calcular a derivada em relação a x novamente em relação a x e finalmente em relação a y Assim teremos x x 1 2 f 2 f 2x 6y 2x 6y Para derivar novamente em relação a x devemos arrumar a expressão 1 xf 2 2x 6y 1 1 fx x 12 2x 6y 2 Arrumando a expressão ficamos com 2 fx x 4 2x 6y 156 Unidade I Derivando agora em relação y temos 2 1 fx x y 4 2 2x 6y 6 Arrumando a expressão 3 fx x y 48 2x 6y Podemos reescrever a expressão voltando para a notação de fração x x y 3 48 f 2x 6y b Para a derivada fxyy devemos calcular a derivada em relação a x depois em relação a y e novamente em relação a y Assim teremos x x 1 2 f 2 f 2x 6y 2x 6y Para derivar agora em relação a y devemos arrumar a expressão 1 xf 2 2x 6y 1 1 fx y 12 2x 6y 6 Arrumando a expressão ficamos com 2 fx y 12 2x 6y Derivando novamente em relação y temos 2 1 fx y y 12 2 2x 6y 6 Arrumando a expressão 3 fx y y 144 2x 6y 157 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Podemos reescrever a expressão voltando para a notação de fração x y y 3 144 f 2x 6y Resumo Nesta unidade antes de iniciarmos o estudo de funções de várias variáveis revimos o conceito de derivada para funções de uma variável Foram apresentados alguns exercícios utilizando as regras e algumas aplicações A seguir foram apresentadas algumas situações que geram funções de duas e três variáveis Na sequência estudamos os elementos de uma função de duas variáveis conjunto domínio e seu gráfico conjunto imagem gráfico da função e curvas de nível Notamos que o gráfico do domínio e a representação das curvas de nível são feitos no plano IR2 já o gráfico da função fxy é representado no espaço IR3 Nem todos os gráficos são de fácil construção Utilizamos o software Winplot para a construção de alguns modelos de gráfico de função de duas variáveis Estudamos o conceito de derivadas parciais utilizando as regras diretamente e também derivada parcial de função composta Foi visto que não há regras novas para derivadas parciais utilizamos as mesmas vistas para funções de uma variável Vimos algumas aplicações de derivadas parciais Por fim tivemos a derivada de ordem superior em que derivamos novamente as derivadas parciais Exercícios Questão 1 A teoria da corda vibrante se aplica aos instrumentos musicais como os violões e as guitarras A nota do instrumento f depende de vários parâmetros como a tensão T aplicada na tarraxa a grossura da corda µ e o comprimento livre da corda L muitas vezes músicos habilidosos utilizam os harmônicos n mas normalmente a execução é feita com a fundamental n 1 158 Unidade I Figura 55 Guitarra L o comprimento da corda f a frequência da nota emitida e T a tensão da tarraxa Fonte Pixabay Muitas vezes a corda é submetida a uma tensão muito grande e acaba entrando em colapso quebrando mesmo estando nova Figura 56 Cordas de guitarra Fonte Pixabay A função da tensão em relação ao comprimento e frequência é Lf 2 T Lf 4 n µ Uma corda que suporta uma tensão de 16 N cuja densidade µ é 25106 kgm numa guitarra com o comprimento de 1 m Qual a frequência limite para TL 161 lim f TL 159 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A 200 Hz B 500 Hz C 800 Hz D 250 Hz E 400 Hz Resposta correta alternativa E Análise da questão Obtendo a expressão fTL 2 T Lf 4 n µ T Lf 4 n µ n T f 2L µ n T f TL 2L µ Portanto devemos achar o limite de TL 161 lim f TL TL 161 n T lim 2L µ Considerando a fundamental n 1 1 T 2 1 µ 160 Unidade I 6 1 16 2 1 251 0 1 161 06 2 25 3 1 0641 0 2 081 03 800 400Hz 2 2 Questão 2 Um luthier recebeu a encomenda para fazer um violão especial com a escala natural e não temperada como os normais O sistema de afinação natural procura usar intervalos naturais ou seja intervalos que podem ser representados por números racionais Para isso ele construiu um violão sem trastes porém o resultado foi pouco satisfatório pois o som saiu sem brilho Figura 57 Violão sem trastes Fonte Pixabay Sabendo que a fórmula das cordas vibrantes é n T f TL 2L µ Onde T é a tensão da corda 161 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS L o comprimento n a harmônica no caso 1 µ a densidade da corda Com a corda solta expressão usada para a corda sem ser apertada no braço vibrando livremente sob uma tensão de 4 N e o comprimento da corda com 08 m o afinador apontou 200 Hz Assim ele concluiu que a variação da frequência em relação ao comprimento é A 400 Hzm B 200 Hzm C 250 Hzm D 2 Hzm E 4 Hzm Resposta correta alternativa C Análise da questão Conforme o enunciado n T f TL 2L µ Calculando a variação da frequência em relação ao comprimento 2 f TL L T 1 1 T 1 f TL L 2 L 2L L µ µ Pelo enunciado f408 200 Hz f 408 1 200 250Hz m L 08 No caso como é a variação é 250 Hzm