Derivadas Parciais e a Regra da Cadeia em Funções de Várias Variáveis

162 Unidade II Unidade II 5 DERIVADAS PARCIAIS MAIS REGRAS 51 Regra da cadeia Em alguns casos podemos ter funções de duas ou mais variáveis em que essas variáveis dependem de uma outra variável Se quisermos saber a taxa de variação da função em relação a essa outra variável teremos que utilizar a regra da cadeia Veremos a seguir duas dessas regras função de duas variáveis com cada variável dependendo de uma terceira e função de duas variáveis com cada variável dependendo de outras duas 511 Primeira regra da cadeia Consideremos uma função de duas variáveis z fx y onde x e y dependem de outra variável t isto é x gt e y ht A derivada de z em relação a t será calculada pela expressão dz z dx z dy dt x dt y dt Lembrete Como x e y são funções de uma variável t usaremos as notações dx dy dt e dt para indicar suas derivadas Exemplo de aplicação Exemplo 1 Dada a função z 3x2 y ex com x t2 e y 3t determine dz dt Resolução Devemos utilizar a regra da cadeia 163 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS dz z dx z dy dt x dt y dt Calculamos as derivadas separadamente e depois substituimos na regra da cadeia z 3x2 y ex x z 6xy e x e 2 z 3x y 2 dx x t 2t dt dx x 3t 3 dt Substituindo na expressão de dz dt x 2 dz 6xy e 2t 3x 3 dt x 2 dz 6xy e 2t 9x dt Substituindo x t2 e y 3 t temos t 2 2 2 2 dz 6 e 2t 9 dt t 3t t 2 3 t 4 dz 18t e 2t 9t dt 2 4 t 4 dz 36t 2te 9t dt Exemplo 2 Em um circuito elétrico a tensão média V volts diminui como o tempo s à taxa de 03 Vs devido ao desgaste da bateria Pelo aquecimento do resistor a resistência R Ω aumenta à taxa de 05 Ωs 164 Unidade II Usando a Lei de Ohm V I R determine a taxa de variação da corrente IA em relação ao tempo no instante em que R 250 Ω e I 02 A Resolução Segundo a Lei de Ohm I é função de R e V Assim podemos escrever V IVR R Como V e R estão variando com o tempo devemos utilizar a regra da cadeia dI I dV I dR dt V dt R dt Calcularemos as derivadas separadamente e depois substituiremos na regra da cadeia V I R isto é I V R1 1 I R V e 2 I VR R Pelo enunciado dV dt 03 Vs e dR dt 05 s Ω Substituindo na expressão de dI dt 1 2 dI V R 03 05 dt R 2 dI 03 05V dt R R Queremos a taxa de variação quando R 250 Ω e V 02 A Assim 2 dI 03 05 0 dt 2 250 250 165 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS dI 03 01 dt 250 62500 dI 00012 00000016 dt dI 00012016 dt 3 dI 1201610 As dt Exemplo 3 Determine a taxa de variação da pressão em kPa quilopascal em relação ao tempo de 1 mol de um gás ideal que obedece à equação PV 831 T quando a temperatura é de 250 K kelvin e está aumentando à taxa de 02 Ks e o volume é de 150 L litros e está aumentando à taxa de 03 Ls Resolução Conforme o enunciado temos T 250 K V 150 L dT 02 Ks dt dV 03 Ls dt Queremos calcular dP dt Sabemos que PV 831 T Daí isolando P teremos 831 T P V Como T e V estão variando com o tempo devemos utilizar a regra da cadeia dP P dV P dT dt V dt T dt 166 Unidade II Calculamos as derivadas separadamente e depois substituimos na regra da cadeia Arrumando a função 831 T P V temos P 831 T V1 2 2 P P 831T 1831TV isto é V V V P 831 T V Pelo enunciado dV dt 03 Ls e dT dt 02 Ks Substituindo na expressão de dP dt 2 dP 831 T 831 03 02 dt V V Arrumando a expressão temos 2 dP 2493 T 1662 dt V V Queremos a taxa de variação quando T 250 K e V 150 L Assim 2 250 150 150 dP 2493 1662 dt dP 00277 001108 dt dP 001662 KPa s dt ou 2 dP KPa 1662 10 s dt Exemplo 4 Sabemos que o volume de um cone é dado por 2 1 V 3 r h π Determine a taxa de variação do volume de um cone se seu raio aumenta à taxa de 3 cms enquanto sua altura decresce à taxa de 5 cms no instante em que r 15 cm e h 20 cm 167 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Resolução Temos que V é função de duas variáveis r e h Como r e h estão variando com o tempo devemos utilizar a regra da cadeia dV V dr V dh dt r dt h dt Calcularemos as derivadas separadamente e depois substituiremos na regra da cadeia Derivando a função 2 1 V 3 r h π temos V 1 V 2 2r h isto é r h r 3 r 3 π π 2 V 1 r h 3 π Pelo enunciado dr dt 3 cms e dh 5 cms dt Substituindo na expressão de dV dt dV V dr V dh dt r dt h dt 2 dV 2 1 r h 3 r 5 dt 3 3 π π Arrumando a expressão temos 2 dP 5 2 r h r dt 3 π π Queremos a taxa de variação quando r 15 cm e h 20 cm Assim 2 dP 5 2 dt 15 2 5 3 0 1 π π 168 Unidade II dP 600 375 dt π π 3 dV 225 cm s dt π 512 Segunda regra da cadeia Consideremos uma função de duas variáveis z fx y onde x e y dependem de duas variáveis u e v isto é x gu v e y hu v As derivadas parciais de z em relação a u e a v serão calculadas pelas expressões z z x z y u x u y u e z z x z y v x v y v Exemplo de aplicação Exemplo 1 Dada a função z 3x2y3 com x 2u v e y u 3v determinar as derivadas parciais a z u b z v Resolução Como z é função de duas variáveis x e y e cada uma delas é função de duas variáveis u e v devemos utilizar a segunda regra da cadeia Calcularemos as derivadas separadamente e depois substituiremos na regra da cadeia Derivando a função z 3x2y3 em função de x e y 3 z 6xy x 169 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2 3 1 2 2 z z 3x 3y isto é 9x y y y Derivando x 2u v em relação a u e a v x 2 u e x 1 v Derivando y u 3v em relação a u e a v y 1 u e y 3 v a Substituindo na expressão de z u z z x z y u x u y u 3 2 2 z 6xy 2 9x y 1 u Arrumando a expressão temos 3 2 2 z 12xy 9x y u Devemos agora substituir x e y por suas expressões escrevendo a derivada parcial em função de u e v Assim teremos 3 2 2 z 122u v u 3v 92u v u 3v u Colocando em evidência 2 2 2 z 62u v u 3v 2 u 3v 32u v u 3v u 170 Unidade II b Substituindo agora na expressão de z v z z x z y v x v y v 3 2 2 z 6xy 1 18x y 3 v Arrumando a expressão temos 3 2 2 z 6xy 54x y v Devese agora substituir x e y por suas expressões escrevendo a derivada parcial em função de u e v Assim teremos 3 2 2 z 6 54 2u v u 3v 2u v v u 3v Colocando em evidência 2 z 62u v u 3v u 3v 92u v u 3v v Exemplo 2 Determinar as derivadas parciais z e z u v para a função z 2x2 y2 sendo x u2 3v e y 4u v2 Resolução Como z é função de duas variáveis x e y e cada uma delas é função de duas variáveis u e v devemos utilizar a segunda regra da cadeia Calcularemos as derivadas separadamente e depois substituiremos na regra da cadeia Derivando a função z 2x2 y2 em função de x e y 171 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS z 4x x z 2y y Derivando x u2 3v em relação a u e a v x 2u u e x 3 v Derivando y 4u v2 em relação a u e a v y 4 u e y 2v v a Para calcular z u vamos substituir as derivadas parciais calculadas na expressão z z x z y u x u y u z 4x2u 2y4 u Arrumando a expressão temos z 8xu 8y u Devemos agora substituir x e y por suas expressões escrevendo a derivada parcial em função de u e v Assim teremos 2 2 z 8u 3vu 84u v u 172 Unidade II b Para calcular z v vamos substituir as derivadas parciais calculadas na expressão z z x z y v x v y v z 4x 3 2y 2v v Arrumando a expressão temos z 12x 4yv v Devemos agora substituir x e y por suas expressões escrevendo a derivada parcial em função de u e v Assim teremos 2 2 u 3v z 12 4 4 v v u u Saiba mais Conheça mais sobre a regra da cadeia STEWART J Cálculo São Paulo Pioneira Thomson Learning 2013 v 2 Capítulo 14 52 Plano tangente Equações do tipo z mx ny c definem planos no IR3 Sendo z fx y uma função de duas variáveis derivável no ponto A ab Df a equação do plano tangente ao gráfico da função f no ponto A é dada pela expressão 0 x 0 0 0 y 0 0 0 z z f x y x x f x y y y sendo z0 fx0 y0 173 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo de aplicação Exemplo 1 Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de fxy x2 2xy y2 no ponto A21 Resolução Primeiro determinaremos as derivadas parciais de f no ponto A Lembrete Para determinar a derivada no ponto devemos calcular a derivada num ponto qualquer e somente depois substituir os valores de x e y do ponto Calculando a derivada parcial em relação a x num ponto qualquer xf xy 2x 2y Substituindo as coordenadas do ponto A21 em fxxy xf 21 22 21 xf 21 4 2 xf 21 6 Calculando agora a derivada parcial em relação a y num ponto qualquer yf xy 2x 2y Substituindo as coordenadas do ponto A21 em fyxy yf 21 22 21 yf 21 4 2 yf 21 2 174 Unidade II Precisamos determinar também o valor de z0 f21 isto é substituir os valores de x 2 e y 1 na expressão da função Assim 2 2 fxy x 2xy y 2 2 0z f21 2 221 1 0z f21 4 4 1 0z f21 7 Para determinar a equação do plano tangente devemos substituir os valores calculados na expressão 0 x 0 0 0 y 0 0 0 z z f x y x x f x y y y x y z 7 f 21x 2 f 21y 1 z 7 6x 2 2y 1 Utilizando a propriedade distributiva e arrumando a expressão ficamos com z 6x 12 2y 2 7 z 6x 2y 7 Logo a equação do plano tangente ao gráfico de fxy x2 2xy y2 no ponto A21 é z 6x 2y 7 Exemplo 2 Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de fxy x2 y2 no ponto A11 Resolução Primeiro determinaremos as derivadas parciais de f no ponto A Calculando a derivada parcial em relação a x num ponto qualquer xf 2x 175 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Substituindo as coordenadas do ponto A11 em fxxy xf 11 21 xf 11 2 Calculando agora a derivada parcial em relação a y num ponto qualquer yf 2y Substituindo as coordenadas do ponto A11 em fyxy yf 11 21 yf 11 2 Precisamos determinar também o valor de z0 f11 isto é substituir os valores de x 1 e y 1 na expressão da função Assim fxy x2 y2 2 2 0z f11 1 1 z0 2 Para determinar a equação do plano tangente devemos substituir os valores calculados na expressão 0 x 0 0 0 y 0 0 0 z z f x y x x f x y y y x y 2 1 z f 11 x f 11 y 1 2 2 1 z x 2 y 1 Utilizando a propriedade distributiva e arrumando a expressão ficamos com z 2x 2 2 y 2 2 z 2x 2y 2 176 Unidade II Logo a equação do plano tangente ao gráfico de fxy x2 y2 no ponto A11 é z 2x 2y 2 Exemplo 3 Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de fxy x2 y2 no ponto A00 Resolução Primeiro determinaremos as derivadas parciais de f no ponto A Calculando a derivada parcial em relação a x num ponto qualquer xf xy 2x Substituindo as coordenadas do ponto A00 em fxxy xf 00 20 xf 00 0 Calculando agora a derivada parcial em relação a y num ponto qualquer yf xy 2y Substituindo as coordenadas do ponto A00 em fyxy y 00 f 20 yf 00 0 Precisamos determinar também o valor de z0 f00 isto é substituir os valores de x 0 e y 0 na expressão da função Assim fxy x2 y2 2 2 0z f00 0 0 z0 0 177 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Para determinar a equação do plano tangente devemos substituir os valores calculados na expressão 0 x 0 0 0 y 0 0 0 z z f x y x x f x y y y x y 0 0 z f 00 x f 00 y 0 z 0 0x 0 0y 0 Arrumando a expressão ficamos com z 0 Logo a equação do plano tangente ao gráfico de fxy x2 y2 no ponto A00 é z 0 isto é o plano tangente é o plano 0xy 53 Ampliando seu leque de exemplos Exemplo 1 Dada a função 2 3 3 2 fxy x y 2x 4y determine a derivada fxxy isto é queremos calcular a derivada de terceira ordem Resolução Devemos derivar na ordem em que as variáveis aparecem isto é em relação a x novamente em relação a x e finalmente em relação a y Observação Com a notação fxxy a ordem para as derivadas é da esquerda para a direita Com a notação 3f y x x a ordem para as derivadas é da direita para a esquerda Calculando as derivadas inicialmente em relação a x 3 2 xf 2xy 6x 178 Unidade II Derivando novamente em relação a x 3 fx x 2y 12x Agora devemos derivar em relação a y fxxy 6y2 Exemplo 2 Dada a função 3 2 2 fxy x cosx y determine a derivada fxyx isto é queremos calcular a derivada de terceira ordem Resolução Devemos derivar na ordem em que as variáveis aparecem isto é em relação a x novamente em relação a y e finalmente em relação a x Calculando as derivadas inicialmente em relação a x notamos que temos x nas duas parcelas da função Utilizaremos então a regra do produto 2 2 2 3 2 2 xf 3x cosx y x senx y 2x Arrumando a expressão 2 2 2 4 2 2 xf 3x cosx y 2x senx y Derivando novamente agora em relação a y observamos que a função tem duas partes e em ambas a variável y aparece somente uma vez Assim tratase de constante vezes função 2 2 2 4 2 2 fx y 3x senx y 2y 2x cosx y 2y Arrumando a expressão 2 2 2 4 2 2 fx y 6x ysenx y 4x ycosx y Agora devemos derivar em relação a x 2 2 3 2 2 3 2 2 5 2 2 fx y x 12xysenx y 12x ycosx y 16x ycosx y 8x y senx y 179 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Arrumando a expressão 2 2 3 2 2 3 2 2 5 2 2 fx y x 12xysenx y 12x ycosx y 16x ycosx y 8x ysenx y Somando os termos comuns vem 2 2 3 2 2 5 2 2 fx y x 12xysenx y 28x ycosx y 8x ysenx y Exemplo 3 Dada a função xy2 fxy e determine a derivada 3f x y y isto é queremos calcular a derivada de terceira ordem Resolução Calculando as derivadas inicialmente em relação a y notamos que é uma função composta Assim xy2 f 2yxe y Lembrete Para esta notação de derivadas parciais devemos derivar primeiro em relação a y novamente em relação a y e finalmente em relação a x isto é da direita para a esquerda Derivando em relação a y observamos que agora temos o produto de duas funções de y Utilizaremos então a regra do produto 2 2 2 xy xy f 2xe 2yx2yxe y y Arrumando a função 2 2 2 xy 2 2 xy f 2xe 4x y e y y 180 Unidade II Antes de fazermos a última das derivadas devemos arrumar a expressão 2 2 2 xy 2 2 xy f 2xe 4x y e y y Derivando agora em relação a x notamos que nas duas parcelas a variável x aparece duas vezes necessitando então da regra do produto em ambas 3 2 2 2 2 xy 2 xy 2 xy 2 2 2 xy f 2e 2xy e 42xy e 4x y y e x y y Arrumando a expressão 3 2 2 2 2 xy 2 xy 2 xy 2 4 xy f 2e 2xy e 8xy e 4x y e x y y Somando os termos semelhantes temos a derivada de terceira ordem pedida 3 2 2 2 xy 2 xy 2 4 xy f 2e 10xy e 4x y e x y y Exemplo 4 Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de fxy 2x2 y2 no ponto A01 Resolução Primeiro determinaremos as derivadas parciais de f no ponto A Calculando a derivada parcial em relação a x num ponto qualquer yf xy 4x Substituindo as coordenadas do ponto A01 em fxxy x 01 f 40 xf 01 0 181 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Calculando agora a derivada parcial em relação a y num ponto qualquer yf xy 2y Substituindo as coordenadas do ponto A01 em fyxy y 01 f 21 yf 01 2 Precisamos determinar também o valor de z0 f01 isto é substituir os valores de x 0 e y 1 na expressão da função Assim 2 2 fxy 2x y 2 2 0z f01 20 1 0z 1 Para determinar a equação do plano tangente devemos substituir os valores calculados na expressão 0 x 0 0 0 y 0 0 0 z z f x y x x f x y y y x y 1 0 z f 01 x f 01 y 1 1 0 0 z x 2 y 1 z 1 2y 2 Arrumando a expressão ficamos com z 2y 1 Logo a equação do plano tangente ao gráfico de fxy x2 y2 no ponto A01 é z 2y 1 182 Unidade II 6 DERIVADA DIRECIONAL Já vimos as derivadas parciais Veremos agora que é possível calcular a derivada de uma função de duas variáveis em várias direções É o que chamamos de derivada direcional Em algumas situações necessitaremos saber a taxa máxima de variação de uma função e nesse caso utilizaremos a derivada direcional Para o estudo de derivadas direcionais necessitaremos de alguns conceitos de vetores Faremos então uma breve revisão de vetores no plano 61 Vetores no plano No plano IR2 podemos escrever um vetor por meio de suas coordenadas ou pela sua expressão em função dos versores i e j u xy ou u x i y j Observação Versor é um vetor com módulo ou norma igual a 1 Módulo definimos módulo norma ou comprimento para um vetor u xy por 2 2 u x y Exemplo de aplicação Determinar o módulo de u a u 31 Resolução 2 2 u 3 1 u 10 b u 12 Resolução 2 2 u 1 2 u 1 4 u 5 183 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Lembrete Para fazermos x 1 ao quadrado dentro da raiz o uso de parênteses é obrigatório c u i j Resolução Sabemos que as coordenadas do vetor u são x 1 e y 1 isto é são os coeficientes dos versores i e j Assim 2 2 2 u 1 1 u 1 1 u 2 Versor definimos o versor de um vetor v pela expressão v u v Exemplo de aplicação Determinar o versor do vetor dado a v 23 b v 3 j Resolução a Para determinar o versor precisamos inicialmente calcular o módulo de v 2 2 v 2 3 v 4 9 v 13 Assim teremos v 2 3 2 3 u u v 13 13 13 Não é usual deixar a raiz no denominador Vamos então racionalizar as frações isto é multiplicar e dividir por 13 Assim 184 Unidade II 2 13 3 13 u 13 13 13 13 Assim o versor de v será igual a 2 13 3 13 u 13 13 b Para determinar o versor precisamos inicialmente calcular o módulo de v 2 2 v 3 1 v 9 1 v 10 Assim teremos v 3i j 3 1 u u i j v 10 10 10 Não é usual deixar a raiz no denominador Vamos então racionalizar as frações isto é multiplicar e dividir por 10 Assim 3 10 10 u i j 10 10 Assim o versor de v será igual a 3 10 10 u i j 10 10 ou na notação de coordenadas podemos escrever 3 10 10 u 10 10 Vetor por dois pontos se A xA yA e B xB yB então o vetor AB será dado por B B A A B A B A AB B A x y x y x x y y Exemplo de aplicação Determine as coordenadas do vetor AB pelos pontos A e B nos seguintes casos a A 12 e B 35 185 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS b A 13 e B 62 Resolução a Sabemos que AB B A Assim AB 35 12 AB 3 15 2 AB 3 13 AB 43 b Sabemos que AB B A Assim AB 6 2 13 AB 6 1 2 3 AB 55 Produto escalar produto de dois vetores resultando em um número real O produto escalar de u xy e v ab é definido por u v xy ab xa yb Exemplo de aplicação Determinar o produto escalar dos vetores indicados a u 12 e v 31 b u 2i j e v 4 i 2 j 186 Unidade II Resolução a Utilizando a definição de produto escalar vem u v 12 31 u v 13 21 u v 3 2 u v 1 b Nesse caso como os vetores foram dados em função dos versores i e j faremos o produto escalar também em função dos versores i e j u v 2i j 4 i 2 j u v 2i4 i 2i2 j j4 i j2 j Arrumando a expressão u v 8ii 4 i j 4 ji 2 j j u v 8ii 2 j j Lembrete Sabemos que i i 10 10 1 i j 10 01 0 e j j 01 01 1 Assim u v 81 21 8 2 6 Podemos efetuar o produto escalar com a notação de coordenadas para os vetores ou com a notação de combinação linear dos versores 187 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Saiba mais Para mais exercícios sobre vetores e suas operações consulte WINTERLE P Vetores e geometria analítica São Paulo Pearson 2014 62 Derivada direcional Quando calculamos as derivadas f x e f y estamos determinando a taxa de variação de f na direção do eixo x ou na direção do eixo y É possível determinar a derivada de uma função de duas variáveis em qualquer direção Nesse caso chamamos a derivada de derivada direcional Usaremos a notação Dufxy para indicar a derivada direcional de f na direção do versor u ab Definimos a derivada direcional Dufxy como u x y D fxy f xy a f xy b A notação Dufx0y0 para indicar a derivada direcional de f na direção do versor u ab no ponto x0y0 u 0 0 x 0 0 y 0 0 D fx y f x y a f x y b Observação Na definição de derivada direcional utilizamos a notação u para indicar o versor diferentemente da notação u que utilizamos geralmente Exemplo de aplicação Exemplo 1 Determine a derivada direcional de 3 2 3 fxy x 2x y 2y na direção do versor 2 2 u 2 2 no ponto P11 188 Unidade II Resolução Para calcularmos a derivada direcional devemos inicialmente determinar as derivadas parciais de f num ponto qualquer e posteriormente substituir as coordenadas do ponto P Derivando em relação a x temos 2 xf 3x 4xy 2 x x f 11 3 4 f 1 1 1 1 1 1 Derivando em relação a y temos 2 2 yf 2x 6y 2 2 y y f 11 2 6 f 11 4 1 1 Substituindo na expressão de Dufxy u x y D f11 f 11 a f 11 b u 2 2 D f11 1 4 2 2 u u 2 4 2 3 2 D f11 D f11 2 2 2 Exemplo 2 Determine a derivada direcional de 3 2 fxy x y na direção do vetor v 12 no ponto P11 Resolução Para calcularmos a derivada direcional devemos inicialmente determinar as derivadas parciais de f num ponto qualquer e posteriormente substituir as coordenadas do ponto P Derivando em relação a x temos fx 3x2 189 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2 xf 11 3 1 xf 11 3 Derivando em relação a y temos yf 2y yf 11 21 yf 11 2 Note que v 12 não é um versor Logo precisamos determinar seu versor 2 2 12 v u v 1 2 1 2 u 5 5 Substituindo na expressão de Dufxy temos u x y D f 11 f 11a f 11b u 1 2 D f 11 3 2 5 5 u 3 4 D f 11 5 5 Racionalizando u 5 D f 11 5 190 Unidade II Exemplo 3 Determinar a derivada direcional da função fxy ex y no ponto P12 na direção do versor que forma ângulo θ 50º com o eixo x Resolução Para sabermos o versor quando for dado o ângulo devemos utilizar o ciclo trigonométrico y x cosθ senθ θ Figura 58 Ciclo trigonométrico O versor será dado por u cosθ senθ Nesse caso teremos u cos50º sen50º isto é u 064 077 Lembrete Ao utilizar a calculadora para determinar os valores de cos50º e sen50º observe se está em graus D A opção R radianos deverá ser utilizada caso o ângulo seja dado em radianos Calculando a derivada parcial em relação a x xy f xy ye x 2 f 12 2e x 191 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Calculando a derivada parcial em relação a y xy f xy xe y 2 2 f 12 1e e x Substituindo na expressão da derivada direcional teremos u f f D f12 12 a 12 b x y 2 2 u D f12 2e 064 e 077 u D f12 946 569 u D f12 1515 63 Vetor gradiente Consideremos fxy uma função de duas variáveis x e y Se as derivadas parciais existirem definimos como vetor gradiente de fxy o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x Usaremos a notação f para indicar o vetor gradiente da função fxy O símbolo é o operador nabla Assim teremos o vetor gradiente dado por x y f f fxy f xyf xy ou fxy xy xy x y Geralmente utilizamos a notação simplificada não escrevendo o ponto para indicar as coordenadas do vetor gradiente f fx fy Exemplo de aplicação Exemplo 1 Calcular o vetor gradiente da função fxy cosxy 192 Unidade II Resolução Como o vetor gradiente é igual a f fx fy para determinar suas coordenadas devemos calcular as derivadas parciais da função fxy Observando a função notamos que se trata de uma função composta Assim devemos derivar a função cosseno e multiplicar pela derivada da expressão x y parcialmente em relação a x e em relação a y xf xy ysenxy yf xy xsenxy Logo f ysenxy xsenxy Exemplo 2 Calcular o vetor gradiente da função fxy Lnx 2y no ponto P10 Resolução Como o vetor gradiente é igual a f fx fy para determinar suas coordenadas devemos calcular as derivadas parciais da função fxy no ponto dado Lembrete Inicialmente calculamos a derivada em um ponto qualquer e depois substituímos as coordenadas do ponto dado Observando a função notamos que se trata de uma função composta Assim devemos derivar a função logaritmo Ln e multiplicar pela derivada da expressão x 2y parcialmente em relação a x e em relação a y x 1 f xy x 2y 193 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS y 2 f xy x 2y Logo 1 2 fxy x 2y x 2y Substituindo os valores x 1 e y 0 do ponto P no vetor gradiente temos 1 0 1 2 f10 2 1 2 0 Assim f10 12 Podemos reescrever a definição de derivada direcional utilizando a notação de gradiente A derivada direcional de f na direção do versor u será dada pelo produto escalar do vetor gradiente pelo versor u u D fxy f u Exemplo 3 Dada a função fxy senx2 y2 determine a derivada direcional de f na direção do versor 2 2 u 2 2 no ponto P 0π Resolução Para calcular a derivada direcional de fxy na direção de u vamos utilizar o produto escalar do vetor gradiente pelo versor isto é u D fxy fxy u Calculando as derivadas parciais notamos que se trata de uma função composta Devemos derivar a função seno e multiplicar pela derivada da expressão x2 y2 parcialmente em relação a x e em relação a y Assim fx 2x cosx2 y2 fy 2y cosx2 y2 194 Unidade II Como queremos a derivada direcional no ponto P devemos substituir os valores x 0 e y π do ponto P nas derivadas parciais de fxy Assim 2 2 xf 0 20cos0 π π xf 0 0 π e 2 2 yf 0 2 cos0 π π π 2 yf 0 2 cos π π π yf 0 567 π Assim f0π 0 567 Substituindo na expressão da derivada direcional no ponto temos u 0 0 0 0 D fx y fx y u u 2 2 D f0 0 567 2 2 π u 2 2 D f0 0 567 2 2 π Logo Duf0π 401 64 Maximizando a derivada direcional Em várias situações precisaremos do valor máximo da derivada direcional Considere uma função de duas variáveis O valor máximo da derivada direcional Dufx0y0 em um ponto P x0y0 é dado pelo módulo do vetor gradiente isto é por fx0y0 e ocorre na direção do vetor gradiente no ponto P 195 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo de aplicação Exemplo 1 Determinar a taxa de variação de fxy x cosxy no ponto P 10 na direção de P a Q sendo Q 21 A seguir determine em que direção f tem a máxima taxa de variação e qual a máxima taxa de variação Resolução Calculando o vetor gradiente notamos que na derivada parcial em relação a x temos que utilizar a regra do produto pois x aparece duas vezes na expressão xf xy cosxy xysenxy Na derivada parcial em relação a y temos uma constante vezes uma função composta Assim 2 y y f xy xxsenxy f xy x senxy Queremos o gradiente no ponto P 10 Calculando as derivadas parciais no ponto P temos x x x 10 10 1 f 10 cos sen f 10 1 0 f 10 0 1 2 y y y f 10 sen f 10 sen0 f 1 10 1 0 0 Assim o vetor gradiente no ponto 10 será f10 10 Lembrete O vetor do ponto A xA yA para o ponto B xB yB é calculado por B A B A AB B A x x y y Determinando as coordenadas do vetor v AB temosv B A 21 10 v 11 Observando as coordenadas de v notamos que não é um versor pois seu módulo não é igual a 1 Devemos calcular u versor de v 196 Unidade II 2 2 v 11 11 1 1 u u v 2 2 2 1 1 Racionalizando as coordenadas do versor u 1 2 1 2 2 2 u 2 2 2 2 2 2 Substituindo na expressão da derivada direcional temos u 0 0 0 0 D fx y fx y u u 2 2 D f10 10 2 2 u u 2 2 D f10 0 D f10 2 2 A taxa máxima de variação no ponto P 10 ocorre na direção e sentido de f10 10 O valor da taxa máxima de variação é 2 2 f10 10 1 0 1 Exemplo 2 Para x2 fxy y determine a taxa máxima de variação de f no ponto P 62 e a direção e sentido em que ela ocorre Resolução Calculando o vetor gradiente notamos que na derivada parcial em relação x a variável x aparece somente uma vez Assim teremos constante vezes função x 2x f xy y 197 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Para fazer a derivada parcial em relação a y devemos inicialmente arrumar a função Utilizando a propriedade de potência reescrevemos a função Assim 2 1 fxy x y Notamos então que temos uma constante vezes a função Assim 2 2 2 y y 2 x f xy x 1y f xy y Queremos o gradiente no ponto P 62 Calculando as derivadas parciais no ponto P temos x x 2 y y y 2 26 f 62 f 62 6 2 6 36 f 62 f 62 f 62 9 4 2 Assim o vetor gradiente no ponto 62 será f62 69 A taxa máxima de variação no ponto P 10 ocorre na direção e sentido de f62 69 O valor da taxa máxima de variação é 2 2 f62 6 9 6 9 f62 36 81 f62 117 Exemplo 3 Uma placa metálica tem sua distribuição de temperatura no plano xy dada pela função Txy 4x2 x y y2 com T em graus Celsius e x e y em metros Determine a direção e sentido do maior crescimento de temperatura e o valor da taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto A23 Resolução Sabemos que a direção e sentido de maior crescimento é a do gradiente Assim devemos calcular as derivadas parciais inicialmente em um ponto qualquer e depois no ponto A 198 Unidade II Calculando a derivada de T em relação a x xT 42x y xT 8x y Calculando a derivada de T em relação a y yT x 2y Substituindo as coordenadas do ponto A nas derivadas parciais temos x x T 23 82 3 T 23 19 y y T 23 2 23 T 23 8 Logo a maior variação ocorre na direção e sentido do vetor gradiente T23 198 Para determinarmos o valor dessa variação máxima devemos calcular o módulo do gradiente Calculando o módulo do vetor gradiente temos 2 2 T23 19 8 T23 2062 ºC m Observação O exemplo poderia ser resolvido utilizando para o vetor gradiente a combinação linear dos versores i e j em vez da notação de coordenadas que foi utilizada O uso de uma notação ou outra é indiferente 199 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 65 Ampliando seu leque de exemplos Exemplo 1 Para os vetores u 51 e v 14 determine a u b u v c u v d versor de u e u v Resolução a Para determinar o módulo de u devemos utilizar a fórmula 2 2 u x y Assim teremos 2 2 u 5 1 5 1 u 26 u 501 b Queremos determinar a soma dos vetores Para isso somaremos as coordenadas correspondentes mantendo a posição u v 51 14 u v 5 1 1 4 u v 43 c Queremos o módulo do vetor soma 200 Unidade II Observação Das propriedades de módulo temos u v u v Assim precisamos saber as coordenadas do vetor soma u v antes de calcular seu módulo Já sabemos que u v 43 Calculando o módulo da soma temos 2 2 u v 43 u v 4 3 u v 25 u v 5 d versor de u 51 Sabemos que o versor de um vetor u é dado pela expressão u w u Assim 5 1 w 5 1 5 1 5 1 w 25 1 26 26 Racionalizando o denominador temos o versor de u 5 26 26 w 26 26 e Queremos o produto escalar dos vetores u e v u v 5 1 14 201 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS u v 5 1 14 u v 5 4 u v 9 Exemplo 2 Sendo A 6 2 e B 4 5 determine as coordenadas do vetor AB Resolução Para determinar o vetor por dois pontos usaremos o fato de que AB B A Assim AB B A 45 62 AB 4 65 2 AB 103 Exemplo 3 Determine a derivada direcional de 2 2 3 fxy x y 2xy y na direção do versor u 10 no ponto P21 Resolução Para calcularmos a derivada direcional devemos inicialmente determinar as derivadas parciais de f num ponto qualquer e posteriormente substituir as coordenadas do ponto P Derivando em relação a x temos 2 xf 2xy 2y Substituindo o ponto 21 na derivada parcial em relação a x 2 xf 21 221 21 202 Unidade II xf 21 2 Derivando em relação a y temos 2 2 yf 2x y 2x 3y Substituindo o ponto 21 na derivada parcial em relação a y 2 2 yf 21 22 1 22 31 yf 21 8 4 3 yf 21 7 Substituindo na expressão de Duf21 u x y D f21 f 21 a f 21 b u D f21 2 1 70 Duf21 2 Exemplo 4 Determine a derivada direcional de 2 y fxy x e no ponto P 13 na direção e sentido de v 21 Resolução Para calcularmos a derivada direcional devemos inicialmente determinar as derivadas parciais de f num ponto qualquer e posteriormente substituir as coordenadas do ponto P Derivando em relação a x temos fxxy 2 x ey Substituindo o ponto 13 na derivada parcial em relação a x fx13 2 1 e3 203 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS fx13 2 e3 Derivando em relação a y temos fy x2 ey Substituindo o ponto 13 na derivada parcial em relação a y fy13 12 e3 fy13 e3 Note que v 21 não é um versor Logo precisamos determinar seu versor 2 2 2 1 v u v 2 1 2 1 u 5 5 Não é usual deixar raiz no denominador Assim devemos racionalizar o denominador 2 5 1 5 u 5 5 5 5 2 5 5 u 5 5 Substituindo na expressão de Duf temos u x y D f 13 f 13 a f 13 b 3 3 u 2 5 5 D f 13 2e e 5 5 3 3 u 5 5 D f 13 4e e 5 5 204 Unidade II 3 u 5 D f 13 5e 5 3 u D f 13 e 5 Exemplo 5 Determinar a derivada direcional da função fxy x cosxy no ponto P20 na direção do versor que forma ângulo θ 30º com o eixo x Resolução O versor será dado por u cosθ senθ Neste caso teremos u cos30º sen30º isto é u 08705 Observação Ao utilizar a calculadora para determinar os valores de cos30º e sen30º observe se está em graus D A opção R radianos deverá utilizada caso o ângulo seja dado em radianos Calculando a derivada parcial em relação a x f xy cosxy x ysenxy x f xy cosxy xysenxy x Substituindo o ponto P 20 na derivada em relação a x f 20 cos20 20sen20 x f 1 x Calculando a derivada parcial em relação a y 205 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2 f xy x senxy y Substituindo o ponto P 20 na derivada em relação a y 2 f 20 2 sen20 x f 20 0 y Substituindo na expressão da derivada direcional teremos u f f D f20 a b x y u D f20 1 087 0 051 Duf20 087 Exemplo 6 Calcular o vetor gradiente da função 2 3 fxy 4x y Resolução Como o vetor gradiente é igual a f fx fy para determinar suas coordenadas devemos calcular as derivadas parciais da função fxy Assim fx 8x y3 fy 12x2 y2 Logo 3 2 2 fxy 8xy 12x y 206 Unidade II Exemplo 7 Calcular o vetor gradiente da função fxy Ln3x y2 no ponto P 11 Resolução Como o vetor gradiente é igual a f fx fy para determinar suas coordenadas devemos calcular as derivadas parciais da função fxy no ponto dado Observando a função notamos que se trata de uma função composta Assim devemos derivar a função logaritmo Ln e multiplicar pela derivada da expressão 3x y2 parcialmente em relação a x e em relação a y x 2 3 f xy 3x y y 2 2y f xy 3x y Logo 2 2 3 2y f 3x y 3x y Substituindo os valores x 1 e y 1 do ponto P no vetor gradiente temos 2 2 3 21 f 11 3 1 1 3 1 1 3 21 f 11 2 2 Logo 3 f 11 2 1 Exemplo 8 Dada a função 2 2 x y fxy e determine a derivada direcional de f na direção do versor 2 2 u 2 2 no ponto P 22 207 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Resolução Para calcular a derivada direcional de fxy na direção de u vamos utilizar o produto escalar do vetor gradiente pelo versor isto é Duf f u Calculando as derivadas parciais notamos que se trata de uma função composta Devemos derivar a função exponencial e multiplicar pela derivada da expressão x2 y2 Assim fx 2 x ex2 y2 fy 2 y ex2 y2 Como queremos a derivada direcional no ponto P devemos substituir os valores x 2 e y 2 do ponto P nas derivadas parciais de fxy Assim 2 2 2 2 8 x 2 2 2 2 8 y f 22 22e 4e f 22 22e 4e Assim substituindo na expressão da derivada direcional no ponto temos u D f22 f22 u 8 8 u 2 2 D f22 4e 4e 2 2 8 8 u 2 2 D f22 4e 4e 2 2 8 u D f22 4e 2 Exemplo 9 Determine a taxa de variação de fxy xcos2x y no ponto P 01 na direção de P a Q sendo Q 24 A seguir determine em que direção f tem a máxima taxa de variação e qual a máxima taxa de variação 208 Unidade II Resolução Calculando o vetor gradiente notamos que na derivada parcial em relação a x temos que utilizar a regra do produto pois x aparece duas vezes na expressão xf 1cos2x y x 2sen2x y xf cos2x y 2xsen2x y Na derivada parcial em relação a y temos uma constante vezes uma função composta Assim y y f xy x sen2x y f xy x sen2x y Queremos o gradiente no ponto P 01 Calculando as derivadas parciais no ponto P temos x x y y f 01 cos20 1 20sen20 1 f 01 cos1 054 f 01 0sen20 1 f 01 0 Lembrete Para calcular cos1 a calculadora deve estar em radianos Assim o vetor gradiente no ponto 01 será f01 0540 Determinando as coordenadas do vetor v PQ temos v PQ Q P 24 01 v 23 Observando as coordenadas de v notamos que não é um versor pois seu módulo não é igual a 1 Devemos calcular u versor de v 209 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 23 23 23 v u v 23 4 9 13 2 13 3 13 u 13 13 Substituindo na expressão da derivada direcional temos u D f01 f01 u u u 2 13 3 13 D f01 0540 13 13 2 13 D f01 054 0 030 13 A taxa máxima de variação no ponto P01 ocorre na direção e sentido do vetor gradiente isto é na direção e sentido do vetor f01 0540 O valor da taxa máxima de variação é dado pelo módulo do gradiente Assim 2 054 0 054 0 054 Logo a taxa máxima de variação será 054 Exemplo 10 Uma placa metálica tem sua distribuição de temperatura no plano xy dada pela função 3 2 Txy 2x x y y com T em graus Celsius e x e y em metros Determine a direção e sentido do maior crescimento de temperatura e o valor da taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto A31 Resolução Sabemos que a direção e sentido de maior crescimento é a do gradiente Assim devemos calcular as derivadas parciais inicialmente em um ponto qualquer e depois no ponto A Calculando a derivada de T em relação a x 210 Unidade II Tx 6x2 2x y Calculando a derivada de T em relação a y 2 yT x 1 Substituindo as coordenadas do ponto A nas derivadas parciais temos 2 x x 2 y y T 31 63 231 T 31 48 T 31 3 1 T 31 8 Logo a maior variação ocorre na direção e sentido do vetor gradiente isto é na direção e sentido do vetor T31 488 Para determinarmos o valor dessa variação máxima devemos calcular o módulo do gradiente Calculando o módulo do vetor gradiente temos 2 2 T31 48 8 48 8 T31 2368 4866 Logo a taxa máxima de variação da temperatura é igual a 4866 ºCm Resumo Nessa unidade estudamos duas regras da cadeia para derivadas parciais A primeira quando f é função de duas variáveis x e y e estas são funções de outra variável t Nesse caso temos a seguinte expressão para a regra da cadeia df f dx f dy dt x dt y dt No caso da segunda regra da cadeia temos f função de duas variáveis x e y e estas são funções de outras duas variáveis u e v 211 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS As expressões para a segunda regra da cadeia são f f dx f dy u x du y du e f f dx f dy v x dv y dv Vimos algumas aplicações dessas regras Estudamos a equação do plano tangente ao gráfico da função em determinado ponto Fizemos a revisão de alguns conceitos ligados a vetores módulo versor vetor por dois pontos e produto escalar necessários no estudo de derivadas direcionais Estudamos a definição de derivada direcional que depende das derivadas parciais e do versor que dará a direção O vetor gradiente tem primeira coordenada igual à derivada em relação a x e segunda coordenada igual à derivada em relação a y Vimos também a maximização da derivada direcional isto é a taxa máxima de variação Para os assuntos estudados foram apresentadas algumas aplicações Exercícios Questão 1 Um objeto está imerso em um líquido quente deixando exposta uma superfície plana fixa em relação aos pontos cardiais Figura 59 Placa imersa em líquido quente 212 Unidade II Devido a seu formato a temperatura superficial varia conforme a função 2 2 T NL N 2NL 2L Figura 60 Formato do objeto Qual das alternativas a seguir apresenta a direção de sentido da maior variação de temperatura sobre a superfície no ponto 11 A 46 B 44 C 64 D 24 E 26 Resposta correta alternativa A Análise da questão Conforme o enunciado 2 2 T NL N 2NL 2L Calculando a derivada parcial em relação ao Norte e aplicando no ponto 11 T 11 T 2N 2L 2 2 4 N N 213 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Calculando a derivada parcial em relação a x e aplicando no ponto 11 T 11 T 2N 4L 2 4 6 L L Portanto o gradiente no ponto 11 é T 11 46 Questão 2 Uma escultura de pedrasabão e granito intitulada Pão de com mais de 2 m de altura para eventuais manutenções e limpeza não pode ser apoiada de forma inadequada Segundo o artista essa escultura segue a função 2 2 f xy x 2x y 2 e seu ponto mais resistente está exatamente sobre o ponto 00 Figura 61 Escultura Pão de Uma limpeza no topo da escultura se tornou necessária e os funcionários do museu onde está a escultura precisam encostar uma escada na obra Para evitar o problema de ficarem encostando a escada em pontos diferentes aos indicados pelo escultor imaginouse um plano tangente ao ponto em questão Com isso eles poderão saber exatamente onde será o ponto B ou seja a distância do ponto em que o pé da escada deverá estar apoiado para que encoste no ponto de maior resistência da escultura 214 Unidade II Figura 62 Plano tangente ao ponto indicado pelo artista Calcule a coordenada do ponto B A 01 B 02 C 04 D 0 2 E 02 2 Resposta correta alternativa A Análise da questão Primeiro determinaremos as derivadas parciais de f no ponto A Calculando a derivada parcial em relação a x num ponto qualquer f xy 2x 2 x 215 CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Substituindo as coordenadas do ponto A00 em fxxy xf 00 2 Calculando agora a derivada parcial em relação a y num ponto qualquer f xy 2y y Substituindo as coordenadas do ponto A00 em fyxy fy00 0 Precisamos determinar também o valor de z0 f00 isto é substituir os valores de x 0 e y 0 na expressão da função Assim 2 2 f xy x 2x y 2 2 f 00 0 2 0 0 2 z0 2 Para determinar a equação do plano tangente devemos substituir os valores calculados na expressão 0 x 0 0 0 y 0 0 0 z z f x y x x f x y y y x y z 2 f 00 x 0 f 00 y 0 z 2 2x 0 y 0 z 2x 2 Dessa forma a função do plano tangente é txy 2x 2 Assim para saber onde z 0 quando y 0 X 1 Y 0