Cálculo Vetorial e Álgebra Linear: Fundamentos e Exemplos

Cálculo Vetorial e Álgebra Linear 14 16 Expressão analítica de um vetor no espaço z Px y z 𝐯 y x A cada vetor do espaço podemos associar uma terna de números reais xyz Assim escrevemos 𝐯 x y z Exemplo 1 Represente geometricamente os seguintes vetores a 𝚤 100 𝚥 010 𝑘 001 b 𝑢 230 𝑣 232 161 Decomposição de um vetor no espaço Verifique que todo vetor 𝑣 x y z pode ser escrito como combinação linear dos vetores 𝚤 𝚥 e 𝑘 de tal forma que 𝑣 𝑥𝚤 𝑦𝚥 𝑧𝑘 Exemplo 2 𝑣 2𝚤 4𝚥 3𝑘 Þ 𝑣 2 4 3 Observação O conjunto de vetores 𝚤 𝚥 𝑘 é chamado de base ortonormal do espaço Prof Robson Rodrigues 15 162 Operações com vetores no espaço Dados os vetores 𝑢 x1 y1 z1 e 𝑣 x2 y2 z2 e a um número real definimos a 𝑢 𝑣 x1 x2 y1 y2 z1 z2 b a𝑢 ax1 ay1 az1 Exemplo 3 Dados os vetores 𝑢 2 3 4 e 𝑣 2 1 2 determine o vetor 𝑤 2𝑢 𝑣 163 Vetor definido por dois pontos no espaço Se Ax1 y1 z1 e Bx2 y2 z2 são dois pontos no espaço então AB B A x2 x1 y2 y1 z2 z1 Exemplo 4 Dados os pontos A1 2 4 B2 3 1 e C1 4 2 determine o vetor 𝑤 2𝐴𝐵 3𝐵𝐶 164 Norma ou módulo de um vetor no espaço Sendo vetor 𝑣 x y z mostre que 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 Exemplo 5 Calcule a distância entre os pontos A1 2 1 e B2 1 1 165 Condição de paralelismo de dois vetores Dois vetores 𝑢 x1 y1 z1 e 𝑣 x2 y2 z2 são paralelos ou colineares se existe um escalar a tal que 𝑢 a𝑣 x1 y1 z1 ax2 y2 z2 Þ a Exemplo 6 Verifique se os vetores 𝑢 2 3 4 e 𝑣 4 6 8 são paralelos Exemplo 7 Determine os valores de a e b para que os vetores 𝑢 a 1 3 1 e 𝑣 4 2 2b1 sejam paralelos