L3 - Análise Vetorial 2021-1

L3 - Terceira lista de Andlise Vetorial 1. (UNICAMP) Considere 0 campo F (x,y, 2) = (e*, 2yz, xe* + y’) . (a) F é conservativo? Em caso afirmativo, calcule uma funcao potencial f(z,y,z) tal que Vf = F. (b) Calcule f, F'- dl, onde c é dada por ¥(t) = (cost, sint,t), 0 << t < 2n. 2. (UFRJ) Considere 0 campo K (x,y, 2) = (20 + y,a + e7,€7y). (a) Sem calcular uma funcao potencial, justifique a resposta da pergunta a seguir: F’ é um campo conservativo? (b) Calcule uma fungéo potencial para o campo K. (c) Considere a curva 6 obtida pela intersecao da superficie 1 S=4(z,y,z) €R®: wry? +s 220 com o plano «+ z = 0 orientada de forma que a segunda coordenada de um ponto em @ diminui ao longo de trajetéria sobre a curva. Esbogar a superficie e a curva. Calcular 0 trabalho de K ao longo da curva 6. 3. (UFRJ) Seja G(x, y, 2) = (e” siny + e* cosa, e* cosy + e” sin z, e” cos z + e* sin) um campo de vetores no espaco, determine a integral de linha de G ao longo da curva que é descrita pela parametrizacao §(t) = (¢8,sin 3 ,cos(7t)) com0<t<l. 4. (UNB) Calcule os valores das constantes reais,a, b e c de modo a obtermos VXH=0, A(a,y, 2) = (ayzsin(xy) + sin(yz), bz sin(xy) + xz cos(yz), cxy cos(yz) + cos(xy)) . Em seguida, usando os valores das constantes j4 determinados, encontre o valor def, H - dl, onde x a = {(z,y,z) € R®: x?+y?+z?=1,y=x, x>0,z>0} esta orientada de modo que o ponto inicial seja (0,0, 1). 1 5. (UFF) Calcule f. F-dl, sendo F (x,y,z) = (2y — 3z,2x + 2z,2y —3z)eC a curva parametrizada por 7(t) = (h(t) cost, h(t) sint, +), 0 < t < 27, se sabemos que h é funcao de classe C1, h(0) = 1 e h(27) = 2. 6. (UCLA) Para cada um dos campos irrotacionais abaixo listados calcule um potencial vetor (use a formula demonstrada na pégina 268 do livro texto). (a) F(a, y, 2) = (xz, —YZ,Y)- (b) G(x, y, 2) = (xe¥, —2 cos z, —ze¥). (c) A(x,y, 2) = (y?.2?,x?). 7. (UCLA) Seja F(a,y,2z) = (:, es :), onde p = \/x?+y?+z? um campo definido em Re-{0}. (a) Mostre que o campo acima é irrotacional. (b) Apesar do campo acima ser irrotacional, nao existe no dominio R-{0 } nenhum potencial vetor de classe Ct, A, tal que F=VXA. Vamos demonstrar esse fato em duas etapas. Primeiro consideremos a super- ficie esférica unitaria S' centrada na origem, S; é o hemisfério inferior e Sq o hemisfério superior e c = 05, = OS» é a circunferéncia de raio unitario. Temos preds=[ Fedb+ fF -ab. Ss Si Se Se fosse verdade que F=VxXAem Re-{o} escreveriamos pFis=[ (vxa)-ds+f (vx) a. S Sy So Peco a vocé que use 0 teorema de Stokes para mostrar que a hipdétese F=VXA acarreta f, F'- dS = 0. Por outro lado, ja calculamos em sala de aula fg BF .dS =4n (refaca esse cdlculo). Como esse tltimo resultado nao é questiondvel, conclua que F=VXAnaoé possivel. 2