L2 - Análise Vetorial 2021-1

L2 - Segunda lista de Andlise Vetorial 1. (UFJF) Determine as equag6des da reta normal e do plano tangente a superficie S: 2?+3y?+z?=28 no ponto (4, 1,3). 2. (UFF) Seja S' a porcao da superficie cilindrica x?+y?=1, no primeiro oc- tante, situada abaixo do plano «+ z = 1. Esboce, parametrize e calcule a area de S. 3. (UFF) Calcule a area de parte da superficie esférica, r?+-y?+z?=a?, limi- tada por dois paralelos e dois meridianos, sabendo que o Angulo entre os meridianos é a e a distancia entre os dois planos que contém os paralelos éh. 4. (UNICAMP) Seja f(z, y) = (a, y, y?-x?); 1 < x?+y?<4. Calcule a area de superficie. 5. (UNICAMP) Calcule , F’- di, onde C é a intersecdo do cone y = V2?-+2? com a esfera x?+y?+z?=2, orientada no sentido horario quando C é vista da origem. O campo F(a, y, z) = (y?+z?,z? +x? y?+x3). 6. (USP) Calcule SF - dl, com = —z y x F (x,y,z) = = Tye pe + ay) e y 6a intersecdo do cilindro x?+z?=1 com a superficie x?=2-y, orientada de modo que sua projecao no plano xy seja percorrida no sentido anti- horario. 7. (UFRJ) Seja C a curva de intersegao do cilindro eliptico = + © =1 com a semi-esfera «?+y?+z?=4, com z > 0, orientada no sentido anti- horario quando vista de cima. Calcule a integral de linha be HT - dl, onde rT _ Az 4 H (a,y,z) = (22y,0,0y + Py + zIn (4+2 )). 8. (UFRJ) Seja 7 a curva da intersecao do cone (z + 3) ?=(y — 1)?+x? com o plano z = 4, orientada no sentido anti-horario quando vista de cima do eixo Oz. Calcule {| K - dl, onde K (x,y, 2) = _i-¥ 4, __~____ x — 2zsin [1+ 2°] ” (y— 1)?+x? 0 (y — 1) Pex?” , 9. (UNICAMP) Seja S a parte do paraboléide z = 2 — x?-y? que estd acima do plano z = 1. Calcule o fluxo do campo de vetores F(a,y,2) (x,y, 2) ZY, 2) = Dn SU * (x? +y2-+422)9/? através de S. Escolha a orientacao de S. 1 10. (UNB) Use 0 teorema da divergéncia para encontrar o fluxo de = zarctan (4 G(e,y,2) = (» ix? +-y2], = retan (2) VF) x através da fronteira da regiao D, onde D é 0 cilindro de paredes espessas com x?+y? entre le 2, -l<z<2. 11. (UFSC) Calcule o fluxo do campo A (x,y,z) = (xy, y2-+exp [x2?],sin [xy]) através da superficie da regiao espacial que é delimitada pelo cilindro paraboélico z = 1 — x? e pelos planos z = 0, y=Oey+z = 2. Comece esbocgando a regiao em questao. 12. (UFPE) Considere o campo K (x,y,z) = (Qxrz + 2°84, e® — 22, 8y?). (a) Calcule o fluxo de K através do disco D dado pela intersegao da esfera 2?+y?+z?<2 com o plano z = —1, orientado para cima. (b) Determine o divergente de K. (c) Calcule 0 fluxo de K através do pedaco da superficie esférica x?-+-y2+22=2 que se situa acima do plano z = —1, orientada pela normal exterior. 13. (UFRJ) Seja = 1 —x? 2Qx(1—xy)z F = FS. oor 7. or oO (x,y, 2) (an vty?’ (a2 +y2)? um campo de vetores. Calcule o fluxo de F através da porcéo da esfera definida por {(x, ys 2) € R&x?+y?+-2?=2,-1<2<1} e orientada com vetor normal apontada para fora. 2