P2 - Análise Vetorial 2017-2

Segunda prova de Analise Vetorial Prof. Claudio Anael 04/12/2017 Instrucoes. Leia atentamente as 4 questoes antes de iniciar. Exiba todas as passagens e deducoes detalhadamente. Nao esqueca de por o nome em todas as folhas. 1. Questao (2,50 pontos): Considere F(«,y,z) = (y+ye,a — 24 2ryz,-y + ry’) ; (a) Mostre que F é um campo gradiente (0,50 pontos). (b) Encontre uma fungao potencial f(x,y, z) para o campo F(z, y, z) usando algum método sistematico (1,00 ponto). (c) Encontre f, F- dl. c admite a parametrizacdo F(t) = (1+ t,—1+ 33,2 —#), com 0 <t < 1 (1,00 ponto). 2. Questao (2,50 pontos): Seja G(x, y, z) = (yz,—xz,1) um campo de vetores, S a porcao de superficie do paraboloide z = 4—x? —y? que esta no primeiro octante e 0S a fronteira de S orientada no sentido anti-hordrio quando vista de cima. Verifique o teorema de Stokes. 3. Questao (2,50 pontos): T é a superficie, restrita ao primeiro octante, de um cilindro circular reto, raio 2 e altura 4, centrado no eixo z. Considere H(z, y,z) = (x,0,0). (a) Faga um esboco da superficie [ e do campo H. Sugestao: posicione a coorde- nada y apontando para fora do papel (1,00 ponto). (b) Calcule o fluxo f, H- dS. Use o campo normal que aponta na direcao oposta ao eixo z (1,50 pontos). 4, Questao (2,50 pontos): Considere 0 sdlido W interior ao quarto de cilindro do problema anterior. (a) Calcule {54 H- dS usando o teorema de Gauss (1,50 pontos). (b) OW é composta pela superficie [ e mais quatro faces planas. Usando os re- sultados obtidos em (3b) e (4a), calcule o fluxo de H através das quatro faces planas (1,00 ponto).