Lista 3 - Análise Vetorial 2022-2

s a UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO sn) g <> # INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA tent” a UERJ e ANALISE VETORIAL wom fe % pM e 3ra Lista de Exercicios ’ Prof. Claudio Plinio 1. Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma particula em movimento sobre uma curva de acordo com a equacao dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso. a) r(t) = (a(1 — cost), a(t—sint)), 0<t<27, a>0. b) r(t) = (e'cost,e’sint), 0<t< 2. c) r(t) = a(cost + tsint)i + a(sint — tcost)j, 0<t< 2m, a>0. d) r(t) = a(sinht — t)i + a(cosht —1)7, O<t<T,a>0. e) r(t) =sinti + tj + (1 —cost)k, 0<t < Qn. f) r(t) =ti+ 3027 + 6BK, O<t <2. g) r(t) =ti + In(sect)j + In(sect + tant)k, O<t< .. h) r(t) = acoswti + asinwtj + bwtk, 0<t<2rew>0. i) r(t) =tit+g+ aan VE 1K<t<3 i) r(t) =ta —+—)]k,1<t<38. I N\G Tot t? > (# + 2. = jrt)=(a4+t)it+[—-t ja ink 1<t<2. 2 2 2 t to: cosu, = sinu, = = k) r(t -/ eau i+ [ ——du + Av/tk, 1<t<4. ) r(t) | a aa td t t 1) r(t) = | 2cos(mu?) du i+ f 2sin(ru’) du j + 3V5tk, 1<t<r. 0 0 2. A equacdo de uma curva é y? = x°. Encontre 0 comprimento do arco que liga os pontos (1, —1) a (1, 1). 3. Dois pontos A e B sobre um circulo unitario de centro O determinam em ele um setor circular AOB. Prove que o comprimento de arco AB é igual a duas vezes a area do sector. 4. Establecer integrais para os comprimentos das curvas cujas equagoes sao 1 a) y=e",0<a4<l. b) c=t+Int,y=t—Int,1l<t<e. Provar que o segundo comprimento é 0 produto do primer comprimento vezes V2. x , 5. a) Estabelecer a integral que da o comprimento da curva y = ccosh (=) desde x = 0 até C x=a,ondea>Oec>0. b) Prove que o produto do comprimento de esta curva vezes c é igual a area da regiaéo limitada por y = ccosh (=). o eixo X, 0 eixo Y eareta x =a. C c) Calcule esta integral e encontre o comprimento da curva quando a = 2. 6. Demonstrar que 0 comprimento da curva y = cosh x que une os pontos (0,1) e (a, cosh a) é sinha sea > 0. 7. Utilizando a equacao vetorial r(t) = asen ti + bcostj onde 0 < b < a, provar que o comprimento L de uma elipse esta dada pela integral a/2 L= ta f V1 —e?sen? t dt, 0 [a2 — }2 ondee =~“ =" © numero e é a excentricidade da elipse. Este é um caso particular a de uma integral da forma: am /2 E(k) = | V1 —k?sen? t dt 0 chamada integral eliptica de segunda classe, onde 0 < k < 1. Os numeros E(k) estao tabulados para varios valores de k. 2