Vibrações

LISTAS DE EXERCÍCIOS 04 e 05 ADOTE PARA OS CÁLCULOS ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE DE 10 ms2 Questão 1 Na figura 1 uma ponte rolante sobre uma viga bi engastada de comprimento de 10 m módulo elástico de 210 GPa e momento de inércia de 108 x 109 mm4 é usada para transportar pesos através de um gancho suspenso por dois cabos ambos de comprimento de 25 m e diâmetro de 15 mm módulo elástico de 180 GPa e densidade de 7860 kgm³ Estime a rigidez equivalente do sistema na vertical e o peso máximo que poderá suportar quando a frequência do movimento for de 60 rads e com 17 de amortecimento Despreze os pesos dos conjuntos vigamotorrotor e poliagancho Questão 2 Um caminhão de bombeiros utiliza uma lança telescópica com uma caçamba na extremidade que dentro das devidas proporções e considerações pode ser analisado como um sistema de 1 GL na vertical figura 2 Desprezandose a massa da lança e assumindo que a deformação ocorra somente na sua direção axial com base no seu movimento vide diagrama determine a Para uma massa combinada na caçamba de 317 kg a rigidez equivalente do conjunto b O módulo de Young do material da lança c A velocidade máxima do movimento Dados seções da lança comprimentos l1 l2 l3 3 m áreas transversais A1 20 cm2 A2 12 cm2 A3 5 cm2 Questão 3 Na figura 3 temse uma mola de rigidez k e uma massa m 3XX0 kg num sistema vertical com 1 GL Dividese a mola de rigidez k pela proporção 13 em duas novas molas com rigidez k1 e k2 Rolamentos Rotor Motor Cabos Polia Gancho Rolamentos H Figura 2 yt m tempo s Figura 1 respectivamente Ao se posicionar a massa m entre ambas as molas apresenta o movimento representado no diagrama então pedese a A rigidez k inicial b A equação temporal que descreve o movimento Questão 4 Na equação diferencial de 2ª ordem ẍ cẋ kx 0 com x0 20 mm e ẋ0 3 mms temse a constante de amortecimento de 300 Nsm e rigidez de 5XX kNm Determine o período do movimento a equação deslocamento a velocidade máxima e o tempo decorrido para que a proporção entre as amplitudes seja igual a 100 Figura 3 1 Para determinar a rigidez equivalente do sistema podemos modelar os 2 cabos como suas rigidez em paralelo 𝑘𝑒𝑞𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 2𝑘𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 A rigidez de um cabo pode ser dado pela seguinte equação 𝑘𝑐𝑎𝑏𝑜 𝐸𝐴 𝑙 Portanto temos o seguinte 𝑘𝑒𝑞𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 2𝐸𝐴 𝑙 𝑘𝑒𝑞𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 2 180 109 𝜋 00152 4 25 𝑘𝑒𝑞𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 2545 106 𝑁𝑚 A viga bi engastada possui rigidez dada pela seguinte equação 𝑘𝑣𝑖𝑔𝑎 192𝐸𝐼 𝐿3 𝑘𝑣𝑖𝑔𝑎 192 210 109 108 109 1012 103 𝑘𝑣𝑖𝑔𝑎 4355 106 𝑁𝑚 Podemos modelar a viga e os cabos como rigidez em série desta forma 1 𝑘𝑒𝑞 1 𝑘𝑒𝑞𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 1 𝑘𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑘𝑒𝑞 𝑘𝑒𝑞𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠𝑘𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑘𝑒𝑞𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝑘𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑘𝑒𝑞 2545 106 4355 106 2545 106 4355 106 𝑘𝑒𝑞 1606 106 𝑁𝑚 Para determinar o peso máximo temos as seguintes relações 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜉2 Onde a frequência natural será dada por 𝜔𝑛 𝑘 𝑀 𝑚𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 Substituindo na equação para a frequência de vibração amortecida 𝜔𝑑 𝑘 𝑀 𝑚𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 1 𝜉2 Isolando a massa 𝑘 𝑀 𝑚𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝜔𝑑 1 𝜉2 𝑘 𝑀 𝑚𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝜔𝑑 2 1 𝜉2 𝑀 𝑚𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝑘 𝜔𝑑 2 1 𝜉2 𝑀 𝑘1 𝜉2 𝜔𝑑 2 𝑚𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 A massa dos cabos pode ser dada por 𝜌 𝑚𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝑉 𝜌 𝑚𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝐴𝑙 𝑚𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝜌𝐴𝑙 Desta forma teremos 𝑀 𝑘1 𝜉2 𝜔𝑑 2 𝜌𝐴𝑙 O peso é dado pela seguinte equação 𝑃 𝑚𝑔 𝑃 𝑀 𝑚𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠𝑔 Substituindo a massa na equação para o peso 𝑃 𝑘1 𝜉2 𝜔𝑑 2 𝜌𝐴𝑙 𝜌𝐴𝑙 𝑔 𝑃 𝑘𝑔1 𝜉2 𝜔𝑑 2 𝑃 1606 106 10 1 0172 602 𝑃 4332 𝑘𝑁 2 a Para determinar a rigidez equivalente temos a seguinte equação 𝜔𝑛 𝑘 𝑚 𝜔𝑛 2 𝑘 𝑚 𝑘 𝑚𝜔𝑛 2 Como já temos a massa equivalente do sistema precisamos determinar apenas a frequência natural para isso vamos escrever a equação da posição 𝑦𝑡 𝐴𝑆𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡 𝜙 Primeiro vamos determinar a amplitude do movimento analisando o gráfico do movimento temos que para 𝑦𝑡 01 o tempo é igual a 0 desta forma 01 𝐴𝑆𝑒𝑛𝜔𝑛 0 90 𝐴 01 Reescrevendo a equação da posição 𝑦𝑡 01𝑆𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡 𝜙 Analisando o gráfico também temos que para 𝑦𝑡 003 o 𝑡 01 desta forma 003 01𝑆𝑒𝑛01𝜔𝑛 𝑆𝑒𝑛01𝜔𝑛 03 01𝜔𝑛 𝑆𝑒𝑛103 𝜔𝑛 𝑆𝑒𝑛103 01 𝜔𝑛 17458 𝑟𝑎𝑑𝑠 Portanto a rigidez equivalente 𝑘𝑒𝑞 317 174582 𝑘𝑒𝑞 966 106 𝑁𝑚 b Para determinar o módulo de Young temos o seguinte 1 𝑘𝑒𝑞 1 𝑘1 1 𝑘2 1 𝑘3 Onde podemos representar a rigidez como sendo 𝑘 𝐴𝐸 𝑙 Portanto podemos escrever o seguinte 1 𝑘𝑒𝑞 1 𝐴1𝐸 𝑙 1 𝐴2𝐸 𝑙 1 𝐴3𝐸 𝑙 1 𝑘𝑒𝑞 𝑙 𝐴1𝐸 𝑙 𝐴2𝐸 𝑙 𝐴3𝐸 1 𝑘𝑒𝑞 1 𝐸 𝑙 𝐴1 𝑙 𝐴2 𝑙 𝐴3 𝐸 𝑘𝑒𝑞 𝑙 𝐴1 𝑙 𝐴2 𝑙 𝐴3 𝐸 966 106 3 20 104 3 12 104 3 5 104 𝐸 966 𝐺𝑃𝑎 c Para determinar a velocidade máxima do movimento basta derivar a equação da posição 2 vezes e igualar a 0 𝑦𝑡 01𝑆𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡 𝜙 𝑣𝑡 01𝜔𝑛𝐶𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡 𝜙 01𝜔𝑛 2𝑆𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡 𝜙 0 01 174582𝑆𝑒𝑛17458𝑡 90 0 17458𝑡 90 𝑡 0515 𝑠 Portanto calculando a velocidade máxima para 𝑡 0515 𝑠 𝑣0515 01 17458𝐶𝑜𝑠17458 0515 𝑣𝑚á𝑥 636 𝑚𝑠 3 a Temos 2 molas em série portanto a rigidez equivalente do sistema será 1 𝑘𝑒𝑞 1 𝑘1 1 𝑘2 𝑘𝑒𝑞 𝑘1𝑘2 𝑘1 𝑘2 O exercício nos diz que a mola inicial foi dividida na seguinte proporção 1 3 𝑘1 𝑘2 𝑘2 3𝑘1 Portanto a rigidez equivalente 𝑘𝑒𝑞 𝑘1 3𝑘1 𝑘1 3𝑘1 𝑘𝑒𝑞 3𝑘1 2 4𝑘1 𝑘𝑒𝑞 3 4 𝑘 b A equação temporal que descreve o movimento é dada por 𝑥𝑡 𝐴𝑆𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡 𝜙 Analisando o gráfico temos que a amplitude do movimento será 𝐴 15 portanto 𝑥𝑡 15𝑆𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡 𝜙 Para 𝑥 0 temos que 𝑡 02 desta forma 0 15𝑆𝑒𝑛02𝜔𝑛 90 02𝜔𝑛 90 𝜔𝑛 450 𝑟𝑎𝑑𝑠 Portanto a equação que descreve o movimento será 𝑥𝑡 15𝑆𝑒𝑛450𝑡 𝜙 4 Primeiro vamos aplicar as condições iniciais na equação que descreve a posição 𝑥𝑡 𝑋𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝑆𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝜙 002 𝑋𝑒𝜉𝜔𝑛0𝑆𝑒𝑛𝜔𝑑 0 𝜙 𝑋 002 𝑚 Derivando a equação da posição 𝑣𝑡 002𝜔𝑑𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝐶𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 𝜙 Aplicando a condição inicial 0003 002𝜔𝑑𝑒𝜉𝜔𝑛0𝐶𝑜𝑠𝜔𝑑 0 0003 002𝜔𝑑 𝜔𝑑 015 𝑟𝑎𝑑𝑠 Para determinar a frequência natural temos o seguinte 𝑋 𝑥𝑜2 𝑣𝑜 𝜉𝜔𝑛𝑥𝑜 𝜔𝑑 2 Isolando a frequência natural 𝑋2 𝑥𝑜 2 𝑣𝑜 𝜉𝜔𝑛𝑥𝑜 𝜔𝑑 2 𝑋2 𝑥𝑜2 𝑣𝑜 𝜉𝜔𝑛𝑥𝑜 𝜔𝑑 𝜔𝑑𝑋2 𝑥𝑜2 𝑣𝑜 𝜉𝜔𝑛𝑥𝑜 𝜔𝑑𝑋2 𝑥𝑜2 𝑣𝑜 𝜉𝜔𝑛𝑥𝑜 𝜔𝑛 𝜔𝑑𝑋2 𝑥𝑜2 𝑣𝑜 𝜉𝑥0 O fator de amortecimento pode ser dado por 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜉2 𝜔𝑑 𝜔𝑛 1 𝜉2 𝜔𝑑 2 𝜔𝑛2 1 𝜉2 𝜉 1 𝜔𝑑 2 𝜔𝑛2 Substituindo na equação para a frequência natural 𝜔𝑛 𝜔𝑑𝑋2 𝑥𝑜2 𝑣𝑜 1 𝜔𝑑 2 𝜔𝑛2 𝑥0 𝜔𝑛1 𝜔𝑑 2 𝜔𝑛2 𝜔𝑑𝑋2 𝑥𝑜2 𝑣𝑜 𝑥𝑜 𝜔𝑛 2 1 𝜔𝑑 2 𝜔𝑛2 𝜔𝑑𝑋2 𝑥𝑜2 𝑣𝑜 2 𝑥𝑜2 𝜔𝑛 2 𝜔𝑑 2 𝜔𝑑𝑋2 𝑥𝑜2 𝑣𝑜 2 𝑥𝑜2 𝜔𝑛 𝜔𝑑𝑋2 𝑥𝑜2 𝑣𝑜 2 𝑥𝑜2 𝜔𝑑 2 𝜔𝑛 015 0022 0022 0003 2 0022 0152 𝜔𝑛 0212 𝑟𝑎𝑑𝑠 Portanto o período do movimento será 𝑇 2𝜋 𝜔𝑛 𝑇 2𝜋 0212 𝑇 2964 𝑠1 Agora vamos determinar a fase 𝜙 𝑡𝑔1 𝑥𝑜𝜔𝑑 𝑣0 𝜉𝜔𝑛𝑥𝑜 Calculando o fator de amortecimento 𝜉 1 𝜔𝑑 2 𝜔𝑛2 𝜉 071 Portanto a fase 𝜙 𝑡𝑔1 002 015 0003 071 0212 002 𝜙 2522 Portanto a equação da posição será 𝑥𝑡 002𝑒015𝑡𝑆𝑒𝑛015𝑡 2522 Para calcular a velocidade máxima teremos 𝑣𝑡 002𝜔𝑑𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝐶𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 𝜙 002𝜔𝑑 2𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝑆𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝜙 0 002 0152𝑒015𝑡𝑆𝑒𝑛015𝑡 2522 0 015𝑡 2522 𝑡 16813 𝑠 E portanto a velocidade máxima 𝑣𝑚á𝑥 002 015𝑒01516813𝐶𝑜𝑠015 16813 2522 𝑣𝑚á𝑥 329 𝑚𝑠