Vibrações Mêcanicas

LISTA DE EXERCÍCIOS 06 07 e 08 ADOTE ACELERAÇÃO LOCAL DE 10 ms2 Questão 1 LISTA 06 Em um ensaio de resposta em frequência de uma suspensão veicular foi realizada uma varredura em frequência tendo sido o sistema excitado com uma força do tipo F Focost Para cada frequência com que se excitou a estrutura mediuse o deslocamento X resultando no gráfico de resposta de frequência mostrado a seguir Modelando a suspensão como um sistema massamola de um grau de liberdade a equação matemática para a resposta em frequência é em que k c e m são os parâmetros que caracterizam a estrutura a saber constante elástica amortecimento e massa respectivamente Analisandose o gráfico e usando a equação da resposta em frequência é possível identificar o valor da frequência de ressonância da estrutura n e calcular os parâmetros k c e m Nessa situação quais os valores corretos desses parâmetros Num instante ressonante qual seria sua amplitude da suspensão Questão 2 LISTA 07 Um ventilador industrial com 40 kg tem um desbalanceamento m0e de 01 kgm Este ventilador é montado na extremidade livre de uma viga engastadalivre com comprimento de 12 m módulo de elasticidade 200 kNmm2 e momento de inércia de área de 13x106 m4 A viga foi confeccionada para adicionar amortecimento viscoso Como a rotação de trabalho do ventilador é variável foi notado que a máxima amplitude de vibração em regime permanente é dada por 203 mm Determine a amplitude de vibração em regime permanente do ventilador quando este opera em 1000 rpm Questão 3 LISTA 08 O diagrama esquemático de uma turbina de água tipo Francis está mostrado ao lado na qual a água flui de A para as lâminas B e caem no conduto C O rotor tem uma massa de 250 kg e um fator de desbalanceamento de 5 kgmm A folga radial entre o rotor e o estator é de 5 mm A turbina opera na faixa de velocidades entre 600 e 6000 rpm O eixo de aço que suporta o rotor pode ser assumido como engastado nos mancais livre para girar Determinar a faixa permitida para o diâmetro do eixo de forma que o rotor não entre em contato com o estator em todas as velocidades de operação da turbina Assumir que o amortecimento é 30 e que há uma margem de segurança de 20 para mais e para menos nos limites de operação Questão 4 LISTA 08 Um sistema equilibra uma massa m de modo que sua componente homogênea executa 180 rpm e a relação entre 7 amplitudes sucessivas é de 151 Determine a massa m o coeficiente de amortecimento e a transmissibilidade quando o conjunto está submetido à uma excitação externa regida por Ft 200 cos227t SI Adaptado do exemplo 35 RAO 2009 1 Através da equação de resposta em frequência conseguimos determinar os valores de k m e c Para isso vamos pegar 2 pontos específicos no gráfico resposta de frequência 𝑃12 104 0 𝑃216 103 12 Aplicando o ponto 1 na equação de resposta em frequência 2 104 1 𝑘2 2 104 1 𝑘 𝑘 1 2 104 𝑘 5000 𝑁𝑚 Aplicando o ponto 2 na equação de resposta em frequência 16 103 1 5000 122𝑚2 12𝑐2 16 103 1 25 106 144 106𝑚 20736𝑚2 144𝑐2 256 106 1 25 106 144 106𝑚 20736𝑚2 144𝑐2 64 36864𝑚 00531𝑚2 36864 104𝑐2 1 36864𝑚 00531𝑚2 36864 104𝑐2 63 Analisando o gráfico temos que a frequência de ressonância de pico é 𝜔𝑝 12 𝑟𝑎𝑑𝑠 Como temos um sistema de apenas um grau de liberdade podemos afirmar que a frequência de pico será igual a frequência de ressonância 𝜔𝑛 12 𝑟𝑎𝑑𝑠 Desta forma conseguimos calcular a massa através da seguinte equação 𝜔𝑛 𝑘 𝑚 𝜔𝑛 2 𝑘 𝑚 𝑚 𝑘 𝜔𝑛2 𝑚 5000 122 𝑚 3472 𝑘𝑔 Substituindo a massa na equação que encontramos quando aplicamos o ponto 2 36864 3472 00531 34722 36864 104𝑐2 63 𝑐 5208 𝑁𝑠𝑚 2 Para determinar a amplitude de vibração em regime permanente temos a seguinte expressão 𝑚𝑋𝑃 𝑚0𝑒 𝑟2 1 𝑟22 2𝜉𝑟2 Isolando na equação acima amplitude de vibração 𝑋𝑃 𝑚0𝑒𝑟2 𝑚1 𝑟22 2𝜉𝑟2 A razão entre as frequências do sistema 𝑟 é dada por 𝑟 𝜔 𝜔𝑛 Logo precisamos determinar a frequência natural 𝜔𝑛 𝑘 𝑚 A rigidez k para uma viga engastadalivre pode ser escrita como 𝑘 3𝐸𝐼 𝐿3 Substituindo na equação para a frequência natural 𝜔𝑛 3𝐸𝐼 𝑚𝐿3 𝜔𝑛 3 200 109 13 106 40 123 10623 𝑟𝑎𝑑𝑠 Calculando agora a razão entre as frequências do sistema 𝑟 1000 2𝜋 60 10623 0986 Agora precisamos determinar o fator de amortecimento para isso vamos utilizar a seguinte equação 𝐴𝑚á𝑥 1 2𝜉1 𝜉2 Isolando o fator de amortecimento 2𝜉𝐴𝑚á𝑥 1 1 𝜉2 4𝜉2𝐴𝑚á𝑥 2 1 1 𝜉2 1 𝜉2𝜉2 1 4𝐴𝑚á𝑥 2 𝜉2 𝜉4 1 4𝐴𝑚á𝑥 2 Substituindo o valor para a amplitude máxima que foi dada no exercício 𝜉2 𝜉4 1 4 203 1032 𝜉2 𝜉4 60666 𝜉4 𝜉2 60666 0 Temos uma equação biquadrada para resolver esta equação vamos aplicar a seguinte substituição 𝑡 𝜉2 Desta forma teremos 𝑡2 𝑡 60666 0 Esta é uma equação que não possui raiz no conjunto dos números reais entretanto podemos fazer uma aproximação para o fator de amortecimento como sendo 𝜉 0707 Esta aproximação é válida pois na dedução da equação que estamos utilizando para encontrar a amplitude de vibração são feitas aproximações utilizando este valor para o fator de amortecimento Desta forma conseguimos calcular a amplitude de vibração 𝑋𝑃 01 09862 401 098622 2 0707 09862 𝑋𝑃 1743 𝑚𝑚 3 Para resolver este problema vamos trabalhar com a faixa máxima de rotação de 6000 rpm Para determinar o diâmetro exigido vamos utilizar a equação para a rigidez 𝑘 3𝐸𝐼 𝐿3 Onde o momento de inércia pode ser escrito da seguinte forma 𝐼 𝜋𝑑4 64 Substituindo na equação para a rigidez e isolando o diâmetro 𝑘 3𝐸 𝜋𝑑4 64 𝐿3 𝑘 3𝐸𝜋𝑑4 64𝐿3 𝑑 64𝑘𝐿3 3𝜋𝐸 4 Precisamos então determinar a rigidez para isso temos a seguinte equação 𝑋 𝑚𝑒𝜔2 𝑘 𝑚𝜔22 𝑐𝜔2 Precisamos isolar o k 𝑋2 𝑚𝑒𝜔22 𝑘 𝑚𝜔22 𝑐𝜔2 𝑘 𝑚𝜔22 𝑐𝜔2 𝑚𝑒𝜔22 𝑋2 𝑘 𝑚𝜔22 𝑚𝑒𝜔22 𝑋2 𝑐𝜔2 𝑘 𝑚𝜔2 𝑚𝑒𝜔22 𝑋2 𝑐𝜔2 𝑘 𝑚𝑒𝜔22 𝑋2 𝑐𝜔2 𝑚𝜔2 Para a rotação de 6000 rpm aplicando um fator de segurança de 20 temos que a rotação será 𝜔 6000 2𝜋 60 12 240𝜋 Portanto a rigidez será 𝑘 0005 240𝜋22 00052 03 240𝜋2 250 240𝜋2 𝑘 142691 106 𝑁𝑚 Por fim substituindo o valor da rigidez encontrada na equação para determinar o diâmetro 𝑑 64 142691 106 23 3𝜋 207 109 4 𝑑 044 𝑚 4 Para determinar a massa temos a seguinte equação 𝜔𝑛 𝑘 𝑚 𝜔𝑛 2 𝑘 𝑚 𝑚 𝑘 𝜔𝑛2 Onde a rigidez da viga pode ser escrita da seguinte forma 𝑘 3𝐸𝐼 𝐿3 𝑘 3 120 109 15 105 253 605 105 Logo a rigidez equivalente do sistema será 𝑘𝑒𝑞 1 1 605 105 5 105 1 2 105 469 105 𝑁𝑚 Calculando então a massa 𝑚 469 105 2272 𝑚 91017 𝑘𝑔 Para calcular o coeficiente de amortecimento podemos usar a seguinte equação 𝑐 2𝑚𝜉𝜔𝑛 No entanto precisamos determinar o fator de amortecimento do sistema 𝑟 1 1 2𝜉2 𝜔 𝜔𝑛 1 1 2𝜉2 𝜔 𝜔𝑛 2 1 1 2𝜉2 1 2𝜉2 1 𝜔 𝜔𝑛 2 2𝜉2 𝜔𝑛 2 𝜔2 1 𝜉 1 2 𝜔𝑛2 2𝜔2 Substituindo na equação para o coeficiente de amortecimento 𝑐 2𝑚𝜔𝑛1 2 𝜔𝑛2 2𝜔2 𝑐 2 91017 227 1 2 2272 2 180 2𝜋 60 2 𝑐 35066 104 𝑁 𝑠𝑚 Por fim para determinar a transmissibilidade temos a seguinte equação 𝑇𝑅 1 2𝜉𝑟2 1 𝑟22 2𝜉𝑟2 Substituindo os valores na equação acima teremos 𝑇𝑅 1 2 12 00832 1 008322 2 12 00832 𝑇𝑅 1001 FOSTER