Lista de Exercícios Resolvidos - Complementos de Matemática UPE - Funções Complexas e Transformada de Laplace

Universidade de Pernambuco UPE Escola Politécnica de Pernambuco POLI Ciclo Básico Complementos de Matemática Profa Itacira Ataide Silva Exercício complementar Unidade II 20221 ORIENTAÇÕES Atividade de caráter individual As respostas devem ser postadas pelo AVA até as 12h00 do dia 1010 segunda feira Todas as respostas devem ser justificadas 1 Mostre que o ponto z 0 é um polo simples da função 𝑓 𝑧 1 𝑠𝑒𝑛 𝑧 e que o resíduo nesse ponto é igual a 1 2 Mostre que a função tem um zero de ordem 2 no ponto 𝑓 𝑧 1 𝑐𝑜𝑠 𝑧 𝑧 0 0 3 Encontre o valor do resíduo A 𝑅𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒 𝑐 2 𝑧 0 B 𝑅𝑒𝑠 1 𝑧 𝑧 2 2 0 C 𝑅𝑒𝑠 1 𝑧 2 1 2 1 D 𝑅𝑒𝑠 1 𝑧 2 1 2 1 E 𝑅𝑒𝑠 1 𝑧 2 5 𝑧 6 2 4 Considere que a curva C está orientada positivamente e calcule a integral A onde 𝐶 𝑡𝑔 𝑧 𝑑𝑧 𝐶 𝑧 2 B onde 𝐶 𝑧 𝑒 𝑧 𝑧 2 1 𝑑𝑧 𝐶 𝑧 2 C onde C é o retângulodefinido por x 2 x 1 y ½ e y 1 𝐶 2 𝑧 1 𝑧 2 𝑧 3 1 𝑑𝑧 5 Calcule a transformada de Laplace da função dada A 𝑒 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 B 𝑒 2 3 𝑖 𝑡 6 Calcule a transformada inversa de Laplace da função dada A 1 𝑠 2 4 B 𝑒 𝑠 𝑠 1 2 C 𝑠 4 𝑠 2 6 𝑠 11 Variáveis Complexas 1 Temos que fz 1sen z logo fz 1z z6 7360 z3 Série de Laurent A orden do pólo é determinada por lim z0 zan fz a pólo n orden do pólo ou seja lim z0 z0n 1z z6 7360 z3 no limite existe para n1 logo z0 é um pólo simples Além disso o residuo é o coeficiente b1 da série de Laurent res fa lim za za fa Logo res f0 lim z0 z0 1z z6 7360 z3 1 res f0 1 2 Temos que fz 1 cos z logo fz 1 1 z22 z424 z6720 z22 z424 Série de Taylor Devido ao termo z22 vemos que temos um zero de orden n2 2a Temos que ecssec2 z 1z2 13 z215 vemos que b1 0 Série de Laurent Logo Res ecssec20 0 A série de laurret é dada por fz Σ n1 to bn zan Σ m0 to an zan fz b1za b2za2 a1za a2za2 b Sendo fz 1zz32 1z2 11z2 fz 1z2 11z2 Temos dois pólos de orden m2 logo Res fa 1m1 lim za dm1dzm1 zam fz Res f0 lim z0 ddz z2 1z2 11z2 Res f0 lim z0 ddz 11z2 lim z0 21z3 2 Res f0 2 c Temos que fz 1z2 12 1z12 z12 Logo fz 1z12z12 dois pólos de ordem m2 Portanto Res f1 lim z1 ddz z12 1z12 z12 lim z1 ddz 1z12 lim z1 2z13 28 Res f1 14 d Sendo fz a mesma função da letra c vemos que Res f1 14 e Por fim temos fz 1z2 5z 6 1z3z2 Temos dois pólos simples logo Res f2 lim z2 z21z2z3 lim z2 1 z3 Res f2 1 4 from C tg z dz with C z2 Como tg z sen z cos z e a curva C A curva envolve dois pólos da função z π2 Usando o teorema dos resíduos Res fa 12πi from C fz dz from C tg z dz 2πiRes fπ2 Res fπ2 O resíduo pode ser calculado usando a fórmula Res fa φaψa pois fz φzψz Res fπ2 senπ2senπ2 1 Notamos que Res fπ2 Res fπ2 1 logo from C tg z dz 4πi b from C 3ezz2 1 dz with C z2 Sendo fz 3ezz1z1 dois pólos simples z 1 Logo from C 3ezz2 1 dz 2πiRes f1 Res f1 Res f1 lim z1 z1 3ezz1z1 e2 Res f1 lim z1 z1 3ezz1z1 12e Portanto c 3e³ z² 1 dz πi t 1e πi e² 1 e c 3e³ z² 1 dz πe e² 1 i ⑨ c 2z 1 z² z³ 1 dz com C z i i2 i Im z Re z Sendo fz 2z 1 z² z³ 1 temos que z0 Pólo de ordem 2 z 1 Pólo simples z ³1 Pólo simples z 123 Pólo simples Veja que a curva envolve apenas os três pri menos pólos logo c 2z 1 z²z³ 1 dz 2πi Res f1 Res f0 Res f³1 Res f1 lim z1 2z 1 5z⁴ 2z 3 5 2 1 Res f0 lim z0 ddz z² 2z 1 z³ z³ 1 Res f0 lim z0 ddz 2z 1 z³ 1 Res f0 lim z0 4z³ 3z² 2 z³ 1² 2 Res f³1 lim z³1 2z 1 5z⁴ 2z 13 2 1²³ Portanto c 2z 1 z²z³ 1 dz 2πi 1 13 2 1²³ ⑤ a Temos ft et cos t usando uma Tabela vemos que ℒet cos t s 1 s 1² 1 ⑥ Sendo ft e2 3it consultando a Tabela novamente ℒe23it 1 s 2 3i ⑦ a Sendo Fs 1 s² 4 12 2 s² 4 pela Tabela ft 12 sen 2t ⑧ Sendo Fs es s 1² es Fs 1 s² Propriedade de Translação Pela Tabela ft ut 1 et 1t 1 sendo Fs s4s26s11 fazendo Fs s31s26s92 s3s322 1s322 22 Pela Takela ft e3t cos2 t 12 e3t sen2 t