Lista de Exercícios Resolvidos Algebra Linear Matrizes e Sistemas Lineares

POLI PROF CLÁUDIO MACIEL ÁLGEBRA LINEAR 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS MATRIZES SISTEMAS LINEARES 1ª Parte Matrizes Exemplos Observe as seguintes tabelas 2 x 4 3 x 3 2 x 2 C e B A de ordem m x n onde mnúmero de linhas e n número de colunas Matrizes 3 4 1 2 5 1 2 3 C 1 2 4 3 3 0 2 5 1 B 3 0 4 1 A Espaço matricial Notações m xn ia j ou A R ou A M ou A R A m x n m x n m x n Representação geral para matrizes m n m4 m3 m2 1 m 3n 34 33 32 31 2n 24 23 22 21 1n 14 13 12 11 M Observação 3 3 3 n n n 2x3 2x3 x3 2 mx n mx n x n m x n m M R ou A R ou A A Exemplos M R ou A R ou A A Notações A matriz quadrada de ordem n n Se m 2 Rou A ou A M A Exemplos R ou A R ou A M A Notações A é uma matriz retangular de ordem m x n n Se m 1 R M A Seja Operações e Propriedades operacionais das matrizes 1º Adição m x n m x n M B A A B M Propriedades da Adição Usando a definição da adição verifique as seguintes propriedades 1 A B B A propriedade Comutativa 2 A B C A B C propriedade Associativa 3 A 0 0 A A propriedade do Elemento Neutro onde 0 é a matriz nula 4 A A 0 propriedade do Elemento Oposto A e 0 a matriz nula 2º Produto de uma escalar por uma matriz m x n m x n M A M A R e Propriedades do Produto por um escalar Usando a definição do produto de um escalar por uma matriz verifique as seguintes propriedades Sejam k k1 Є R sugestão atribuir um valor qualquer para k e k1 1 kk1 k k1A propriedade associativa 2 k k1A kA k1A propriedade distributiva 3 k A B kA kB propriedade distributiva 4 1A A propriedade do elemento neutro 1 3º Produto de matrizes m x p n x p m x n M A B M B e M A Obs A B B A não comutativo Propriedade do Produto de Matrizes Usando a definição do produto de matrizes verifique as seguintes propriedades Seja k Є R sugestão atribuir um valor qualquer para k 1 ABC ABC propriedade associativa onde a ordem das matrizes devem ser mantidas 2 AB C AB AC propriedade distributiva 3 B CA BA CA propriedade distributiva 4 kAB kAB AkB propriedade associativa onde k Є R e a ordem das matrizes mantidas 5 AB BA ou seja o Produto de Matrizes é não comutativo 4º Propriedades da Potência verificar usando o produto de matrizes 1 A2 AA 2 A3 A2A 3 A4 A3Aou seja An1 AnA Classificação de Matrizes Algumas matrizes são classificadas a partir de propriedades específicas que apresentam 1ª Matriz diagonal 5 0 0 0 3 0 0 0 2 ou B 532 diag B 3 0 0 2 diag 32 ou A A Exemplo ann 0 0 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 11 a diag a11 a22 a33ann ou A A Notação j 0 se i quadrada tal que aij aij diagonal é toda matriz A Matriz Mn R A Seja 2ª Matriz Identidade ou Unitária usaremos In para sua notação É toda matriz quadrada de ordem n que apresenta a seguinte característica In aij tal que j i se j i se aij 1 0 Exemplos 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 C 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B 1 0 0 1 A Ou seja são matrizes diagonais e podem ser representadas da seguinte forma A diag 11 B diag 111 C diag 1111 usando os exemplos A B e C Propriedades da Matriz Identidade 1 A0 In potência zero 2 Matriz Escalar j i se k j i se ka kI ij n 0 Exemplos 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 M 2 0 0 0 2 0 0 0 2 I2 3 3 0 0 3 1 0 0 3 1 3I2 3ª Matriz Transposta notações usadas A ou A A A t T Considere uma matriz Am x n aij a sua Transposta é definida por AT n x m aji ou seja o que era linha i passou a ser coluna j e o que era coluna j passou a ser linha i Observe que a ordem da matriz AT é invertida em relação a matriz A Propriedades da Transposta T T T T T A B A B II A A I Aplicação de matrizes aos polinômios Considere o Polinômio Px definido por an xn x a x a x a x a a x a x P ou an xn x a x a x a x a a x x a x P 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 1 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 Considerando o Polinômio Px e a Matriz A temos Polinômios de uma matriz polinômios matriciais PA an An A a A a A a A a a A In a A P ou an An A a A a A a A a a A A a A P 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 Obs Foram considerada nos dois casos as convenções x0 1 e A0 In Exemplos Dadas os polinômios Px e as matrizes 1 1 2 4 1 3 5 2 B A 3 2 4 7 3 0 0 3 1 1 2 4 1 3 6 14 1 0 0 1 3 1 1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 4 3 2 2 3 2 2 5 9 15 8 2 0 0 2 3 9 15 6 1 0 0 1 2 1 3 5 2 3 2 2 3 2 3 1 I B B B P x x x P I A A P x x P Matrizes Quadradas Reais Especiais Matriz Simétrica Uma matriz A é simétrica se A AT isto é os seus elementos simétricos são iguais aij aji Exemplo 7 5 4 5 1 3 4 3 2 A Matriz Antissimétrica Uma matriz A é antissimétrica se A AT isto é se cada aij aji e isto implica que aii 0 os elementos da diagonal principal são todos nulos Exemplo 0 7 4 7 0 3 4 3 0 A Matriz Ortogonal Uma matriz inversível A é ortogonal se AT A1 isto é AAT AA1 In Exemplo 2 2 2 2 2 1 2 1 0 0 0 0 1 A Matriz Normal Uma matriz real A é normal se comuta com sua transposta isto é AAT ATA Obs Se A é simétrica ortogonal ou antissimétrica então A é normal Exemplo 6 3 3 6 A Exercícios resolvidos operações com matrizes EXEMPLOS Sejam 7 6 0 5 4 3 2 1 B e A 3 3 2 6 7 4 6 3 0 2 5 1 7 6 0 5 4 3 2 1 º1 B A Obs A B B A 12 9 6 3 3 4 33 23 13 4 3 2 3 1 3 2 º A 4 3 2 1 1 4 31 21 11 4 3 2 1 1 1 º3 A A Matriz Oposta de A 28 39 14 7 74 03 4 6 53 72 01 2 6 51 7 6 0 5 4 3 2 1 4 º A B 22 9 6 7 4 4 23 34 13 2 4 21 32 11 4 3 2 4 1 3 2 1 5 º A2 1 0 4 7 7 6 0 5 8 6 4 2 7 6 0 5 4 3 2 1 2 2 2 2 4 4 2 4 2 6 º 2 X B A X B X X A B X X A B X X tal que A R M X Calcular Outras propriedades das matrizes 1 Traço de A trA a11a22a33 ann Propriedades 1 trA B trA trB 2 trkA k trA 3 tr AT tr A 4 tr AB tr BA 2 Matriz nula Seja A aijm x n aij 0 qualquer que sejam i e j EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1º Considere as matrizes 9 8 4 1 7 3 5 6 2 4 3 1 7 6 0 5 4 3 2 1 e D C B A Calcule a A B b 2C 3D c AB d BA e A2 f AD g AT e BT h ABT i BTAT j ABT l AT BT m 2CT n 2CT o DTT 2º Sejam 6 1 2 4 1 3 5 2 B A a P x x3 2x2 5 calcule P A b Q x x2 3x 17 calcule QA c R x x2 2x 22 calcule R B d Gx x2 3x 6 calcule GB 3º Seja k A 0 2 5 Determine os valores de k para os quais A é uma raiz de a Px x2 7x 10 b Qx x2 25 c Rx x2 4 4º No conjunto M3x2 R considere as matrizes 1 0 0 1 2 1 1 1 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 e C B A Calcular C B X X A tal que R M X x 3 2 3 2 5º Sejam A diag12 3 B diag 2 5 0 Calcule a AB A2 e B2 b Px x2 4x 3 calcule PA 6º Calcule x e B sabendo que 1 3 2 2 4 x x x B é simétrica 7º Calcule xyz para que A seja simétrica 5 2 2 2 6 7 7 1 5 4 3 2 x z y x B b z y x A a 8º Para cada número real α consideremos a matriz cos cos sen sen T a Mostrar que T T T b Calcular T 9º Determinar se possível x e y em R a fim de que a matriz 2 2 y x seja ortogonal 10º Determinar k em R a fim de que a matriz real k A 2 1 2 1 2 1 1 1 seja inversível em M3R 11º Dada a matriz 1 1 1 1 2 0 2 1 1 A determine a matriz 3 3 I R tal que AX M X 12º Determinar x y e z de modo que a matriz A seja ortogonal A x y z 1 0 0 0 1 2 1 2 13º Polinômios Sejam 3 1 3 2 B 2 4 5 3 A a P x 2x 5 calcule PA e PB b Px x2 3x 7 calcule PA e PB c P x x3 x2 2 calcule PA e PB d P x x2 x 6 calcule PA e PB e Px x2 4 calcule PA e PB f Px x4 x 1 calcule PA e PB g Px x3 2x x calcule PA e PB h Px x5 3x2 2 calcule PA e PB i Px x3 x2 x 1 calcule PA e PB j Px x2 2x 3 calcule PA e PB Obs para as potências use a propriedade An1 AnA 2ª Parte SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES I Inicialmente vamos considerar os seguintes exemplos de Expressões e de Sentenças Expressão 3 2 1 6 4 3 6 4 3 x x x z ou y x Fazendo uma leitura sobre ela podemos observar a existência das operações soma e produto as variáveis x y e z ou também representadas por x1 x2 e x3 estas notações são mais usadas nas generalizações e as constantes 3 4 e 6 que multiplicam essas variáveis nomeadas de coeficientes Sentença 0 6 4 3 0 6 4 3 3 2 1 x x x ou z y x Seguindo a mesma leitura feita na Expressão anterior observase outra constante em um termo independente das variáveis e a igualdade que caracteriza uma Sentença como Equação Definições Generalizando esses exemplos vamos considerar As variáveis reais nx x x x x 4 3 2 1 as constantes reais n e 4 3 2 1 1º Combinação Linear é toda expressão definida por n 1 i i i n n 4 4 3 3 2 2 1 1 x ou x x x x x 2º Equação linear é toda sentença definida por n 1 i i i n n 4 4 3 3 2 2 1 1 x ou x x x x x 3º Sistema de Equações Lineares m n m n m m m m n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x S 4 4 3 3 2 2 1 1 3 3 4 34 33 3 2 32 1 31 2 2 4 24 23 3 2 22 1 21 1 1 4 14 13 3 2 12 1 11 Sistemas de Equações Lineares Exemplos Algébrica 0 0 0 0 t z y x 2 0 0 0 3 1 0 0 2 1 1 0 2 1 2 1 2 t 2 2 t3 z 1 2t z y 0 2t z 2y x M 0 0 0 z y x 1 0 0 3 1 0 1 2 1 4 z 1 3z y 2 z 2y x R 0 0 y 3 x 0 5 2 1 y 3 2 5y 2x Q S ESCALONADO 0 0 0 z y x 2 1 2 3 2 3 1 1 1 0 2z y x 2 0 3z 2y x 3 0 z y x P 0 0 y 1 x 3 2 1 1 y x 3 4 2y x S Notação Matricial e Algébrica Notação deEquações Lineares Sistemas Observações 1ª No sistema P todos os termos independentes são iguais a zero São ditos Sistemas Homogêneos Estes sistemas vão sempre admitir uma única solução Sistema possível determinado ou infinitas soluções Sistemas possíveis indeterminados 2ª Nos sistemas Q R e M podese observar que a cada equação aumentase a quantidade de coeficientes iguais à zero Também podemos observar o mesmo nas tabelas de seus coeficientes onde todos os seus valores abaixo da diagonal são iguais à zero Os sistemas Q R e M são sistemas ditos Escalonados Resolução de sistemas por Escalonamento Exercícios resolvidos 3 1 9 25 9 4 o S P D Determinad 13 1 3 259 10 5 3 49 7 3 2 11 8 3 10 5 3 7 3 2 10 3 3 4 2 7 3 2 º1 3 2 1 3 3 1 2 2 1 única solução S Possível Sistema z z y z y x z y x A z y z y z y x A z y x z y x z y x A x y z Conjunto Solução S resolver Exemplo E E E E e E E infinitas soluções 1 ado SPI Indetermin 0 1 1 4 3 0 0 0 1 4 3 0 0 1 4 3 0 13 13 0 11 11 1 4 3 3 4 3 2 3 5 2 1 4 3 3 3 4 1 4 3 2 3 2 5 º 2 3 2 1 3 13 2 11 3 3 1 2 2 1 2 1 R x x x x S Possível Sistema x z z x x y z x y B z x z x y B z x z x z x y B z x z x z x y B z x y z x y z x y B z y x z y x z y x B resolver Exemplo E E e E E E E e E E Cy e Cx E E SI Impossíve O sem solução 2 0 0 3 1 2 2 3 0 3 1 2 6 5 5 4 2 3 2 1 2 º3 3 2 1 3 4 1 2 2 1 vazio S Sistema FALS z y z y x C z y z y z y x C z y x z y x z y x C resolver Exemplo E E E E e E E 000 0 0 7 0 0 3 0 0 2 2 2 0 4 0 3 0 2 2 2 0 4 0 3 5 3 0 2 2 S PD ou SPI homogêneo º 4 3 2 1 2 2 1 S z z y z y x z y x D z y z y z y x D z y z y x z y x D sistema resolver Exemplo E E E E Exercícios propostos Resolver os sistemas usando o escalonamento 1 1 3 3 4 3 2 3 3 3 2 6 3 2 t z y x t z y x t z y x t z y x 2 3 z 3y x 4 1 4z y x 3 2 3z 2y x 5 3 10 4 3 5 4 4 5 3 2 2 3 z y x z y x z y x 4 4 5 5 0 2 3 4 z y x z y x z y x 5 4 2 3 3 2 9 2 z y x z y x z y x 6 1 2 2 2 1 1 t z x t z y t z y x t z y x 7 2 2 2 1 2 z y x z y x z y x 8 1 2 3 2 2 2 3 1 t z y x t z y x t z y x 9 0 2 2 2 3 2 1 2 t z y x t y x z y x 10 7 2 3 2 5 3 4 7 2 z y x z y x z y x 11 6 5 5 6 1 2 3 2 3 z y x z y x z y x 12 0 2 6 2 4 2 3 z y x z y x z y x 13 0 2 0 2 0 z y x z y x z y x 14 y z x x z y z y x 3 2 2 2 3 2 15 0 4 6 2 0 3 2 4 0 z y x z y x z y x 16 0 2 3 0 4 0 3 2 z y x z y x z y x 17 0 3 4 0 3 2 0 2 z y x z y x z y x 18 0 2 0 2 8 0 2 4 5 z y x z y x z y x Sistema homogêneo aplicação Dependência Linear Considere os vetores V v v v v v n 4 3 2 1 as constantes reais n 4 3 2 1 e a equação 0 4 4 3 3 2 2 1 1 nvn v v v v I Se 0 4 3 2 1 n os vetores nv v v v v 4 3 2 1 são Linearmente Independentes LI II Se pelo menos um i 0 os vetores nv v v v v 4 3 2 1 são Linearmente Dependentes LD Exemplos 1º Dados os vetores do R3 u 1 1 2 v 1 2 1 e w 1 1 1 verificar se são LI ou LD u v e w são LI 000 S 0 c 0 c 7 0 b 0 3c b 0 a 0 c b a 0 2c b 3 0 3c b 0 c b a 0 3c b 0 2c b 3 0 c b a 0 c b a 2 0 c 2b a 0 c b a 000 c b 2a c 2b a c b a 000 c c c 2 b b b a 2a a 000 111 c 12 b 1 211 a 0 dc vb ua 2º Dados os vetores do R3 u 1 1 2 v 1 2 1 e w 2 2 4 verificar se são LI ou LD u v e w são LD R c c c 3 4 c 3 2 S c 3 4 b 0 4c b 3 c 3 2 a 0 2c b a 0 0 0 4c b 3 0 2c b a 0 4c 2b a 2 0 2c 2b a 0 2c b a 000 4 c 2b 2a 2 c 2b a 2 c b a 000 c 2 4c 2 c b 2b 2 b a 2a a 000 42 c 2 12 b 1 211 a 0 dc vb ua Exercícios propostos Dependência Linear 1º Verificar se os vetores são linearmente dependentes LD ou linearmente independente LI nos casos a u 12 e v 36 b u 68 e v 23 c u 46 e v 23 d u 00 e v 15 e u 213 v 639 e w 121 f u 213 v 425 e w 032 g u 567 v 678 e w 122 2º Para que valores de k os vetores a u 23 e v 4k são LI b u 1k e v k1 são LD c u k10 v 223 e w 102 são LI 3º Verificar se os vetores são linearmente dependentes LD ou linearmente independentes LI 2 1 3x 2x x 4 x 2x T f 6 3x 22 x 2x 17 x 3x 5 x 2x x W e 4 x 25w x 10 v 7x x u d 1 1 3 2 0 2 1 1 4 1 2 0 2 3 1 1 M c 6 0 0 2 0 1 0 3 0 0 0 2 2 0 0 1 S b 1 3 5 2 9 e z 3 6 2 w 3 1 3 2 2 v 4 3 5 u a 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 Matriz Inversa ou não singular Definição n n n I A A M e sua inversa A Sejam A M 1 1 Propriedade 1 1 1 2 1 3 1 1 3 1 2 A A A A A A A A n n Ak são inversíveis 1º Exemplo Dada a matriz 3 3 2 1 A determinar sua inversa se existir 3 1 1 3 2 1 1 1 3 3 0 2 0 3 3 1 2 1 0 0 1 3 3 3 3 2 2 1 0 1 0 3 3 2 1 3 3 2 1 º1 2 1 1 1 A d b d b e c a c a igualdade e resolvendoos sistemastemos Pela d b c a d b c a d c b a I definição A A Pela d c b a Considere A calcule A A Seja 2º Exemplo Dada a matriz 6 3 2 1 A determinar sua inversa se existir 1 0 0 2 1 6 3 0 2 3 0 1 2 0 6 3 1 2 1 0 0 1 6 3 6 3 2 2 1 0 1 0 6 3 2 1 6 3 2 1 º 2 2 1 1 1 a matriz A não admite inversa Logo tambémimpossível d b d b d b sistemaimpossível c a c a c a igualdade e resolvendoos sistemastemos Pela d b c a d b c a d c b a I definição A A Pela d c b a Considere A calcule A A Seja Determinante de uma matriz A partir de um cálculo padrão associamos uma matriz a um número chamado de Determinante de uma matriz cuja notação é dada por det A ou det A Cálculo do determinante de numa matriz 2x2 det 1 2 2 1 2 1 2 1 a b a b A b b a a A Produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária Exemplo 1 matriz 2x2 2 2 det 2 10 12 34 25 det 2 4 3 5 ou A A A Cálculo do determinante de numa matriz 3x3 Regra de Sarrus a2b1c3 a1b3c2 a3b2c1 a3b1c2 a2b3c1 a1b2c3 A det reescrevem os as duas primeiras colunas c2 c1 c3 c2 1 c b2 b1 b3 b2 1 b a2 a3 a1 a2 1 a A det c3 c2 1 c b3 b2 1 b a3 a2 1 a A Exemplo 11 11 ou A det 11 6 17 102 121 411 101 422 111 A det 4 1 1 1 4 2 0 1 1 0 2 1 1 2 1 A det 1 1 4 1 2 0 2 1 1 A Regra de Laplace cálculo do determinante de numa matriz nxn Primeiro vejamos os Cofatores j Dij onde Dij é o menor complementar i1 Aij Cofator n n n4 n3 n2 1 n 3n 34 33 32 31 2n 24 23 22 21 1n 14 13 12 11 M Mn R Seja 3 a c2 1 c b2 1 b a2 c3 1 c b3 1 b a1 c3 2 c b3 2 b Det A A13a3 A12a2 A11 a 1 A Det c2 1 c b2 1 b A13 3 D13 11 13 A c3 1 c b3 1 b A12 2D12 11 12 A c3 2 c b3 2 b A11 1 D11 11 11 A j Dij i1 Aij c3 c2 1 c b3 b2 1 b a3 a2 1 a A M R A Considere de Laplace Regra 3 Exemplo da Regra de Laplace Considerando A3R 4 11 1 16 41 82 11 A Det 1 1 4 1 0 1 2 4 2 0 1 1 1 2 1 A Det a A a A a A A Det 1 4 1 0 A D 1 A 1 4 2 0 A D 1 A 1 1 2 1 A D 1 A Dij 1 Aij 1 1 4 1 2 0 2 1 1 A Seja 3 13 2 12 1 11 13 13 3 1 13 12 12 2 1 12 11 11 1 1 11 j i Propriedade da Matriz Inversa OBS O interesse em mostrar Determinantes é simplesmente para apresentar a propriedade de que uma matriz só admite inversa se o seu determinando por diferente de zero então Pnãoadmite inversa P P então M admite inversa M M 0 0 6 6 det 1 3 2 6 0 17 15 2 det 1 3 5 2 Exemplo geral de matriz inversa Dada a matriz 1 1 3 2 1 2 1 3 1 E determine a sua inversa E1 se existir Verificando o seu determinante isto não é obrigatório para determinar a inversa apenas opcional existe 0 E 1 1 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 1 1 3 1 1 1 3 2 1 2 1 3 1 14 6 2 3 2 1 18 E Então vamos determinando a inversa E1 usandoa definição temos Dada i h g f e d c b a 1 1 3 2 1 2 1 3 1 a E 1 E 2 1 7 4 14 5 0 7 1 7 2 2 1 7 1 14 3 os sistemas temos E 1 resolvendo 1 i f c 3 0 2i f c 2 0 i 3f c 0 h e b 3 1 2h e b 2 0 h 3e b 0 g d a 3 0 2g d a 2 1 g 3d a se desta igualdade tem 1 0 0 0 1 0 0 0 1 i f 3c h e 3b g d a 3 i2 f 2c 2h e 2b 2g d a 2 i 3f c h 3e b g 3d a 1 0 0 0 1 0 0 0 1 i h g f e d c b a 1 1 3 2 1 2 1 3 1 I E 1 E Método prático para determinar a matriz inversa de orem 2x2 usando o Determinante Regra inverter os termos da diagonal principal e o opor os termos da diagonal secundária dividindo todos pelo Det A 17 2 17 3 17 5 17 1 1 A então A admite inversa 0 17 15 2 A det 1 3 5 2 A Exemplo a c b d 0 temos que A 1 det A para e d c b a A Logo Seja Exercícios propostos 1º Determine a Matriz Inversa se existir para as seguintes matrizes 9 3 6 2 3 1 3 2 2 4 5 3 C B A 6 1 2 4 1 3 5 2 P M 1 1 1 1 2 0 2 1 1 R 1 1 3 1 2 2 1 3 1 E 0 1 0 3 4 0 2 1 1 O 1 1 1 2 1 3 2 1 1 S