Combinação Linear - Lista 07: Linearmente Dependente ou Independente - Universidade Federal Rural de Pernambuco

Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática DM Algebra Linear NI Prof Marcelo Pedro Lista 07 Combinação Linear Linearmente Dependente ou Independente Base Indicações do Livro Do livro referência 1 resolva os seguintes exercícios do capítulo quatro 6 7 8 11 18 19 Exercicios Adicionais Combinacoes Lineares Questão 1 Em cada item responda se o vetor é uma combinação linear dos vetores do conjunto a Conjunto A u 1 1v 1 1 R2 E vetor a 3 4 b Conjunto B u 1 1 1v 1 1 2 R3 E vetor b 2 0 3 c Conjunto C u 1 1 1v 1 1 2 R3 E vetor c 2 1 3 d Conjunto D u 1 1 1v 1 1 2 w 2 0 3 R3 E vetor d 2 0 3 Linearmente IndependenteLI ou Linearmente DependenteLD Questão 2 Em cada item responda se o conjunto de vetores é LI ou LD ai Conjunto A u 1 1v 1 1 R2 aii Conjunto A u 1 1v 1 1a 3 4 R2 bi Conjunto B u 1 1 1v 1 1 2 R3 bii Conjunto B u 1 1 1v 1 1 2b 2 0 3 R3 c Conjunto C u 1 1 1v 1 1 2c 2 1 3 R3 d Conjunto D u 1 1 1v 1 1 2 w 2 0 3 d 2 0 3 R3 e Conjunto E u 1 2 3v 4 5 6 w 7 8 9 R3 f Conjunto F u 1 0 0v 0 1 0 w 0 0 1 R3 g Conjunto G u 1 0 0v 1 1 0 w 1 1 1 R3 h Conjunto G u 1 0 0v 0 1 0 w 1 1 0 R3 Base de um Espaço Vetorial Questão 3 Em cada item responda se o conjunto é ou não uma base do espaço vetorialJusticando através dos calculos se ou LI ou LD e se gera o espaço a Conjunto A u 1 1 R2 b Conjunto B u 1 1v 1 1 R2 c Conjunto C u 1 1v 1 1a 3 4 R2 d Conjunto D u 4 8v 8 4 R2 e Conjunto E u 4 8v 8 16 R2 f Conjunto F u 7 0v 0 95 R2 g Conjunto G u 1 0v 0 1 R2 h Conjunto H u 1 1 1v 1 1 2 R3 i Conjunto I u 1 1 1v 1 1 2b 2 0 3 R3 j Conjunto J u 1 1 1v 1 1 2c 2 1 3 R3 l Conjunto L u 1 1 1v 1 1 2 w 2 0 3 d 2 0 3 R3 m Conjunto M u 1 2 3v 4 5 6 w 7 8 9 R3 n Conjunto N u 1 0 0v 0 1 0 w 0 0 1 R3 o Conjunto O u 1 0 0v 1 1 0 w 1 1 1 R3 p Conjunto P u 1 0 0v 0 1 0 w 1 1 0 R3 Referências 1 BOLDRINIJ L et al Algebra Linear Terceira Edição São Paulo Editora HARBRA 1980 Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática DM Algebra Linear NI Prof Marcelo Pedro Lista 08 Coordenadas e Mudança de Base Indicações do Livro Do livro referência 1 resolva os seguintes exercícios do capítulo quatro 29 30 32 item a Exercicios Adicionais Coordenadas em relação a base Questão 1 Em cada item escreva as coordenadas do vetor em relação a base dada a Conjunto A u 1 1v 1 1 R2 E vetor a 3 4 b Conjunto B u 1 1 1v 1 1 2 0 0 1 R3 E vetor b 2 0 3 c Conjunto C u 1 1 1v 1 1 2 2 1 3 R3 E vetor c 2 1 3 d Conjunto D u 4 8v 5 3 R2 E vetor d 2 0 e Conjunto E u 4 8v 5 3 R2 E vetor e 4 8 f Conjunto F u 4 8v 5 3 R2 E vetor f 5 3 g Conjunto G u 4 8v 5 3 R2 E vetor g 9 11 h Conjunto H u 4 8v 5 3 R2 E vetor h 1 5 i Conjunto I u 1 0v 0 1 R2 E vetor i 1 5 j Conjunto J u 0 1 2v 1 0 2 w 1 2 0 R3 E vetor j 70 70 70 2 a M alphaB 1 1 1 1 alpha 1 beta 1 u alpha 10 beta01 1 1 beta 1 beta beta 8 beta 1 4 12 12 0 20 b M 11 B 84 8 beta 12 8 8 beta 12 beta 12 8 8 beta 1 beta 16 u alpha48beta84 1 4 alpha 8 beta 1 alpha 8 beta alpha 1 8 beta alpha 1 8 beta 1 4 alpha 8 beta 1 4 alpha 8 beta 1 alpha 8 beta 8 beta alpha 16 8 beta 1 E 16 alpha beta d 48 alpha 10 beta 10 alpha beta 21 8 alpha 2 beta 12 3x 6B 5 alpha 8 beta 8 4 beta 12 12 8 8 4 beta beta 12 12 beta 3 x 6 beta 2 5 x 2 4 8 4 beta MB 2 12 12 2 d alpha beta alpha beta alpha x beta 1x 32 12 1 2 3 9 c alpha 011 beta 010 gamma 110 2 4 alpha 8 beta delta beta p 1 111 alpha 010 beta 110 111 alpha 011 xyz 687 d 48 84 c alpha 1 beta 1 2 3 alpha 12 12 1 beta 32 alpha 1 beta 1 Lista 09 1 a 3 2 0 1 1 3 1 5 b 2 3 1 1 c 1 2 1 1 d 3 1 1 7 2 a Txyz x 2y 2z 3x 2y 4 z2 T100 1 3 T010 2 2 T001 2 4 b T111 21 301 301 M 2 1 3 3 T33 33 T11 2532 4 10 T11 2 5 310 T10 10 alpha11beta14 c T10 37 beta14 214 T10 alpha 3 beta 3 alpha 3 3 a Txyz x3y 2x y 3z Txyz 2x y x y z T01z T10 7 2 3 7 b T xyz 3x 5 y B 1 alpha 5 3x 4 3x4 beta 1 alpha 5 Beta 3 alpha 5 3x 4 beta 3 3x 4 beta 3 3 3 2 3 5 9 3 5 2 a x y z 1 0 0 2 beta 1 beta 1 alpha 1 beta 1 alpha 1 M 1 1 1 1 beta 1 alpha 1 beta 1 beta 1 8 alpha 1 beta 32 8 beta beta 32 alpha 1 beta 2 beta 32 alpha 1 beta 2 beta 32 beta 2 beta 32 alpha 5 α θ1 β θ2 xθ3 0 λ 12 6 λθ1 θ2 θ3 ℰLI 7 α1 w1 α2 w2 α3 w3 0 α1 α2 α3 αn 0 pois α1 0 8 α1 α2 u1 αn u2 αn un 0 também α kt 0 or α1 αn 0 2 α αn1 αn 0 ℰLI αn 0 must exist αn want want αn structure 9 α1 V V1 α2 W1 α3 W V1 0 v α α2 vα2 α1 wα α2 0 α1xα2xα3x 0 α2 0 x 0 y 0 z 0 xzy 0 uvw uwv ℰLI 10 α E αxyz αx1 α2 0 β V βV βV α β 0 α1 β1 0 β k β 1k α 1 λ 1 LD d V 0 0 e sim pois só continueu ou dilatou o vetor definição de LD 11 a α11 β39 não é base b α11 β1 t t² α β 0 3 é base c não é d α39 β1 12 3 43 α 4 e β 3 mas não é base 9 13 9 a 18 a 3 43 α 4 e β 3 não é base 14 a sim ℰLI b sim ℰLI c não ℰLI d sim ℰLI 13 a ω 1 1 b 11 α24 β13 12α3β 8β4α3 39 β 9β3 β 13 α 53 45 α 35 β c 1132 x1113 y ω0232 b x y x 102 1210 xy0 x10 x100 b xy0 t214 214 14 213 α101 β110 γ132 2 α β γ t α 2 x 2 y 1 b substituição ωβ 1 1 15 a não temos que provar que ℰLI é conjunto gerador b não tem que gerar o espaço 1 sim definição 16 a 1 4 b 0 α100 β010 γ001 dim 3 b 8 7 h a a 1 α11011 dim 3 c 9hbaHad α101111 d αxyz x102x y0 12 z3 4 013 1023 012 110 x100 110 Questão 3 Dadas as duas bases e a matriz da transformação linear encontre a formula da transformação linear a Bases α a 1 0 b 0 1 R² e α 1 0 0 0 1 0 0 0 1 R³ E matriz Tₐᵅ 0 2 1 0 1 3 b Bases β a 1 1 b 0 1 R² e β 0 3 0 1 0 0 0 1 1 R³ E matriz Tᵝβ 0 2 1 0 1 3 c Bases γ a 1 1 b 1 1 R² E γ u 4 8 v 8 4 R² E matriz Tᵞγ 1 2 1 2 Referências 1 BOLDRINIJ L et al Algebra Linear Terceira Edição São Paulo Editora HARBRRA 1980 Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática DM Algebra Linear NI Prof Marcelo Pedro Lista 09 Transformacao Linear e Sua Matriz Indicações do Livro Do livro referência 1 resolva os seguintes exercícios do capítulo cinco 2 itens a e e 3 4 itens a b e c 11 23 Exercicios Adicionais Transformacoes Lineares Questão 1 Seja a transformação linear T R2 R3 dada por Tα β 1 1 0 1 2 3 cujas bases são α i 1 0j 0 1 R2 e β i 1 0 1j 2 0 1k 0 1 0 R3 Encontre a imagem dos seguintes vetores a a 2 3 b b 7 8 c c 1 0 d d 1 1 Questão 2 Seja T R3 R2 dada pela formula Tx y z 2x y z 3x 2y 4z a Encontre a matriz dessa transformação em relação as bases α i 1 0 0j 0 1 0k 0 0 1 R3 e α i 1 0j 0 1 R2 b Encontre a matriz dessa transformação em relação as bases β a 1 1 1b 1 1 0c 1 0 0 R3 e β i 1 0j 0 1 R2 c Encontre a matriz dessa transformação em relação as bases γ a 1 1 1b 1 1 0c 1 0 0 R3 e γ i 1 3j 1 4 R2 Álgebra linear Independência linear e dimensão 1 Sejam u 1 2 1 e v 6 4 2 Prove que a Mostre que w₁ 9 2 7 é uma combinação linear de u e v b Mostre w₂ 4 1 8 não é uma combinação linear de u e v c Encontre t R³ tal que B u v t seja uma base de R³ 2 Determine se v₁ 1 1 2 v₂ 1 0 1 e v₃ 2 1 3 geram o espaço vetorial R³ 3 Determine se v₁ 1 2 3 v₂ 5 6 1 e v₃ 3 2 1 são linearmente independentes em R³ 4 Explique por que o conjunto de vetores dado é linearmente dependente ou linearmente independente a u₁ 1 2 4 e u₂ 5 10 20 em R³ b u₁ 3 1 u₂ 4 5 e u₃ 4 7 em R² c A 3 4 2 0 B 3 4 2 0 em M₂₂R 5 Os vetores dados formam um conjunto linearmente dependente em R³ com quais valores reais de λ v₁ λ 12 12 v₂ 12 λ 12 v₃ 12 12 λ 6 Mostre que se S v₁ vᵣ é um conjunto linearmente independente de vetores em um espaço vetorial V então também o é qualquer subconjunto não vazio de S 7 Mostre que se S v₁ v₂ v₃ for um conjunto linearmente independente de vetores em um espaço vetorial V e se v₄ for um vetor quaisquer em V que não esta em S então v₁ v₂ v₃ v₄ é também linearmente independente 8 Mostre que se S v₁ vᵣ é um conjunto linearmente dependente de vetores em um espaço vetorial V e se vᵣ₁ vₙ forem vetores quaisquer em V que não estão em S então v₁ vᵣ vᵣ₁ vₙ também é linearmente dependente Paula Cadavid 13 UFRPE 1 a Sim Existe uma base em H b F não tem a mesma dimensão de R4 c F tem que ser conjunto de gerador d V tem que ser LI e Por definição 9 Prove dados quaisquer vetores u v e w num espaço vetorial V os vetores u v v w e w u formam um conjunto linearmente dependente 10 Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa justificando a sua resposta a Um conjunto que consiste de um único vetor é linearmente dependente b Dado qualquer escalar k e v no espaço vetorial V o conjunto v kv é linearmente dependente c Cada conjunto linearmente dependente contém o vetor zero d Se o conjunto de vetores v1 v2 v3 for linearmente independente então dado qualquer escalar não nulo k o conjunto kv1 kv2 kv3 também é linearmente independente e Se v1 v2 vr forem vetores não nulos linearmente dependentes então pelo menos um vetor vk é combinação linear única de v1 vk1 11 Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R2 a 2 1 3 0 b 4 1 7 8 c 0 0 1 0 d 3 9 4 12 12 Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R3 a 1 0 0 2 2 0 3 3 3 b 3 1 4 2 5 6 1 4 8 c 1 6 4 2 4 1 1 2 5 d 2 3 1 4 1 1 0 7 1 13 Em cada parte encontre as coordenadas de w em relação à base S u1 u2 de R2 a u1 1 0 u2 0 1 w 3 7 b u1 2 4 u2 3 8 w 1 1 c u1 1 1 u2 0 2 w a b 14 Em cada parte encontre as coordenadas de v em relação à base S v1 v2 v3 de R3 a v 2 1 3 v1 1 0 0 v2 2 2 0 v3 3 3 3 b v 5 12 3 v1 1 2 3 v2 4 5 6 v3 7 8 9 15 Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa justificando a sua resposta a Se o espaço vetorial V v1 vn então v1 vn é uma base de V Paula Cadavid 23 UFRPE b Cada subconjunto linearmente independente de um espaço vetorial V é uma base de V c Se v1 vn é uma base do espaço vetorial V pode ser expresso como uma combi nação linear de v1 vn 16 Encontre as dimensões dos seguintes subespaços de R4 a Todos os vetores da forma a b c 0 b Todos os vetores da forma a b c d em que d a b e c a b c Todos os vetores da forma a b c d em que a b c d 17 Encontre bases dos seguintes subespaços de R3 a O plano 3x 2y 5z 0 b O plano x y 0 c A reta x 2t y t z 4t 18 Em cada caso encontre um vetor de da base canônica de R3 que pode ser acrescentado ao conjunto v1 v2 para formar uma base de R3 a v1 1 2 3 v2 1 2 2 b v1 1 1 0 v2 3 1 2 19 Seja v1 v2 v3 uma base de um espaço vetorial V Mostre que u1 u2 u3 também é uma base sendo u1 v1 u2 v1 v2 e u3 v1 v2 v3 20 Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa justificando a sua resposta a Existe um conjunto de 17 vetores linearmente independentes em R17 b Existe um conjunto de 11 vetores que gera R17 c Cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em R5 é uma base de R5 d cada conjunto de cinco vetores que gera R5 é uma base de R5 e Cada conjunto de vetores que gera Rn contém alguma base de Rn f Cada conjunto linearmente independente de Rn esta contido em alguma base de Rn Paula Cadavid 33 UFRPE Lista 07 a α34 α11 B11 3 α β 7 4 α β α 5 β 2 b α23 α11 β12 γ01 α β γ 2 α 2β γ 3 α 1 β 1 γ 0 c α43α11 β11 γ21 d α34 β1 1 γ20 e α816 β80 0 8α 4β 0 2α β 0 β 2 or α 1 NÃO É BASE f α10 β01 0 α 0 β 0 BASE g α12 β11 0 h α12 β11 0 i α21 β11 γ11 j α20 β12 γ21 k α21 β11 γ20 l α30 β11 γ53 m α48 β11 n α20 β15 γ17 o α15 β37 γ18 p α11 β37 γ28 q αββ0 α β 0 1 r e α816 β80 0 8α 4β0 2αβ0 β 2 or α1 NÃO É BASE 10α 8β0 2410α BASE f α10 β01 0 α0 β0 BASE g α12 β11 0 β1 if α0 BASE h α12 β11 0 i α21 β11 γ11 0 Não é BASE j α20 β12 γ21 0 α 2β γ0 k α21 β11 γ34 0 l α30 β11 γ53 0 m z û v Não é Base n Base do R3 o Base p Base Lista 08 a α31 α11 β11 3αβ 1αβ 3αβ 1αβ α2 β1 b α20 α11 β12 γ01 v B 11 c α21 α11 β11 γ21 c 281 d α23 α11 β11 γ13 264 e α54 β11 γ13 v B 4314 α1 β1 f 48 α48 β1 6 g α18 β53 FB 17 h α13 β31 GB 17 i α11 β13 GB 17 j α13 β11 F04 17 INDEPENDÊNCIA LINEAR E DIMENSÃO INDEPENDÊNCIA LINEAR E DIMENSÃO e 100 α101 β101 χ149 1 αβχ 0 00 0 α4χ 1 β 9χ