Gabarito-Algebra-Linear-Exercício-Escolar-2024

Álgebra Linear Profs José Cláudio Maciel Freire Leonardo Medeiros de Queiroz Nome CPF Turma Gabarito do Segundo Exercício Escolar de 20241 Orientações Leia atentamente todas as questões antes de começar a prova Os cálculos necessários devem ser realizados na folha de resposta Não serão aceitas respostas sem justificativa Questão 01 30 pontos Seja F um operador linear no R3 tal que F1 0 0 1 1 0 F0 1 0 1 0 1 F0 0 1 0 1 0 a 15 Encontre Fx y z onde x y e z são números reais quaisquer b 15 Encontre a representação matricial de F na base canônica Solução a Como F é uma transformação linear Fx y z xF1 0 0 yF0 1 0 zF0 0 1 x1 1 0 y1 0 1 z0 1 0 Assim Fx y z x y z x y b Fx y z x1 1 0 y1 0 1 z0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 x y z Portanto a matriz que representa F na base canônica é 1 1 0 1 0 1 0 1 0 Questão 02 35 Considere o operador linear T R3 R3 tal que Tx y z y z x y z x 3y z a 20 Encontre o núcleo e a imagem de T b 15 Encontre T1 se existir caso contrário justifique sua não existência Solução a A imagem de T é formada por todos os vetores que podem ser escritos como y z x y z x 3y z x0 1 1 y1 1 3 z1 1 1 com x y e z reais Ou seja a imagem de T é o subespaço do R3 gerado pelos vetores 0 1 1 1 1 3 e 1 1 1 O núcleo de T é formado por todos os vetores x y z tais que Tx y z 0 0 0 Ou seja para achar esses vetores precisamos achar os valores de x y e z tais que y z 0 x y z 0 x 3y z 0 Quando resolvemos o sistema homogêneo acima obtemos y z x 2z e z fica livre para assumir qualquer valor Assim o núcleo de T é dado por todos os vetores da forma 2z z z Ou seja o núcleo de T é o subespaço do R³ gerado pelo vetor 2 1 1 Como vimos os vetores 011 113 e 111 são LD podemos retirar um deles e o conjunto que resulta é uma base da imagem de T b Como o núcleo de T tem dimensão maior que zero então T não é injectiva Portanto T não pode ser bijetiva e sua inversa não existe Questão 03 35 pontos Considere a seguinte matriz A 34 14 14 34 a 15 Encontre os autovalores e os autovetores de A Os autovetores formam uma base do R² Justifique b 15 Encontre uma matriz P tal que P¹AP D onde D é uma matriz diagonal Explicite também a matriz D c 05 Calcule lim n Aⁿ Sugestão utilize os resultados dos itens anteriores Solução a Para encontrar os autovalores de A resolvemos a equação detA λI 0 donde resulta λ² 32x 12 0 As raízes dessa equação são λ₁ 1 e λ₂ 12 Para achar os autovetores basta substituir esses valores na equação matricial A λIv 0 onde 0 denota o vetor nulo Assim obtemos que os autovetores relativos a λ₁ 1 são os múltiplos do vetor 11 e os relativos a λ₂ 12 são os múltiplos de 11 Como 11 e 11 correspondem a autovetores diferentes eles são LI e formam uma base do R² b Como é possível formar uma base de autovetores de A a matriz A é diagonalizável e uma matriz P que a diagonaliza tem as colunas formadas pelos autovetores de A Assim P 1 1 1 1 Obtemos também P¹ 12 12 12 12 Assim D P¹AP 12 12 12 1234 14 14 341 1 1 1 1 0 0 12 c Podemos calcular o limite usando D lim n Dⁿ lim n 1ⁿ 0 0 12ⁿ 1 0 0 0 Ora sabemos que A PDP¹ portanto Aⁿ PDP¹ⁿ PDⁿP¹ Assim lim n Aⁿ Plim n DⁿP¹ 1 1 1 11 0 0 012 12 12 12 12 12 12 12 Boa Prova