Gabarito-Algebra-Linear-Primeiro-Exercicio-Escolar-2024-1

Álgebra Linear Profs José Cláudio Maciel Freire Leonardo Medeiros de Queiroz Nome CPF Turma Gabarito do Primeiro Exercício Escolar de 20241 Orientações Leia atentamente todas as questões antes de começar a prova Os cálculos necessários devem ser realizados na folha de resposta Não serão aceitas respostas sem justificativa Questão 01 35 pontos Dada a matriz A 1 2 0 k onde k é um número real não nulo e o polinômio px x² 4 a 20 calcule A1 b 15 encontre os valores de k tais que detpA 0 Solução da Questão 01 a Podemos calcular A1 por meio do algoritmo de eliminação de GaussJordan Escrevemos a matriz ampliada 1 2 1 0 0 k 0 1 L₂L₂k 1 2 1 0 0 1 0 1k L₁L₁2L₂ 1 0 1 2k 0 1 0 1k Portanto A1 1 2k 0 1k b pA A² 4I 3 2 2k 0 k² 4 Dessa forma detpA 3k² 4 Portanto para que detpA 0 k precisa ser igual a 2 ou 2 Questão 02 35 pontos Considere o sistema de equações lineares x 2y 2z w 3t 0 x 2y 3z w t 0 3x 6y 8z w 5t 0 a 20 Encontre a solução geral desse sistema b 15 O conjunto de vetores x y z w t que satisfazem o sistema acima é um subespaço de ℝ⁵ Exiba uma base desse subespaço e determine sua dimensão Solução da Questão 02 a Vamos usar o escalonamento da matriz ampliada 1 2 2 1 3 0 1 2 3 1 1 0 3 6 8 1 5 0 L₂L₂L₁ L₃L₃3L₁ 1 2 2 1 3 0 0 0 1 2 2 0 0 0 2 4 4 0 L₃L₃2L₂ 1 2 2 1 3 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 Se subtrairmos a primeira equação da segunda e isolarmos z obtemos que z 2t 2w Substituindo esse resultado na primeira equação e isolando x obtemos x 2y 5w 7t Assim concluímos que os vetores que representam as soluções do sistema são da forma 2y 5w 7t y 2t 2w w t y2 1 0 0 0 w5 0 2 1 0 t7 0 2 0 1 b Como pudemos ver no item anterior o conjunto de soluções do sistema é formado por todas as combinações lineares dos vetores 2 1 0 0 0 5 0 2 1 0 e 7 0 2 0 1 Portanto esse conjunto é um subespaço de ℝ⁵ Esses vetores são LI o que pode ser facilmente visto ao notarmos que 2y 5w 7t y 2t 2w w t 0 0 0 0 0 y w t 0 Concluímos então que o conjunto B 2 1 0 0 0 5 0 2 1 0 7 0 2 0 1 é uma base do espaço de soluções do sistema e a dimensão desse espaço é 3 Questão 03 30 pontos Considere os vetores v₁ 0 1 2 v₂ 1 0 3 e v₃ 2 3 0 a 20 Verifique se os vetores v₁ v₂ e v₃ são LI ou LD b 10 Considere a seguinte matriz antissimétrica 0 1 2 1 0 3 2 3 0 Verifique se essa matriz é ou não invertível Solução da Questão 03 a Para saber se os vetores são LI ou LD basta descobrir se existem dois números x e y tais que 1 0 3 x0 1 2 y2 3 0 Assim 1 0 3 2y x 3y 2x donde podemos concluir que x 32 e y 12 Portanto 1 0 3 32 0 1 2 12 2 3 0 Como um dos vetores é combinação linear dos outros os vetores dados são LD b Sabemos que uma matriz quadrada é invertível se e somente se suas linhas ou equivalentemente suas colunas forem LI É possível notar que as linhas da matriz em questão são idênticas aos ve tores analisados no item anterior Como tais vetores são LD podemos concluir que essa matriz não é invertível Page 3