Guia de Estudos Coordenadas Polares: Circunferência, Equações, Intersecções e Posições Relativas - Geometria Analítica

Guia de Estudos Coordenadas Polares Circunferência Equações Intersecções e Posições Relativas eometria Analítica polivirtualengbr Conceito Coordenadas Polares Circunferência Equações Intersecções e Posições Relativas SILVA V V REIS G L Geometria Analítica Ed LTC São Paulo 1996 Secção 212 LEITHOLD L Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 Ed Harbra São Paulo 1994 Secções 106 e 106 Rever Apresentação vídeos e exercícios vistos em Sala de Aula Prática Coordenadas Polares Circunferência Equações Intersecções e Posições Relativas 1 Encontre as coordenadas cartesianas e faça a localização no plano cartesiano das seguintes coordenadas polares 𝑎 4 𝜋 4 e 𝑏 4 5𝜋 4 2 Converta o ponto 21 de coordenadas cartesianas para polares 3 Converta o ponto 21 de coordenas polares para cartesianas 4 Encontre a equação cartesiana para a curva representada pela equação polar dada a r 2 b r cos 𝛳 1 c r 5 cos 𝛳 d 𝑟 6 3 cos 𝜃2 sin𝜃 5 Encontre a equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada a y 2 b y x c y 1 3x d 𝑥2 𝑦2 6𝑦 0 Livro Texto Geometria Analítica ReisSilva 6 Encontre as equações paramétrica e cartesiana da circunferência que passa pelos pontos 𝑃62 𝑄80 e cujo centro está na reta 3𝑥 7𝑦 2 0 Resp 𝐶4 2 𝑒 𝑟 25 7 Encontre as equações da circunferência que passa pelo ponto 𝑈11 𝑃1 2 𝑒 𝐸23 8 Escreva as equações paramétricas das seguintes circunferências a 𝑥2 𝑦2 11 0 b 𝑥2 𝑦2 𝑥 3𝑦 2 0 Guia de Estudos Coordenadas Polares Circunferência Equações Intersecções e Posições Relativas eometria Analítica polivirtualengbr c 𝑥2 𝑦2 6𝑦 0 d 𝑥2 𝑦2 2𝑥 2𝑦 1 0 9 Deduza uma equação da circunferência de centro na origem e tangente à reta 3𝑥 4𝑦 20 0 10 Qual a posição da reta 𝒓 𝟒𝒙 𝟑𝒚 𝟎 em relação á circunferência 𝑪 𝑥2 𝑦2 𝟓𝒙 𝟕𝒚 𝟏 𝟎 11 Uma reta 𝑟 de equação 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐 0 tangencia a circunferência 𝛽 de equação 𝑥2 𝑦2 2𝑥 6𝑦 8 0 no ponto 𝑃2 0 Qual é o valor de 𝑎 𝑏 𝑐 12 Determine as equações cartesiana e paramétrica da circunferência que tem o centro no ponto 1 2 e raio 5 13 Determine as coordenadas do centro e do raio da circunferência de equação cartesiana 𝑥2 𝑦2 4𝑥 6𝑦 12 0 14 Determine a posição relativa entre a reta 𝑦 2𝑥 1 e a circunferência 𝑥 12 𝑦2 9 15 Se houverem determine os pontos da interseção entre a reta 𝑦 2𝑥 1 e a circunferência 𝑥 7 22 𝑦 3 22 45 2 16 Determine a posição relativa entre as circunferências 𝑥 12 𝑦2 1 e 𝑥2 𝑦2 4 17 Determine a interseção entre as circunferências 𝑥 12 𝑦2 1 e 𝑥2 𝑦2 4 polivirtualengbr Guia de Estudos Reta Equações Ângulos e Distâncias Conceito Reta Equações Ângulos e Distâncias SILVA V V REIS G L Geometria Analítica Ed LTC São Paulo 1996 Secções 28 a 211 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analítica Makron Books 3ª ed São Paulo 2005 Capítulos 14A 15A 16A 17A 19A e 20B Rever Apresentação vídeos e exercícios vistos em Sala de Aula Prática Reta Equações Ângulos e Distâncias Livro Texto Geometria Analítica ReisSilva 1 249 Escreva as equações Paramétrica e Cartesiana da reta que a contém o ponto 1 1 e tem a direção do vetor 2 3 b contém os pontos A3 2 e S3 1 Livro Texto Geometria Analítica CamargoBoulos 2 142 Sejam B52 e C47 que definem a Reta BC Verifique se D31 pertence à Reta BC Encontre as equações que caracterizam a Reta Equação Vetorial e Equação Paramétrica Equação Simétrica Equação Cartesiana e Equação Reduzida Afim 3 Verifique se as retas são concorrentes e se forem encontre o ponto de intersecção 𝑥 4𝜆 𝑟 𝑠 𝑥 1 𝑦 4 𝑦 1 8𝜆 4 Ache o cosseno do ângulo estabelecido entre as retas 𝑟 𝑋 522 𝜆121 𝑒 𝑠 3𝑥 2𝑦 16 0 5 Verifique se as retas são concorrentes e se forem encontre o ponto de intersecção 𝑥 4 𝜆 𝑥 9 4𝜆 𝑟 𝑠 𝑦 1 𝜆 𝑥 2 𝜆 polivirtualengbr Guia de Estudos Reta Equações Ângulos e Distâncias 6 251 a Mostre que 𝑥 3 2𝑡 𝑦 7 5𝑡 a são equações paramétricas da reta definida pelos pontos A3 7 e B5 2 b Que valores devem ser atribuídos a t para se obter os pontos A e B 7 144 Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equação paramétrica abaixo Verifique se os pontos P13 e Q34 pertencem à reta 𝑥 3 𝜆 r 𝑦 2 𝜆 8 145 Obtenha as equações paramétricas da reta que contém o ponto 14 e é paralela à reta de equação r 𝑥 200 𝜆 𝑦 3 3𝜆 9 146 Sejam B11 e C10 Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto 33 e é paralela à reta BC 10 147 Escreva equações as equações nas formas paramétricas e simétrica da reta que contém o ponto A20 e é paralela à reta descrita pelas equações 1 𝑥5 3𝑦4 11 Verifique se as retas são concorrentes e se forem encontre o ponto de intersecção 𝑟 𝑋 3 1 𝜆23 𝑠 𝑋 9 10 𝜆4 6 12 Ache o cosseno do ângulo estabelecido entre as retas x 3 λ x 2 λ r s y 2 λ x 3 λ 13 Determine as equações das retas paralelas a 𝑟 𝑥 2𝑦 2 que distam 5 unidades de r 14 Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos 𝐴1 8 e 𝐵5 1 15 Determine a distância do ponto P à reta sendo a 𝑃 1 3 e r 3𝑥 𝑦 5 0 b 𝑃 0 2 e r 4𝑥 3𝑦 11 0 16 Exiba a equação reduzida da reta 𝑥 2𝑡 1 𝑦 4𝑡 1paramétrica polivirtualengbr Guia de Estudos Reta Equações Ângulos e Distâncias 17 Descreva a equação reduzida da reta perpendicular 𝑎𝑥 𝑦 3 5 𝐾1 2 𝐾 ℝ que passa na origem do referencial ou seja 𝑃00 18 Seja a reta 𝑟 que passa no ponto 9 8 e tem o vetor diretor 𝑢 4 3 Determine a equação reduzida da reta 𝑠 𝑦 𝑚1𝑥 𝑛1 que é perpendicular à 𝑟 e passa pelo ponto 7 1 BONS ESTUDOS polivirtualengbr Atividade Aprendizagem Vetores em 𝑹𝟐 Conceito Vetores em 𝑹𝟐 SILVA V V REIS G L Geometria Analítica Ed LTC São Paulo 1996 Secções 21 até 25 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analítica Makron Books 3ª ed São Paulo 2005 Capítulos 1 até 4 Componente de um vetor Se um vetor 𝑣 for representado em um plano com o ponto inicial 𝑃𝑥1 𝑦1 e terminal no ponto 𝑄𝑥2 𝑦2 então 𝑣 𝑥2 𝑥1 𝑦2 𝑦1 Magnitude de um vetor A magnitude ou comprimento de um vetor 𝑣 𝑎1 𝑎2 é 𝑣 𝑎1 2 𝑎2 2 Operação Algébrica com vetores Se 𝑢 𝑎1 𝑎2 e 𝑣 𝑏1 𝑏2 então polivirtualengbr Atividade Aprendizagem Vetores em 𝑹𝟐 𝒖 𝒗 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 𝒖 𝒗 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 𝑐𝒗 𝑐𝑏1 𝑐𝑏2 𝑐 𝑹 Um vetor de comprimento 1 é chamado de vetor de unitário Por exemplo no exemplo 2c o vetor 𝑤 3 5 4 5 é um vetor de unitário Dois vetores de unitários úteis são i e j definidos por 𝒊 10 𝒋 01 Estes vetores são especiais porque qualquer vetor pode ser expresso em termos deles O vetor 𝒗 𝑎1 𝑎2 pode ser expresso em termos de 𝒊 e 𝒋 por 𝑣 𝑎1 𝑎2 𝑎1𝒊 𝑎2𝒋 Componentes verticais e horizontais de um vetor Que 𝑣 seja um vetor com magnitude 𝑣 e direção 𝜃 Em seguida 𝑣 𝑎1 𝑎2 𝑎1𝒊 𝑎2𝒋 onde 𝑎1 𝑣 cos 𝜃 e 𝑎2 𝑣 sin 𝜃 Assim podemos expressar 𝑣 como polivirtualengbr Atividade Aprendizagem Vetores em 𝑹𝟐 𝒗 𝑣 cos 𝜃 𝒊 𝑣 sin 𝜃 𝒋 Prática Vetores em 𝑹𝟐 1 Expresse o vetor com ponto inicial 𝑃 e ponto terminal 𝑄 na forma de componente 2 Dado o vetor 𝑢 24 e seu ponto inicial 4 3 encontre o ponto terminal 3 Encontre a representação posicional do vetor formado pelos pontos 2 3 e 3 5 Escreva o vetor 𝑢 14 em termos de 𝑖 e 𝑗 4 Determine 2𝑢 3𝑣 𝑢 𝑣 e 3𝑢 4𝑣 para os vetores dados 𝑢 e 𝑣 a 𝑢 2 7 𝑣 3 1 b 𝑢 2𝑖 𝑣 3𝑖 2𝑗 5 Ache 𝑢 𝑣 2𝑢 1 2 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 e 𝑢 𝑣 𝒖 2𝑖 𝑗 𝒗 3𝑖 2𝑗 6 Considere os vetores 𝒖 10𝑖 𝑗 𝒗 9𝑖 7𝑗 determine o vetor 𝑤 2𝑢 3𝑣 e um versor para 𝑤 7 Encontre os componentes horizontais e verticais do vetor com determinado comprimento e direção e escreva o vetor em termos dos vetores 𝑖 e 𝑗 𝑣 40 𝜃 30 8 Encontre a magnitude e direção em graus do vetor 𝑣 𝑖 3 𝑗 polivirtualengbr Atividade Aprendizagem Vetores em 𝑹𝟐 9 As forças 𝐹1 𝐹2 𝐹𝑛 agindo no mesmo ponto 𝑃 são ditas estar em equilíbrio se a força resultante é zero isto é se a 𝐹1 𝐹2 𝐹𝑛 0 Encontrar as forças resultantes que atuam em 𝑃 e a força adicional necessário se houver para que as forças estejam em equilíbrio 10 Dados os pontos A B e C determine X sabendo que A𝑨𝑩 𝑪𝑿 𝑪 𝑪𝑩 11 Dados os pontos A 21 e B 01 calcule a norma do vetor 𝐵𝐴 12 Dados os pontos A 21 B 01 e C 02 determine as coordenadas do vetor 𝑢 de tal forma que 𝐴𝐵 2𝑢 2𝐵𝐶 13 Verifique se os pontos A 21 B 11 e C 02 estão alinhados 14 Dados os pontos A 21 B 11 e C 02 determine e esboce a 𝐴𝐵 b 𝐵𝐴 c 𝐴𝐵 2𝐵𝐶 d 𝐶𝐴 𝐶𝐵 Livro Texto Geometria Analítica CamargoBoulos 410 Dados os pontos A B e C determine X sabendo que A𝑨𝑩 𝑪𝑿 C 𝑪𝑩 Resp XC 18 Determine a relação entre 𝑢 e 𝑣 sabendo que para um dado ponto A A𝑢 𝑣 A Resp Os vetores são de sentidos opostos Livro Texto Geometria Analítica ReisSilva 24 Determine x para que se tenha 𝐴𝐵 𝐶𝐷 sendo Ax 1 B4 x 3 Cx x 2 e D2x x 6 Respx2 polivirtualengbr Atividade Aprendizagem Vetores em 𝑹𝟐 211 Dados os vetores 𝑢 2 1 e 𝑣 13 determine um vetor 𝑤 tal que 3𝑢 𝑤 2𝑣 𝑤 0 Resp 𝑤 4 5 9 5 216 Dados os pontos A2 3 e B5 4 determine um ponto C tal que 𝑨𝑪 seja paralelo ao vetor 𝑢 21 e 𝑨𝑪 𝑨𝑩 Resp 𝐶2 22 3 2 𝑒 𝐶2 22 3 2 217 Dados A1 1 e B3 5 determine C tal que 𝑨𝑪 1 2 𝑨𝑩 Resp C12 226 Calcule a resultante das forças aplicadas ao ponto O da Figura abaixo sabendo que 𝑭𝟏 3 𝑭𝟐 1 𝑒 𝑭𝟑 2 Resp 𝐹𝑅 1 2 32 2 BONS ESTUDOS 60 30 F1 F2 F3 polivirtualengbr Atividade Aprendizagem Produto Escalar Ângulo entre Vetores e Projeção entre Vetores Conceito Operações Vetoriais Produto Escalar Ângulo entre Vetores e Projeção entre vetores SILVA V V REIS G L Geometria Analítica Ed LTC São Paulo 1996 Secções 26 e 27 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analítica Makron Books 3ª ed São Paulo 2005 Capítulo 9 Definição do Produto Escalar Dot Product se 𝑢 𝑎1 𝑎2e 𝑣 𝑏1 𝑏2 são vetores então seu produto ponto denotado por 𝒖 𝒗 é definido por 𝒖 𝒗 𝑎1𝑏1 𝑎2𝑏2 Propriedade Produto Escalar 1 𝒖 𝒗 𝒗 𝒖 2𝑐𝒖 𝑣 𝑐𝑢 𝑣 𝑢 𝑐𝑣 3𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑤 𝑣 𝑤 4𝑢2 𝑢 𝑢 Teorema do Produto Escalar se 𝜃 é o ângulo entre dois vetores não nulos 𝑢 e 𝑣 então 𝑢 𝑣 𝑢𝑣 cos 𝜃 Ângulo entre vetores Se 𝜃 o ângulo entre dois vetores não nulos 𝑢 e 𝑣 então cos𝜃 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Vetores Ortogonais Dois vetores não nulos 𝑢 e 𝑣 são perpendiculares se e somente se 𝑢 𝑣 0 Projeção de um vetor sobre outro A projeção de 𝑢 em 𝑣 é o vetor 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 dado por polivirtualengbr Atividade Aprendizagem Produto Escalar Ângulo entre Vetores e Projeção entre Vetores 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣2 𝑣 Se o vetor 𝑢 é resolvido em 𝑢1 e 𝑢2 onde 𝑢1 é paralelo a 𝑣 e 𝑢2 é ortogonal para 𝑣 então 𝑢1 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 e 𝑢2 𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 Prática Operações Vetoriais Produto Escalar Ângulo entre vetores e Projeção entre vetores 1 Encontre 𝑢 𝑣 e o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 a 𝑢 20 𝑣 11 b 𝑢 5𝑗 𝑣 𝑖 3 𝑗 2 Determinar se os dados vetores são perpendiculares a 𝑢 6 4 𝑣 2 3 b 𝑢 2 6 𝑣 4 2 3 Encontre o componente de 𝑢 sobre 𝑣 𝑢 6 4 𝑣 3 4 4 Calcule 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 𝑢 2 4 𝑣 1 1 5 Prove que Utilize a propriedade 𝒘 2 𝒘 𝒘 a 𝒖 𝒗 𝒖 𝒗 𝒖 2 𝒗 2 c 𝒗 𝒖 𝒖 𝒗 é ortogonal a 𝒗 𝒖 𝒖 𝒗 6 Produto Escalar Projeção a Considere os vetores 𝑢 21 e 𝑣 0 1 Determine 2𝑢 𝑣 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 b Determine o ângulo entre os vetores 𝑢 21 e 𝑣 0 1 c Determine 𝑎 para que o vetor 𝑢 𝑎 1 seja perpendicular ao vetor 𝑣 2 3 d Determine o vetor de projeção de 𝑣 21 na direção do vetor 𝑢 32 e Sabendo que o ângulo entre dois vetores 𝑢 1 1 e 𝑣 1 𝑥 2 é 𝜋 3 determine 𝑥 f Com base nos vetores 𝑢 1 2𝑎 1 𝑣 𝑎 𝑎 1 e 𝑤 𝑎 1 determine o valor de 𝑎 de maneira que 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑤 Livro Texto Geometria Analítica ReisSilva 231 Sejam 𝒖 𝟐 𝟒 e 𝒗 𝟑 𝟓 Determine a o produto escalar de 𝒖 por 𝒗 b o ângulo entre 𝒖 e 𝒗 c 𝑃𝑟𝑜𝑗𝒗 𝒖 Resp a 14 b cos1 7170 170 c 7 17 35 polivirtualengbr Atividade Aprendizagem Produto Escalar Ângulo entre Vetores e Projeção entre Vetores 232 a Dado o vetor 𝒖 𝒙 𝒚 mostre que os vetores 𝒗 𝒚 𝒙 e 𝒘 𝒚 𝒙 são perpendiculares a 𝒖 e que 𝒖 𝒗 𝒘 Resp Mostre que 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤 0 238 Verifique que os pontos A2 7 B2 6 e C5 6 são os vértices de um triângulo retângulo Resp Encontre os vetores formado pelos pontos 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑒 𝐶𝐴 e obtenha os Produtos Escalares entre eles Produto Escalar igual a zero os vetores serão perpendiculares 241 Sejam 𝒖 e 𝒗 vetores unitários e perpendiculares sistema de coordenadas ortonormal 𝒘 𝒂𝟏𝒖 𝒃𝟏𝒗 e 𝒛 𝒂𝟐𝒖 𝒃𝟐𝒗 Calcule a 𝒛 𝑒 𝒘 Utilize a propriedade 𝒘 2 𝒘 𝒘 b 𝒛 𝒘 c o ângulo entre 𝒛 𝑒 𝒘 Livro Texto Geometria Analítica CamargoBoulos 939 Prove que Utilize a propriedade 𝒘 2 𝒘 𝒘 a 𝒖 𝒗 𝒖 𝒗 𝒖 2 𝒗 2 c 𝒗 𝒖 𝒖 𝒗 é ortogonal a 𝒗 𝒖 𝒖 𝒗 914 Adaptado Dados os vetores 𝒂 𝟐𝒊 𝟐𝒋 e 𝒃 𝟑𝒊 𝟔𝒋 na base ortonormal B 𝒊 𝒋obtenha a A projeção ortogonal de 𝑏 sobre 𝑎 e b Determine 𝑝 e 𝑞 tais que 𝑏 𝑝 𝑞 sendo 𝑝 paralelo e 𝑞 ortogonal a 𝑎 c Constate as direções de 𝑝 e 𝑞 em relação 𝑎 BONS ESTUDOS Atividade Aprendizagem Elipse Hipérbole e Parábola polivirtualengbr Conceito Estudo da Elipse Equações parâmetros gráficos e excentricidade SILVA V V REIS G L Geometria Analítica Ed LTC São Paulo 1996 Secção 31 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analítica Makron Books 3ª ed São Paulo 2005 Capítulos 22 A1 e 22 B1 Rever Apresentação vídeos e exercícios vistos em Sala de Aula Prática Estudo da Elipse Equações parâmetros gráficos e excentricidade Livro Texto Geometria Analítica ReisSilva 31 Determine os focos os vértices e esboce as elipses cujas equações são 𝑎 𝑥2 25 𝑦2 9 1 𝑏 𝑥2 9 𝑦2 25 1 𝑐 4𝑥2 9𝑦2 36 𝑑 𝑥2 9𝑦2 1 32 Deduza uma equação da elipse a De focos F0 1 e F0 1 e eixo maior 4 b de focos F1 0 e F10 e eixo maior 42 33 Escreva a equação da elipse que contém o ponto 12 5 12 5 e cujos focos são 𝐹17 0 e 𝐹27 0 Livro Texto Geometria Analítica CamargoBoulos 226 Nos casos que a equação descreve uma elipse de focos em algum eixo coordenado calcule Distância Focal Medida Eixo Maior Medida Eixo Menor 𝑎 4𝑥2 169𝑦2 676 b 𝑥2 2𝑦2 3 8 𝑐 𝑥2 4 𝑦2 2 0 𝑐 3𝑥 5 2 𝑦2 9 𝑑 𝑥2 4𝑦2 1 227 Escreva uma equação reduzida da Elipse nos casos a O centro é O os focos estão em Ox o eixo menor mede 6 e distância focal é 8 b Os focos são 𝐹150 e 𝐹250 e um dos vértices é 130 c O centro é a origem 𝐹10 40 é um foco e o ponto 5 14 3 pertence à Elipse Atividade Aprendizagem Elipse Hipérbole e Parábola polivirtualengbr 2210 A Elipse E tem centro O focos em um dos eixos coordenados e contém os pontos A e B Em cada caso escreva uma equação reduzida de E e determine os focos 𝑎 𝐴 32 𝐵 14 𝑏 𝐴 4 6 𝐵 23 2238 Calcule a Excentricidade das Elipses a E 16𝑥2 25𝑦2 400 b E 2𝑥2 𝑦2 50 0 Exercícios Adicionais 1 Elipse E tem centro O focos em um dos eixos coordenados e contém os pontos A e B Escreva uma equação reduzida de E e determine os focos 𝑨 𝟑 𝟐 𝑩 𝟏 𝟒 Resposta na Página do curso 2 Determina as equações paramétrica e cartesiana da elipse de centro no ponto 1 2 cujo eixo maior é o eixo 𝑦 e vale 10 e o eixo menor vale 8 Faça o esboço da elipse localizando o centro os focos e os vértices 3 Determine as equações paramétricas da elipse de equação cartesiana 4𝑥2 9𝑦2 8𝑥 36𝑦 4 0 Faça o esboço da elipse localizando o centro os focos e os vértices 4 Determine os novos focos e vértices de eixo maior igual a 8 e eixo menor igual a 4 cujo o eixo principal é o eixo 𝑥 e que inicialmente tinha o seu centro na origem mas que o seu centro passou para o ponto 1 2 Faça o esboço da elipse localizando o centro os focos e os vértices 5 Determine a equação cartesiana da elipse a partir das equações paramétricas 𝑥 1 6 cos𝑡 e 𝑦 2 3 sin𝑡 6 Determine quem é o eixo principal e quais os tamanhos do eixo maior e menor da elipse de equação cartesiana 4𝑥2 𝑦2 16𝑥 𝑦 13 0 7 Determine os vértices 𝐴1 e 𝐴2 os focos e a excentricidade da elipse dada por 9𝑥2 5𝑦2 45 0 8 Determine a equação da elipse sabendo que o eixo maior mede 10 e os focos 𝐹 4 0 9 Sobre a curva 9𝑥2 25𝑦2 36𝑥 50𝑦 164 0 assinale a alternativa correta a Seu centro é 2 1 Atividade Aprendizagem Elipse Hipérbole e Parábola polivirtualengbr b A medida do seu eixo maior é 25 c A medida do seu eixo menor é 9 d A distância focal é 4 e Sua excentricidade é 08 Conceito Estudo da Hipérbole Equações parâmetros gráficos e excentricidade SILVA V V REIS G L Geometria Analítica Ed LTC São Paulo 1996 Secção 32 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analítica Makron Books 3ª ed São Paulo 2005 Capítulos 22 A2 e 22 B2 Rever Apresentação vídeos e exercícios vistos em Sala de Aula Livro Texto Geometria Analítica CamargoBoulos 2219 Nos casos que a equação descreve uma hipérbole de focos em algum eixo coordenado calcule Distância Focal Medida Eixo Transverso Medida Eixo Conjugado Equações das Assíntotas 𝑎 9𝑥2 4𝑦2 36 b 9𝑥2 25 𝑦2 9 0 𝑐 5𝑥2 9𝑦2 45 0 𝑑 𝑥2 2𝑦2 1 𝑒 16𝑥2 25𝑦2 400 2221 Escreva uma equação reduzida da Hipérbole nos casos d Os vértices são 𝑉130 e 𝑉230 e os focos 𝐹150 e 𝐹250 e Os vértices são 𝑉1150 e 𝑉2150 e as Assíntotas têm equações 5𝑦 4𝑥 0 e 5𝑦 4𝑥 0 f O ponto 𝑃59 pertence à hipérbole e as Assíntotas têm equações 𝑦 𝑥 e 𝑦 𝑥 g Os focos estão no eixo Ox as Assíntotas têm equações 2𝑦 3𝑥 0 e 2𝑦 3𝑥 0 e o Eixo Conjugado mede 8 2243 Escreva em cada caso uma equação reduzida da Hipérbole a Os focos são 𝐹1130 e 𝐹2130 e a Excentricidade é 13 12 b Os vértices são 𝑉10 4 e 𝑉204 e a Excentricidade 5 c A Excentricidade é 2 e as Assíntotas têm equações 𝑦 𝑥 e 𝑦 𝑥 2244 Calcule a Excentricidade das Hipérboles a H 4𝑥2 𝑦2 16 b H 𝑥2 2𝑦2 8 0 Exercícios Adicionais Determine os parâmetros equação e coordenadas dos focos centro da hipérbole equações das assíntotas de equação cartesiana H 16x2 324y2 224x 1944y 1484 0 𝐻 𝑥2 3𝑦2 8𝑥 12𝑦 13 0 Atividade Aprendizagem Elipse Hipérbole e Parábola polivirtualengbr Conceito Estudo da Parábola Equações parâmetros gráficos e excentricidade SILVA V V REIS G L Geometria Analítica Ed LTC São Paulo 1996 Secção 33 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analítica Makron Books 3ª ed São Paulo 2005 Capítulos 22 A3 e B3 Rever Apresentação vídeos e exercícios vistos em Sala de Aula Livro Texto Geometria Analítica CamargoBoulos 2232 Obtenha em cada caso uma equação reduzida da Parábola de Vértice 00 utilizando as informações dadas a O foco é 𝐹180 b A Diretriz tem equação 𝑦 2 c O Eixo é Ox e o ponto 𝑃510 pertence à Parábola 2233 Obtenha uma equação Reduzida da Parábola de Vértice 00 que contém os pontos 𝑃618 e 𝑄618 Livro Texto Geometria Analítica ReisSilva 322 Deduza uma equação da parábola a de foco F0 1 e diretriz y 1 b de foco F1 0 e vértice 0 0 Exercícios Adicionais 1 Obtenha o parâmetro o foco a diretriz e Equação Paramétrica da Parábola P 2 Determine a equação de uma parábola que está na posição canônica e tem foco 𝐹80 Faça o esboço dessa parábola 3 Determine todas as parábolas em posição canônica que contém o ponto 𝑄34 4 Obtenha os principais elementos foco diretriz eixo e vértice da parábola definida por 4𝑥2 24𝑥 37 𝑦 0 5 Obtenha as equações paramétricas da parábola definida por 2𝑦2 5𝑥 8𝑦 7 0 𝑃 3𝑦2 8𝑥 2𝑦 0 𝑃 3𝑥² 5𝑥 3𝑦 3 0 Arquivo 1 Reis Silva 31 a x225 y29 1 a225 b29 a5 b3 b2 c2 a2 9 c2 25 c4 Vértices V1 50 V2 03 V3 50 V4 03 Focos F1 40 F2 40 b x29 y225 1 b29 a225 b3 a5 C4 Vértices V1 30 V2 05 V3 30 V4 05 Focos F1 04 F2 04 c 4x2 9y2 36 4x236 9y236 1 x29 y24 1 Igual item a Vértices V1 50 V2 03 V3 50 V4 03 Focos F1 40 F2 40 Esboço igual ao item a d x2 9y2 1 x2 y29 1 a21 b219 a1 b13 19 c2 1 C 223 Vértices V1 10 V2 013 V3 10 V4 013 Focos F1 2230 F2 2230 18 32 a F1 01 F2 01 2C dF1 F2 q02 112 2C 2 C 1 2a 4 a 2 4 1 b2 b23 b3 x23 y29 1 b F1 10 F2 10 2C dF1 F2 1 12 0 02 2C 2 C 1 2a 42 a 22 x28 y27 1 33 F1 70 F2 70 P 125 125 2C 7 72 C 7 dPF2 dPF1 2a 2a 125 72 125 02 125 72 125 02 2a 8 a 4 16 7 b2 b 3 x216 y29 1 CamargoBoulbos 226 São elipses os itens a b e segundo item c a 4x2 16q y2676 x2169 y24 1 a13 b2 2a 26 2b 4 1694E2 C 165 b x2 23 y2 8 x28 y212 1 a23 b22 12 8 c2 c2 2a43 2b42 2c4 c 3x52 y2 9 x225 y29 1 a5 b3 259 c2 c4 2a10 2b6 2C8 227 a 2b6 b3 a232 42 a5 x225 y21 b 2C10 2a26 c5 a13 16925b2 b12 x2169 y2144 1 c C40 F1040 F2 040 2a1502 143 402 1502 143 402 2a14 a7 4940 b2 b3 x29 y249 1 19 2210 a A 32 B 14 x2a2 y2b2 1 9a2 4b2 1 1a2 16b2 1 9a2 9b2b24 a2 9b2b24 b29b2 16b2 1 b 702 9a2 4470 1 a 1053 c2 a2 b2 c2 1059 704 C 2106 3x235 2y235 1 F1 0 2106 b A 46 B 23 16a2 36b2 1 16a2 b2 36b2 a2 16b2b2 36 4a2 9b2 1 4a2 b2 9b2 a2 4b2b2 9 16b2 1444b2 36b2 1 Não tem solução elipse não existe 2238 a 16x2 25 y2 400 x225 y216 1 a5 b4 a2 b2 c2 25 16 c2 c3 e ca 35 b 2x2 y2 50 x225 y250 1 a50 52 b5 30 25 c2 c5 e 552 12 22 Exn adicionais 1 Repetido 2 2a10 a5 2b8 b4 x1216 y2225 1 x1 4 cosθ y2 5 senθ 4x2 9y2 8x 36y 4 4x2 8x 4 4 9y2 36y 36 36 4 0 2x 22 3y 62 36 4x 12 9y 22 36 x 12 9 y 22 4 1 9 4 c2 c 15 x 1 6cost y 2 3sint x 1 6cost y 2 3sint x 12 36 y 22 9 1 4x2 16x y2 y 13 0 4x2 16x 16 16 y2 y 14 14 13 0 2x 42 y 122 134 4x 22 y 122 134 1613 x 22 413 y 122 1 Eixo principal paralelo ao eixo x 2a 134 2b 1316 9x2 5y2 45 x25 y29 1 a 3 b sqrt5 a 5 c2 c 2 A103 A203 F102 F202 e 23 9x2 36x 25y2 50y 164 0 9x2 36x 36 36 25y2 50y 25 25 164 0 3x 62 5y 52 225 9x 22 25 y 12 225 x 22 25 y 12 9 1 a 5 b 3 25 9 c2 c 4 e 45 08 a 9x2 4y2 36 x24 y29 1 a 2 b 3 a2 b2 c2 c sqrt13 2a 4 2b 6 2c 2 sqrt13 y29 x24 y 32 x b y29 925 x2 9 y29 x225 1 a 3 b 5 c2 9 25 c sqrt34 2a 6 2b 10 2c 2 sqrt34 y29 x225 y 35 x c 5x2 9y2 45 x29 y25 1 a 3 b sqrt5 c2 95 c sqrt14 2a 6 2b 2 sqrt5 2c 2 sqrt14 y25 x29 y sqrt153 x d não é hipérbole e 16x2 25y2 400 x225 y216 1 a 5 b 4 c2 25 16 c sqrt41 2a 10 2b 8 2c 2 sqrt41 y216 x225 y 45 x d V130 V230 F150 F250 2a 6 a 3 2c 10 c 5 25 9 b2 b 4 x29 y216 1 e y 45 x y2 1625 x2 2a 30 a 15 a2 225 25h 225 h 9 x225h y216h 1 x2225 y2144 1 f y x y2 x2 x2h y2h 1 25h 81n 1 56h 1 h 56 P59 y256 x256 1 g 2y 3x y 32 x y2 94 x2 x24h y29h 1 9x216 y24 1 2b 8 b 4 qh 4 h 49 2243 a F1130 F230 2c 26 c 13 a 12 e ca 1312 144 b2 169 b 5 x2144 y225 1 b V104 V204 2a 8 a 4 e ca sqrt5 C a sqrt5 C 4 sqrt5 b 64 y216 x28 1 c e ca 1 c 2a c2 a2 b2 4a2 a2 b2 3a2 b2 x y y2 x2 x2a2 y2b2 1 x2a2 y23a2 1 Arquivo 2 Prática 1 a u 20 v11 u2²0²2 v1²1²2 uvuvcosθ 22 cosθ2011 22 cosθ2101 cosθ22212 θπ4 rad b u 05 v13 u0²5²5 v1²3²2 25 cosθ0513 10 cosθ 10 35 cosθ 5310 32 θπ6 rad 2 a u64 u6²4²213 v23 v2²3²13 uv6423 12120 Como uv0 são perpendiculares b u26 v42 uv2642 8124 não são perpendiculares 3 u64 v34 uv643418162 v3²4²5 Projv u uvv² v 225 34 625 825 4 u 24 v 11 uv2411 242 v 1²1²2 Projv u uv v² v 22 11 11 23 22441 a 4x² y² 16 x²4 y²16 1 a2 c²416 b4 c25 e 2152 15 b 2y² x² 8 y²4 x²8 0 a2 b22 48c² c²12 c23 e 232 3 Exercícios adicionais 16x² 224x 324y² 1944y 14840 16x² 224x 784 784 324y² 1944y 2916 2916 1484 0 4x 28² 18y 54² 648 324y3² 16x 7² 648 y3²2 2x7²81 1 F1 0 83 F2 0 83 C73 y3²2 281 x7² y3² 481 x7² y 3 29 x7 y 29 x7 3 Parabolas Camargol Gaubo 22321 F 80 Se o foco está em 80 e o vértice em 00 a diretiz di y2 deveria ser x8 22331 y k x² y 12 x² k 36k k 12 Reis Silva 322 a F01 V00 y k x² y x² b F10 V00 x k y² x y² 24 Adicionais 1 3y² 8x 2y 0 8x 3y² 2y x 3y² 2y 8 x 3t² 2t 8 y t 8x 3y² 2y 13 13 8x 33 y 13 ² 13 x 18 3 y 13² 124 x 18 3 y 13² 124 x 38 y 13² 124 4p 38 p 332 h 2 F90 di x 8 x 48 y² x 32y² 3 Q34 y 4p x² y 49 x² p 4p 9 p 19 x 4p y² 3 4p 16 p 364 x 316 y² 4 4x² 24x 37 y 0 4x² 24x 36 36 37 y 0 2x 6² 1 y 0 y 2x 6² 1 y 4x3² 1 Foco F3 10625 Disetrix y09375 Eixo x3 y1 Vértice V31 5 2y² 5x 8y 7 0 5x 7 2y² 8y x 7 2y² 8y5 y t x 15 7 2t² 8t 5 a xvxv x2xv v2xv xx xv vx vv xx vv x2 v2 b x2x vx xv v2 xx x v xv x v xv x2 vv v2 xx x2 vv v2 x2 x2 v2 On 6 a x 21 vv 2101 1 vv v2 0²1²2 1 v 01 xx x2 2²1²2 5 2 xv xx vv 21 5 1 4 b x 5 v 1 51 cosθ 1 cosθ 15 θ cos115 c x a1 v 23 xv 0 a123 2a 3 0 2a 3 a 32 d v 21 vx 21 32 6 2 8 x 32 x 3² 2² 13 Projxv 813 32 24131613 e x 11 x 1² 1² 2 xv 1 x 2 x 3 v 1x2 v 1² x2² x 3 2 1 x2² cosπ3 x 3 221 x 2² x 3² 12 1 x² 4x 4 x² 5173 f x 12a1 xv 12a 1 aa1 a 2a1a1 v aa1 xv 2a² 2a 1 w a1 x v 1a2a1 a 1 1aa2 xvw 1aa2 a1 a a² a 2 a² 2 2a² 2a 1 a² 2 3a² 2a 3 0 a 1 103 or a 1 103 Reis Silva 231 x 24 v 35 a xv 2435 6 20 14 b x 2² 4² 25 v 3² 5² 34 14 25 34 cosθ cosθ 14 2170 θ cos17 170 c Projxv 1434 35 2134 3534 232 x xy v yx w yx xv xy yx xy xy 0 xw xyyx xy xy 0 238 A27 B26 C56 AB b a 26 27 013 BC C B 56 26 30 CA A C 27 56 313 AB BC 01330 0 0 0 241 w a1b1 z a2b2 a w a1² b1² z a2² b2² b zw a1 a2 b1 b2 c cosθ a1 a2 b1 b2 a1²b1² a2² b2² θ cos1a1 a2 b1 b2 a1² b1²a2² b2² 939 Repetido 914 a 22 b 36 a a 2² 2² 22 b 3² 6² 35 ab 2236 18 Projba 188 22 92 92 b b p q q xy qa 0 xy 22 0 2x 2y 0 2x 2y x y pa p λa p λ22 q xx p q 2λ 2λ xx x 2λ x 2λ 36 x 2λ x 2λ x 2λ 3 x 2λ 6 2x 3 x 32 32 2λ 3 2λ 92 λ 94 q 32 32 p 92 92 c pa 92 92 22 9 9 18 a 22 a2 8 Projp 188 22 92 92 qa 32 32 22 3 3 0 Projq 08 22 00 Arquivo 5 a 4 π4 22 22₁ y 4 senπ4 x 4 cosπ4 x 22 y 22 b 4 5π4 22 22₁₁ x 4 cos5π4 y 4 sen5π4 x 22 y 22 2 p21 r 2² 1² 5 2 5 cosθ θ cos¹25₁₁ p21 5 cos¹25₁₁ 3 p21 2 cos1 2 sen1₁₁ x 2 cos1 y 2 sen1 4 a r 2 x² y² 2 x² y² 4₁₁ b r cosθ 1 x 1₁₁ c r 5 cosθ x² y² 5 xx² y² x² y² 5 y x² 5 x 254 254 y² 0 x 52² y² 254 d r 6 3 cosθ 2 senθ x² y² 6 3xx² y² 2 yx² y² x² y² 6x² y² 3 x 2 y 3 x 2 y 6₁₁ 5 a y 2 r senθ 2₁₁ b y x r senθ r cosθ tgθ 1₁₁ c y 1 3 x r senθ 1 3 r cosθ r senθ 3 r cosθ 1 r 1 senθ 3 cosθ₁₁ d x² y² 6 y 0 r² 6 r senθ 0 r² 6 r senθ r 6 senθ₁₁ 6 3 x 7 y 2 0 P62 Q80 Cxr yr R² x r 6² y r 2² R² x r 8² y r² x r 6² y r 2² x r 8² y r² x r² 12 x r 36 y r² 4 y r 4 x r² 16 x r 64 y r² 4 x r 4 y r 24 x r 6 y r 36 y r 7 y r 2 0 18 3 y r 7 y r 2 0 10 y r 20 0 y r 2 R² 4 8² 2² R 20 25 μC₁₁ x r 6 2 x r 4 C 4 2₁₁ x 4² y 2² 20 x 4 25 cosθ y 2 25 senθ₁₁ 7 U111 P12 E23 Cxr yr R² x r 1² y r 1² R² x r 1² y r 2² x r 1² y r 1² x r 1² y r 2² y r² 2 y r 1 y r² 4 y r 4 6 y r 3 y r 12 x r 1² 12 2² x r 2² 12 3² x r² 2 x r 134 x r² 4 x r 654 2 x r 13 x r 132 x 132 1302 cosθ y 12 1302 senθ₁₁ R² 132 1² 12 1² R 130 2 8 a x² y² 11 x 11 cosθ y 11 senθ₁₁ b x² y² x 3 y 2 0 x² x 14 14 y² 3 y 94 94 2 0 x 12² 14 y 32² 94 2 0 x 12² y 32² 92 x 12 372 cosθ y 32 372 senθ₁₁ c x² y² 6 y 0 x² y² 6 y 9 9 0 x² y 3² 9 x 3 cosθ y 3 3 senθ₁₁ d x² 2 x y² 6 y 1 0 x² 2 x 1 1 y² 2 y 1 1 1 0 x 1² y 1² 1 x 1 cosθ y 1 senθ₁₁ 9 3 x 4 y 20 0 C00 R d Pr 30 40 20 3² 4² 4 x² y² 16₁₁ 10 x² 5 x y² 7 y 1 0 4 x 3 y 0 3 y 4 x y 43 x x² 5 x 254 254 y² 7 y 494 494 1 0 x 52² y 72² 392 x 52² 43 x 72² 392 x 523 or x 007 Reta é secante à circunferência 11 x² 2 x y² 6 y 8 0 ax b y c 0 x² 2 x 1 1 y² 6 y 9 9 8 0 b y a x c x 1² y 3² 18 y a x c b Derivando implicitamente 2x 1 2y 3 y 0 y 1 x y 3 y P 1 2 0 3 1 Eq de reta tangente y 0 1x 2 y 2 x x y 2 0 a 1 b 1 c 2 a b c 4₁₁ 12 C12 R5 x12 y22 25 x1 5 cosθ y2 5 senθ 13 x2 14x 4 y2 6y 12 0 x2 14x 4 4 y2 6y 9 9 12 0 x22 y32 1 C23 R1 14 x12 y2 9 y 2x1 x12 2x12 9 x2 2x 1 4x2 4x 1 9 5x2 2x 7 0 Δ 4 457 144 x 2 1210 x 1 ou x 75 Reta secante a circunferência 15 x 722 y 322 452 y 2x1 x 722 2x 122 452 x2 7x 494 4x2 2x 14 452 5x2 5x 10 0 Δ 25 4510 225 x 5 1510 x 1 ou x 2 Reta secante a circunferência 16 x12 y2 1 x2 y2 4 y2 1 x12 y2 4 x2 1 x12 4 x2 1 x2 2x 1 4 x2 2x 4 x 2 As circunferências são tangentes 17 x2 y2 4 22 P20 y2 0 y 0 Arquivo 4 ReisSilva 1 a P11 v 23 x 1 2λ y 1 3λ λ x 12 y 13 λ x 12 y 13 3x 3 2y 2 3x 2y 5 Camargo Boulet 2 B52 C47 D31 D 5 2 1 35 6 4 5 8 21 63 4 7 1 3 1 1 D não pertence à reta BC BC 45 72 9 5 x 5 9λ y 2 5λ xy 52 2 9 5 x 5 9 2 y 5 5x 25 18 9y 5x 9y 7 y 19 5x 7 3 r x 4λ y 1 8λ λ x4 λ y 18 y 18 x4 4y 4 8x 4y 4 8x y 1 2x S x 1 y 4 y x 3 1 2x x 3 3x 2 x 23 São concorrentes y 23 3 y 73 7 r xy 52 2 λ12 x 52 12 λ y 2 λ λ 2x 5 λ y 2 2x 5 y 2 y 2x 7 tgθ1 2 θ1 tg12 8 d 3x 2y 16 0 2y 16 3x y 32 x 8 tgθ2 32 θ2 tg132 menor ângulo entre as retas θ3 θ2 θ1 tg12 tg132 θ3 01244 rad cosθ3 09923 5 r x 4 λ y 0 λ λ x 4 λ 1 y x 4 1 y y 5 x 4y 20 4x d x 9 4λ y 2 λ λ 9 x4 λ y 2 9 x 4y 8 4y 17 x 20 4x 17 x 3x 3 x 1 y 5 1 y 4 6 x 3 2t y 7 5t a A37 B52 AB 2 5 x 3 2t y 2 5t b A 3 3 2t t 0 B 5 3 2 t 1 13 x 2y 2 retao parcela x 2y k d r n 2 k 1 sqrt12 22 5 2k1 5 sqrt5 k 2 5 sqrt5 ou k 2 5 sqrt5 herefore x 2y 2 5 sqrt5 ou x 2y 2 5 sqrt5 14 A 18 B 51 x y1 8x 5y 1 x y 40 0 1 1 5 1 1 9x 4 y 41 15 a P 13 r 3x y 5 0 d 3 1 1 3 5 sqrt32 1 2 sqrt102 mu C11 b P 0 2 r 4x 3 y 11 0 d 140 3 2 111 sqrt42 32 175 mu 01 16 x 2 t 1 y 4t 1 t x 1 2 t y1 4 x12 y14 4x4 2y 2 2y 4x 6 y 2x 3 17 xy 315 k 1 2 k 3 x k y 5 2 3 x y 5 2 6 2x y 5 y 2x 11 m1 2 ma 1 2 herefore y 12 x m1 43 y 43 x n1 1 43 7 n1 n 253 herefore y 43 x 253 18 r x 9 4lambda y 8 3 lambda lambda x 94 lambda 483 3x 27 4y 32 4y 3x 59 y 143x 59 mo 34 Digitalizado com CamScanner 2 P 43 Q 4 234 67 UE 24 y é 7 3 4 6 x 1 P 12 Q 41 Pa Q P 4 1 1 2 3 1 PQ 3cyo 3 114 3 vecv 4r 3 2 4 a vecu 27 2T 31 2 vecu 3 veco 414 left9 3right 5 11 3 vecu 4 veco 621 12 4 6 17 3 vecu 20 veci 32 2 vecu 3vecv 40 9 6 5 6 3 vecu 4 vecv 60 12 8 6 8 vecu 21 vecv 32 vecu sqrt2212 sqrt5 veci sqrt32 22 sqrt13 2 vecu 42 frac12 veci leftfrac32 1 right frac12 vecv sqrtleftfrac32right212 frac12 sqrt13 vecu vecv 5 1 vecu vecv sqrt52 12 sqrt26 vecu vecv 13 vecu vecv sqrt12 32 sqrt10 vecu vecv sqrt5 sqrt13 1 7 vecu 1 1 A 32 vecv 11 B 43 left 6 𝑢0 101 𝑣0 97 𝜔0 2𝑢0 3𝑣0 202 2721 𝜔0 7 19 𝜔0 72 192 410 𝜔 𝜔0 𝜔0 7410 19410 7 𝑣0 40 θ 30 𝑣0 40cos30 40sen30 4032 4012 203 20 8 𝑣0 1 3 𝑣0 12 32 2 y 𝑣0senθ 3 2senθ senθ 32 θ π3 rad 60 9 𝐹10 3 1 𝐹20 1 2 𝐹30 2 1 𝐹40 0 4 𝑃0 Σi14 𝐹i0 3 1 1 2 2 1 0 4 2 4 Para o equilíbrio será necessário uma força 𝐹50 2 4 10 𝐴 𝐴𝐵0 𝐶𝑥 𝐶 𝐶𝐵0 𝐴 β 𝐴 x C C β C β x C β x Ch 13 A 21 B 11 C 02 𝔻 2 1 1 1 1 1 0 2 1 2 2 4 1 1 Como 𝔻 0 os pontos não estão alinhados 14 A 21 B 11 C 02 𝐴𝐵0 B A 1 0 𝐵𝐴0 𝐴𝐵0 1 0 𝐴𝐵0 2𝐵𝐶0 1 0 2 1 1 3 2 𝐶𝐴0 𝐶𝐵0 2 1 1 1 1 0 Carmago Baular 410 Repetido 18 𝐴 𝑤0 𝑣0 𝐴 𝐴 𝐴 𝑤0 𝑣0 𝐴 𝐴 𝟎0 𝑤0 𝑣0 𝟎0 𝑤0 𝑣0 𝟎0 𝑤0 𝟎0 𝑣0 𝑤0 𝑣0 vetores opostos Reis Silva 241 A x 1 𝐴𝐵0 4 x x 2 B 4 x 3 𝐶𝐷0 x 4 C x x 2 D 2x x 6 211 3𝑤0 3𝑤0 2 𝑣0 2 𝑤0 𝟎0 5 𝑤0 3 𝑤0 2 𝑣0 𝟎0 5 𝑤0 2 𝑣0 3 𝑢0 𝑤0 15 2 𝑣0 3 𝑢0 𝑤0 15 2 6 6 3 𝑣0 15 4 9 𝑢0 2 1 𝑣0 1 3 3 𝑢0 6 3 2 𝑣0 2 6 216 A 2 7 B 5 4 𝐴𝐵0 3 1 𝐴𝐵0 32 12 10 𝐴𝐶0 C A x y 2 3 x2 y3 𝐴𝐶0 x22 y32 10 x22 y32 10 𝐴𝐶0 λ 2 1 x y λ 2 1 x 2λ y λ 2λ22 λ32 10 4λ2 8λ 4 λ2 6λ 9 10 5λ2 14λ 13 10 5λ2 14λ 3 0 Δ 136 λ 14 234 10 λ 7 345 ou λ 7 345 C 14λ 345 7 345 ou C 14 27345 7 345 217 A1 1 B 3 5 𝐴𝐶0 12 𝐴𝐵0 C A 12 B A C 12 B 12 A C 12 A B 12 1 3 1 5 C 1 2 226 𝐹10 3 cos60 3 sen60 32 332 𝐹20 0 1 𝐹30 2 cos30 2 sen30 3 1 𝐹ℝ0 32 332 0 1 3 1 3 232 332