Prova de Geometria Analítica - Ciclo Básico MATM0007 - 2024-1

Geometria Analítica Ciclo Básico MATM0007 Professores Thais Akemi Tokubo Sanomiya Itacira Ataide Silva Lindberg Tertuliano Barbosa Maida Bárbara Reyes Rodriguez Nome GABARITO CPF Turma Segundo Exercício Escolar 20241 Orientações ATENÇÃO Atividade de caráter INDIVIDUAL Leia atentamente todas as questões antes de começar a prova Os cálculos necessários devem ser realizados na folha de resposta Não é permitido o uso de calculadora Em todas as folhas das respostas insira seu nome no início da página Não permitido uso celulares por favor desligue os aparelhos TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER ACOMPANHADAS DOS CÁLCULOS Serão considerados na resolução das questões a dissertação e desenvolvimento dos cálculos Questão 01 Sejam duas retas concorrentes 𝑟 e 𝑠 de equações 𝑟 𝑥 2 𝑦 1 2 𝑧 3 𝑒 𝑠 𝑥 𝑡 𝑦 1 𝑡 𝑧 4 2𝑡 a 125 ponto Encontre o ponto de interseção das retas 𝑟 e 𝑠 b 125 ponto Estabeleça as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção de 𝑟 e 𝑠 e é ao mesmo tempo ortogonal a 𝑟 e 𝑠 Questão 02 25 pontos Determine a equação geral do plano que contém o ponto 𝐴3 12 e a reta 𝑟 de equação 𝑟 𝑥 𝑡 𝑦 2 𝑡 𝑧 3 2𝑡 Questão 03 Determine a equação geral do plano nos seguintes casos a 125 ponto O plano passa pelo ponto 𝐴60 2 e é paralelo aos vetores 𝑖 e 2𝑗 3𝑘 b 125 ponto O plano contém os pontos 𝐴1 22 e 𝐵31 2 e é perpendicular ao plano 𝜋 2𝑥 𝑦 𝑧 8 0 Questão 04 Considere a quádrica de equação 𝑄 36𝑥2 9𝑦2 4𝑧2 36 a 20 pontos Determine as cônicas encontradas para as curvas de nível 𝑥 0 𝑥 1 𝑥 2 𝑦 0 e 𝑧 0 b 05 ponto Identifique a quádrica e esboce as curvas de níveis e a quádrica Geometria Analítica Ciclo Básico MATM0007 Professores Thais Akemi Tokubo Sanomiya Itacira Ataide Silva Lindberg Tertuliano Barbosa Maida Bárbara Reyes Rodriguez Nome GABARITO CPF Turma Segundo Exercício Escolar 20241 Questão 01 Sejam as retas 𝑟 e 𝑠 ambas na forma paramétrica 𝑟 𝑥 2 𝜆 𝑦 1 2𝜆 𝑧 3𝜆 𝑒 𝑠 𝑥 𝑡 𝑦 1 𝑡 𝑧 4 2𝑡 a Para encontrar o ponto de interseção das duas retas precisamos resolver o seguinte sistema de equações 2 𝜆 𝑡 1 2𝜆 1 𝑡 3𝜆 4 2𝑡 Resolvendo o sistema acima encontramos os seguintes valores para os parâmetros 𝜆 0 e 𝑡 2 Portanto o ponto de interseção das retas será 𝑃2 10 b Uma vez que a reta 𝑙 que desejamos encontrar é simultaneamente ortogonal às retas 𝑟 e 𝑠 o vetor diretor será 𝑣 𝑢1 𝑢2 onde 𝑣 𝑢1 𝑢2 são os vetores diretores das retas 𝑙 𝑟 e 𝑠 respectivamente 𝑣 𝑢1 𝑢2 𝑖 𝑗 𝑘 1 2 3 1 1 2 𝑖 5𝑗 3𝑘 Portanto a equação paramétrica da reta 𝑙 será 𝑙 𝑥 2 𝑡 𝑦 1 5𝑡 𝑧 3𝑡 Questão 02 Vamos considerar o ponto 𝐵023 pertencente à reta 𝑟 Utilizando os pontos A e B podemos obter o seguinte vetor pertencente ao plano 𝐴𝐵 3 3 1 Um vetor normal ao plano pode ser obtido através do produto vetorial de 𝐴𝐵 com o vetor diretor 𝑢 1 12 da reta 𝑟 𝑛 𝐴𝐵 𝑢 𝑖 𝑗 𝑘 3 3 1 1 1 2 7𝑖 7𝑗 Geometria Analítica Ciclo Básico MATM0007 Professores Thais Akemi Tokubo Sanomiya Itacira Ataide Silva Lindberg Tertuliano Barbosa Maida Bárbara Reyes Rodriguez Nome GABARITO CPF Turma Segundo Exercício Escolar 20241 Utilizando o ponto A ou B podemos obter a seguinte equação geral do plano 𝑥 𝑦 2 0 Questão 03 a Se o plano é paralelo aos vetores 𝑖 e 2𝑗 3𝑘 então o vetor normal ao plano será dado pelo produto vetorial 𝑛 𝑖 𝑗 𝑘 1 0 0 0 2 3 0𝑖 3𝑗 2𝑘 Seja o ponto 𝐴60 2 a equação geral do plano será 3𝑦 2𝑧 4 0 b Seja o vetor formado pelos pontos 𝐴1 22 e 𝐵31 2 𝐴𝐵 43 4 e seja 𝑛1 21 1 o vetor normal ao plano 𝜋 O vetor normal ao plano procurado será portanto 𝑛 𝐴𝐵 𝑛1 𝑖 𝑗 𝑘 4 3 4 2 1 1 𝑖 12𝑗 10𝑘 Utilizando o ponto 𝐴 ou 𝐵 encontramos a seguinte equação geral do plano 𝑥 12𝑦 10𝑧 5 0 Questão 04 Seja a quádrica de equação 𝑄 36𝑥2 9𝑦2 4𝑧2 36 Reescrevendo na forma canônica 𝑥2 𝑦2 4 𝑧2 9 1 a Para 𝑥 0 temos 𝑦2 4 𝑧2 9 1 conjunto vazio Para 𝑥 1 temos 1 9𝑦2 4𝑧2 1 𝑦2 𝑧2 0 um único ponto 100 Para 𝑥 2 temos 4 𝑦2 4 𝑧2 9 1 𝑦2 12 𝑧2 27 1 elipse no plano 0yz com eixo maior em 0z Para 𝑦 0 temos 𝑥2 𝑧2 9 1 hipérbole no plano 0xz com eixo real sobre 0x e vértices 100 e 100 Para 𝑧 0 temos 𝑥2 𝑦2 9 1 hipérbole no plano 0xy com eixo real sobre 0x e vértices 100 e 100 Geometria Analítica Ciclo Básico MATM0007 Professores Thais Akemi Tokubo Sanomiya Itacira Ataide Silva Lindberg Tertuliano Barbosa Maida Bárbara Reyes Rodriguez Nome GABARITO CPF Turma Segundo Exercício Escolar 20241 b Hiperbolóide de duas folhas