Exercícios Resolvidos - Complementos de Matemática - Séries de Potências e Fórmula de Cauchy

Universidade de Pernambuco UPE Escola Politécnica de Pernambuco POLI Ciclo Básico Complementos de Matemática Profa Itacira Ataide Silva Exercício complementar Unidade I 20221 ORIENTAÇÕES Atividade de caráter individual As respostas devem ser postadas pelo AVA até as 23h59 do dia 1609 sexta feira Todas as respostas devem ser justificadas 1 Calcule a expansão em série de potências da função fz em cada um dos domínios abaixo fz 1z2zi az 1 b 1 z c z i 1 2 Utilizando os resultados e considerando a função fz da questão 1 calcule o que se pede a Resfz 0 b Resfz i c c fz dz onde C é a circunferência de centro na origem e raio 12 d c fz dz onde C é a circunferência de centro na origem e raio 3 3 Calcule novamente as integrais dos itens c e d da questão 2 utilizando a fórmula integral de Cauchy Análise Complexa 1 fz 1z2z i a z1 z 01 Temos fz iz2 11 iz e como izizz1 então fz iz2 m0 izm m0 im1 zm2 é a série de Laurent de f pois nesse caso f não é holomorfa em z0 logo não é série de Taylor e sim série de Laurent b 1 z z1 1 Temos fz 1z3 11iz2 além disso como z21z1z11 temos fz 1z3 m0 iz1m m0 im zm3 é a série de Laurent de f c z i 1 Temos fz 1z2 1zi 1zi m0 im m1 zim m0 im m1zim1 2 a Resfz 0 1 pois fz m0 im12 zm2 1z2 1z b Resfz i 1 pois fz m0 im m1zim1 1z ③ c Seja gz 1 z i Pela fórmula integral de Cauchy temos g0 1 2πi c gz z2 dz a Pelo Teorema dos Resíduos c fz dz 2πi Res fz 0 2πi d Pelo Teorema dos Resíduos c fz dz 2πi Res fz 0 Res fz i 2πi 1 0 2πi 1 2πi c fz dz c fz dz 2πi g0 2πi 1 2πi pois gz 1 z i2 g0 1 i2 1 al Seja gz 1z2 Pela Fórmula Integral de Cauchy temos gi 12πi c gzzi dz 12πi c fz dz c fz dz 2πi gi 2πi pois gi 1i2 1