Lista de Exercícios Resolvidos - Complementos de Matemática - Funções Complexas e Teorema de Cauchy

Complementos de Matemática Atividade extra Unidade 1 As respostas devem ser postadas pelo Ava até as 23h50 do dia 1202 Pontuação máxima 2 pontos Questão 1 Prove que o limite limz0 Rez Imz não existe Questão 2 Mostre que a função complexa definida por fzz2z quando z0 e por fz0 quando z0 satisfaz as equações de CauchyRiemann para z0 mas não é diferenciável em z0 Questão 3 Mostre que a função complexa definida por fz x3 3xy2x2 y2 y3 3x2 yx2 y2 i quando z0 e por fz 0 quando z0 satisfaz as equações de CauchyRiemann para z0 mas não é diferenciável em z0 Questão 4 Mostre que a função fz x3 3xy2 iy3 3x2 y é diferenciável nos eixos x e y e não é analítica em nenhum ponto Questão 5 Utiliza o teorema de Cauchy Goursat para calcular a integral C fzdz onde a fz y x 3x2 i e C é o triângulo com vértices nos pontos 0 1 i e i b fz z3z2 2z 2 e C é a circunferência unitária z 1 Questão 6 Utilizando a fórmula integral de Cauchy calcule as integrais abaixo a C fz dz onde fz1z2zi e C é a circunferência de centro na origem e raio 12 b C fz dz onde fz1z2zi e C é a circunferência de centro na origem e raio 3 c C ez2zi3 dz onde C zi1 d C z2z2z1i dz onde C z1 e C z2z2z1i dz onde C z1 i1 f C z2z2 4 dz onde C zi2 g C z2z2 4 dz onde C z 2i1 h C 1z3z4 dz onde C z21 i C 1z3z4 dz onde C z1 Questão 7 Em cada caso esboce o conjunto de pontos determinados pela condição dada a z1i1 b zi3 c z4i4 d 1 z3i5 e 0Argzπ f Rez2 1 g Rez20 Questão 8 Determine as partes real e imaginária u e v da função complexa fz e2zi z2 1z em termos de x e y Questão 9 Determine as partes real e imaginária u e v da função complexa fz z z4 em termos de r e θ Questão 10 Determine o domínio e a imagem da função fz z zz z Questão 11 Determine uma função complexa linear que o retângulo com vértices 1 i 1 i 1 2i e 1 2i no retângulo de vértices 8 4i 4 4i 8 4i e 4 4i Questão 12 Determine a imagem do retângulo com vértices 1 i 1 i 1 2i e 1 2i sob a transformação linear fz 3 iz 1 3 3 i Questao 13 Determine a imagem do conjunto S definido por z 3 π2 argz 3π4 sob a funcao raiz quadrada principal Questao 14 Determine a imagem do conjunto S definido por z 3 π2 argz 3π4 sob a funcao fz z3 3 ANÁLISE COMPLEXA Soluções Solução 1 A definição de limz0 fz K significa que para qualquer ε 0 você pode encontrar um δ 0 tal que para todo z tal que za δ deverá seguir que fzK ε Agora a negação de isto é Para qualquer δ 0 sempre haverá z0 onde z0 a δ mas fz0 K ε para algum ε 0 Portanto ir a zero usando a linha de identidade significa Se δ 0 sempre seremos capazes de encontrar algum let z0 a ai onde 0 a δ2 Neste caso z0 0 z0 2 a2 2 a 2 δ2 δ Para este z0 temos Rez0 Imz0 aa 1 então se limz0 RzImz K 1 podemos definir ε 1K 0 e mesmo assim z0 0 δ temos Rez0 Imz0 K 1K ε ε Isso é uma contradição então SE limz0 RzImz existe deve ser que limz0 RezImz 1 Mas ir a zero usando a linha imaginária significa Se δ 0 podemos sempre encontrar a z1 0 ai onde 0 a δ Assim temos z10 ai a δ Mas Rez1Imz1 0a 0 Então Rez1Imz1 0 0 0 então se limz0 Rz Imz K 0 podemos definir ε K 0 e mesmo assim z0 0 δ temos Rez0 Imz0 K 0K K ε ε Isso é uma contradição então SE limz0 RzImz existe deve ser que limz0 RezImz 0 Portanto temos que SE limz0 RezImz existe então deve ser igual a 1 e 0 Isto é impossível Então limz0 RezImz não pode existir Solução 2 A função f é contínua em 0 porque fz z para todo z e portanto fz0 f0 como z0 Não é diferenciável no sentido complexo em 0 porque fz f0z0 zz² não tem limite como z0 z 0 Isto é igual a 1 para z reais e 1 para z do fore εeiπ4 ε 0 Por outro lado f satisfaz a equação de CauchyRiemann em 0 De fato usando as coordenadas xy temos f0y fiy iy²iy 1i y iy para qualquer y R 0 então f0yf00y i e portanto fy00 existe e é igual a i Da mesma forma fx00 existe e é igual a 1 Portanto temos fy00 i fx00 Solução 3 Essa questão é uma consequência direta do resultado da questão 4 pois a nossa função é fzz e se fz não é diferenciável então fzz também não é Solução 4 Seja f C C tal que fx iy x3 3xy2 iy3 3x2 y Temos ux 3x2 3y2 uy 6xy vx 6xy vy 3y2 3x2 As soluções das equações de CauchyRiemann são os números x yi tais que x 0 ou y 0 Portanto f é diferenciável ao longo dos eixos real e imaginário e em nenhum outro lugar Solução 5 Vamos resolver a Considere a função fz y x 3x2i Pelo Teorema de CauchyGoursat o valor da integral é zero dentro do triângulo C b Considere a função fz zz3z2 2z 2 Pelo Teorema de CauchyGoursat o valor da integral é zero dentro do triângulo C Solução 6 Vamos resolver a Pela Fórmula Integral de Cauchy temos C fzdz 2πi b Pela Fórmula Integral de Cauchy temos C fzdz 2πi 2πi 0 c Pela Fórmula Integral de Cauchy temos C fzdz 2πie d Pela Fórmula Integral de Cauchy temos C fzdz πi 3π e Pela Fórmula Integral de Cauchy temos C fzdz πi 3π f Pela Fórmula Integral de Cauchy temos C fzdz 2π g Pela Fórmula Integral de Cauchy temos C fzdz 2π h Pela Fórmula Integral de Cauchy temos C fzdz πi32 i Pela Fórmula Integral de Cauchy temos C fzdz 0 Solução 7 Vamos resolver a Temos z 1 i 1 x 12 y 12 1 Logo se trata da circunferência de raio 1 centrada no número complexo z0 1 i b Temos z i 3 x2 y 12 9 Logo se trata de um disco de raio 3 centrado no número complexo z0 i 5 Graph of a circle on Cartesian plane 9 Graph of two intersecting lines on Cartesian plane Solução 8 Temos fz e2zi z2 1z e2x2y1i x2 y2 2xyi xx2 y2 yx2 y2 i Logo a parte real é Refz e2x cos2y 1 x2 y2 xx2 y2 e a parte imaginária é Imfz e2x sin2y 1 2xy yx2 y2 Solução 9 Temos fz z z4 rreiθ4 rr4 e4θi r5 e4θi Solução 10 Temos fz z zz z 2x2yi xy i c Temos z 4i 4 x2 y 42 16 Logo se trata da regiao externa ao disco de raio 4 centrado no numero complexo z0 4i d Temos 1 z 3 i 5 1 x 32 y 12 25 Logo se trata da regiao externa ao disco aberto de raio 1 centrado no numero complexo z0 3 i e interna ao disco aberto de raio 5 centrado no mesmo numero complexo 4 e Temos 0 Arg z π Como o argumento e calculado no sentido antihorario de crescimento entao isso corresponde ao semiplano superior Imz 0 5 f Temos Rez2 1 Rex2 y2 2xyi 1 x2 y2 1 Logo isso corresponde a uma hiperbole centrada na origem ambos eixo maior e eixo menor iguais a 1 g Temos Rez2 0 x2 y2 0 y x ou y x Logo se trata da uniao das duas retas bissetrizes dos quadrantes 6 Logo o domínio é a união dos semiplanos Imz 0 e Imz 0 A imagem é o eixo imaginário Rez 0 Solução 11 Temos fxy uxy ivxy tal que u e v são funcionais lineares e u11 8 u11 4 u12 8 u12 4 v11 4 v11 4 v12 4 v12 4 Solução 12 Temos Calculando f1i 23 1 23i f1i 1 23i f12i 1 1 33i f12i 1 23 1 33i Solução 13 Vamos esboçar o conjunto Se trata da região interseção entre a região azul a região rosa e a região verde da seguinte figura Os pontos dessa região são da forma z reiθ com 0 r 3 e π4 θ π2 Vamos mapear a fronteira dessa região se z 3eiθ entao as raızes quadradas principais sao z0 3ei θ 2 e z1 3ei 2πθ 2 se z re π 4 i ou z re π 2 i entao temos 4 raızes Solucao 14 A regiao e a mesma da anterior Os pontos dessa regiao sao da forma z reiθ com 0 r 3 e π 4 θ π 4 9