Lista de Exercícios de Matemática - APae Complementos

APae Complementos de Matematica Lista de exerccicios 1 Questao 1 Em cada caso escreva a funcdo no formato fz ux y ivx y a fz24z41 2 b fz Z z 0 1 Questao 2 Escreva a funcao fz z z z 0 no formato fz ur 0 ivr 0 Questao 3 Determine a imagem do triangulo com vértices 01ie1isob a transformacao w 2 Questao 4 Esboce a regido na qual é levado o setorr 1 0 0 74 pela aplicagado a w2 b w23 c wzt d wz3i e W 3iz Questao 5 Prove que a limz Re z Re Zo b limzz Z Zo 2 c limz49 0 Zz Questao 6 Use a definigaéo para demostrar que d 2z se w2 Questao 7 Calcule fz 1 1274 a fz curr z 0 b fz 1 z2z 1 Questao 8 Mostre que a funcdo abaixo nao é derivavel em nenhum ponto a fz Z b fz 2x ixy c fz zZ d fiz ee Questao 9 Mostre que fz e sua derivada fz existem em toda parte e encontre fz a fz iz2 b fz 2 c fz ee d fz cosx coshy i senx senhy Questao 10 Determine onde existe fz e encontre o seu valor a fz 1z b fz x iy c fz zImz Questao 11 Mostre que a funcao fz 1z é derivavel para z 0 e calcule f Questao 12 Verifique que a funcdo fz 3x y i3y x é inteira Questado 13 Mostre que a fungdo dada nao é analitica em nenhum ponto a fzxytiy b fz eve c fz 2xy ix y 2 Questao 14 Em cada caso determine os pontos singulares da fungdo e justifique por que a fungao é analitica em todos os demais pontos 2z1 a f 2zz2 1 Bi b f 22 3z2 2 cf Claas ed Questao 15 Determine a imagem do conjunto dado sob a transformacao raiz quadrada principal w z Represente graficamente a raio argz 273 b parabola x 94 y9 c eixo real negativo Questao 16 Verifique que a funcdo dada u é harmGénica em um dominio apropriado D Determine sua conjugada harmGnica v e uma funcao analitica fz u iv que satisfaca a condicdo indicada a uxy xyx2y5 f2i145i b uxy 4xy 4ytx fli544i v1 wa wa file j f2 fo Questao 17 Utilize a definicdo alternativa fzo lim para Zo 1 calcular fz para a fungao fz xe iv2z Questao 18 Determine os pontos em que a funcao fz 35127 TPE analitica Questado 19 Mostre que u FF é harmGénica em todo o plano e deter mine sua conjugada v Questao 20 Mostre que a integral Z dz 0 c 227 11z15 3 onde o caminho C é 0 circulo unitario z 1 com qualquer orientacao Questao 21 Calcule as integrais abaixo 2 Zz 3z4 21 3 a dz Cz5 i 223z4 2 1 b dz Cz25 heap C2 Questdo 22 Mostre que u x5xy éharmGnica em todo o plano Determine sua conjuntgada v e expresse f u iv em termos dez x iy Questado 23 Mostre que a integral 2 Zz zdz0 cZzt3 onde o caminho C é 0 circulo unitario z 1 com qualquer orientacao Questao 24 Calcule as integrais abaixo a f Nz54 lz 1 YC 4422 7 1 3 b dz Ci zi Ic zz2 1 2 dz as c f onde C é a metade superior da circunferéncia centrada na 1tQ2 7 origem de raio 1 e C2 é o segmento de reta que comeca no ponto 1 e termina no ponto 1 i d Soac yx3x7i onde C 0 seguimento de reta de 0 aie Cp 60 segmento de retadeial i 2 z 4i e dz z1 fc Z3 HI f f coszdz onde C é um contorno qualquer com ponto inicial 0 e ponto terminal 2 i z1 dz z1 6 k z4 2izs Hl 2 iz 2iz 3iz 3 he Iz 2 k z4 iz ad 2 3 ta i f He 2 onde C é 0 quadrado de vértices 1 11 i1ie1i 4 e senz j lr Iz13 k dz ip 215 YC 73z 12 1 Lf 2 I2 2 Ic z 413z 1 HI 243 m f dz onde C é o contorno com formato do ntimero oito mostrado C zz i na imagem Questaéo 25 Expresse a transformacdo linear fz 3iz 4 como uma composigéo de uma rotagéo uma dilatagdoredugéo e uma translagdo Em seguida descreva a imagem do conjunto S definido pelo triangulo com vértices 1ie 1 sob essa transformacao x a Rez Questao 26 Prove que o limite lim 0 nao existe Imz Zz Questao 27 Prove que o limite lim 0 nao existe Imz 2 Questao 28 Mostre que a funcdo complexa definida por fz a quando z 0e por fz 0 quando z 0 satisfaz as equacdes de CauchyRiemann para z 0 mas nao é diferencidvel em z 0 x x3 3xy Questao 29 Mostre que a fungdo complexa definida por fz ay y 3x7y pap quando z 0 e por fz 0 quando z 0 satisfaz as equacées de CauchyRiemann para z 0 mas nao é diferencidvel em z 0 Quest4o 30 Mostre que a funcao fz x3xyiy 3x7y é diferencidvel nos eixos x e y e nado é analitica em nenhum ponto Questao 31 Utiliza o teorema de Cauchy Goursat para calcular a integral f fzdz onde fz y x 3xi e C 0 tridngulo com vértices nos pontos 01 iei Questao 32 Resolva a equacao senz 2 5 Questao 33 Mostre que se C for a fronteira do tridngulo retangulo de vértices nos pontos 0 3i e 4 orientado positivamente entao ie Zdz 60 Cc Questao 34 Mostre que a Logei 1 i 2 1 Tt b Log1 i In2 i sl 5 4 c Logi 3Logi Questao 35 Encontre todas as raizes em coordenadas retangulares exibaas como vértices de um poligono regular e identifique a raiz principal a 18 b 816 Essa lista deve ser complementada com os exercicios disponibilizados anteriormente e pelos exercicios do livro texto 6