Lista de Exercícios Resolvidos - Complementos de Matemática - Séries de Laurent, Resíduos e Transformadas

Complementos de Matemática Exercícios As respostas devem ser enviadas até o dia 1409 quintafeira pelo classroom Questão 1 Determine a série de Laurent de fz 1 z 1z 2 para cada um dos domínios abaixo a z 1 b 1 z 2 c 2 z Questão 2 Determine a série de Laurent de fz 1 zz 1 para o domínio 1z 2 2 Questão 3 Utilize resíduo no infinito para calcular a integral C z31 3z 1 z1 2z4 dz onde C é a circunferência centrado na origem de raio 3 Questão 4 Calcule o resíduo em z0 de fz a fz zcos1z e z0 0 b fz z senz z e z0 0 c fz cotgz z4 e z0 0 d fz ze3z e z0 0 e fz 1 z4 1 e z0 epi i4 Questão 5 Resolva aa equação diferencial y 3y 2y 2cosx y0 y0 y0 0 usando a técnica da transformada de Laplace Questão 6 Use o teorema da convolução para calcular a transformada inversa de s s 1s2 1 Questão 7 Use resíduos para encontrar a transformada de Laplace inversa ft corresponde à função Fs dada a Fs 2s3 s4 4 b Fs 2s 2 s 1s2 2s 5 Questão 8 Calcule a convolução de f1t f2t et Questão 9 Desenvolva em série de Fourier a função abaixo a fz t π t π ft 2π ft b fz t2 π t π ft 2π ft c fz t 0 t π2 π t π2 t π Questão 10 Calcule a transformada de Fourier de ft e3t 2 Variáveis Complexas 1 Série de Laurent fz 1 z 1z 2 a z 1 Temos que 1 z 1z 2 A 3 1 B 3 2 1 A3 2 B3 1 A B3 2A B A B 0 B A 2A B 1 2A A 1 A 1 A 1 U B 1 Logo fz 1 3 1 1 3 2 Digitalizado com CamScanner com 3 1 131 113 from n0 to 3n 132 123 12 11 32 u sendo 32 1 3 2 logo f3 from n0 to 3n 12 from n0 to 32n b 1 3 2 temos que 131 13 11 13 u sendo 13 1 1 3 131 13 11 13 13 from n0 to 13n from n0 to 13n1 e novamente 3 2 logo 132 12 11 32 12 from n0 to 32n portanto f3 from n0 to 13n1 12 from n0 to 32n c 3 2 novamente temos 3 2 131 from n0 to 13n1 u sendo 3 2 132 11 23 23 1 2 3 logo 132 11 23 from n1 to 23n portanto f3 from n0 to 13n1 12 from n1 to 23n temos que f3 1331 fração parcial f3 1331 A3 B31 1 A31 B3 A B3 A A 1 B 1 f3 13 131 então 13 132 2 1232 12 11 3 22 fz 12 32k 2n 1n 32k from n0 to temos que c z3 13z 1z12z4 dz fazendo 1 z 0 z 1 e também 1 2z4 0 z4 12 z 4 12 há 5 pólos z0 1 z1 4 12 z2 2 12 z3 134 4 2 e z4 134 4 2 A curva é uma circunferência de raio 3 e portanto engloba 5 pólos e pelo Teorema dos resíduos 12πi c z3 13z 1z12z4 dz n04 Res fz z zk Usando Res fz lim z z0 zz0 fz lim z 1 z1 z3 13z 1z12z4 lim z 1 z3 13z 1 2z4 43 Os outros 4 são pólos de ordem 4 então Res fz 1m1 lim z z0 dm1 dzm1 zz0m fz com m4 Como a fórmula é complicada usarei o Wolfram Alpha para fazer o cálculo Res fz 3 42 1i 8 42 8 8i z 412 vimos que 322 1 32 2 logo 13 12 11 322 12 322n from n0 to e agora 131 132 12 13211 131 11 32 11 11 321 logo 321 1 32 1 logo 131 1 1 321 321n from n0 to 1n 32k from n0 to fz z 12 1z 14 1z3 Logo vemos que o resíduo seja Res fz 12 12 z0 O resíduo é o coeficiente a1 da série de Laurent b fz z sen z 3 com z0 Expandindo a função fz z sen z 3 z 13 z z33 z55 z77 fz z z z33 z55 z77 fz z33 z55 z67 sendo a1 0 Res fz 0 z0 c fz cotg z z3 com z0 Expandindo a função fz 1z4 1z z3 z345 2z5 945 fz 1z5 13z3 145z 2945 Vemos que a1 145 logo Res fz 145 z0 d fz z e3z com z00 Expandindo a função fz z e3z z 1 3z 92 z2 93 Res fz 312 1 i 812 8 8i z 43 312 1 i 812 8 8i 312 1 i 812 8 8i 312 1 i 812 8 8i 2 3234 82 234 2πi ① a fz 3 cos 13 com z0 Fazendo a expansão fz 3 cos 13 3 1 12 132 14 134 fz 3 3 92j 92 3 2j2 Sendo aj 92 Ris fz 9 2 j0 e fz 1 34 j com z0 eπj4 Sendo z0 eπj4 cos π4 j sin π4 22 22 i L Não é um polo de fz 1 34 j logo não há um resíduo para este ponto 3 y 3y 2y 2 cos x com y0 y0 0 Aplicando a Transformada de Laplace ys 3ys 2ys 2 s s2 1 jj s2 ys s y0 y0 3 s ys y0 2 ys 2 s s2 1 s2 ys 3 s ys 2 ys 2 s s2 1 yss2 3 s 2 2 s s2 1 ys 2 s s2 1s2 3 s 2 2 s s2 1s2 2 s s 2 ys 2 s s2 1s 1s 2 Decomposição em frações parciais 2 s s2 1s 1s 2 As B s2 1 C s 1 D s 2 2 s As Bs 1s 2 Cs2 1s 2 Ds2 1s 1 d2 2 s As Bs2 3 s 2 C s3 2C s2 C s 2C D s3 D s2 D s D 2 s A s3 3 A s2 2 A s B s2 3 B s 2 B C s3 2 C s2 C s D s3 D s2 D s D 2 s A C D s3 3 A B 2 C D s2 2 A 3 B C D s 2 B 2 C D 0 A C D 0 3 A B 2 C D 1 2 A 3 B C D 0 2 B 2 C D A solução do sistema é A 15 B 35 C 1 e D 15 Logo ys s 3 5s2 1 1 s 1 1 5s 2 13 Ys s5s21 45s2 35s21 1s1 Tomando a inversa Yt 15 cost 45 e2t 35 sint et c temos que Ys s s1s21 1s1 ss21 Pelo teorema da convolução Lftgt LftLgt logo ft gt L1 Lft Lgt com Lft Lcost ss21 Lgt Let 1s1 logo cost et L1 1s1 ss21 yt ou seja yt cost et sados ftgt 0t fτ gtτdτ e com isso yt 0t cost etτ dτ et 0t cost eτ dτ Integrando por partes v cost du sent dτ dv eτdτ v eτdτ então 0t cost eτ dτ cost eτ0t 0t sent eτ dτ cost et 1 0t sent eτ dτ Integrando por partes u sent du cost dτ dv eτdτ v eτ 0t cost eτ dτ cost et 1 sent eτ0t 0t eτ cost dτ 0t cost eτ dτ cost et 1 sent et 0t eτ cost dτ 20t cost eτ dτ cost et sent et 1 0t cost eτ dτ cost et sent et 12 e como et 0t cos τ eτ dτ 12 cos t 12 sen t 12 et logo a inversa γt 12 sen t 12 cos t 12 et 7 Fs 2 s3 s4 4 A inversa ft o 2s3s4 4 est ds 12 2s3 ests44 ds Há 4 pólos s 2 e s 2 j s4 1 0 s2 2s2 2 0 Pelo Teorema dos resíduos 12 2 s3 est s4 4 ds 12 C 2 z3 ezt z4 4 dz Sendo C uma circunferência qualquer que envolva todos os pólos então 12πj C 2 z3 ezt z4 4 dz Res fz z 2 Res fz z 2 j Res fz z 2 Res fz z 2 j usando Res fz z z0 z z0 fz z z0 então 12πj C 2 z3 ezt z4 4 dz e2 t2 12 ej 2 t 12 ej 2 t e2 t2 12 e2 t 12 e2 t 12 cos2 t j sen2 t 12 cos2 t j sen2 t 12πj C 2 s3 ests4 4 ds 12 e2 t 12 e2 t cos2 t Logo L1 2 s3 s4 4 12 e2 t 12 e2 t cos2 t b Fs 2s 2s1s2 2s 5 então 0 2s2s1s22s5 est ds 12 C 2z 2z1z2 2z 5 ezt dz Fazendo z1 0 z 1 z2 2z 5 0 z 2 4 202 1 2j Há três pólos z 1 e z 1 2j e pelo Teorema dos resíduos 12πj C 2s2e3t s1s22s5 ds Res fz z1 Res fz z12j Res fz z12j 12πj C 2s2e3t s1s22s5 ds et 12 j2e12jt 12 j2e12jt Simplificando 12 e12jt 12 e12jt 12 et e2jt 12 et e2jt 12 et cos 2t j sin 2t 12 et cos 2t j sin 2t et cos 2t e Também j2 e12jt j2 e12jt j2 et e2jt j2 et e2jt j2 et cos 2t j sin 2t j2 et cos 2t j sin 2t et sin 2t 12πj C 2s2e3t s1s22s5 ds et et cos 2t et sin 2t Portanto L1 2s2 s1s22s5 et et cos 2t et sin 2t 8 Convolução f1t L1 et et 0t f1τf2tτdτ 0t eτ etτdτ et 0t dτ et τ0t t et Logo et et t et 9 série de Fourier ft 1t πtπ ft2π ft ou seja ft t πt0 t 0tπ A série de Fourier é dada por ft a02 Σn1 an cos nt bn sin t Coeficientes a0 1π π0 t dt 1π 0π t dt a0 1π π22 1π π22 a00 an 1π π0 t cos nt dt 1π 0π t cos nt dt an 1π cos nπ 1 n2 1π cos nπ 1 n2 aₙ 2n² 1ⁿ 1π 0 n par 4n²π n ímpar bₙ 0 Função par Note que ft graph drawing Portanto ft 2π n1 to 1ⁿ 1n² cos nt ft 4π n135 1n² cos nt b ft t² π t π ft 2π ft Coeficientes a₀ 2π ₀π t² dt 2π π³3 23 π² aₙ 2π ₀π t² cos nx dx 2π 2π n cos nπ n³ aₙ 4n² cos nπ 4n² 1ⁿ bₙ 2π ₀π t² sin nt dt 0 Função par graph drawing Portanto ft π²3 4 n1 to 1ⁿn² cos nt c ft t 0 t π2 π t π2 t π Coeficientes a₀ 1π2 ₀π2 t dt 1π2 π2π π t dt a₀ 2π π²8 2π π²8 48 π π2 aₙ 1π2 ₀π2 t cos 2nt dt 1π2 π2π π t cos 2nt dt aₙ 2π cos nπ 14 n² 2π cos nπ cos 2πn4 n² aₙ 12 π n² 1ⁿ 1 12 π n² 1 1ⁿ 1 1ⁿπ n² aₙ 0 n par e aₙ 2π n² n ímpar bₙ 1π2 ₀π2 t sin 2nt dt 1π2 π2π π t sin 2nt dt bₙ 2π π n cos nπ 4 n² 2π π n cos nπ 4 n² 0 Função par Portanto ft π4 2π cos 2nt n² n1 to D Temos que ft e3t1 e3t com x 0 e3t com x 0 A transformada de Fourier será 𝓕e3t1 12π from to 0 e3t ejwt dt 12π from 0 to e3t ejwt dt 12π from to 0 e3jωt dt 12π from 0 to e3jωt dt 12π e3jωt 3jω from to 0 12π e3 jωt 3 jω from 0 to 12π 13jω 13 jω 12π 3 jω 3 jω 3jω3jω 62π ω² 9 2 3 2π 1 ω² 9 com algo 𝓕e3t1 2π 3 ω² 9