Transformada Z-Conceitos Fundamentais e Aplicações-Guia Completo

Transformada Z Z XZ xn Z1 Xz Zxn Σ xnzn n to z rejw magnitude fase Im Re Plano z Xrejw Σ xnrejwn n to Xrejw Σxnrnejwn n to Xrejw Fxnrn Em outras palavras Xrejw é a transformada de Fourier de xnrn Consideremos particularmente o caso r z 1 Xzr1 Xzz ejw Fxn Xejw Assim A transformada Z se reduz à Transformada de Fourier quando a magnitude da variável complexa Z é unitória Sobre convergência Vimos que Xrejw Fxnrn Assim para que a Transformada Z converja a transformada de Fourier de xnrn tem de convergir o que pode ocorrer ou não a depender do valor de r Dai falase em região de convergência ROC region of convergence da transformada Z ATENÇÃO Se o ROC incluir a circunferência unitória ou seja se a ROC incluir r z 1 então a Transformada de Fourier também converge Exemplo 1 xn anun xn Z Xz Z1 Xz Zxn Σ xnzn n to Xz Σ anunzn Σ az1n n0 to Σ az1n n0 to Xz 1 az1 az12 Soma dos termos de um PG infinito com razão az1 Para que haja convergência o módulo da razão deve ser menor que um ou seja az1 1 1z 1 az 1 z a ROC Xz 11az1 z a ou Xz zza z a Há um zero em z0 e um polo em za ROC é externa à circunferência que passa pelo polo a Note que para a 1 a ROC não inclui o circuíro de raio unitário de modo que para a 1 a transformata de Fourier de xn não converge Exemplo 2 xn an un1 μn1 1 n 1 0 caso contrário xn Xz A transformada Z de xn pode então ser calculada região de Convergência ROC Propriedades Propriedade 1 A ROC de Xz Z xn consiste em um anel no plano Z centrado no origem Em alguns casos o limite interno pode se estender para dentro até o origem em outro casos o limite externo pode se estender para fora até o infinito Justificativa Xz Zxn Σ xn zn n z rejw Xrejw Σ xnrejwn Σ xn rn ejwn n n Xrejw Fxn rn Em outros palavras Xz tem ROC que consiste nos valores de z para os quais xn rn é absolutamente somável Assim a convergência de transformada Z só depende de r z e não de w z Daí a ROC consistir em um anel no plano Z centrado no origem Propriedade 2 A ROC não contém polos Justificativa Xz BzAz Σ bk zk Σ ak zk k0 q k0 p e Xz C Π 1 βk z1 Π 1 αk z1 k1 q k1 p C Π z βk Π z αk k1 q k1 p não forma teremos de expressar a transformada Z As raízes do polinômio do numerador βk são denominados zeros de Xz e as raízes do polinômio do denominador αk não denominados polos Assim a ROC não pode conter polos pois em um polo Xz é infinito e portanto não converge Propriedade 3 Se xn tiver duração finito então a ROC será o plano Z inteiro exceto possivelmente z0 eou z Justificativa Vamos admitir o seguinte cenário xn é sinal de tempo discreto que assume valores iguais a zero fora do intervalo fechado N1 N2 Ex A transformada Z é dada por Xz Zxn Σ xn zn n Xz Σ xn zn nN1 N2 Há três cenários a considerar I N1 0 e N2 0 II N1 0 III N2 0 De todo modo para z dependente de 0 ao infinito cada termo da soma é finito de modo que a soma converge Cenário I N1 0 e N2 0 A soma tem potências positivas e negativas de z para z 0 os termos com potências negativas de z se tornam ilimitados para z os termos com potências positivas de z se tornam ilimitados Conclusão no cenário I o ROC não inclui z0 ou z Cenário II N1 0 A soma tem apenas potências negativas de z de modo que o ROC inclui z Cenário III N2 0 A soma tem apenas potências positivas de z de modo que o ROC inclui z0 Antes de seguirmos à Propriedade 4 vamos a exercícios Exercícios 01 Determine a Transformada Z de a xnδn b xnδn1 c xn2δn δn3 δn3 Solução 1 a Xzn to xnzn n to δnzn δ0z0 Xz1 ROC é todo o plano z 1 b Xzn to δn1zn δ11z1 z1 1z ROC z0 Todo o plano z com exceção de z0 1 c Xz2 z3 z3 ROC 0 z Exercícios 02 Sabendo que Z αn μn 11α z1 z α determine a transformada z de cosw0 n μn Use para esse propósito a seguinte propriedade Multiplicação por uma Exponencial xn z Xz ROC R an xn z Xza ROC aRx Solução xnαn μn Xz 11α z1 z α Fazendo α1 temos xnμn Xz11z1 z1 Z μn 11z1 z1 I Pelo propriedade da multiplicação por uma exponencial fazemos a ej w0 Assim an xn z Xza ROC aRx ej w0 n xn z Xzej w0 ROC ej w0Rx Em outras palavras e jnω0 Xz Xejnω0z ROC Rx II Assim cosnω0μn ejnω0 ejnω0 2 un Zcosnω0μn 12 Z ejnω0 μn 12 Z ejnω0 μn xn μn Xz 1 1 z1 z 1 Zcosnω0μn 12 Xejnω0z 12 Xejnω0z 12 1 1 ejnω0 z1 12 1 1 ejnω0 z1 12 1 1 ejnω0 z1 12 1 1 ejnω0 z1 12 2 ejnω0 z 1 ejnω0 z1 ejnω0 z1 1 ejnω0 z1 z2 12 2 z1 2 ejnω0 ejnω0 2 1 z1 2 ejnω0 ejnω0 2 z2 12 2 2 z1 cos ω0 1 z1 2 cos ω0 z2 1 z1 cos ω0 1 2 z1 cos ω0 z2 Em resumo Zcosnω0μn 1 cos ω0 z1 1 2 cos ω0 z1 z2 z 1